संख्या पद्धति सूत्र – 60-सेकंड की दोहराई
संख्या पद्धति – एक पृष्ठीय सारांश
मुख्य बिंदु (एक पंक्ति में)
- प्राकृत संख्याएँ: 1, 2, 3 … ∞ → N
- पूर्ण संख्याएँ: 0 सम्मिलित → W = N ∪ {0}
- पूर्णांक: … –2, –1, 0, 1, 2 … → Z
- परिमेय: p/q (q ≠ 0, p,q ∈ Z); दशमलव या तो सांत या आवर्ती होता है।
- अपरिमेय: असांत और अनावर्ती दशमलव → π, √2, e।
- वास्तविक संख्याएँ = परिमेय ∪ अपरिमेय → R
- अभाज्य: ठीक दो गुणनखंड; 2 एकमात्र सम अभाज्य संख्या है।
- सह-अभाज्य: म.स.प. = 1 (उदा. 8 और 15)।
- ल.स.प. × म.स.प. = दो संख्याओं का गुणनफल।
- भिन्नों a/b और c/d के लिए: (a/b) ÷ (c/d) = (a×d)/(b×c)।
- क्रमिक भाग: यदि N को a, b, c से भाग देने पर शेषफल क्रमशः r₁, r₂, r₃ बचते हैं, तो N = k·ल.स.प.(a,b,c) + अंतिम शेषफल।
- 11 से विभाज्यता: (विषम स्थानों के अंकों का योग) – (सम स्थानों के अंकों का योग) = 0 या 11 का गुणज।
- aⁿ का इकाई अंक ज्ञात करने के लिए, अंतिम अंक का चक्र प्रत्येक 4 घातांक के बाद दोहराता है (आधार 2–9 के लिए)।
- द्विआधारी → दशमलव: Σ बिट×2ⁿ; दशमलव → द्विआधारी: 2 से भाग देकर शेषफलों को उल्टे क्रम में लिखें।
महत्वपूर्ण सूत्र / नियम
| सूत्र / नियम | कब प्रयोग करें |
|---|---|
| 1. म.स.प.(a,b) × ल.स.प.(a,b) = a×b | दो संख्याओं वाली समस्याएँ |
| 2. भिन्नों का ल.स.प. = ल.स.प.(अंशों) / म.स.प.(हरों) | भिन्नों का ल.स.प. |
| 3. भिन्नों का म.स.प. = म.स.प.(अंशों) / ल.स.प.(हरों) | भिन्नों का म.स.प. |
| 4. (a×b×c) ÷ m का शेषफल = [(a mod m)(b mod m)(c mod m)] mod m | गुणनफल का शेषफल |
| 5. यूलर: a^φ(m) ≡ 1 (mod m) यदि म.स.प.(a,m)=1 | बड़ी घात का शेषफल |
| 6. (a + b)² = a² + 2ab + b² | बीजगणित और त्वरित वर्ग |
| 7. a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b²) | घनों का योग |
| 8. a³ – b³ = (a – b)(a² + ab + b²) | घनों का अंतर |
| 9. प्रथम n विषम संख्याओं का योग = n² | पैटर्न पहचान |
| 10. 1 + 2 + … + n = n(n+1)/2 | समांतर श्रेणी |
याद रखने की तरकीबें
- “L-H गुणनफल”: ल.स.प. और म.स.प. का गुणनफल हमेशा दो संख्याओं के गुणनफल के बराबर होता है।
- “सम-अभाज्य अकेला 2”: एकमात्र सम अभाज्य संख्या → 2 (2 को अकेला खड़ा हुआ कल्पना करें)।
- “11 कूद-मेंढक”: 11 से विभाज्यता के लिए, अंकों को पड़ोसी पर कूदकर घटाएँ।
- “4-चक्र इकाई अंक”: इकाई अंक हर 4 घातांक के बाद दोहराते हैं → घातांक को 4 से भाग दें, शेषफल का प्रयोग करें।
- “ल.स.प. ऊपर, म.स.प. नीचे”: भिन्नों से निपटते समय, ल.स.प. अंशों का ल.स.प. और हरों के म.स.प. पर लिया जाता है (और म.स.प. के लिए इसका उल्टा)।
सामान्य गलतियाँ
| गलती | सही तरीका |
|---|---|
| 1 को अभाज्य मानना | 1 का केवल एक गुणनखंड है; अभाज्य संख्याओं के ठीक दो गुणनखंड होने चाहिए। |
| प्राकृत और पूर्ण संख्याओं में 0 को नज़रअंदाज करना | 0 पूर्ण संख्या है लेकिन प्राकृत संख्या नहीं है। |
| आवर्ती दशमलव में अंकों को काटना | 0.333… ≠ 0.33; भिन्न 1/3 का प्रयोग करें। |
| द्विआधारी रूपांतरण में शेषफलों को उल्टा करना भूल जाना | शेषफलों को नीचे से ऊपर एकत्र करें। |
| 3 या अधिक संख्याओं के लिए युग्मित म.स.प. की जाँच किए बिना सीधे ल.स.प. सूत्र लागू करना | अभाज्य गुणनखंड विधि या क्रमिक ल.स.प. का प्रयोग करें। |
अंतिम समय के सुझाव
- 9 का नियम जाँच: त्वरित गणना सत्यापन के लिए, 9 के अंकों को हटाएँ।
- पहले इकाई अंक: यदि उत्तर विकल्प अंतिम अंक में भिन्न हैं → केवल इकाई अंक ज्ञात करें, समय बचाएँ।
- गुणा करने से पहले काटें: भिन्नों के काम को कम करता है और बड़ी संख्याओं से बचाता है।
- 50 तक अभाज्य-सारणी: 2-3-5-7-11-13-17-19-23-29-31-37-41-43-47 याद रखें।
- 60-सेकंड की नज़र: “शेषफल”, “विभाज्यता”, “ल.स.प.”, “म.स.प.” जैसे कीवर्ड के लिए एक नज़र डालें → सीधे मिलान वाला सूत्र चुनें।
त्वरित अभ्यास (5 बहुविकल्पीय प्रश्न)
1. वह छोटी से छोटी 3-अंकीय संख्या कौन सी है जो 3, 5 और 7 से पूर्णतः विभाज्य है?
ल.स.प.(3,5,7)=105. उत्तर: 105
2. यदि 3⁷⁵ को 10 से विभाजित किया जाए, तो शेषफल क्या होगा?
3 के इकाई अंक का चक्र 3-9-7-1 है। 75 mod 4 = 3 → 7. शेषफल = 7
3. 2/3, 4/9 और 5/6 का म.स.प. क्या है?
म.स.प.(2,4,5)=1; ल.स.प.(3,9,6)=18 → म.स.प. = 1/18
4. प्रथम 20 विषम संख्याओं का योग किसके बराबर है?
n² = 20² = 400
5. 50 और 60 के बीच कितनी अभाज्य संख्याएँ हैं?
53, 59 → 2
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