6.1 ആമുഖം

അധ്യായം 5-ൽ, ഒരു വര വരയ്ക്കാൻ കുറഞ്ഞത് രണ്ട് ബിന്ദുക്കൾ ആവശ്യമാണെന്ന് നിങ്ങൾ പഠിച്ചു. കുറച്ച് സിദ്ധാന്തങ്ങളും നിങ്ങൾ പഠിച്ചു, ഈ സിദ്ധാന്തങ്ങളുടെ സഹായത്തോടെ മറ്റ് ചില പ്രസ്താവനകൾ നിങ്ങൾ തെളിയിച്ചു. ഈ അധ്യായത്തിൽ, രണ്ട് വരകൾ പരസ്പരം ഛേദിക്കുമ്പോൾ രൂപപ്പെടുന്ന കോണുകളുടെ സവിശേഷതകളും, ഒരു വര രണ്ടോ അതിലധികമോ സമാന്തര വരകളെ വ്യത്യസ്ത ബിന്ദുക്കളിൽ ഛേദിക്കുമ്പോൾ രൂപപ്പെടുന്ന കോണുകളുടെ സവിശേഷതകളും നിങ്ങൾ പഠിക്കും. കൂടാതെ, ഈ സവിശേഷതകൾ ഉപയോഗിച്ച് നിഗമനാത്മക യുക്തി (അനുബന്ധം 1 കാണുക) ഉപയോഗിച്ച് ചില പ്രസ്താവനകൾ തെളിയിക്കാനും നിങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കും. മുമ്പത്തെ ക്ലാസുകളിലെ ചില പ്രവർത്തനങ്ങളിലൂടെ ഈ പ്രസ്താവനകൾ നിങ്ങൾ ഇതിനകം തന്നെ പരിശോധിച്ചിട്ടുണ്ട്.

നിങ്ങളുടെ ദൈനംദിന ജീവിതത്തിൽ, സമതല പ്രതലങ്ങളുടെ അരികുകൾക്കിടയിൽ രൂപപ്പെടുന്ന വിവിധ തരം കോണുകൾ നിങ്ങൾ കാണുന്നു. സമതല പ്രതലങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് സമാനമായ മാതൃക നിർമ്മിക്കാൻ, കോണുകളെക്കുറിച്ചുള്ള സമഗ്രമായ അറിവ് നിങ്ങൾക്ക് ആവശ്യമാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, നിങ്ങൾക്ക് വിദ്യാലയ പ്രദർശനത്തിൽ വയ്ക്കാൻ മുള കമ്പികൾ ഉപയോഗിച്ച് ഒരു കുടിലിന്റെ മാതൃക നിർമ്മിക്കണമെന്ന് കരുതുക. അത് നിങ്ങൾ എങ്ങനെ നിർമ്മിക്കുമെന്ന് സങ്കൽപ്പിക്കുക? കുറച്ച് കമ്പികൾ പരസ്പരം സമാന്തരമായി നിങ്ങൾ സൂക്ഷിക്കും, കുറച്ച് കമ്പികൾ ചരിഞ്ഞ് സൂക്ഷിക്കും. ഒരു വാസ്തുശില്പിക്ക് ഒരു ബഹുനില കെട്ടിടത്തിനായി പ്ലാൻ വരയ്ക്കേണ്ടിവരുമ്പോഴെല്ലാം, വിവിധ കോണുകളിൽ ഛേദിക്കുന്ന വരകളും സമാന്തര വരകളും അവർ വരയ്ക്കേണ്ടിവരും. ഈ വരകളുടെയും കോണുകളുടെയും സവിശേഷതകളെക്കുറിച്ചുള്ള അറിവില്ലാതെ, കെട്ടിടത്തിന്റെ ലേഔട്ട് അവർക്ക് വരയ്ക്കാൻ കഴിയുമെന്ന് നിങ്ങൾ കരുതുന്നുണ്ടോ?

ശാസ്ത്രത്തിൽ, രശ്മി ചിത്രങ്ങൾ വരച്ചുകൊണ്ട് നിങ്ങൾ പ്രകാശത്തിന്റെ സവിശേഷതകൾ പഠിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, പ്രകാശം ഒരു മാധ്യമത്തിൽ നിന്ന് മറ്റൊരു മാധ്യമത്തിലേക്ക് പ്രവേശിക്കുമ്പോൾ അതിന്റെ അപവർത്തന സവിശേഷത പഠിക്കാൻ, നിങ്ങൾ ഛേദിക്കുന്ന വരകളുടെയും സമാന്തര വരകളുടെയും സവിശേഷതകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു. രണ്ടോ അതിലധികമോ ബലങ്ങൾ ഒരു വസ്തുവിൽ പ്രവർത്തിക്കുമ്പോൾ, വസ്തുവിലെ ബലങ്ങളുടെ നെറ്റ് ഫലം പഠിക്കാൻ ബലങ്ങളെ നിർദ്ദേശിത വരാ ഖണ്ഡങ്ങളായി പ്രതിനിധീകരിക്കുന്ന ചിത്രം നിങ്ങൾ വരയ്ക്കുന്നു. അപ്പോൾ, രശ്മികൾ (അല്ലെങ്കിൽ വരാ ഖണ്ഡങ്ങൾ) പരസ്പരം സമാന്തരമാകുമ്പോഴോ ഛേദിക്കുമ്പോഴോ ഉള്ള കോണുകൾ തമ്മിലുള്ള ബന്ധം നിങ്ങൾ അറിയേണ്ടതുണ്ട്. ഒരു ടവറിന്റെ ഉയരം കണ്ടെത്താനോ ഒരു കപ്പലിന്റെ ദൂരം ലൈറ്റ് ഹൗസിൽ നിന്ന് കണ്ടെത്താനോ, തിരശ്ചീനവും കാഴ്ച രേഖയും തമ്മിൽ രൂപപ്പെടുന്ന കോൺ അറിയേണ്ടതുണ്ട്. വരകളും കോണുകളും ഉപയോഗിക്കുന്ന മറ്റ് ധാരാളം ഉദാഹരണങ്ങൾ നൽകാം. ജ്യാമിതിയുടെ തുടർന്നുള്ള അധ്യായങ്ങളിൽ, കൂടുതൽ കൂടുതൽ ഉപയോഗപ്രദമായ സവിശേഷതകൾ നിഗമിപ്പിക്കാൻ നിങ്ങൾ ഈ വരകളുടെയും കോണുകളുടെയും സവിശേഷതകൾ ഉപയോഗിക്കും.

മുമ്പത്തെ ക്ലാസുകളിൽ പഠിച്ച വരകളുമായും കോണുകളുമായും ബന്ധപ്പെട്ട പദങ്ങളും നിർവചനങ്ങളും ആദ്യം നമുക്ക് ആവർത്തിക്കാം.

6.2 അടിസ്ഥാന പദങ്ങളും നിർവചനങ്ങളും

രണ്ട് അറ്റബിന്ദുക്കളുള്ള ഒരു വരയുടെ ഒരു ഭാഗത്തെ (അല്ലെങ്കിൽ ഭാഗത്തെ) വരാ ഖണ്ഡം എന്നും ഒരു അറ്റബിന്ദുവുള്ള ഒരു വരയുടെ ഭാഗത്തെ രശ്മി എന്നും വിളിക്കുന്നുവെന്ന് ഓർക്കുക. വരാ ഖണ്ഡം $A B$ നെ $\overline{\mathrm{AB}}$ എന്നും അതിന്റെ നീളം $\mathrm{AB}$ എന്നും സൂചിപ്പിക്കുന്നു എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക. രശ്മി $\mathrm{AB}$ നെ $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ എന്നും ഒരു വരയെ $\overleftrightarrow{A B}$ എന്നും സൂചിപ്പിക്കുന്നു. എന്നിരുന്നാലും, ഈ ചിഹ്നങ്ങൾ ഞങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കില്ല, വരാ ഖണ്ഡം $\mathrm{AB}$, രശ്മി $\mathrm{AB}$, നീളം $\mathrm{AB}$, വര $\mathrm{AB}$ എന്നിവ ഒരേ ചിഹ്നമായ $\mathrm{AB}$ ഉപയോഗിച്ച് സൂചിപ്പിക്കും. അർത്ഥം സന്ദർഭത്തിൽ നിന്ന് വ്യക്തമാകും. ചിലപ്പോൾ ചെറിയ അക്ഷരങ്ങൾ $l, m, n$ മുതലായവ വരകൾ സൂചിപ്പിക്കാൻ ഉപയോഗിക്കും.

മൂന്നോ അതിലധികമോ ബിന്ദുക്കൾ ഒരേ വരയിൽ കിടക്കുകയാണെങ്കിൽ, അവയെ സരേഖീയ ബിന്ദുക്കൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു; അല്ലാത്തപക്ഷം അവയെ അസരേഖീയ ബിന്ദുക്കൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

രണ്ട് രശ്മികൾ ഒരേ അറ്റബിന്ദുവിൽ നിന്ന് ഉത്ഭവിക്കുമ്പോൾ ഒരു കോൺ രൂപപ്പെടുന്നുവെന്ന് ഓർക്കുക. ഒരു കോൺ ഉണ്ടാക്കുന്ന രശ്മികളെ കോണിന്റെ ഭുജങ്ങൾ എന്നും അറ്റബിന്ദുവിനെ കോണിന്റെ ശീർഷം എന്നും വിളിക്കുന്നു. മുമ്പത്തെ ക്ലാസുകളിൽ നിങ്ങൾ വിവിധ തരം കോണുകൾ പഠിച്ചിട്ടുണ്ട്, ഉദാഹരണത്തിന് ന്യൂനകോൺ, ലംബകോൺ, വിരലംബകോൺ, സരളകോൺ, പ്രതികോൺ എന്നിവ (ചിത്രം 6.1 കാണുക).

ചിത്രം 6.1 : കോണുകളുടെ തരങ്ങൾ

ഒരു ന്യൂനകോൺ $0^{\circ}$ നും $90^{\circ}$ നും ഇടയിലാണ് അളക്കുന്നത്, അതേസമയം ഒരു ലംബകോൺ കൃത്യമായി $90^{\circ}$ ന് തുല്യമാണ്. $90^{\circ}$ നേക്കാൾ വലുതും $180^{\circ}$ നേക്കാൾ ചെറുതുമായ ഒരു കോണിനെ വിരലംബകോൺ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. കൂടാതെ, ഒരു സരളകോൺ $180^{\circ}$ ന് തുല്യമാണെന്ന് ഓർക്കുക. $180^{\circ}$ നേക്കാൾ വലുതും $360^{\circ}$ നേക്കാൾ ചെറുതുമായ ഒരു കോണിനെ പ്രതികോൺ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. കൂടുതലായി, ആകെത്തുക $90^{\circ}$ ആയ രണ്ട് കോണുകളെ പൂരക കോണുകൾ എന്നും ആകെത്തുക $180^{\circ}$ ആയ രണ്ട് കോണുകളെ സംപൂരക കോണുകൾ എന്നും വിളിക്കുന്നു.

മുമ്പത്തെ ക്ലാസുകളിൽ അടുത്തടുത്തുള്ള കോണുകളെക്കുറിച്ചും നിങ്ങൾ പഠിച്ചിട്ടുണ്ട് (ചിത്രം 6.2 കാണുക). രണ്ട് കോണുകൾക്ക് ഒരു പൊതു ശീർഷവും, ഒരു പൊതു ഭുജവും, അവയുടെ പൊതുവല്ലാത്ത ഭുജങ്ങൾ പൊതു ഭുജത്തിന്റെ വിവിധ വശങ്ങളിലായിരിക്കുകയും ചെയ്താൽ, അവ അടുത്തടുത്തുള്ള കോണുകളാണ്. ചിത്രം 6.2-ൽ, $\angle \mathrm{ABD}$ ഉം $\angle \mathrm{DBC}$ ഉം അടുത്തടുത്തുള്ള കോണുകളാണ്. രശ്മി $\mathrm{BD}$ അവയുടെ പൊതു ഭുജവും ബിന്ദു $\mathrm{B}$ അവയുടെ പൊതു ശീർഷവുമാണ്. രശ്മി $\mathrm{BA}$ ഉം രശ്മി $\mathrm{BC}$ ഉം പൊതുവല്ലാത്ത ഭുജങ്ങളാണ്. മാത്രമല്ല, രണ്ട് കോണുകൾ അടുത്തടുത്തുള്ളവയാകുമ്പോൾ, അവയുടെ ആകെത്തുക എല്ലായ്പ്പോഴും രണ്ട് പൊതുവല്ലാത്ത ഭുജങ്ങൾ ഉണ്ടാക്കുന്ന കോണിന് തുല്യമായിരിക്കും. അതിനാൽ, നമുക്ക് എഴുതാം

$\angle \mathrm{ABC}=\angle \mathrm{ABD}+\angle \mathrm{DBC} .$

$\angle \mathrm{ABC}$ ഉം $\angle \mathrm{ABD}$ ഉം അടുത്തടുത്തുള്ള കോണുകളല്ല എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക. എന്തുകൊണ്ട്? കാരണം അവയുടെ പൊതുവല്ലാത്ത ഭുജങ്ങൾ $\mathrm{BD}$ ഉം $\mathrm{BC}$ ഉം പൊതു ഭുജമായ BA യുടെ ഒരേ വശത്താണ് കിടക്കുന്നത്.

ചിത്രം 6.2-ൽ പൊതുവല്ലാത്ത ഭുജങ്ങൾ $\mathrm{BA}$ ഉം $\mathrm{BC}$ ഉം ഒരു വര ഉണ്ടാക്കുകയാണെങ്കിൽ, അത് ചിത്രം 6.3 പോലെ കാണപ്പെടും. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, $\angle \mathrm{ABD}$ ഉം $\angle \mathrm{DBC}$ ഉം രേഖീയ ജോടി കോണുകൾ എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നു.

ചിത്രം 6.3 : രേഖീയ ജോടി കോണുകൾ

രണ്ട് വരകൾ, $\mathrm{AB}$ ഉം $\mathrm{CD}$ ഉം പരസ്പരം ഛേദിക്കുമ്പോൾ, $\mathrm{O}$ എന്ന ബിന്ദുവിൽ (ചിത്രം 6.4 കാണുക) രൂപപ്പെടുന്ന ലംബവിപരീത കോണുകളെക്കുറിച്ചും നിങ്ങൾ ഓർക്കാം. രണ്ട് ജോടി ലംബവിപരീത കോണുകൾ ഉണ്ട്.

ചിത്രം 6.4 : ലംബവിപരീത കോണുകൾ

ഒരു ജോടി $\angle \mathrm{AOD}$ ഉം $\angle \mathrm{BOC}$ ഉം ആണ്. മറ്റേ ജോടി നിങ്ങൾക്ക് കണ്ടെത്താമോ?

6.3 ഛേദിക്കുന്ന വരകളും ഛേദിക്കാത്ത വരകളും

ഒരു പേപ്പറിൽ രണ്ട് വ്യത്യസ്ത വരകൾ PQ ഉം RS ഉം വരയ്ക്കുക. ചിത്രം 6.5 (i) യിലും ചിത്രം 6.5 (ii) യിലും കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ നിങ്ങൾക്ക് അവ രണ്ട് വ്യത്യസ്ത രീതികളിൽ വരയ്ക്കാൻ കഴിയുമെന്ന് നിങ്ങൾ കാണും.

ചിത്രം 6.5 : രണ്ട് വരകൾ വരയ്ക്കുന്നതിന്റെ വ്യത്യസ്ത രീതികൾ

ഒരു വരയുടെ ആശയം ഓർക്കുക, അത് ഇരുവശത്തും അനിശ്ചിതമായി വ്യാപിക്കുന്നു. ചിത്രം 6.5 (i) ലെ PQ, RS എന്നീ വരകൾ ഛേദിക്കുന്ന വരകളാണ്, ചിത്രം 6.5 (ii) ലെ വരകൾ സമാന്തര വരകളാണ്. ഈ സമാന്തര വരകളിലെ വിവിധ ബിന്ദുക്കളിലെ പൊതു ലംബങ്ങളുടെ നീളം ഒന്നുതന്നെയാണെന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക. ഈ തുല്യ നീളത്തെ രണ്ട് സമാന്തര വരകൾ തമ്മിലുള്ള ദൂരം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

6.4 കോണുകളുടെ ജോടികൾ

സെക്ഷൻ 6.2-ൽ, പൂരക കോണുകൾ, സംപൂരക കോണുകൾ, അടുത്തടുത്തുള്ള കോണുകൾ, രേഖീയ ജോടി കോണുകൾ മുതലായവ പോലുള്ള ചില കോണുകളുടെ ജോടികളുടെ നിർവചനങ്ങൾ നിങ്ങൾ പഠിച്ചു. ഈ കോണുകൾ തമ്മിലുള്ള ചില ബന്ധങ്ങളെക്കുറിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് ചിന്തിക്കാമോ? ഇപ്പോൾ, ഒരു രശ്മി ഒരു വരയിൽ നിൽക്കുമ്പോൾ രൂപപ്പെടുന്ന കോണുകൾ തമ്മിലുള്ള ബന്ധം നമുക്ക് കണ്ടെത്താം. ചിത്രം 6.6-ൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ ഒരു രശ്മി ഒരു വരയിൽ നിൽക്കുന്ന ഒരു ചിത്രം വരയ്ക്കുക. വരയെ $\mathrm{AB}$ എന്നും രശ്മിയെ OC എന്നും നാമകരണം ചെയ്യുക. $\mathrm{O}$-ൽ രൂപപ്പെടുന്ന കോണുകൾ ഏതൊക്കെയാണ്? അവ $\angle \mathrm{AOC}, \angle \mathrm{BOC}$ ഉം $\angle \mathrm{AOB}$ ഉം ആണ്.

ചിത്രം 6.6 : രേഖീയ ജോടി കോണുകൾ

നമുക്ക് $\angle \mathrm{AOC}+\angle \mathrm{BOC}=\angle \mathrm{AOB}$ എന്ന് എഴുതാമോ? (1)

അതെ! (എന്തുകൊണ്ട്? സെക്ഷൻ 6.2-ലെ അടുത്തടുത്തുള്ള കോണുകളെ സൂചിപ്പിക്കുക)

$\angle \mathrm{AOB}$ ന്റെ അളവ് എന്താണ്? അത് $180^{\circ}$ ആണ്. (എന്തുകൊണ്ട്?) (2)

(1) ഉം (2) ഉം ഉപയോഗിച്ച്, $\angle \mathrm{AOC}+\angle \mathrm{BOC}=180^{\circ}$ എന്ന് നിങ്ങൾക്ക് പറയാമോ? അതെ! (എന്തുകൊണ്ട്?)

മുകളിലെ ചർചയിൽ നിന്ന്, നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന സിദ്ധാന്തം പ്രസ്താവിക്കാം:

സിദ്ധാന്തം 6.1 : ഒരു രശ്മി ഒരു വരയിൽ നിൽക്കുകയാണെങ്കിൽ, അങ്ങനെ രൂപപ്പെടുന്ന രണ്ട് അടുത്തടുത്തുള്ള കോണുകളുടെ ആകെത്തുക $180^{\circ}$ ആണ്.

രണ്ട് അടുത്തടുത്തുള്ള കോണുകളുടെ ആകെത്തുക $180^{\circ}$ ആകുമ്പോൾ, അവയെ രേഖീയ ജോടി കോണുകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നുവെന്ന് ഓർക്കുക.

സിദ്ധാന്തം 6.1-ൽ, ‘ഒരു രശ്മി ഒരു വരയിൽ നിൽക്കുന്നു’ എന്ന് നൽകിയിരിക്കുന്നു. ഈ ‘നൽകിയിരിക്കുന്നതിൽ’ നിന്ന്, ‘അങ്ങനെ രൂപപ്പെടുന്ന രണ്ട് അടുത്തടുത്തുള്ള കോണുകളുടെ ആകെത്തുക $180^{\circ}$ ആണ്’ എന്ന നിഗമനത്തിലെത്തിയിരിക്കുന്നു. സിദ്ധാന്തം 6.1 മറ്റൊരു രീതിയിൽ നമുക്ക് എഴുതാമോ? അതായത്, സിദ്ധാന്തം 6.1-ന്റെ ‘നിഗമനം’ ‘നൽകിയിരിക്കുന്നതായി’ എടുക്കുക, ‘നൽകിയിരിക്കുന്നത്’ ‘നിഗമനം’ ആയി എടുക്കുക. അതിനാൽ അത് ഇങ്ങനെ ആകുന്നു:

(A) രണ്ട് അടുത്തടുത്തുള്ള കോണുകളുടെ ആകെത്തുക $180^{\circ}$ ആണെങ്കിൽ, ഒരു രശ്മി ഒരു വരയിൽ നിൽക്കുന്നു (അതായത്, പൊതുവല്ലാത്ത ഭുജങ്ങൾ ഒരു വര ഉണ്ടാക്കുന്നു).

ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾ കാണുന്നു, സിദ്ധാന്തം 6.1 ഉം പ്രസ്താവന (A) ഉം ഒരർത്ഥത്തിൽ പരസ്പരം വിപരീതമാണ്. ഓരോന്നിനെയും നമ്മൾ മറ്റേതിന്റെ വിപരീതം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. പ്രസ്താവന (A) ശരിയാണോ അല്ലയോ എന്ന് നമുക്ക് അറിയില്ല. നമുക്ക് പരിശോധിക്കാം. ചിത്രം 6.7-ൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ വ്യത്യസ്ത അളവുകളുള്ള അടുത്തടുത്തുള്ള കോണുകൾ വരയ്ക്കുക. ഓരോ കേസിലും പൊതുവല്ലാത്ത ഭുജങ്ങളിലൊന്നിൽ റൂളർ സ്ഥാപിക്കുക. മറ്റേ പൊതുവല്ലാത്ത ഭുജവും റൂളർ ഉപയോഗിച്ച് കിടക്കുന്നുണ്ടോ?

ചിത്രം 6.7 : വ്യത്യസ്ത അളവുകളുള്ള അടുത്തടുത്തുള്ള കോണുകൾ

ചിത്രം 6.7 (iii) ൽ മാത്രമാണ് രണ്ട് പൊതുവല്ലാത്ത ഭുജങ്ങളും റൂളർ ഉപയോഗിച്ച് കിടക്കുന്നത്, അതായത്, ബിന്ദുക്കൾ $\mathrm{A}, \mathrm{O}$ ഉം $\mathrm{B}$ ഉം ഒരേ വരയിലാണ് കിടക്കുന്നത്, രശ്മി $\mathrm{OC}$ അതിൽ നിൽക്കുന്നു. $\angle \mathrm{AOC}+\angle \mathrm{COB}=125^{\circ}+55^{\circ}=180^{\circ}$ എന്നതും കാണുക. ഇതിൽ നിന്ന്, പ്രസ്താവന (A) ശരിയാണെന്ന് നിങ്ങൾ നിഗമനം ചെയ്യാം. അതിനാൽ, ഇനിപ്പറയുന്ന ഒരു സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ രൂപത്തിൽ നിങ്ങൾക്ക് പ്രസ്താവിക്കാം:

സിദ്ധാന്തം 6.2 : രണ്ട് അടുത്തടുത്തുള്ള കോണുകളുടെ ആകെത്തുക $180^{\circ}$ ആണെങ്കിൽ, കോണുകളുടെ പൊതുവല്ലാത്ത ഭുജങ്ങൾ ഒരു വര ഉണ്ടാക്കുന്നു.

വ്യക്തമായ കാരണങ്ങളാൽ, മുകളിലെ രണ്ട് സിദ്ധാന്തങ്ങളെയും ഒരുമിച്ച് രേഖീയ ജോടി സിദ്ധാന്തം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

രണ്ട് വരകൾ പരസ്പരം ഛേദിക്കുമ്പോഴുള്ള കേസ് ഇപ്പോൾ നമുക്ക് പരിശോധിക്കാം.

മുമ്പത്തെ ക്ലാസുകളിൽ നിന്ന് ഓർക്കുക, രണ്ട് വരകൾ ഛേദിക്കുമ്പോൾ, ലംബവിപരീത കോണുകൾ തുല്യമാണ്. ഈ ഫലം ഇപ്പോൾ നമുക്ക് തെളിയിക്കാം. ഒരു തെളിവിന്റെ ഘടകങ്ങൾക്കായി അനുബന്ധം 1 കാണുക, താഴെ നൽകിയിരിക്കുന്ന തെളിവ് പഠിക്കുമ്പോൾ അവ മനസ്സിൽ സൂക്ഷിക്കുക.

സിദ്ധാന്തം 6.1 : രണ്ട് വരകൾ പരസ്പരം ഛേദിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ലംബവിപരീത കോണുകൾ തുല്യമാണ്.

തെളിവ് : മുകളിലെ പ്രസ്താവനയിൽ, ‘രണ്ട് വരകൾ പരസ്പരം ഛേദിക്കുന്നു’ എന്ന് നൽകിയിരിക്കുന്നു. അതിനാൽ, $\mathrm{AB}$ ഉം $\mathrm{CD}$ ഉം ചിത്രം 6.8-ൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ $\mathrm{O}$ എന്ന ബിന്ദുവിൽ ഛേദിക്കുന്ന രണ്ട് വരകളായിരിക്കട്ടെ. അവ രണ്ട് ജോടി ലംബവിപരീത കോണുകളിലേക്ക് നയിക്കുന്നു, അതായത്,

(i) $\angle \mathrm{AOC}$ ഉം $\angle \mathrm{BOD}$ ഉം (ii) $\angle \mathrm{AOD}$ ഉം $\angle \mathrm{BOC}$ ഉം.

ചിത്രം 6.8 : ലംബവിപരീത കോണുകൾ

$\angle \mathrm{AOC}=\angle \mathrm{BOD}$ എന്ന് നമുക്ക് തെളിയിക്കേണ്ടതുണ്ട്

ഒപ്പം $\angle \mathrm{AOD}=\angle \mathrm{BOC}$.

ഇപ്പോൾ, രശ്മി $\mathrm{OA}$ വര $\mathrm{CD}$-ൽ നിൽക്കുന്നു.

അതിനാൽ, $\angle \mathrm{AOC}+\angle \mathrm{AOD}=180^{\circ}$

നമുക്ക് $\angle \mathrm{AOD}+\angle \mathrm{BOD}=180^{\circ}$ എന്ന് എഴുതാമോ? അതെ! (എന്തുകൊണ്ട്?)

(1) ഉം (2) ഉം ഉപയോഗിച്ച്, നമുക്ക് എഴുതാം

$$\angle \mathrm{AOC}+\angle \mathrm{AOD}=\angle \mathrm{AOD}+\angle \mathrm{BOD}$$

ഇത് $\angle \mathrm{AOC}=\angle \mathrm{BOD} \quad$ എന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്നു (സെക്ഷൻ 5.2, സിദ്ധാന്തം 3 സൂചിപ്പിക്കുക)

അതുപോലെ, $\angle \mathrm{AOD}=\angle \mathrm{BOC}$ എന്ന് തെളിയിക്കാം

ഇപ്പോൾ, രേഖീയ ജോടി സിദ്ധാന്തത്തെയും സിദ്ധാന്തം 6.1-നെയും അടിസ്ഥാനമാക്കി ചില ഉദാഹരണങ്ങൾ നമുക്ക് ചെയ്യാം.

ഉദാഹരണം 1 : ചിത്രം 6.9-ൽ, PQ, RS എന്നീ വരകൾ പരസ്പരം $O$ എന്ന ബിന്ദുവിൽ ഛേദിക്കുന്നു. $\angle \mathrm{POR}: \angle \mathrm{ROQ}=5: 7$ ആണെങ്കിൽ, എല്ലാ കോണുകളും കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം : $\angle \mathrm{POR}+\angle \mathrm{ROQ}=180^{\circ}$

(രേഖീയ ജോടി കോണുകൾ)

എന്നാൽ $\angle \mathrm{POR}: \angle \mathrm{ROQ}=5: 7$ (നൽകിയിരിക്കുന്നു)

അതിനാൽ, $\quad \angle \mathrm{POR}=\frac{5}{12} \times 180^{\circ}=75^{\circ}$

അതുപോലെ, $\quad \angle \mathrm{ROQ}=\frac{7}{12} \times 180^{\circ}=105^{\circ}$

ഇപ്പോൾ, $$\begin{aligned} & \angle \mathrm{POS}=\angle \mathrm{ROQ}=105^{\circ} \\ & \angle \mathrm{SOQ}=\angle \mathrm{POR}=75^{\circ} \end{aligned}$$

ഉദാഹരണം 2 : ചിത്രം