SATHEE: त्रिकोणमिति मान - त्वरित पुनरावलोकन

त्रिकोणमिति मान - त्वरित पुनरावलोकन

sin 0° = 0, sin 30° = ½, sin 45° = 1/√2, sin 60° = √3/2, sin 90° = 1
cos 0° = 1, cos 30° = √3/2, cos 45° = 1/√2, cos 60° = ½, cos 90° = 0
tan 0° = 0, tan 30° = 1/√3, tan 45° = 1, tan 60° = √3, tan 90° = ∞
cosec θ = 1/sin θ, sec θ = 1/cos θ, cot θ = 1/tan θ
sin²θ + cos²θ = 1 → पाइथागोरसीय सर्वसमिका
1 + tan²θ = sec²θ; 1 + cot²θ = cosec²θ
sin (90° – θ) = cos θ; cos (90° – θ) = sin θ
tan (90° – θ) = cot θ; cot (90° – θ) = tan θ
sin (–θ) = –sin θ; cos (–θ) = cos θ; tan (–θ) = –tan θ
0°, 30°, 45°, 60°, 90° → मूल-पैटर्न याद रखें: sin के लिए 0-1-2-3-4 को 2 से विभाजित करें; cos के लिए उल्टा
sin 2θ = 2 sin θ cos θ; cos 2θ = cos²θ – sin²θ
sin θ और cos θ का अधिकतम मान 1 है; न्यूनतम –1 है
tan θ = sin θ / cos θ; cot θ = cos θ / sin θ
पहले चतुर्थांश में θ बढ़ने पर → sin, cos और tan सभी बढ़ते हैं
अंतिम उत्तर में हमेशा हर का परिमेयकरण करें (जैसे, 1/√2 → √2/2)

सूत्र/नियम	अनुप्रयोग
sin (A ± B) = sin A cos B ± cos A sin B	संयुक्त-कोण का त्वरित विस्तार
cos (A ± B) = cos A cos B ∓ sin A sin B	कोज्या के लिए उपरोक्त के समान
tan (A ± B) = (tan A ± tan B)/(1 ∓ tan A tan B)	दो कोणों को एक tan में संयोजित करना
sin 2θ = 2 sin θ cos θ	द्विकोण, ऊँचाई-दूरी की समस्याएँ
cos 2θ = 2 cos²θ – 1 = 1 – 2 sin²θ	cos² या sin² को cos 2θ के पदों में व्यक्त करना
sin θ = विपरीत/कर्ण	समकोण त्रिभुज की परिभाषा
cos θ = आसन्न/कर्ण	समकोण त्रिभुज की परिभाषा
tan θ = विपरीत/आसन्न	समकोण त्रिभुज की परिभाषा
sec θ = 1/cos θ; cosec θ = 1/sin θ; cot θ = 1/tan θ	व्युत्क्रम सर्वसमिकाएँ
sin²θ + cos²θ = 1	मौलिक पाइथागोरसीय सर्वसमिका

“0-1-2-3-4” नियम: √0/2, √1/2, √2/2, √3/2, √4/2 लिखें → सीधे sin 0° से 90° देता है।
“SIP” – Sin Increases, Cos Decreases 0°-90° में।
“पंडित बद्री प्रसाद” – P-B-P / H-H-H → sin 30°=½, cos 30°=√3/2, tan 30°=1/√3।
व्युत्क्रम: CO-SEC, CO-mplement का SEC है; CO-TAN, CO-mplement का TAN है।
ASTC – “All School Teachers Cry” (I, II, III, IV चतुर्थांशों में All, Sin, Tan, Cos धनात्मक)।

गलती	सही दृष्टिकोण
tan 90° = 0 लिखना	tan 90° अपरिभाषित (∞) है
1/√2 का परिमेयकरण भूल जाना	अंतिम उत्तर में हमेशा √2/2 लिखें
sin (A + B) और cos (A + B) के चिह्नों में उलझना	“Sin चिह्न रखता है, Cos चिह्न बदलता है” नियम का प्रयोग करें
θ को डिग्री में लेकिन कैलकुलेटर को रेडियन में प्रयोग करना	हर बार मोड (Deg/Rad) जाँचें
sec θ = 1/tan θ लेना	sec θ = 1/cos θ; cosec θ = 1/sin θ

प्रवेश से ठीक पहले 0°-90° तालिका पर एक नज़र डालें—5 सेकंड की दृश्य जाँच मानों को याद करा देती है।
वार्म-अप के लिए 2 ऊँचाई-दूरी की समस्याएँ हल करें; उनमें tan θ का सबसे अधिक प्रयोग होता है।
उत्तर पत्रक मिलने के तुरंत बाद रफ शीट पर सर्वसमिकाएँ लिख लें—बाद में 5 मिनट बचाता है।
यदि विकल्प में √3/2 और 2/√3 दोनों हैं → सही चुनने के लिए cos 30° बनाम sec 30° याद करें।
90°±θ वाला कोई भी व्यंजक → पहले “पूरक कोण” नियम का प्रयोग करें, गणना 50% कम हो जाती है।

1. sin 120° का मान क्या है?

**उत्तर:** sin 120° = sin (180°–60°) = sin 60° = √3/2

2. यदि tan θ = 3/4, तो sec θ है?

**उत्तर:** sec θ = √(1 + tan²θ) = √(1 + 9/16) = √(25/16) = 5/4

3. cos 15° बराबर है

**उत्तर:** cos (45°–30°) = cos 45° cos 30° + sin 45° sin 30° = (√2/2)(√3/2) + (√2/2)(½) = (√6 + √2)/4

4. 5 sin θ + 12 cos θ का अधिकतम मान है

**उत्तर:** √(5² + 12²) = 13

5. tan 225° = ?

**उत्तर:** 225° = 180° + 45° → तीसरे चतुर्थांश में tan धनात्मक; tan 225° = tan 45° = 1