6.1 పరిచయం

మీరు అధ్యాయం 5 లో, ఒక రేఖను గీయడానికి కనీసం రెండు బిందువులు అవసరమని అధ్యయనం చేసారు. మీరు కొన్ని స్వయం సిద్ధాలను కూడా అధ్యయనం చేసారు మరియు ఈ స్వయం సిద్ధాల సహాయంతో, మీరు కొన్ని ఇతర ప్రవచనాలను నిరూపించారు. ఈ అధ్యాయంలో, మీరు రెండు రేఖలు ఒకదానితో ఒకటి ఖండించుకున్నప్పుడు ఏర్పడే కోణాల లక్షణాలు మరియు ఒక రేఖ రెండు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ సమాంతర రేఖలను విభిన్న బిందువుల వద్ద ఖండించినప్పుడు ఏర్పడే కోణాల లక్షణాలను అధ్యయనం చేస్తారు. ఇంకా మీరు ఈ లక్షణాలను ఉపయోగించి, నిగమన తార్కికత ద్వారా (పరిశీలన 1 చూడండి) కొన్ని ప్రవచనాలను నిరూపిస్తారు. మీరు ఈ ప్రవచనాలను ఇంతకు ముందు తరగతుల్లోని కొన్ని కృత్యాల ద్వారా ధృవీకరించారు.

మీ రోజువారీ జీవితంలో, మీరు సమతల ఉపరితలాల అంచుల మధ్య ఏర్పడే వివిధ రకాల కోణాలను చూస్తారు. సమతల ఉపరితలాలను ఉపయోగించి ఇదే విధమైన నమూనాను తయారు చేయడానికి, మీకు కోణాల గురించి సంపూర్ణ జ్ఞానం ఉండాలి. ఉదాహరణకు, మీరు బాంబు కర్రలను ఉపయోగించి పాఠశాల ప్రదర్శనలో ఉంచడానికి ఒక గుడిసె నమూనాను తయారు చేయాలనుకుంటున్నారని అనుకోండి. మీరు దానిని ఎలా తయారు చేస్తారో ఊహించగలరా? మీరు కొన్ని కర్రలను ఒకదానికొకటి సమాంతరంగా ఉంచుతారు మరియు కొన్ని కర్రలు వాలుగా ఉంచబడతాయి. ఒక వాస్తుశిల్పి బహుళ అంతస్థుల భవనం కోసం ప్రణాళికను గీయవలసి వచ్చినప్పుడల్లా, ఆమె వివిధ కోణాల వద్ద ఖండించే రేఖలు మరియు సమాంతర రేఖలను గీయాలి. ఈ రేఖలు మరియు కోణాల లక్షణాల జ్ఞానం లేకుండా, ఆమె భవనం యొక్క లేఅవుట్ను గీయగలదని మీరు అనుకుంటున్నారా?

విజ్ఞాన శాస్త్రంలో, మీరు కిరణ చిత్రాలను గీయడం ద్వారా కాంతి యొక్క లక్షణాలను అధ్యయనం చేస్తారు. ఉదాహరణకు, కాంతి ఒక మాధ్యమం నుండి మరొక మాధ్యమంలోకి ప్రవేశించినప్పుడు దాని వక్రీభవన లక్షణాన్ని అధ్యయనం చేయడానికి, మీరు ఖండించే రేఖలు మరియు సమాంతర రేఖల లక్షణాలను ఉపయోగిస్తారు. రెండు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ బలాలు ఒక వస్తువుపై పనిచేసినప్పుడు, వస్తువుపై బలాల నికర ప్రభావాన్ని అధ్యయనం చేయడానికి బలాలు దర్శకత్వం వహించిన రేఖా ఖండాల ద్వారా సూచించబడే చిత్రాన్ని మీరు గీస్తారు. ఆ సమయంలో, కిరణాలు (లేదా రేఖా ఖండాలు) సమాంతరంగా ఉన్నప్పుడు లేదా ఒకదానితో ఒకటి ఖండించుకున్నప్పుడు కోణాల మధ్య సంబంధం మీరు తెలుసుకోవాలి. ఒక గోపురం యొక్క ఎత్తును కనుగొనడానికి లేదా కాంతి గోపురం నుండి ఓడ యొక్క దూరాన్ని కనుగొనడానికి, క్షితిజ సమాంతరం మరియు దృష్టి రేఖ మధ్య ఏర్పడే కోణం తెలుసుకోవాలి. రేఖలు మరియు కోణాలు ఉపయోగించబడే అనేక ఇతర ఉదాహరణలు ఇవ్వవచ్చు. జ్యామితి యొక్క తదుపరి అధ్యాయాలలో, మీరు మరింత ఉపయోగకరమైన లక్షణాలను నిగమించడానికి ఈ రేఖలు మరియు కోణాల లక్షణాలను ఉపయోగిస్తారు.

ముందుగా, ఇంతకు ముందు తరగతుల్లో నేర్చుకున్న రేఖలు మరియు కోణాలకు సంబంధించిన పదాలు మరియు నిర్వచనాలను సవరించుకుందాం.

6.2 ప్రాథమిక పదాలు మరియు నిర్వచనాలు

రెండు అంచు బిందువులు ఉన్న రేఖ యొక్క భాగాన్ని (లేదా భాగాన్ని) రేఖా ఖండం అని మరియు ఒక అంచు బిందువు ఉన్న రేఖ యొక్క భాగాన్ని కిరణం అని గుర్తుచేసుకోండి. రేఖా ఖండం $A B$ ను $\overline{\mathrm{AB}}$ ద్వారా సూచిస్తారు మరియు దాని పొడవును $\mathrm{AB}$ ద్వారా సూచిస్తారు. కిరణం $\mathrm{AB}$ ను $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ ద్వారా సూచిస్తారు మరియు ఒక రేఖను $\overleftrightarrow{A B}$ ద్వారా సూచిస్తారు. అయితే, మేము ఈ చిహ్నాలను ఉపయోగించము మరియు రేఖా ఖండం $\mathrm{AB}$, కిరణం $\mathrm{AB}$, పొడవు $\mathrm{AB}$ మరియు రేఖ $\mathrm{AB}$ ను ఒకే చిహ్నం, $\mathrm{AB}$ ద్వారా సూచిస్తాము. అర్థం సందర్భం నుండి స్పష్టంగా ఉంటుంది. కొన్నిసార్లు చిన్న అక్షరాలు $l, m, n$, మొదలైనవి రేఖలను సూచించడానికి ఉపయోగించబడతాయి.

మూడు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ బిందువులు ఒకే రేఖపై ఉంటే, వాటిని సరేఖీయ బిందువులు అంటారు; లేకపోతే వాటిని అసరేఖీయ బిందువులు అంటారు.

రెండు కిరణాలు ఒకే అంచు బిందువు నుండి ఉద్భవించినప్పుడు ఒక కోణం ఏర్పడుతుందని గుర్తుచేసుకోండి. కోణాన్ని తయారు చేసే కిరణాలను కోణం యొక్క భుజాలు అని మరియు అంచు బిందువును కోణం యొక్క శీర్షం అంటారు. మీరు ఇంతకు ముందు తరగతులలో వివిధ రకాల కోణాలను, అలాగే అల్ప కోణం, లంబ కోణం, అధిక కోణం, సరళ కోణం మరియు పరావర్తన కోణం అధ్యయనం చేసారు (Fig. 6.1 చూడండి).

Fig. 6.1 : కోణాల రకాలు

ఒక అల్ప కోణం $0^{\circ}$ మరియు $90^{\circ}$ మధ్య కొలుస్తుంది, అయితే ఒక లంబ కోణం సరిగ్గా $90^{\circ}$ కు సమానం. $90^{\circ}$ కంటే ఎక్కువ కానీ $180^{\circ}$ కంటే తక్కువ ఉన్న కోణాన్ని అధిక కోణం అంటారు. అలాగే, ఒక సరళ కోణం $180^{\circ}$ కు సమానమని గుర్తుచేసుకోండి. $180^{\circ}$ కంటే ఎక్కువ కానీ $360^{\circ}$ కంటే తక్కువ ఉన్న కోణాన్ని పరావర్తన కోణం అంటారు. ఇంకా, మొత్తం $90^{\circ}$ అయ్యే రెండు కోణాలను పూరక కోణాలు అని మరియు మొత్తం $180^{\circ}$ అయ్యే రెండు కోణాలను సంపూరక కోణాలు అని అంటారు.

మీరు ఇంతకు ముందు తరగతులలో ఆసన్న కోణాల గురించి కూడా అధ్యయనం చేసారు (Fig. 6.2 చూడండి). రెండు కోణాలు ఆసన్నంగా ఉంటాయి, వాటికి ఉమ్మడి శీర్షం, ఉమ్మడి భుజం ఉంటే మరియు వాటి అసాధారణ భుజాలు ఉమ్మడి భుజానికి వేర్వేరు వైపుల ఉంటే. Fig. 6.2 లో, $\angle \mathrm{ABD}$ మరియు $\angle \mathrm{DBC}$ ఆసన్న కోణాలు. కిరణం $\mathrm{BD}$ వాటి ఉమ్మడి భుజం మరియు బిందువు $\mathrm{B}$ వాటి ఉమ్మడి శీర్షం. కిరణం $\mathrm{BA}$ మరియు కిరణం $\mathrm{BC}$ అసాధారణ భుజాలు. అంతేకాకుండా, రెండు కోణాలు ఆసన్నంగా ఉన్నప్పుడు, అప్పుడు వాటి మొత్తం ఎల్లప్పుడూ రెండు అసాధారణ భుజాలచే ఏర్పడిన కోణానికి సమానంగా ఉంటుంది. కాబట్టి, మనం వ్రాయవచ్చు

$\angle \mathrm{ABC}=\angle \mathrm{ABD}+\angle \mathrm{DBC} .$

$\angle \mathrm{ABC}$ మరియు $\angle \mathrm{ABD}$ ఆసన్న కోణాలు కావు అని గమనించండి. ఎందుకు? ఎందుకంటే వాటి అసాధారణ భుజాలు $\mathrm{BD}$ మరియు $\mathrm{BC}$ ఉమ్మడి భుజం BA యొక్క ఒకే వైపు ఉంటాయి.

Fig. 6.2 లో అసాధారణ భుజాలు $\mathrm{BA}$ మరియు $\mathrm{BC}$ ఒక రేఖను ఏర్పరిస్తే, అది Fig. 6.3 లాగా కనిపిస్తుంది. ఈ సందర్భంలో, $\angle \mathrm{ABD}$ మరియు $\angle \mathrm{DBC}$ లను రేఖీయ జత కోణాలు అంటారు.

Fig. 6.3 : రేఖీయ జత కోణాలు

రెండు రేఖలు, $\mathrm{AB}$ మరియు $\mathrm{CD}$, ఒకదానితో ఒకటి ఖండించుకున్నప్పుడు ఏర్పడే శీర్షాభిముఖ కోణాలను కూడా మీరు గుర్తుచేసుకోవచ్చు, బిందువు $\mathrm{O}$ వద్ద అనుకోండి (Fig. 6.4 చూడండి). శీర్షాభిముఖ కోణాల యొక్క రెండు జతలు ఉన్నాయి.

Fig. 6.4 : శీర్షాభిముఖ కోణాలు

ఒక జత $\angle \mathrm{AOD}$ మరియు $\angle \mathrm{BOC}$. మీరు మరొక జతను కనుగొనగలరా?

6.3 ఖండించే రేఖలు మరియు ఖండించని రేఖలు

ఒక కాగితంపై రెండు వేర్వేరు రేఖలు PQ మరియు RS లను గీయండి. మీరు Fig. 6.5 (i) మరియు Fig. 6.5 (ii) లో చూపిన విధంగా రెండు వేర్వేరు మార్గాల్లో వాటిని గీయగలరని మీరు చూస్తారు.

Fig. 6.5 : రెండు రేఖలను గీయడానికి వేర్వేరు మార్గాలు

ఒక రేఖ యొక్క భావనను గుర్తుచేసుకోండి, అది రెండు దిశల్లోనూ అనిశ్చితంగా విస్తరించి ఉంటుంది. Fig. 6.5 (i) లోని రేఖలు PQ మరియు RS లు ఖండించే రేఖలు మరియు Fig. 6.5 (ii) లో సమాంతర రేఖలు. ఈ సమాంతర రేఖలపై వివిధ బిందువుల వద్ద ఉమ్మడి లంబాల పొడవులు ఒకే విధంగా ఉంటాయని గమనించండి. ఈ సమాన పొడవును రెండు సమాంతర రేఖల మధ్య దూరం అంటారు.

6.4 కోణాల జతలు

విభాగం 6.2 లో, మీరు పూరక కోణాలు, సంపూరక కోణాలు, ఆసన్న కోణాలు, రేఖీయ జత కోణాలు మొదలైన కొన్ని కోణాల జతల నిర్వచనాలను నేర్చుకున్నారు. ఈ కోణాల మధ్య కొన్ని సంబంధాల గురించి మీరు ఆలోచించగలరా? ఇప్పుడు, ఒక కిరణం ఒక రేఖపై నిలబడినప్పుడు ఏర్పడే కోణాల మధ్య సంబంధాన్ని కనుగొందాం. Fig. 6.6 లో చూపిన విధంగా ఒక కిరణం ఒక రేఖపై నిలబడిన చిత్రాన్ని గీయండి. రేఖను $\mathrm{AB}$ గా మరియు కిరణాన్ని OC గా పేరు పెట్టండి. $\mathrm{O}$ వద్ద ఏర్పడే కోణాలు ఏమిటి? అవి $\angle \mathrm{AOC}, \angle \mathrm{BOC}$ మరియు $\angle \mathrm{AOB}$.

Fig. 6.6 : రేఖీయ జత కోణాలు బిందువు

మనం $\angle \mathrm{AOC}+\angle \mathrm{BOC}=\angle \mathrm{AOB}$ అని వ్రాయగలమా? (1)

అవును! (ఎందుకు? విభాగం 6.2 లో ఆసన్న కోణాలను సూచించండి)

$\angle \mathrm{AOB}$ యొక్క కొలత ఎంత? అది $180^{\circ}$. (ఎందుకు?) (2)

(1) మరియు (2) నుండి, మీరు $\angle \mathrm{AOC}+\angle \mathrm{BOC}=180^{\circ}$ అని చెప్పగలరా? అవును! (ఎందుకు?)

పై చర్చ నుండి, మేము ఈ క్రింది స్వయం సిద్ధాన్ని పేర్కొనవచ్చు:

స్వయం సిద్ధం 6.1 : ఒక కిరణం ఒక రేఖపై నిలబడితే, అప్పుడు ఏర్పడిన రెండు ఆసన్న కోణాల మొత్తం $180^{\circ}$.

రెండు ఆసన్న కోణాల మొత్తం $180^{\circ}$ అయినప్పుడు, అప్పుడు వాటిని రేఖీయ జత కోణాలు అంటారని గుర్తుచేసుకోండి.

స్వయం సిద్ధం 6.1 లో, ‘ఒక కిరణం ఒక రేఖపై నిలబడుతుంది’ అని ఇవ్వబడింది. ఈ ‘ఇవ్వబడినది’ నుండి, మేము ‘ఏర్పడిన రెండు ఆసన్న కోణాల మొత్తం $180^{\circ}$’ అని నిర్ధారించాము. మేము స్వయం సిద్ధం 6.1 ను మరొక విధంగా వ్రాయగలమా? అంటే, స్వయం సిద్ధం 6.1 యొక్క ‘నిర్ధారణ’ ను ‘ఇవ్వబడినది’ గా మరియు ‘ఇవ్వబడినది’ ని ‘నిర్ధారణ’ గా తీసుకోండి. కాబట్టి అది ఇలా అవుతుంది:

(A) రెండు ఆసన్న కోణాల మొత్తం $180^{\circ}$ అయితే, అప్పుడు ఒక కిరణం ఒక రేఖపై నిలబడుతుంది (అంటే, అసాధారణ భుజాలు ఒక రేఖను ఏర్పరుస్తాయి).

ఇప్పుడు మీరు చూస్తారు, స్వయం సిద్ధం 6.1 మరియు ప్రవచనం (A) ఒక అర్థంలో ఒకదానికొకటి విలోమం. మేము ప్రతి ఒక్కదానిని ఒకదాని యొక్క విలోమం అని పిలుస్తాము. ప్రవచనం (A) సత్యమా కాదా అని మనకు తెలియదు. దానిని తనిఖీ చేద్దాం. Fig. 6.7 లో చూపిన విధంగా వివిధ కొలతల ఆసన్న కోణాలను గీయండి. ప్రతి సందర్భంలో అసాధారణ భుజాలలో ఒకదాని వెంట రూలర్ను ఉంచండి. మరొక అసాధారణ భుజం కూడా రూలర్ వెంట ఉంటుందా?

Fig. 6.7 : వివిధ కొలతలతో ఆసన్న కోణాలు

Fig. 6.7 (iii) లో మాత్రమే, రెండు అసాధారణ భుజాలు రూలర్ వెంట ఉన్నాయని మీరు కనుగొంటారు, అంటే, బిందువులు $\mathrm{A}, \mathrm{O}$ మరియు $\mathrm{B}$ ఒకే రేఖపై ఉంటాయి మరియు కిరణం $\mathrm{OC}$ దానిపై నిలబడి ఉంటుంది. $\angle \mathrm{AOC}+\angle \mathrm{COB}=125^{\circ}+55^{\circ}=180^{\circ}$ అని కూడా చూడండి. దీని నుండి, ప్రవచనం (A) సత్యం అని మీరు నిర్ధారించవచ్చు. కాబట్టి, మీరు ఈ క్రింది విధంగా ఒక స్వయం సిద్ధం రూపంలో పేర్కొనవచ్చు:

స్వయం సిద్ధం 6.2 : రెండు ఆసన్న కోణాల మొత్తం $180^{\circ}$ అయితే, అప్పుడు కోణాల అసాధారణ భుజాలు ఒక రేఖను ఏర్పరుస్తాయి.

స్పష్టమైన కారణాల కోసం, పై రెండు స్వయం సిద్ధాలను కలిపి రేఖీయ జత స్వయం సిద్ధం అంటారు.

ఇప్పుడు రెండు రేఖలు ఒకదానితో ఒకటి ఖండించుకున్న సందర్భాన్ని పరిశీలిద్దాం.

రెండు రేఖలు ఖండించుకున్నప్పుడు, శీర్షాభిముఖ కోణాలు సమానంగా ఉంటాయని ఇంతకు ముందు తరగతుల నుండి గుర్తుచేసుకోండి. ఈ ఫలితాన్ని ఇప్పుడు నిరూపిద్దాం. ఒక నిరూపణ యొక్క అంశాల కోసం పరిశీలన 1 చూడండి మరియు క్రింద ఇవ్వబడిన నిరూపణను అధ్యయనం చేస్తున్నప్పుడు వాటిని మనస్సులో ఉంచుకోండి.

ప్రమేయం 6.1 : రెండు రేఖలు ఒకదానితో ఒకటి ఖండించుకుంటే, అప్పుడు శీర్షాభిముఖ కోణాలు సమానంగా ఉంటాయి.

నిరూపణ : పై ప్రవచనంలో, ‘రెండు రేఖలు ఒకదానితో ఒకటి ఖండించుకుంటాయి’ అని ఇవ్వబడింది. కాబట్టి, $\mathrm{AB}$ మరియు $\mathrm{CD}$ లను రెండు రేఖలుగా ఉండనివ్వండి, అవి Fig. 6.8 లో చూపిన విధంగా $\mathrm{O}$ వద్ద ఖండించుకుంటాయి. అవి రెండు జతల శీర్షాభిముఖ కోణాలకు దారి తీస్తాయి, అవి

(i) $\angle \mathrm{AOC}$ మరియు $\angle \mathrm{BOD}$ (ii) $\angle \mathrm{AOD}$ మరియు $\angle \mathrm{BOC}$.

Fig. 6.8 : శీర్షాభిముఖ కోణాలు

$\angle \mathrm{AOC}=\angle \mathrm{BOD}$ అని నిరూపించాలి

మరియు $\angle \mathrm{AOD}=\angle \mathrm{BOC}$.

ఇప్పుడు, కిరణం $\mathrm{OA}$ రేఖ $\mathrm{CD}$ పై నిలబడి ఉంది.

కాబట్టి, $\angle \mathrm{AOC}+\angle \mathrm{AOD}=180^{\circ}$

మనం $\angle \mathrm{AOD}+\angle \mathrm{BOD}=180^{\circ}$ అని వ్రాయగలమా? అవును! (ఎందుకు?)

(1) మరియు (2) నుండి, మనం వ్రాయవచ్చు

$$\angle \mathrm{AOC}+\angle \mathrm{AOD}=\angle \mathrm{AOD}+\angle \mathrm{BOD}$$

ఇది $\angle \mathrm{AOC}=\angle \mathrm{BOD} \quad$ అని సూచిస్తుంది (విభాగం 5.2, స్వయం సిద్ధం 3 ని సూచించండి)

అదేవిధంగా, $\angle \mathrm{AOD}=\angle \mathrm{BOC}$ అని నిరూపించవచ్చు

ఇప్పుడు, రేఖీయ జత స్వయం సిద్ధం మరియు ప్రమేయం 6.1 ఆధారంగా కొన్ని ఉదాహరణలను చేద్దాం.

ఉదాహరణ 1 : Fig. 6.9 లో, రేఖలు PQ మరియు RS లు ఒకదానితో ఒకటి బిందువు $O$ వద్ద ఖండించుకుంటాయి. $\angle \mathrm{POR}: \angle \mathrm{ROQ}=5: 7$ అయితే, అన్ని కోణాలను కనుగొనండి.

సాధన : $\angle \mathrm{POR}+\angle \mathrm{ROQ}=180^{\circ}$

(రేఖీయ జత కోణాలు)

కానీ $\angle \mathrm{POR}: \angle \mathrm{ROQ}=5: 7$ (ఇవ్వబడింది)

కాబట్టి, $\quad \angle \mathrm{POR}=\frac{5}{12} \times 180^{\circ}=75^{\circ}$

అదేవిధంగా, $\quad \angle \mathrm{ROQ}=\frac{7}{12} \times 180^{\circ}=105^{\circ}$

ఇప్పుడు, $$\begin{aligned} & \angle \mathrm{POS}=\angle \mathrm{ROQ}=105^{\circ} \\ & \angle \mathrm{SOQ}=\angle \mathrm{POR}=75^{\circ} \end{aligned}$$

ఉదాహరణ 2 : Fig. 6.10 లో, కిరణం OS ఒక రేఖ POQ పై నిలబడి ఉంది. కిరణం OR మరియు కిరణం OT లు వరుసగా $\angle \mathrm{POS}$ మరియు $\angle \mathrm{SOQ}$ ల యొక్క కోణ సమద్విఖండన రేఖలు. $\angle \mathrm{POS}=x$ అయితే, $\angle \mathrm{ROT}$ ను కనుగొనండి.

సాధన : కిరణం OS రేఖ POQ పై నిలబడి ఉంది.

కాబట్టి,

$\angle \mathrm{POS}+\angle \mathrm{SOQ}=180^{\circ}$

కానీ,

$$\angle \mathrm{POS}=x$$

కాబట్టి, కాబట్టి,

$x+\angle \mathrm{SOQ} =180^{\circ} \\ \angle \mathrm{SOQ} =180^{\circ}-x$

ఇప్పుడు, కిరణం OR, $\angle \mathrm{POS}$ ను సమద్విఖండన చేస్తుంది, కాబట్టి,

Fig. 6.10

$$ \begin{aligned} \angle \mathrm{ROS} & =\frac{1}{2} \times \angle \mathrm{POS} \\ & =\frac{1}{2} \times x=\frac{x}{2} \end{aligned} $$

అదేవిధంగా,

$$ \begin{aligned} \angle \mathrm{SOT} & =\frac{1}{2} \times \angle \mathrm{SOQ} \\ & =\frac{1}{2} \times\left(180^{\circ}-x\right) \\ & =90^{\circ}-\frac{x}{2} \end{aligned} $$

ఇప్పుడు,

$$ \begin{aligned} \angle \mathrm{ROT} & =\angle \mathrm{ROS}+\angle \mathrm{SOT} \\ & =\frac{x}{2}+90^{\circ}-\frac{x}{2} \\ & =90^{\circ} \end{aligned} $$

ఉదాహరణ 3 : Fig. 6.11 లో, OP, OQ, OR మరియు OS లు నాలుగు కిరణాలు. $\angle \mathrm{POQ}+\angle \mathrm{QOR}+\angle \mathrm{SOR}+$ $\angle \mathrm{POS}=360^{\circ}$ అని నిరూపించండి.

సాధన : Fig. 6.11 లో, మీరు కిరణాలలో ఏదైనా $\mathrm{OP}, \mathrm{OQ}$, OR లేదా OS లను వెనుకకు ఒక బిందువుకు పొడిగించాలి. TOQ ఒక రేఖగా ఉండేలా కిరణం $\mathrm{OQ}$ ను వెనుకకు ఒక బిందువు $\mathrm{T}$ కు పొడిగిద్దాం (Fig. 6.12 చూడండి).

Fig. 6.11

ఇప్పుడు, కిరణం OP రేఖ TOQ పై నిలబడి ఉంది.

కాబట్టి,

$\angle \mathrm{TOP}+\angle \mathrm{POQ}=180^{\circ}$

(రేఖీయ జత స్వయం సిద్ధం)

అదేవిధంగా, కిరణం OS రేఖ TOQ పై నిలబడి ఉంది.

కాబట్టి,

$\angle \mathrm{TOS}+\angle \mathrm{SOQ}=180^{\circ}$

$\angle \mathrm{SOQ}=\angle \mathrm{SOR}+\angle \mathrm{QOR}$

కాబట్టి, (2) అవుతుంది

Fig. 6.12

$$ \begin{equation*} \angle \mathrm{TOS}+\angle \mathrm{SOR}+\angle \mathrm{QOR}=180^{\circ} \tag{3} \end{equation*} $$

ఇప్పుడు, (1) మరియు (3) లను కలుపగా, మీరు పొందుతారు

$$ \begin{equation*} \angle \mathrm{TOP}+\angle \mathrm{POQ}+\angle \mathrm{TOS}+\angle \mathrm{SOR}+\angle \mathrm{QOR}=360^{\circ} \tag{4} \end{equation*} $$

కానీ

$\angle \mathrm{TOP}+\angle \mathrm{TOS}=\angle \mathrm{POS}$

కాబట్టి, (4) అవుతుంది

$$\angle \mathrm{POQ}+\angle \mathrm{QOR}+\angle \mathrm{SOR}+\angle \mathrm{POS}=360^{\circ}$$

6.5 ఒకే రేఖకు సమ