अनुपात और समानुपात ट्रिक्स – त्वरित पुनरावलोकन
अनुपात और समानुपात ट्रिक्स – त्वरित पुनरावलोकन
मुख्य बिंदु (एक-पंक्ति वाले)
- अनुपात = a : b ⇒ भिन्न = a/b ; हमेशा न्यूनतम रूप में सरल करें।
- समानुपात ⇒ दो अनुपात बराबर सेट: a : b :: c : d ⇒ a·d = b·c (क्रॉस-गुणनफल)।
- a : b और c : d का संयुक्त अनुपात a·c : b·d है।
- a : b का द्विगुणित अनुपात = a² : b²; उप-द्विगुणित = √a : √b।
- त्रिगुणित और उप-त्रिगुणित क्रमशः घन और घनमूल का अनुसरण करते हैं।
- व्युत्क्रमण – दोनों पक्षों को उल्टा करें: a/b = c/d ⇒ b/a = d/c।
- एकान्तरानुपात – माध्यों की अदला-बदली: a/b = c/d ⇒ a/c = b/d।
- योगानुपात – दोनों पक्षों में 1 जोड़ें: a/b = c/d ⇒ (a+b)/b = (c+d)/d।
- अंतरानुपात – 1 घटाएँ: (a–b)/b = (c–d)/d।
- योगान्तरानुपात – (a+b)/(a–b) = (c+d)/(c–d); 2-चर समीकरणों के लिए सबसे तेज़ शॉर्टकट।
- यदि A : B = x : y और B : C = y : z ⇒ A : B : C = x : y : z (श्रृंखला-कड़ी)।
- ₹X को m : n : p अनुपात में बाँटने के लिए, पहला भाग = X·m/(m+n+p)।
- दोनों पदों में समान संख्या जोड़ने/घटाने से अनुपात बदलता है; शॉर्ट-कट का उपयोग करें: (a±k)/(b±k) = नया अनुपात।
- a, b, c का चतुर्थानुपाती d है जो a : b = c : d को संतुष्ट करता है।
- a और c के बीच का मध्यानुपाती = √(a·c)।
- a, b का तृतीयानुपाती c है जैसे कि a : b = b : c।
- गुणनफल A·B में प्रतिशत परिवर्तन यदि A↑x% और B↓y% ≈ (x–y –xy/100)%.
- मानचित्र-स्केल समस्याओं में, 1 : r ⇒ 1 सेमी = r सेमी; पहले इकाइयों को परिवर्तित करें।
- साझेदारी लाभ हिस्सा ∝ (पूंजी × समय); समय को समान इकाइयों में व्यक्त करें।
- जब तक निर्दिष्ट न हो, पूर्णांक मान न मानें—हमेशा लघुत्तम समापवर्त्य-अनुकूल संख्याएँ लें।
महत्वपूर्ण सूत्र/नियम
| सूत्र/नियम |
अनुप्रयोग |
| क्रॉस-गुणनफल जाँच |
a:b::c:d ⇔ ad = bc |
| संयुक्त अनुपात |
(a:b)(c:d)(e:f) = ace : bdf |
| योगान्तरानुपात |
यदि a/b = c/d, तो (a+b)/(a-b) = (c+d)/(c-d) |
| मात्रा Q को m:n में बाँटना |
पहला हिस्सा = Q·m/(m+n) |
| श्रृंखला नियम (3 अनुपात) |
A:B = x:y और B:C = y:z ⇒ A:B:C = x:y:z |
| साझेदारी हिस्सा |
(पूंजी × महीने) अनुपात = लाभ अनुपात |
| चतुर्थानुपाती |
a:b = c:x ⇒ x = bc/a |
| मध्यानुपाती |
x = √(ab) |
| तृतीयानुपाती |
a:b = b:x ⇒ x = b²/a |
| अनुपात में % परिवर्तन |
(नया – पुराना) / पुराना × 100 |
याद रखने की ट्रिक्स
- सी-डी मैजिक: योगान्तरानुपात → “क्रॉस-जोड़, क्रॉस-घटाएँ, फिर क्रॉस-भाग दें।”
- समानुपात = गुणनफल: “पी-पी हैंडशेक” – बाहरी गुणनफल = आंतरिक गुणनफल।
- श्रृंखला-कड़ी: “बी दोहराता है – इसे छोड़ें; ए सी ई … पहले वाले रखें।”
- साझेदारी: “सीएम = पीएम” (पूंजी × महीने = लाभ धन)।
- लघुत्तम समापवर्त्य हैक: अनुपात योग लघुत्तम समापवर्त्य से डरता है – भिन्नों को तुरंत साफ करने के लिए हरों का लघुत्तम समापवर्त्य लें।
सामान्य गलतियाँ
| गलती |
सही दृष्टिकोण |
| अनुपात को न्यूनतम पदों में कम करना भूल जाना |
हमेशा महत्तम समापवर्तक से भाग दें |
| 4 पदों की जाँच किए बिना क्रॉस-गुणा करना |
पहले सुनिश्चित करें कि a,b,c,d समानुपात में हैं |
| 3 चरों पर सी-डी लागू करना |
सी-डी का उपयोग केवल 2-चर अनुपात समानता के लिए करें |
| मानचित्र-स्केल को अलग-अलग इकाइयों में लेना |
दोनों पक्षों को समान इकाई (सेमी/किमी) में बदलें |
| आनुपातिक के लिए समांतर माध्य के बजाय गुणोत्तर माध्य का उपयोग करना |
मध्यानुपाती के लिए √(ab) चाहिए |
अंतिम-मिनट के सुझाव
- पहले 5 सेकंड: कीवर्ड “अनुपात में बाँटता है”, “हिस्सा”, “आनुपातिक” को पहचानें और सही सूत्र को टैग करें।
- सी-डी शॉर्टकट 90 सेकंड बचाता है – जब समान (ax±b)/(cx±d) रूप दिखाई दे तो उपयोग करें।
- % आधारित अनुपात प्रश्नों के लिए 100 को आधार मान के रूप में लें – संख्याएँ पूर्णांक रखता है।
- क्रॉस-गुणनफल त्रुटि से बचने के लिए चरम बाएँ और चरम दाएँ गुणनफल (ad) ऊपर/नीचे लिखें।
- यदि विकल्प दूर-दूर हैं, तो सटीक गणना के बजाय निकटतम सरल अनुपात के साथ अनुमान लगाएँ।
त्वरित अभ्यास (5 बहुविकल्पीय प्रश्न)
1. यदि 3 : 7, (3+x) : (7+x) के समतुल्य है, तो x ज्ञात करें।
⇒ 3(7+x)=7(3+x) ⇒ 21+3x=21+7x ⇒ x=0
उत्तर: 0
2. ₹2,640 को 5 : 3 : 2 अनुपात में बाँटें; सबसे बड़ा हिस्सा है?
सबसे बड़ा = 2640×5/10 = ₹1,320
उत्तर: 1320
3. 18 और 8 के बीच मध्यानुपाती है?
√(18×8)=√144=12
उत्तर: 12
4. यदि A:B=2:3, B:C=4:5, तो A:C ज्ञात करें।
A:C = (2×4):(3×5)=8:15
उत्तर: 8:15
5. 5,8,15 का चतुर्थानुपाती है?
5:8=15:x ⇒ x=(8×15)/5=24
उत्तर: 24
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