6.1 ಪರಿಚಯ

5ನೇ ಅಧ್ಯಾಯದಲ್ಲಿ, ನೀವು ಒಂದು ರೇಖೆಯನ್ನು ಎಳೆಯಲು ಕನಿಷ್ಠ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳು ಬೇಕು ಎಂದು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ್ದೀರಿ. ನೀವು ಕೆಲವು ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧಾಂತಗಳನ್ನು (axioms) ಕೂಡ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ್ದೀರಿ ಮತ್ತು ಈ ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧಾಂತಗಳ ಸಹಾಯದಿಂದ ನೀವು ಇತರ ಕೆಲವು ಹೇಳಿಕೆಗಳನ್ನು ಸಾಧಿಸಿದ್ದೀರಿ. ಈ ಅಧ್ಯಾಯದಲ್ಲಿ, ನೀವು ಎರಡು ರೇಖೆಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಛೇದಿಸಿದಾಗ ಉಂಟಾಗುವ ಕೋನಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಒಂದು ರೇಖೆಯು ಎರಡು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚು ಸಮಾಂತರ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ವಿಭಿನ್ನ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸಿದಾಗ ಉಂಟಾಗುವ ಕೋನಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವಿರಿ. ಮುಂದೆ ನೀವು ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಿಗಮನ ತಾರ್ಕಿಕತೆಯ (deductive reasoning) ಮೂಲಕ ಕೆಲವು ಹೇಳಿಕೆಗಳನ್ನು ಸಾಧಿಸುವಿರಿ (ಪರಿಶೀಲಿಸಿ: Appendix 1). ನೀವು ಈಗಾಗಲೇ ಈ ಹೇಳಿಕೆಗಳನ್ನು ಹಿಂದಿನ ತರಗತಿಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಚಟುವಟಿಕೆಗಳ ಮೂಲಕ ಪರಿಶೀಲಿಸಿದ್ದೀರಿ.

ನಿಮ್ಮ ದೈನಂದಿನ ಜೀವನದಲ್ಲಿ, ನೀವು ಸಮತಲ ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ಅಂಚುಗಳ ನಡುವೆ ರೂಪುಗೊಳ್ಳುವ ವಿವಿಧ ರೀತಿಯ ಕೋನಗಳನ್ನು ನೋಡುತ್ತೀರಿ. ಸಮತಲ ಮೇಲ್ಮೈಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಇದೇ ರೀತಿಯ ಮಾದರಿಯನ್ನು ತಯಾರಿಸಲು, ನಿಮಗೆ ಕೋನಗಳ ಸಮಗ್ರ ಜ್ಞಾನ ಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನೀವು ಬಿದಿರಿನ ಕಡ್ಡಿಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಶಾಲಾ ಪ್ರದರ್ಶನದಲ್ಲಿ ಇಡಲು ಒಂದು ಗುಡಿಸಲಿನ ಮಾದರಿಯನ್ನು ತಯಾರಿಸಲು ಬಯಸುತ್ತೀರೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿ. ಅದನ್ನು ಹೇಗೆ ತಯಾರಿಸುತ್ತೀರಿ ಎಂದು ಊಹಿಸಿ? ನೀವು ಕೆಲವು ಕಡ್ಡಿಗಳನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾಂತರವಾಗಿ ಇಡುತ್ತೀರೆ, ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಕಡ್ಡಿಗಳನ್ನು ಓರೆಯಾಗಿ ಇಡುತ್ತೀರೆ. ಯಾವಾಗಲೂ ಒಬ್ಬ ವಾಸ್ತುಶಿಲ್ಪಿಯು ಬಹುಮಹಡಿ ಕಟ್ಟಡಕ್ಕೆ ಯೋಜನೆ ರಚಿಸಬೇಕಾದಾಗ, ಅವರು ವಿವಿಧ ಕೋನಗಳಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುವ ರೇಖೆಗಳು ಮತ್ತು ಸಮಾಂತರ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಎಳೆಯಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ರೇಖೆಗಳು ಮತ್ತು ಕೋನಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಜ್ಞಾನ ಇಲ್ಲದೆ, ಅವರು ಕಟ್ಟಡದ ವಿನ್ಯಾಸವನ್ನು ಎಳೆಯಬಹುದು ಎಂದು ನೀವು ಭಾವಿಸುತ್ತೀರಾ?

ವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ, ನೀವು ಕಿರಣ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳನ್ನು (ray diagrams) ಎಳೆಯುವ ಮೂಲಕ ಬೆಳಕಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತೀರಿ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಬೆಳಕು ಒಂದು ಮಾಧ್ಯಮದಿಂದ ಇನ್ನೊಂದು ಮಾಧ್ಯಮಕ್ಕೆ ಪ್ರವೇಶಿಸಿದಾಗ ಅದರ ವಕ್ರೀಭವನ (refraction) ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು, ನೀವು ಛೇದಿಸುವ ರೇಖೆಗಳು ಮತ್ತು ಸಮಾಂತರ ರೇಖೆಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೀರಿ. ಎರಡು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚು ಬಲಗಳು (forces) ಒಂದು ವಸ್ತುವಿನ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸಿದಾಗ, ಬಲಗಳನ್ನು ನಿರ್ದೇಶಿತ ರೇಖಾ ಖಂಡಗಳಿಂದ (directed line segments) ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ನೀವು ಎಳೆಯುತ್ತೀರಿ, ವಸ್ತುವಿನ ಮೇಲಿನ ಬಲಗಳ ನಿವ್ವಳ ಪರಿಣಾಮವನ್ನು (net effect) ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು. ಆ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಕಿರಣಗಳು (ಅಥವಾ ರೇಖಾ ಖಂಡಗಳು) ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾಂತರವಾಗಿರುವಾಗ ಅಥವಾ ಛೇದಿಸುವಾಗ ಕೋನಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಗೋಪುರದ ಎತ್ತರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಅಥವಾ ದೀಪಸ್ತಂಭದಿಂದ ಹಡಗಿನ ದೂರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ಸಮತಲ ರೇಖೆ (horizontal) ಮತ್ತು ದೃಷ್ಟಿರೇಖೆ (line of sight) ನಡುವೆ ರೂಪುಗೊಳ್ಳುವ ಕೋನವನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ರೇಖೆಗಳು ಮತ್ತು ಕೋನಗಳನ್ನು ಬಳಸುವ ಇನ್ನೂ ಅನೇಕ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೀಡಬಹುದು. ರೇಖಾಗಣಿತದ (geometry) ನಂತರದ ಅಧ್ಯಾಯಗಳಲ್ಲಿ, ನೀವು ಹೆಚ್ಚು ಹೆಚ್ಚು ಉಪಯುಕ್ತ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ನಿಗಮನ ಮಾಡಲು ಈ ರೇಖೆಗಳು ಮತ್ತು ಕೋನಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೀರಿ.

ಮೊದಲು, ಹಿಂದಿನ ತರಗತಿಗಳಲ್ಲಿ ಕಲಿತ ರೇಖೆಗಳು ಮತ್ತು ಕೋನಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಪದಗಳು ಮತ್ತು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸೋಣ.

6.2 ಮೂಲಭೂತ ಪದಗಳು ಮತ್ತು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು

ಎರಡು ತುದಿಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ರೇಖೆಯ ಒಂದು ಭಾಗವನ್ನು (ಅಥವಾ ಖಂಡ) ರೇಖಾ ಖಂಡ (line-segment) ಎಂದು ಮತ್ತು ಒಂದು ತುದಿಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ರೇಖೆಯ ಒಂದು ಭಾಗವನ್ನು ಕಿರಣ (ray) ಎಂದು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ. ರೇಖಾ ಖಂಡ $A B$ ಅನ್ನು $\overline{\mathrm{AB}}$ ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಉದ್ದವನ್ನು $\mathrm{AB}$ ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಕಿರಣ $\mathrm{AB}$ ಅನ್ನು $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಒಂದು ರೇಖೆಯನ್ನು $\overleftrightarrow{A B}$ ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದರೆ, ನಾವು ಈ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ರೇಖಾ ಖಂಡ $\mathrm{AB}$, ಕಿರಣ $\mathrm{AB}$, ಉದ್ದ $\mathrm{AB}$ ಮತ್ತು ರೇಖೆ $\mathrm{AB}$ ಅನ್ನು ಒಂದೇ ಚಿಹ್ನೆಯಾದ $\mathrm{AB}$ ನಿಂದ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ. ಸಂದರ್ಭದಿಂದ ಅರ್ಥ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ. ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು ಸಣ್ಣ ಅಕ್ಷರಗಳಾದ $l, m, n$, ಇತ್ಯಾದಿಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಮೂರು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚು ಬಿಂದುಗಳು ಒಂದೇ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಇದ್ದರೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ಸರೇಖೀಯ ಬಿಂದುಗಳು (collinear points) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ; ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಅಸರೇಖೀಯ ಬಿಂದುಗಳು (non-collinear points) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಎರಡು ಕಿರಣಗಳು ಒಂದೇ ತುದಿಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಹುಟ್ಟಿದಾಗ ಒಂದು ಕೋನ ರೂಪುಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂದು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ. ಕೋನವನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಕಿರಣಗಳನ್ನು ಕೋನದ ಬಾಹುಗಳು (arms of the angle) ಎಂದು ಮತ್ತು ತುದಿಬಿಂದುವನ್ನು ಕೋನದ ಶೃಂಗ (vertex of the angle) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನೀವು ಹಿಂದಿನ ತರಗತಿಗಳಲ್ಲಿ ಲಘು ಕೋನ (acute angle), ಲಂಬ ಕೋನ (right angle), ವಿಶಾಲ ಕೋನ (obtuse angle), ಸರಳ ಕೋನ (straight angle) ಮತ್ತು ಪ್ರತಿವರ್ತಿ ಕೋನ (reflex angle) ಎಂಬ ವಿವಿಧ ರೀತಿಯ ಕೋನಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ್ದೀರಿ (ಚಿತ್ರ 6.1 ನೋಡಿ).

ಚಿತ್ರ 6.1 : ಕೋನಗಳ ವಿಧಗಳು

ಒಂದು ಲಘು ಕೋನವು $0^{\circ}$ ಮತ್ತು $90^{\circ}$ ನಡುವೆ ಅಳೆಯುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಒಂದು ಲಂಬ ಕೋನವು ನಿಖರವಾಗಿ $90^{\circ}$ ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. $90^{\circ}$ ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಆದರೆ $180^{\circ}$ ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಇರುವ ಕೋನವನ್ನು ವಿಶಾಲ ಕೋನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹಾಗೆಯೇ, ಒಂದು ಸರಳ ಕೋನವು $180^{\circ}$ ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ. $180^{\circ}$ ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಆದರೆ $360^{\circ}$ ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಇರುವ ಕೋನವನ್ನು ಪ್ರತಿವರ್ತಿ ಕೋನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮುಂದೆ, ಮೊತ್ತ $90^{\circ}$ ಆಗಿರುವ ಎರಡು ಕೋನಗಳನ್ನು ಪೂರಕ ಕೋನಗಳು (complementary angles) ಎಂದು ಮತ್ತು ಮೊತ್ತ $180^{\circ}$ ಆಗಿರುವ ಎರಡು ಕೋನಗಳನ್ನು ಸಂಪೂರಕ ಕೋನಗಳು (supplementary angles) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ನೀವು ಹಿಂದಿನ ತರಗತಿಗಳಲ್ಲಿ ಅನುಲಗ್ನ ಕೋನಗಳ ಬಗ್ಗೆಯೂ (adjacent angles) ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ್ದೀರಿ (ಚಿತ್ರ 6.2 ನೋಡಿ). ಎರಡು ಕೋನಗಳು ಅನುಲಗ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಅವುಗಳು ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಶೃಂಗ, ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಾಹು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಅಸಾಮಾನ್ಯ ಬಾಹುಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಾಹುವಿನ ವಿಭಿನ್ನ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿದ್ದರೆ. ಚಿತ್ರ 6.2 ರಲ್ಲಿ, $\angle \mathrm{ABD}$ ಮತ್ತು $\angle \mathrm{DBC}$ ಅನುಲಗ್ನ ಕೋನಗಳಾಗಿವೆ. ಕಿರಣ $\mathrm{BD}$ ಅವುಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಾಹು ಮತ್ತು ಬಿಂದು $\mathrm{B}$ ಅವುಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಶೃಂಗವಾಗಿದೆ. ಕಿರಣ $\mathrm{BA}$ ಮತ್ತು ಕಿರಣ $\mathrm{BC}$ ಅಸಾಮಾನ್ಯ ಬಾಹುಗಳಾಗಿವೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಎರಡು ಕೋನಗಳು ಅನುಲಗ್ನವಾಗಿರುವಾಗ, ಅವುಗಳ ಮೊತ್ತವು ಯಾವಾಗಲೂ ಎರಡು ಅಸಾಮಾನ್ಯ ಬಾಹುಗಳಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ಕೋನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಬರೆಯಬಹುದು

$\angle \mathrm{ABC}=\angle \mathrm{ABD}+\angle \mathrm{DBC} .$

$\angle \mathrm{ABC}$ ಮತ್ತು $\angle \mathrm{ABD}$ ಅನುಲಗ್ನ ಕೋನಗಳಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಏಕೆ? ಏಕೆಂದರೆ ಅವುಗಳ ಅಸಾಮಾನ್ಯ ಬಾಹುಗಳಾದ $\mathrm{BD}$ ಮತ್ತು $\mathrm{BC}$ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಾಹು BA ಯ ಒಂದೇ ಬದಿಯಲ್ಲಿವೆ.

ಚಿತ್ರ 6.2 ರಲ್ಲಿ ಅಸಾಮಾನ್ಯ ಬಾಹುಗಳಾದ $\mathrm{BA}$ ಮತ್ತು $\mathrm{BC}$ ಒಂದು ರೇಖೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸಿದರೆ, ಅದು ಚಿತ್ರ 6.3 ರಂತೆ ಕಾಣುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, $\angle \mathrm{ABD}$ ಮತ್ತು $\angle \mathrm{DBC}$ ಅನ್ನು ರೇಖೀಯ ಜೋಡಿ ಕೋನಗಳು (linear pair of angles) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಚಿತ್ರ 6.3 : ರೇಖೀಯ ಜೋಡಿ ಕೋನಗಳು

ಎರಡು ರೇಖೆಗಳು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ $\mathrm{AB}$ ಮತ್ತು $\mathrm{CD}$, ಪರಸ್ಪರ ಛೇದಿಸಿದಾಗ ರೂಪುಗೊಳ್ಳುವ ಶೃಂಗಾಭಿಮುಖ ಕೋನಗಳನ್ನು (vertically opposite angles) ನೀವು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಬಿಂದು $\mathrm{O}$ ನಲ್ಲಿ (ಚಿತ್ರ 6.4 ನೋಡಿ). ಎರಡು ಜೋಡಿ ಶೃಂಗಾಭಿಮುಖ ಕೋನಗಳಿವೆ.

ಚಿತ್ರ 6.4 : ಶೃಂಗಾಭಿಮುಖ ಕೋನಗಳು

ಒಂದು ಜೋಡಿ $\angle \mathrm{AOD}$ ಮತ್ತು $\angle \mathrm{BOC}$ ಆಗಿದೆ. ನೀವು ಇನ್ನೊಂದು ಜೋಡಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದಾ?

6.3 ಛೇದಿಸುವ ರೇಖೆಗಳು ಮತ್ತು ಛೇದಿಸದ ರೇಖೆಗಳು

ಕಾಗದದ ಮೇಲೆ ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ರೇಖೆಗಳಾದ PQ ಮತ್ತು RS ಗಳನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ. ನೀವು ಅವುಗಳನ್ನು ಚಿತ್ರ 6.5 (i) ಮತ್ತು ಚಿತ್ರ 6.5 (ii) ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಎಳೆಯಬಹುದು ಎಂದು ನೀವು ನೋಡುತ್ತೀರಿ.

ಚಿತ್ರ 6.5 : ಎರಡು ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಎಳೆಯುವ ವಿಭಿನ್ನ ರೀತಿಗಳು

ಒಂದು ರೇಖೆಯ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ, ಅದು ಎರಡೂ ದಿಕ್ಕುಗಳಲ್ಲಿ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ. ಚಿತ್ರ 6.5 (i) ರಲ್ಲಿನ PQ ಮತ್ತು RS ರೇಖೆಗಳು ಛೇದಿಸುವ ರೇಖೆಗಳು ಮತ್ತು ಚಿತ್ರ 6.5 (ii) ರಲ್ಲಿನವು ಸಮಾಂತರ ರೇಖೆಗಳಾಗಿವೆ. ಈ ಸಮಾಂತರ ರೇಖೆಗಳ ಮೇಲಿನ ವಿವಿಧ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಲಂಬಗಳ (common perpendiculars) ಉದ್ದಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಈ ಸಮಾನ ಉದ್ದವನ್ನು ಎರಡು ಸಮಾಂತರ ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ದೂರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

6.4 ಕೋನಗಳ ಜೋಡಿಗಳು

ವಿಭಾಗ 6.2 ರಲ್ಲಿ, ನೀವು ಪೂರಕ ಕೋನಗಳು, ಸಂಪೂರಕ ಕೋನಗಳು, ಅನುಲಗ್ನ ಕೋನಗಳು, ರೇಖೀಯ ಜೋಡಿ ಕೋನಗಳು, ಇತ್ಯಾದಿ ಕೋನಗಳ ಕೆಲವು ಜೋಡಿಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ಕಲಿತಿದ್ದೀರಿ. ಈ ಕೋನಗಳ ನಡುವೆ ಕೆಲವು ಸಂಬಂಧಗಳ ಬಗ್ಗೆ ನೀವು ಯೋಚಿಸಬಹುದಾ? ಈಗ, ಒಂದು ಕಿರಣವು ಒಂದು ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ನಿಂತಾಗ ರೂಪುಗೊಳ್ಳುವ ಕೋನಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ಚಿತ್ರ 6.6 ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ಒಂದು ಕಿರಣವು ಒಂದು ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ನಿಂತಿರುವ ಒಂದು ಚಿತ್ರವನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ. ರೇಖೆಯನ್ನು $\mathrm{AB}$ ಎಂದು ಮತ್ತು ಕಿರಣವನ್ನು OC ಎಂದು ಹೆಸರಿಸಿ. $\mathrm{O}$ ನಲ್ಲಿ ರೂಪುಗೊಂಡ ಕೋನಗಳು ಯಾವುವು? ಅವು $\angle \mathrm{AOC}, \angle \mathrm{BOC}$ ಮತ್ತು $\angle \mathrm{AOB}$ ಆಗಿವೆ.

ಚಿತ್ರ 6.6 : ರೇಖೀಯ ಜೋಡಿ ಕೋನಗಳು

ನಾವು $\angle \mathrm{AOC}+\angle \mathrm{BOC}=\angle \mathrm{AOB}$ ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದಾ? (1)

ಹೌದು! (ಏಕೆ? ವಿಭಾಗ 6.2 ರಲ್ಲಿ ಅನುಲಗ್ನ ಕೋನಗಳನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಿ)

$\angle \mathrm{AOB}$ ನ ಅಳತೆ ಏನು? ಅದು $180^{\circ}$ ಆಗಿದೆ. (ಏಕೆ?) (2)

(1) ಮತ್ತು (2) ರಿಂದ, ನೀವು $\angle \mathrm{AOC}+\angle \mathrm{BOC}=180^{\circ}$ ಎಂದು ಹೇಳಬಹುದಾ? ಹೌದು! (ಏಕೆ?)

ಮೇಲಿನ ಚರ್ಚೆಯಿಂದ, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು (Axiom) ಹೇಳಬಹುದು:

ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧಾಂತ 6.1 : ಒಂದು ಕಿರಣವು ಒಂದು ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ನಿಂತರೆ, ಹೀಗೆ ರೂಪುಗೊಂಡ ಎರಡು ಅನುಲಗ್ನ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತ $180^{\circ}$ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಎರಡು ಅನುಲಗ್ನ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತ $180^{\circ}$ ಆದಾಗ, ಅವುಗಳನ್ನು ರೇಖೀಯ ಜೋಡಿ ಕೋನಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ.

ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧಾಂತ 6.1 ರಲ್ಲಿ, ‘ಒಂದು ಕಿರಣವು ಒಂದು ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ನಿಂತಿದೆ’ ಎಂದು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಈ ‘ನೀಡಲ್ಪಟ್ಟದ್ದರಿಂದ’ (given), ‘ಹೀಗೆ ರೂಪುಗೊಂಡ ಎರಡು ಅನುಲಗ್ನ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತ $180^{\circ}$ ಆಗಿರುತ್ತದೆ’ ಎಂಬ ‘ತೀರ್ಮಾನಕ್ಕೆ’ (conclusion) ನಾವು ಬಂದಿದ್ದೇವೆ. ನಾವು ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧಾಂತ 6.1 ಅನ್ನು ಇನ್ನೊಂದು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದಾ? ಅಂದರೆ, ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧಾಂತ 6.1 ರ ‘ತೀರ್ಮಾನ’ವನ್ನು ‘ನೀಡಲ್ಪಟ್ಟದ್ದಾಗಿ’ (given) ಮತ್ತು ‘ನೀಡಲ್ಪಟ್ಟದ್ದನ್ನು’ ‘ತೀರ್ಮಾನವಾಗಿ’ (conclusion) ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ. ಆದ್ದರಿಂದ ಅದು ಹೀಗಾಗುತ್ತದೆ:

(A) ಎರಡು ಅನುಲಗ್ನ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತ $180^{\circ}$ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಒಂದು ಕಿರಣವು ಒಂದು ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ನಿಂತಿರುತ್ತದೆ (ಅಂದರೆ, ಅಸಾಮಾನ್ಯ ಬಾಹುಗಳು ಒಂದು ರೇಖೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ).

ಈಗ ನೀವು ನೋಡುವಿರಿ, ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧಾಂತ 6.1 ಮತ್ತು ಹೇಳಿಕೆ (A) ಒಂದರ್ಥದಲ್ಲಿ ಪರಸ್ಪರ ವಿಲೋಮವಾಗಿವೆ. ನಾವು ಪ್ರತಿಯೊಂದನ್ನೂ ಇನ್ನೊಂದರ ವಿಲೋಮ (converse) ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಹೇಳಿಕೆ (A) ಸತ್ಯವೇ ಅಥವಾ ಅಲ್ಲವೇ ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ. ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ. ಚಿತ್ರ 6.7 ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ವಿವಿಧ ಅಳತೆಯ ಅನುಲಗ್ನ ಕೋನಗಳನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ. ಪ್ರತಿ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅಸಾಮಾನ್ಯ ಬಾಹುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದರ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು (ruler) ಇರಿಸಿ. ಇನ್ನೊಂದು ಅಸಾಮಾನ್ಯ ಬಾಹುವೂ ಪಟ್ಟಿಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಇದೆಯೇ?

ಚಿತ್ರ 6.7 : ವಿವಿಧ ಅಳತೆಯ ಅನುಲಗ್ನ ಕೋನಗಳು

ನೀವು ಕೇವಲ ಚಿತ್ರ 6.7 (iii) ರಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಎರಡೂ ಅಸಾಮಾನ್ಯ ಬಾಹುಗಳು ಪಟ್ಟಿಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಇವೆ ಎಂದು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುವಿರಿ, ಅಂದರೆ, ಬಿಂದುಗಳು $\mathrm{A}, \mathrm{O}$ ಮತ್ತು $\mathrm{B}$ ಒಂದೇ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಇವೆ ಮತ್ತು ಕಿರಣ $\mathrm{OC}$ ಅದರ ಮೇಲೆ ನಿಂತಿದೆ. ಹಾಗೆಯೇ $\angle \mathrm{AOC}+\angle \mathrm{COB}=125^{\circ}+55^{\circ}=180^{\circ}$ ಎಂದು ನೋಡಿ. ಇದರಿಂದ, ಹೇಳಿಕೆ (A) ಸತ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನೀವು ತೀರ್ಮಾನಿಸಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ, ನೀವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧಾಂತದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಹೇಳಬಹುದು:

ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧಾಂತ 6.2 : ಎರಡು ಅನುಲಗ್ನ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತ $180^{\circ}$ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಕೋನಗಳ ಅಸಾಮಾನ್ಯ ಬಾಹುಗಳು ಒಂದು ರೇಖೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ.

ಸ್ಪಷ್ಟ ಕಾರಣಗಳಿಗಾಗಿ, ಮೇಲಿನ ಎರಡು ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧಾಂತಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟಿಗೆ ರೇಖೀಯ ಜೋಡಿ ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧಾಂತ (Linear Pair Axiom) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಈಗ ಎರಡು ರೇಖೆಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಛೇದಿಸುವ ಸಂದರ್ಭವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ.

ಹಿಂದಿನ ತರಗತಿಗಳಿಂದ ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ, ಎರಡು ರೇಖೆಗಳು ಛೇದಿಸಿದಾಗ, ಶೃಂಗಾಭಿಮುಖ ಕೋನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಈಗ ಈ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಸಾಧಿಸೋಣ. ಸಾಧನೆಯ (proof) ಅಂಶಗಳಿಗಾಗಿ Appendix 1 ಅನ್ನು ನೋಡಿ, ಮತ್ತು ಕೆಳಗೆ ನೀಡಲಾದ ಸಾಧನೆಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವಾಗ ಅವುಗಳನ್ನು ನೆನಪಿನಲ್ಲಿಡಿ.

ಪ್ರಮೇಯ 6.1 : ಎರಡು ರೇಖೆಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಛೇದಿಸಿದರೆ, ಶೃಂಗಾಭಿಮುಖ ಕೋನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಸಾಧನೆ : ಮೇಲಿನ ಹೇಳಿಕೆಯಲ್ಲಿ, ‘ಎರಡು ರೇಖೆಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ’ ಎಂದು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, $\mathrm{AB}$ ಮತ್ತು $\mathrm{CD}$ ಎಂಬ ಎರಡು ರೇಖೆಗಳು $\mathrm{O}$ ನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ, ಚಿತ್ರ 6.8 ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ. ಅವು ಎರಡು ಜೋಡಿ ಶೃಂಗಾಭಿಮುಖ ಕೋನಗಳಿಗೆ ದಾರಿ ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತವೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ,

(i) $\angle \mathrm{AOC}$ ಮತ್ತು $\angle \mathrm{BOD}$ (ii) $\angle \mathrm{AOD}$ ಮತ್ತು $\angle \mathrm{BOC}$.

ಚಿತ್ರ 6.8 : ಶೃಂಗಾಭಿಮುಖ ಕೋನಗಳು

$\angle \mathrm{AOC}=\angle \mathrm{BOD}$ ಎಂದು ಸಾಧಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ

ಮತ್ತು $\angle \mathrm{AOD}=\angle \mathrm{BOC}$ ಎಂದು ಸಾಧಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ.

ಈಗ, ಕಿರಣ $\mathrm{OA}$ ರೇಖೆ $\mathrm{CD}$ ಮೇಲೆ ನಿಂತಿದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, $\angle \mathrm{AOC}+\angle \mathrm{AOD}=180^{\circ}$

ನಾವು $\angle \mathrm{AOD}+\angle \mathrm{BOD}=180^{\circ}$ ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದಾ? ಹೌದು! (ಏಕೆ?)

(1) ಮತ್ತು (2) ರಿಂದ, ನಾವು ಬರೆಯಬಹುದು

$$\angle \mathrm{AOC}+\angle \mathrm{AOD}=\angle \mathrm{AOD}+\angle \mathrm{BOD}$$

ಇದು $\angle \mathrm{AOC}=\angle \mathrm{BOD} \quad$ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ (ವಿಭಾಗ 5.2, ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧಾಂತ 3 ಅನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಿ)

ಅದೇ ರೀತಿ, $\angle \mathrm{AOD}=\angle \mathrm{BOC}$ ಎಂದು ಸಾಧಿಸಬಹುದು

ಈಗ, ರೇಖೀಯ ಜೋಡಿ ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಪ್ರಮೇಯ 6.1 ಅನ್ನು ಆಧರಿಸಿ ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಮಾಡೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ 1 : ಚಿತ್ರ 6.9 ರಲ್ಲಿ, ರೇಖೆಗಳು PQ ಮತ್ತು RS ಪರಸ್ಪರ ಬಿಂದು $O$ ನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ. $\angle \mathrm{POR}: \angle \mathrm{ROQ}=5: 7$ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಎಲ್ಲಾ ಕೋನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ : $\angle \mathrm{POR}+\angle \mathrm{ROQ}=180^{\circ}$

(ರೇಖೀಯ ಜೋಡಿ ಕೋನಗಳು)

ಆದರೆ $\angle \mathrm{POR}: \angle \mathrm{ROQ}=5: 7$ (ನೀಡಲಾಗಿದೆ)

ಆದ್ದರಿಂದ, $\quad \angle \mathrm{POR}=\frac{5}{12} \times 180^{\circ}=75^{\circ}$

ಅದೇ ರೀತಿ, $\quad \angle \mathrm{ROQ}=\frac{7}{12} \times 180^{\circ}=105^{\circ}$

ಈಗ, $$\begin{aligned} & \angle \mathrm{POS}=\angle \mathrm{ROQ}=105^{\circ} \\ & \angle \mathrm{SOQ}=\angle \mathrm{POR}=75^{\circ} \end{aligned}$$

ಉದಾಹರಣೆ 2 : ಚಿತ್ರ 6.10 ರಲ್ಲಿ, ಕಿರಣ OS ಒಂದು ರೇಖೆ POQ ಮೇಲೆ ನಿಂತಿದೆ. ಕಿರಣ OR ಮತ್ತು ಕಿರಣ OT ಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ $\angle \mathrm{POS}$ ಮತ್ತು $\angle \mathrm{SOQ}$ ಗಳ ಕೋನ ಸಮದ್ವಿಭಾಜಕಗಳಾಗಿವೆ (angle bisectors). $\angle \mathrm{POS}=x$ ಆಗಿದ್ದರೆ, $\angle \mathrm{ROT}$ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ : ಕಿರಣ OS ರೇಖೆ POQ ಮೇಲೆ ನಿಂತಿದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ,

$\angle \mathrm{POS}+\angle \mathrm{SOQ}=180^{\circ}$

ಆದರೆ,

$$\angle \mathrm{POS}=x$$

ಆದ್ದರಿಂದ, ಆದ್ದರಿಂದ,

$x+\angle \mathrm{SOQ} =180^{\circ} \\ \angle \mathrm{SOQ} =180^{\circ}-x$

ಈಗ, ಕಿರಣ OR, $\angle \mathrm{POS}$ ಅನ್ನು ಸಮದ್ವಿಭಾಗಿಸುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ,

ಚಿತ್ರ 6.10

$$ \begin{aligned} \angle \mathrm{ROS} & =\frac{1}{2} \times \angle \mathrm{POS} \\ & =\frac{1}{2} \times x=\frac{x}{2} \end{aligned} $$

ಅದೇ ರೀತಿ,

$$ \begin{aligned} \angle \mathrm{SOT} & =\frac{1}{2} \times \angle \mathrm{SOQ} \\ & =\frac{1}{2} \times\left(180^{\circ}-x\right) \\ & =90^{\circ}-\frac{x}{2} \end{aligned} $$

ಈಗ,

$$ \begin{aligned} \angle \mathrm{ROT} & =\angle \mathrm{ROS}+\angle \mathrm{SOT} \\ & =\frac{x}{2}+90^{\circ}-\frac{x}{2} \\ & =90^{\circ} \end{aligned} $$

ಉದಾಹರಣೆ 3 : ಚಿತ್ರ 6.11 ರಲ್ಲಿ, OP, OQ, OR ಮತ್ತು OS ಗಳು ನಾಲ್ಕು ಕಿರಣಗಳಾಗಿವೆ. $\angle \mathrm{POQ}+\angle \mathrm{QOR}+\angle \mathrm{SOR}+$ $\angle \mathrm{POS}=360^{\circ}$ ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ : ಚಿತ್ರ 6.11 ರಲ್ಲಿ, ನೀವು ಯಾವುದೇ ಕಿರಣಗಳಾದ $\mathrm{OP}, \mathrm{OQ}$, OR ಅಥವಾ OS ಗಳನ್ನು ಹಿಂದಕ್ಕೆ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. TOQ ಒಂದು ರೇಖೆಯಾಗುವಂತೆ ಕಿರಣ $\mathrm{OQ}$ ಅನ್ನು ಹಿಂದಕ್ಕೆ ಒಂದು ಬಿಂದು $\mathrm{T}$ ಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸೋಣ (ಚಿತ್ರ 6.12 ನೋಡಿ).

ಚಿತ್ರ 6.11

ಈಗ, ಕಿರಣ OP ರೇಖೆ TOQ ಮೇಲೆ ನಿಂತಿದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ,

$\angle \mathrm{TOP}+\angle \mathrm{POQ}=180^{\circ}$

(ರೇಖೀಯ ಜೋಡಿ ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧಾಂತ)

ಅದೇ ರೀತಿ, ಕಿರಣ OS ರೇಖೆ TOQ ಮೇಲೆ ನಿಂತಿದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ,

$\angle \mathrm{TOS}+\angle \mathrm{SOQ}=180^{\circ}$

$\angle \mathrm{SOQ}=\angle \mathrm{SOR}+\angle \mathrm{QOR}$

ಆದ್ದರಿಂದ, (2) ಆಗುತ್ತದೆ

ಚಿತ್ರ 6.12

$$ \begin{equation*} \angle \mathrm{TOS}+\angle \mathrm{SOR}+\angle \mathrm{QOR}=180^{\circ} \tag{3} \end{equation*} $$

ಈಗ, (1) ಮತ್ತು (3) ಗಳನ್ನು ಕೂಡಿಸಿದಾಗ, ನೀವು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ

$$ \begin{equation*} \angle \mathrm{TOP}+\angle \mathrm{POQ}+\angle \mathrm{TOS}+\angle \mathrm{SOR}+\angle \mathrm{QOR}=360^{\circ} \tag{4} \end{equation*} $$

ಆದರೆ

$\angle \mathrm{TOP}+\angle \mathrm{TOS}=\angle \mathrm{POS}$

ಆದ್ದರಿಂದ, (4) ಆಗುತ್ತದೆ

$$\angle \mathrm{POQ}+\angle \mathrm{QOR}+\angle \mathrm{SOR}+\angle \mathrm{POS}=360^{\circ}$$

6.5 ಒಂದೇ ರೇಖೆಗೆ ಸಮಾಂತರವಾದ ರೇಖೆಗಳು

ಎರಡು ರೇಖೆಗಳು ಒಂದೇ ರೇಖೆಗೆ ಸಮಾಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅವು ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆಯೇ? ಅದನ್ನು ಪರಿಶ