6.1 પ્રસ્તાવના

પ્રકરણ 5 માં, તમે અભ્યાસ કર્યો છે કે એક રેખા દોરવા માટે ઓછામાં ઓછા બે બિંદુઓ જરૂરી છે. તમે કેટલાક સ્વસિદ્ધોનો (axioms) પણ અભ્યાસ કર્યો છે અને આ સ્વસિદ્ધોની મદદથી તમે અન્ય કેટલાક વિધાનો સાબિત કર્યા છે. આ પ્રકરણમાં, તમે બે રેખાઓ એકબીજાને છેદે ત્યારે બનતા ખૂણાઓના ગુણધર્મોનો અને એક રેખા બે અથવા વધુ સમાંતર રેખાઓને અલગ-અલગ બિંદુઓ પર છેદે ત્યારે બનતા ખૂણાઓના ગુણધર્મોનો અભ્યાસ કરશો. આગળ, તમે નિગમનાત્મક તર્ક (deductive reasoning) નો ઉપયોગ કરીને કેટલાક વિધાનો સાબિત કરવા માટે આ ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરશો (પરિશિષ્ટ 1 જુઓ). તમે પહેલાના વર્ગોમાં કેટલીક પ્રવૃત્તિઓ દ્વારા આ વિધાનોની પહેલેથી જ ચકાસણી કરી છે.

તમારા રોજિંદા જીવનમાં, તમે સમતલ સપાટીઓની કિનારીઓ વચ્ચે બનતા વિવિધ પ્રકારના ખૂણાઓ જોયા હશે. સમતલ સપાટીઓનો ઉપયોગ કરીને સમાન પ્રકારનું મોડેલ બનાવવા માટે, તમારે ખૂણાઓની સંપૂર્ણ જાણકારી હોવી જરૂરી છે. ઉદાહરણ તરીકે, ધારો કે તમે બાંસની લાકડીઓનો ઉપયોગ કરીને શાળાના પ્રદર્શનમાં મૂકવા માટે એક ઝૂંપડીનું મોડેલ બનાવવા માંગો છો. કલ્પના કરો કે તમે તે કેવી રીતે બનાવશો? તમે કેટલીક લાકડીઓને એકબીજાને સમાંતર રાખશો, અને કેટલીક લાકડીઓ ત્રાંસી રાખશો. જ્યારે પણ એક આર્કિટેક્ટને બહુમાળી ઇમારતની યોજના દોરવી પડે, ત્યારે તેને વિવિધ ખૂણા પર છેદતી રેખાઓ અને સમાંતર રેખાઓ દોરવી પડે છે. આ રેખાઓ અને ખૂણાઓના ગુણધર્મોની જાણકારી વિના, શું તમને લાગે છે કે તે ઇમારતનો લેઆઉટ દોરી શકે?

વિજ્ઞાનમાં, તમે કિરણોના આકૃતિઓ (ray diagrams) દોરીને પ્રકાશના ગુણધર્મોનો અભ્યાસ કરો છો. ઉદાહરણ તરીકે, જ્યારે પ્રકાશ એક માધ્યમમાંથી બીજા માધ્યમમાં પ્રવેશે ત્યારે તેના વક્રીભવન (refraction) ગુણધર્મનો અભ્યાસ કરવા માટે, તમે છેદતી રેખાઓ અને સમાંતર રેખાઓના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરો છો. જ્યારે બે અથવા વધુ બળો કોઈ પદાર્થ પર કાર્ય કરે છે, ત્યારે તમે એક આકૃતિ દોરો છો જેમાં બળોને નિર્દેશિત રેખાખંડો દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે, જેથી પદાર્થ પર બળોના કુલ પ્રભાવનો અભ્યાસ કરી શકાય. તે સમયે, જ્યારે કિરણો (અથવા રેખાખંડો) સમાંતર હોય અથવા એકબીજાને છેદે ત્યારે ખૂણાઓ વચ્ચેના સંબંધની જાણકારી હોવી જરૂરી છે. એક ટાવરની ઊંચાઈ શોધવા અથવા દીવાદાંડીમાંથી જહાજનું અંતર શોધવા માટે, આડી રેખા અને દૃષ્ટિરેખા (line of sight) વચ્ચે બનતા ખૂણાની જાણકારી હોવી જરૂરી છે. રેખાઓ અને ખૂણાઓના ઉપયોગ થતા અનેક અન્ય ઉદાહરણો આપી શકાય છે. ભૂમિતિના આગામી પ્રકરણોમાં, તમે વધુ અને વધુ ઉપયોગી ગુણધર્મો મેળવવા માટે રેખાઓ અને ખૂણાઓના આ ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરશો.

ચાલો, પહેલા રેખાઓ અને ખૂણાઓ સાથે સંબંધિત પહેલાના વર્ગોમાં શીખેલા પરિભાષા અને વ્યાખ્યાઓનું પુનરાવર્તન કરીએ.

6.2 મૂળભૂત પરિભાષા અને વ્યાખ્યાઓ

યાદ કરો કે બે અંત્યબિંદુઓ સાથેનો રેખાનો એક ભાગ (અથવા ટુકડો) રેખાખંડ (line-segment) કહેવાય છે અને એક અંત્યબિંદુ સાથેનો રેખાનો એક ભાગ કિરણ (ray) કહેવાય છે. નોંધ લો કે રેખાખંડ $A B$ ને $\overline{\mathrm{AB}}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે, અને તેની લંબાઈને $\mathrm{AB}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે. કિરણ $\mathrm{AB}$ ને $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે, અને રેખાને $\overleftrightarrow{A B}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે. જોકે, આપણે આ સંજ્ઞાઓનો ઉપયોગ કરીશું નહીં, અને રેખાખંડ $\mathrm{AB}$, કિરણ $\mathrm{AB}$, લંબાઈ $\mathrm{AB}$ અને રેખા $\mathrm{AB}$ ને એક જ સંજ્ઞા $\mathrm{AB}$ દ્વારા દર્શાવીશું. સંદર્ભ પરથી અર્થ સ્પષ્ટ થઈ જશે. ક્યારેક રેખાઓ દર્શાવવા માટે નાના અક્ષરો $l, m, n$, વગેરેનો ઉપયોગ કરવામાં આવશે.

જો ત્રણ અથવા વધુ બિંદુઓ એક જ રેખા પર આવેલા હોય, તો તેમને સરેખ બિંદુઓ (collinear points) કહેવાય છે; અન્યથા તેમને અસરેખ બિંદુઓ (non-collinear points) કહેવાય છે.

યાદ કરો કે જ્યારે બે કિરણો એક જ અંત્યબિંદુ પરથી ઉદ્ભવે છે ત્યારે એક ખૂણો બને છે. ખૂણો બનાવતા કિરણોને ખૂણાના ભુજ (arms) કહેવાય છે અને અંત્યબિંદુને ખૂણાનું શિરોબિંદુ (vertex) કહેવાય છે. તમે પહેલાના વર્ગોમાં વિવિધ પ્રકારના ખૂણાઓનો અભ્યાસ કર્યો છે, જેમ કે લઘુકોણ (acute angle), કાટખૂણો (right angle), ગુરુકોણ (obtuse angle), સરળખૂણો (straight angle) અને પ્રતિવર્તી ખૂણો (reflex angle) (જુઓ આકૃતિ 6.1).

આકૃતિ 6.1 : ખૂણાઓના પ્રકારો

લઘુકોણ $0^{\circ}$ અને $90^{\circ}$ વચ્ચે માપ ધરાવે છે, જ્યારે કાટખૂણો બરાબર $90^{\circ}$ જેટલો હોય છે. $90^{\circ}$ કરતા વધારે પણ $180^{\circ}$ કરતા ઓછો હોય તેવા ખૂણાને ગુરુકોણ કહેવાય છે. એ પણ યાદ કરો કે સરળખૂણો $180^{\circ}$ જેટલો હોય છે. $180^{\circ}$ કરતા વધારે પણ $360^{\circ}$ કરતા ઓછો હોય તેવા ખૂણાને પ્રતિવર્તી ખૂણો કહેવાય છે. આગળ, જે બે ખૂણાઓનો સરવાળો $90^{\circ}$ હોય તેમને પૂરક ખૂણાઓ (complementary angles) કહેવાય છે, અને જે બે ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ હોય તેમને સંપૂરક ખૂણાઓ (supplementary angles) કહેવાય છે.

તમે પહેલાના વર્ગોમાં સંલગ્ન ખૂણાઓ (adjacent angles) વિશે પણ અભ્યાસ કર્યો છે (જુઓ આકૃતિ 6.2). બે ખૂણાઓ સંલગ્ન હોય છે, જો તેમનું એક સામાન્ય શિરોબિંદુ હોય, એક સામાન્ય ભુજ હોય અને તેમની બિન-સામાન્ય ભુજો સામાન્ય ભુજની વિરુદ્ધ બાજુઓ પર હોય. આકૃતિ 6.2 માં, $\angle \mathrm{ABD}$ અને $\angle \mathrm{DBC}$ સંલગ્ન ખૂણાઓ છે. કિરણ $\mathrm{BD}$ તેમની સામાન્ય ભુજ છે અને બિંદુ $\mathrm{B}$ તેમનું સામાન્ય શિરોબિંદુ છે. કિરણ $\mathrm{BA}$ અને કિરણ $\mathrm{BC}$ બિન-સામાન્ય ભુજો છે. વધુમાં, જ્યારે બે ખૂણાઓ સંલગ્ન હોય, ત્યારે તેમનો સરવાળો હંમેશા બે બિન-સામાન્ય ભુજોથી બનતા ખૂણા જેટલો હોય છે. તેથી, આપણે લખી શકીએ છીએ

$\angle \mathrm{ABC}=\angle \mathrm{ABD}+\angle \mathrm{DBC} .$

નોંધ લો કે $\angle \mathrm{ABC}$ અને $\angle \mathrm{ABD}$ સંલગ્ન ખૂણાઓ નથી. શા માટે? કારણ કે તેમની બિન-સામાન્ય ભુજો $\mathrm{BD}$ અને $\mathrm{BC}$ સામાન્ય ભુજ BA ની એક જ બાજુ પર આવેલી છે.

જો આકૃતિ 6.2 માં બિન-સામાન્ય ભુજો $\mathrm{BA}$ અને $\mathrm{BC}$ એક રેખા બનાવે, તો તે આકૃતિ 6.3 જેવી દેખાશે. આ કિસ્સામાં, $\angle \mathrm{ABD}$ અને $\angle \mathrm{DBC}$ ને રેખીય જોડીના ખૂણાઓ (linear pair of angles) કહેવાય છે.

આકૃતિ 6.3 : રેખીય જોડીના ખૂણાઓ

તમને શિરોલંબ સામસામેના ખૂણાઓ (vertically opposite angles) પણ યાદ આવશે, જે બે રેખાઓ, ધારો કે $\mathrm{AB}$ અને $\mathrm{CD}$, એકબીજાને છેદે ત્યારે, ધારો કે બિંદુ $\mathrm{O}$ પર, બને છે (જુઓ આકૃતિ 6.4). શિરોલંબ સામસામેના ખૂણાઓની બે જોડીઓ હોય છે.

આકૃતિ 6.4 : શિરોલંબ સામસામેના ખૂણાઓ

એક જોડી $\angle \mathrm{AOD}$ અને $\angle \mathrm{BOC}$ છે. શું તમે બીજી જોડી શોધી શકો છો?

6.3 છેદતી રેખાઓ અને અછેદતી રેખાઓ

કાગળ પર બે જુદી જુદી રેખાઓ PQ અને RS દોરો. તમે જોશો કે તમે તેમને આકૃતિ 6.5 (i) અને આકૃતિ 6.5 (ii) માં બતાવ્યા પ્રમાણે બે જુદી જુદી રીતે દોરી શકો છો.

આકૃતિ 6.5 : બે રેખાઓ દોરવાની જુદી જુદી રીતો

રેખાની કલ્પના યાદ કરો, કે તે બંને દિશામાં અનિશ્ચિત રીતે વિસ્તરે છે. આકૃતિ 6.5 (i) માં રેખાઓ PQ અને RS છેદતી રેખાઓ છે અને આકૃતિ 6.5 (ii) માં સમાંતર રેખાઓ છે. નોંધ લો કે આ સમાંતર રેખાઓ પર વિવિધ બિંદુઓ પરના સામાન્ય લંબની લંબાઈ સમાન હોય છે. આ સમાન લંબાઈને બે સમાંતર રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર કહેવાય છે.

6.4 ખૂણાઓની જોડીઓ

પ્રકરણ 6.2 માં, તમે ખૂણાઓની કેટલીક જોડીઓની વ્યાખ્યાઓ શીખી છે, જેમ કે પૂરક ખૂણાઓ, સંપૂરક ખૂણાઓ, સંલગ્ન ખૂણાઓ, રેખીય જોડીના ખૂણાઓ, વગેરે. શું તમે આ ખૂણાઓ વચ્ચેના કેટલાક સંબંધો વિશે વિચારી શકો છો? હવે, જ્યારે એક કિરણ એક રેખા પર ઊભું હોય ત્યારે બનતા ખૂણાઓ વચ્ચેના સંબંધ શોધીએ. એક આકૃતિ દોરો જેમાં એક કિરણ એક રેખા પર ઊભું હોય, જેમ કે આકૃતિ 6.6 માં બતાવ્યા પ્રમાણે. રેખાને $\mathrm{AB}$ અને કિરણને OC નામ આપો. $\mathrm{O}$ પર કયા ખૂણાઓ બને છે? તે $\angle \mathrm{AOC}, \angle \mathrm{BOC}$ અને $\angle \mathrm{AOB}$ છે.

આકૃતિ 6.6 : રેખીય જોડીના ખૂણાઓ

શું આપણે લખી શકીએ $\angle \mathrm{AOC}+\angle \mathrm{BOC}=\angle \mathrm{AOB}$ ? (1)

હા! (શા માટે? પ્રકરણ 6.2 માં સંલગ્ન ખૂણાઓનો સંદર્ભ લો)

$\angle \mathrm{AOB}$ નું માપ શું છે? તે $180^{\circ}$ છે. (શા માટે?) (2)

(1) અને (2) પરથી, શું તમે કહી શકો છો કે $\angle \mathrm{AOC}+\angle \mathrm{BOC}=180^{\circ}$ ? હા! (શા માટે?)

ઉપરની ચર્ચા પરથી, આપણે નીચેના સ્વસિદ્ધની જાહેરાત કરી શકીએ છીએ:

સ્વસિદ્ધ 6.1 : જો એક કિરણ એક રેખા પર ઊભું હોય, તો આ રીતે બનતા બે સંલગ્ન ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ હોય છે.

યાદ કરો કે જ્યારે બે સંલગ્ન ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ હોય, તો તેમને રેખીય જોડીના ખૂણાઓ કહેવાય છે.

સ્વસિદ્ધ 6.1 માં, તે આપેલ છે કે ‘એક કિરણ એક રેખા પર ઊભું છે’. આ ‘આપેલ’ પરથી, આપણે નિષ્કર્ષ કાઢ્યો છે કે ‘આ રીતે બનતા બે સંલગ્ન ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ છે’. શું આપણે સ્વસિદ્ધ 6.1 ને બીજી રીતે લખી શકીએ? એટલે કે, સ્વસિદ્ધ 6.1 ના ‘નિષ્કર્ષ’ ને ‘આપેલ’ તરીકે અને ‘આપેલ’ ને ‘નિષ્કર્ષ’ તરીકે લો. તેથી તે બને છે:

(A) જો બે સંલગ્ન ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ હોય, તો એક કિરણ એક રેખા પર ઊભું હોય છે (એટલે કે, બિન-સામાન્ય ભુજો એક રેખા બનાવે છે).

હવે તમે જોશો કે સ્વસિદ્ધ 6.1 અને વિધાન (A) એક અર્થમાં એકબીજાના વિપરીત છે. આપણે દરેકને એકબીજાનું પ્રતીપ (converse) કહીએ છીએ. આપણને ખબર નથી કે વિધાન (A) સાચું છે કે નહીં. ચાલો તપાસીએ. આકૃતિ 6.7 માં બતાવ્યા પ્રમાણે વિવિધ માપના સંલગ્ન ખૂણાઓ દોરો. દરેક કિસ્સામાં ફૂટપટ્ટીને એક બિન-સામાન્ય ભુજ સાથે રાખો. શું બીજી બિન-સામાન્ય ભુજ પણ ફૂટપટ્ટી સાથે આવેલી છે?

આકૃતિ 6.7 : વિવિધ માપના સંલગ્ન ખૂણાઓ

તમે જોશો કે ફક્ત આકૃતિ 6.7 (iii) માં, બંને બિન-સામાન્ય ભુજો ફૂટપટ્ટી સાથે આવેલી છે, એટલે કે, બિંદુઓ $\mathrm{A}, \mathrm{O}$ અને $\mathrm{B}$ એક જ રેખા પર આવેલા છે અને કિરણ $\mathrm{OC}$ તેના પર ઊભું છે. એ પણ જુઓ કે $\angle \mathrm{AOC}+\angle \mathrm{COB}=125^{\circ}+55^{\circ}=180^{\circ}$. આ પરથી, તમે નિષ્કર્ષ કાઢી શકો છો કે વિધાન (A) સાચું છે. તેથી, તમે નીચેના સ્વસિદ્ધના રૂપમાં જાહેરાત કરી શકો છો:

સ્વસિદ્ધ 6.2 : જો બે સંલગ્ન ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ હોય, તો ખૂણાઓની બિન-સામાન્ય ભુજો એક રેખા બનાવે છે.

સ્પષ્ટ કારણોસર, ઉપરના બંને સ્વસિદ્ધોને એકસાથે રેખીય જોડી સ્વસિદ્ધ (Linear Pair Axiom) કહેવામાં આવે છે.

હવે ચાલો, જ્યારે બે રેખાઓ એકબીજાને છેદે છે તે કિસ્સાની તપાસ કરીએ.

પહેલાના વર્ગોમાંથી યાદ કરો કે જ્યારે બે રેખાઓ છેદે છે, ત્યારે શિરોલંબ સામસામેના ખૂણાઓ સમાન હોય છે. ચાલો હવે આ પરિણામ સાબિત કરીએ. સાબિતીના ઘટકો માટે પરિશિષ્ટ 1 જુઓ, અને નીચે આપેલી સાબિતીનો અભ્યાસ કરતી વખતે તે ધ્યાનમાં રાખો.

પ્રમેય 6.1 : જો બે રેખાઓ એકબીજાને છેદે, તો શિરોલંબ સામસામેના ખૂણાઓ સમાન હોય છે.

સાબિતી : ઉપરના વિધાનમાં, તે આપેલ છે કે ‘બે રેખાઓ એકબીજાને છેદે છે’. તેથી, ધારો કે $\mathrm{AB}$ અને $\mathrm{CD}$ એ બે રેખાઓ છે જે $\mathrm{O}$ પર એકબીજાને છેદે છે, જેમ કે આકૃતિ 6.8 માં બતાવ્યા પ્રમાણે. તે શિરોલંબ સામસામેના ખૂણાઓની બે જોડીઓ તરફ દોરી જાય છે, એટલે કે,

(i) $\angle \mathrm{AOC}$ અને $\angle \mathrm{BOD}$ (ii) $\angle \mathrm{AOD}$ અને $\angle \mathrm{BOC}$.

આકૃતિ 6.8 : શિરોલંબ સામસામેના ખૂણાઓ

આપણે સાબિત કરવાની જરૂર છે કે $\angle \mathrm{AOC}=\angle \mathrm{BOD}$

અને $\angle \mathrm{AOD}=\angle \mathrm{BOC}$.

હવે, કિરણ $\mathrm{OA}$ રેખા $\mathrm{CD}$ પર ઊભું છે.

તેથી, $\angle \mathrm{AOC}+\angle \mathrm{AOD}=180^{\circ}$

શું આપણે લખી શકીએ $\angle \mathrm{AOD}+\angle \mathrm{BOD}=180^{\circ}$ ? હા! (શા માટે?)

(1) અને (2) પરથી, આપણે લખી શકીએ છીએ

$$\angle \mathrm{AOC}+\angle \mathrm{AOD}=\angle \mathrm{AOD}+\angle \mathrm{BOD}$$

આનો અર્થ એ થાય છે કે $\angle \mathrm{AOC}=\angle \mathrm{BOD} \quad$ (પ્રકરણ 5.2, સ્વસિદ્ધ 3 નો સંદર્ભ લો)

એ જ રીતે, તે સાબિત કરી શકાય છે કે $\angle \mathrm{AOD}=\angle \mathrm{BOC}$

હવે, ચાલો રેખીય જોડી સ્વસિદ્ધ અને પ્રમેય 6.1 પર આધારિત કેટલાક ઉદાહરણો કરીએ.

ઉદાહરણ 1 : આકૃતિ 6.9 માં, રેખાઓ PQ અને RS એકબીજાને બિંદુ $O$ પર છેદે છે. જો $\angle \mathrm{POR}: \angle \mathrm{ROQ}=5: 7$ હોય, તો બધા ખૂણાઓ શોધો.

ઉકેલ : $\angle \mathrm{POR}+\angle \mathrm{ROQ}=180^{\circ}$

(રેખીય જોડીના ખૂણાઓ)

પરંતુ $\angle \mathrm{POR}: \angle \mathrm{ROQ}=5: 7$ (આપેલ)

તેથી, $\quad \angle \mathrm{POR}=\frac{5}{12} \times 180^{\circ}=75^{\circ}$

એ જ રીતે, $\quad \angle \mathrm{ROQ}=\frac{7}{12} \times 180^{\circ}=105^{\circ}$

હવે, $$\begin{aligned} & \angle \mathrm{POS}=\angle \mathrm{ROQ}=105^{\circ} \\ & \angle \mathrm{SOQ}=\angle \mathrm{POR}=75^{\circ} \end{aligned}$$

ઉદાહરણ 2 : આકૃતિ 6.10 માં, કિરણ OS એક રેખા POQ પર ઊભું છે. કિરણ OR અને કિરણ OT અનુક્રમે $\angle \mathrm{POS}$ અને $\angle \mathrm{SOQ}$ ના ખૂણા દ્વિભાજકો છે. જો $\angle \mathrm{POS}=x$ હોય, તો $\angle \mathrm{ROT}$ શોધો.

ઉકેલ : કિરણ OS રેખા POQ પર ઊભું છે.

તેથી,

$\angle \mathrm{POS}+\angle \mathrm{SOQ}=180^{\circ}$

પરંતુ,

$$\angle \mathrm{POS}=x$$

તેથી, તેથી,

$x+\angle \mathrm{SOQ} =180^{\circ} \\ \angle \mathrm{SOQ} =180^{\circ}-x$

હવે, કિરણ OR એ $\angle \mathrm{POS}$ ને દ્વિભાજિત કરે છે, તેથી,

આકૃતિ 6.10

$$ \begin{aligned} \angle \mathrm{ROS} & =\frac{1}{2} \times \angle \mathrm{POS} \\ & =\frac{1}{2} \times x=\frac{x}{2} \end{aligned} $$

એ જ રીતે,

$$ \begin{aligned} \angle \mathrm{SOT} & =\frac{1}{2} \times \angle \mathrm{SOQ} \\ & =\frac{1}{2} \times\left(180^{\circ}-x\right) \\ & =90^{\circ}-\frac{x}{2} \end{aligned} $$

હવે,

$$ \begin{aligned} \angle \mathrm{ROT} & =\angle \mathrm{ROS}+\angle \mathrm{SOT} \\ & =\frac{x}{2}+90^{\circ}-\frac{x}{2} \\ & =90^{\circ} \end{aligned} $$

ઉદાહરણ 3 : આકૃતિ 6.11 માં, OP, OQ, OR અને OS ચાર કિરણો છે. સાબિત કરો કે $\angle \mathrm{POQ}+\angle \mathrm{QOR}+\angle \mathrm{SOR}+$ $\angle \mathrm{POS}=360^{\circ}$.

ઉકેલ : આકૃતિ 6.11 માં, તમારે કોઈ પણ એક કિરણ $\mathrm{OP}, \mathrm{OQ}$, OR અથવા OS ને પાછળ એક બિંદુ સુધી લંબાવવાની જરૂર છે. ચાલો કિરણ $\mathrm{OQ}$ ને પાછળ બિંદુ $\mathrm{T}$ સુધી લંબાવીએ જેથી TOQ એક રેખા બને (જુઓ આકૃતિ 6.12).

આકૃતિ 6.11

હવે, કિરણ OP રેખા TOQ પર ઊભું છે.

તેથી,

$\angle \mathrm{TOP}+\angle \mathrm{POQ}=180^{\circ}$

(રેખીય જોડી સ્વસિદ્ધ)

એ જ રીતે, કિરણ OS રેખા TOQ પર ઊભું છે.

તેથી,

$\angle \mathrm{TOS}+\angle \mathrm{SOQ}=180^{\circ}$

$\angle \mathrm{SOQ}=\angle \mathrm{SOR}+\angle \mathrm{QOR}$

તેથી, (2) બને છે

આકૃતિ 6.12

$$ \begin{equation*} \angle \mathrm{TOS}+\angle \mathrm{SOR}+\angle \mathrm{QOR}=180^{\circ} \tag{3} \end{equation*} $$

હવે, (1) અને (3) નો સરવાળો કરતાં, તમને મળે છે

$$ \begin{equation*} \angle \mathrm{TOP}+\angle \mathrm{POQ}+\angle \mathrm{TOS}+\angle \mathrm{SOR}+\angle \mathrm{QOR}=360^{\circ} \tag{4} \end{equation*} $$

પરંતુ

$\angle \mathrm{TOP}+\angle \mathrm{TOS}=\angle \mathrm{POS}$