২.১ ভূমিকা

তুমি আগৰ শ্ৰেণীসমূহত বীজগণিতীয় ৰাশি, সেইবোৰৰ যোগ, বিয়োগ, পূৰণ আৰু হৰণৰ বিষয়ে অধ্যয়ন কৰিছা। তুমি কিছুমান বীজগণিতীয় ৰাশিক উৎপাদকত বিভাজন কৰিবলৈও অধ্যয়ন কৰিছা। তুমি বীজগণিতীয় সৰ্বসমতাবোৰ মনত পেলাব পাৰা :

আৰু

$$ \begin{aligned} & (x+y)^{2}=x^{2}+2 x y+y^{2} \\ & (x-y)^{2}=x^{2}-2 x y+y^{2} \\ & x^{2}-y^{2}=(x+y)(x-y) \end{aligned} $$

আৰু উৎপাদকত বিভাজনত সেইবোৰৰ ব্যৱহাৰ। এই অধ্যায়ত, আমি এক বিশেষ ধৰণৰ বীজগণিতীয় ৰাশি, যাক বহুপদ বোলে, তাৰ সৈতে জড়িত পৰিভাষাৰ সৈতে আমাৰ অধ্যয়ন আৰম্ভ কৰিম। আমি ভাগশেষ উপপাদ্য আৰু উৎপাদক উপপাদ্য আৰু বহুপদবোৰৰ উৎপাদকত বিভাজনত সেইবোৰৰ ব্যৱহাৰ অধ্যয়ন কৰিম। ওপৰৰ বোৰৰ উপৰিও, আমি আৰু কিছুমান বীজগণিতীয় সৰ্বসমতা আৰু উৎপাদকত বিভাজন আৰু কিছুমান দিয়া ৰাশিৰ মান নিৰ্ণয়ত সেইবোৰৰ ব্যৱহাৰ অধ্যয়ন কৰিম।

২.২ এটা চলকযুক্ত বহুপদ

এটা চলক হৈছে এনে চিহ্নৰ দ্বাৰা সূচিত কৰা হয় যিয়ে যিকোনো বাস্তৱ মান গ্ৰহণ কৰিব পাৰে। চলকবোৰ সূচাবলৈ আমি $x, y, z$, আদি আখৰবোৰ ব্যৱহাৰ কৰো। লক্ষ্য কৰা যে $2 x, 3 x,-x,-\frac{1}{2} x$ বীজগণিতীয় ৰাশি। এই ৰাশিবোৰেই (এটা ধ্ৰুৱক) $\times x$ ৰ ৰূপৰ। এতিয়া ধৰা হওঁক আমি এনে এটা ৰাশি লিখিব বিচাৰো যিটো (এটা ধ্ৰুৱক) $\times($ এটা চলক $)$ আৰু ধ্ৰুৱকটো কি আমি নাজানো। এনে ক্ষেত্ৰত, আমি ধ্ৰুৱকটোক $a, b, c$, আদি হিচাপে লিখো। গতিকে ৰাশিটো $a x$ হ’ব, ধৰা হওঁক।

অৱশ্যে, ধ্ৰুৱক সূচোৱা আখৰ আৰু চলক সূচোৱা আখৰৰ মাজত পাৰ্থক্য আছে। ধ্ৰুৱকবোৰৰ মান এটা নিৰ্দিষ্ট পৰিস্থিতি জুৰি একে থাকে, অৰ্থাৎ, দিয়া সমস্যা এটাত ধ্ৰুৱকবোৰৰ মান সলনি নহয়, কিন্তু চলক এটাৰ মান সলনি হৈ থাকিব পাৰে।

এতিয়া, ৩ একক বাহুৰ এটা বৰ্গৰ কথা বিবেচনা কৰা (চিত্ৰ ২.১ চোৱা)। ইয়াৰ পৰিসীমা কিমান? তুমি জানা যে বৰ্গৰ পৰিসীমা হৈছে ইয়াৰ চাৰিডাল বাহুৰ দৈৰ্ঘ্যৰ সমষ্টি। ইয়াত, প্ৰতিডাল বাহু ৩ একক। গতিকে, ইয়াৰ পৰিসীমা হৈছে $4 \times 3$, অৰ্থাৎ, ১২ একক। যদি বৰ্গৰ প্ৰতিডাল বাহু ১০ একক হয়, তেন্তে পৰিসীমা কিমান হ’ব? পৰিসীমা হ’ব $4 \times 10$, অৰ্থাৎ, ৪০ একক। যদি প্ৰতিডাল বাহুৰ দৈৰ্ঘ্য $x$ একক হয় (চিত্ৰ ২.২ চোৱা), তেন্তে পৰিসীমা $4 x$ এককৰ দ্বাৰা দিয়া হয়। গতিকে, বাহুৰ দৈৰ্ঘ্য সলনি হোৱাৰ লগে লগে পৰিসীমাও সলনি হয়।

চিত্ৰ ২.১

চিত্ৰ ২.২ $x$ চলকত বহুপদ। একেদৰে, $3 y^{2}+5 y$ হৈছে $y$ চলকত বহুপদ আৰু $t^{2}+4$ হৈছে $t$ চলকত বহুপদ।

$x^{2}+2 x$ বহুপদটোত, $x^{2}$ আৰু $2 x$ ৰাশিবোৰক বহুপদটোৰ পদ বোলে। একেদৰে, $3 y^{2}+5 y+7$ বহুপদটোৰ তিনিটা পদ আছে, অৰ্থাৎ, $3 y^{2}, 5 y$ আৰু ৭। তুমি $-x^{3}+4 x^{2}+7 x-2$ বহুপদটোৰ পদবোৰ লিখিব পাৰানে? এই বহুপদটোৰ ৪টা পদ আছে, অৰ্থাৎ, $-x^{3}, 4 x^{2}, 7 x$ আৰু -২।

প্ৰতিটো বহুপদৰ পদৰ এটা সহগ থাকে। গতিকে, $-x^{3}+4 x^{2}+7 x-2$ ত, $x^{3}$ ৰ সহগ হৈছে -১, $x^{2}$ ৰ সহগ হৈছে ৪, $x$ ৰ সহগ হৈছে ৭ আৰু -২ হৈছে $x^{0}$ ৰ সহগ (মনত ৰাখিবা, $x^{0}=1$)। $x^{2}-x+7$ ত $x$ ৰ সহগটো তুমি জানানে? ই হৈছে -১।

২ও এটা বহুপদ। প্ৰকৃততে, $2,-5,7$, আদি ধ্ৰুৱক বহুপদৰ উদাহৰণ। ধ্ৰুৱক বহুপদ ০ ক শূন্য বহুপদ বোলে। সকলো বহুপদৰ সংগ্ৰহত ইয়াৰ এক গুৰুত্বপূৰ্ণ ভূমিকা আছে, যিটো তুমি উচ্চ শ্ৰেণীত দেখিবা।

এতিয়া, $x+\frac{1}{x}, \sqrt{x}+3$ আৰু $\sqrt[3]{y}+y^{2}$ৰ দৰে বীজগণিতীয় ৰাশিবোৰ বিবেচনা কৰা। তুমি জানানে যে তুমি $x+\frac{1}{x}=x+x^{-1}$ লিখিব পাৰা? ইয়াত, দ্বিতীয় পদটোৰ ঘাত, অৰ্থাৎ $x^{-1}$ হৈছে -১, যিটো এটা পূৰ্ণ সংখ্যা নহয়। গতিকে, এই বীজগণিতীয় ৰাশিটো বহুপদ নহয়।

আকৌ, $\sqrt{x}+3$ ক $x^{\frac{1}{2}}+3$ হিচাপে লিখিব পাৰি। ইয়াত $x$ ৰ ঘাত হৈছে $\frac{1}{2}$, যিটো পূৰ্ণ সংখ্যা নহয়। গতিকে, $\sqrt{x}+3$ এটা বহুপদ নেকি? নহয়, ই নহয়। $\sqrt[3]{y}+y^{2}$ ৰ বিষয়ে কি? ইয়ো বহুপদ নহয় (কিয়?)।

যদি বহুপদ এটাত চলকটো $x$ হয়, আমি বহুপদটোক $p(x)$, বা $q(x)$, বা $r(x)$, আদিৰ দ্বাৰা সূচাব পাৰো। গতিকে, উদাহৰণস্বৰূপে, আমি লিখিব পাৰো :

$$ \begin{aligned} & p(x)=2 x^{2}+5 x-3 \\ & q(x)=x^{3}-1 \\ & r(y)=y^{3}+y+1 \\ & s(u)=2-u-u^{2}+6 u^{5} \end{aligned} $$

এটা বহুপদৰ যিকোনো সংখ্যক (সসীম) পদ থাকিব পাৰে। উদাহৰণস্বৰূপে, $x^{150}+x^{149}+\ldots$ $+x^{2}+x+1$ হৈছে ১৫১টা পদ থকা এটা বহুপদ।

$2 x, 2,5 x^{3},-5 x^{2}, y$ আৰু $u^{4}$ বহুপদকেইটা বিবেচনা কৰা। তুমি দেখিছানে যে এই বহুপদকেইটাৰ প্ৰতিটোৰ মাত্ৰ এটাকৈ পদ আছে? মাত্ৰ এটা পদ থকা বহুপদবোৰক একপদী (‘mono’ ৰ অৰ্থ ‘এটা’) বোলে।

এতিয়া তলৰ বহুপদকেইটা প্ৰতিটো লক্ষ্য কৰা:

$p(x)=x+1, \quad q(x)=x^{2}-x,$ $r(y)=y^{30}+1, \quad t(u)=u^{43}-u^{2}$

ইয়াৰ প্ৰতিটোত কিমানটা পদ আছে? এই বহুপদকেইটাৰ প্ৰতিটোৰ মাত্ৰ দুটাকৈ পদ আছে। মাত্ৰ দুটা পদ থকা বহুপদবোৰক দ্বিপদী (‘bi’ ৰ অৰ্থ ‘দুটা’) বোলে।

একেদৰে, মাত্ৰ তিনিটা পদ থকা বহুপদবোৰক ত্ৰিপদী (’tri’ ৰ অৰ্থ ‘তিনি’) বোলে। ত্ৰিপদীৰ কিছুমান উদাহৰণ হৈছে

$$ \begin{array}{ll} p(x)=x+x^{2}+\pi, & q(x)=\sqrt{2}+x-x^{2}, \\ r(u)=u+u^{2}-2, & t(y)=y^{4}+y+5 \end{array} $$

এতিয়া, $p(x)=3 x^{7}-4 x^{6}+x+9$ বহুপদটোলৈ চোৱা। $x$ ৰ সৰ্বোচ্চ ঘাত থকা পদটো কি? ই হৈছে $3 x^{7}$। এই পদটোত $x$ ৰ ঘাত হৈছে ৭। একেদৰে, $q(y)=5 y^{6}-4 y^{2}-6$ বহুপদটোত, $y$ ৰ সৰ্বোচ্চ ঘাত থকা পদটো হৈছে $5 y^{6}$ আৰু এই পদটোত $y$ ৰ ঘাত হৈছে ৬। আমি বহুপদ এটাত চলকটোৰ সৰ্বোচ্চ ঘাতক বহুপদটোৰ মাত্ৰা বুলি কওঁ। গতিকে, $3 x^{7}-4 x^{6}+x+9$ বহুপদটোৰ মাত্ৰা হৈছে ৭ আৰু $5 y^{6}-4 y^{2}-6$ বহুপদটোৰ মাত্ৰা হৈছে ৬। শূন্য নোহোৱা ধ্ৰুৱক বহুপদ এটাৰ মাত্ৰা শূন্য।

উদাহৰণ ১ : তলত দিয়া বহুপদকেইটাৰ প্ৰতিটোৰ মাত্ৰা নিৰ্ণয় কৰা:

(i) $x^{5}-x^{4}+3$

(ii) $2-y^{2}-y^{3}+2 y^{8}$

(iii) ২

সমাধান : (i) চলকটোৰ সৰ্বোচ্চ ঘাত হৈছে ৫। গতিকে, বহুপদটোৰ মাত্ৰা হৈছে ৫।

(ii) চলকটোৰ সৰ্বোচ্চ ঘাত হৈছে ৮। গতিকে, বহুপদটোৰ মাত্ৰা হৈছে ৮।

(iii) ইয়াত মাত্ৰ এটাই পদ আছে ২, যিটো $2 x^{0}$ হিচাপে লিখিব পাৰি। গতিকে $x$ ৰ ঘাত হৈছে ০। সেয়েহে, বহুপদটোৰ মাত্ৰা হৈছে ০।

এতিয়া $p(x)=4 x+5, q(y)=2 y, r(t)=t+\sqrt{2}$ আৰু $s(u)=3-u$ বহুপদকেইটা লক্ষ্য কৰা। এইবোৰৰ মাজত তুমি একো সাধাৰণ কথা দেখিছানে? এই বহুপদকেইটাৰ প্ৰতিটোৰ মাত্ৰা এক। মাত্ৰা এক থকা বহুপদক ৰৈখিক বহুপদ বোলে। এটা চলকত আৰু কিছুমান ৰৈখিক বহুপদ হৈছে $2 x-1, \sqrt{2} y+1,2-u$। এতিয়া, চেষ্টা কৰি $x$ ত ৩টা পদ থকা এটা ৰৈখিক বহুপদ বিচাৰি উলিয়াবাচোন? তুমি ইয়াক বিচাৰি পোৱা নাযাব, কাৰণ $x$ ত থকা ৰৈখিক বহুপদ এটাত বেছিকৈ দুটা পদ থাকিব পাৰে। গতিকে, $x$ ত থকা যিকোনো ৰৈখিক বহুপদ $a x+b$ ৰ ৰূপৰ হ’ব, য’ত $a$ আৰু $b$ ধ্ৰুৱক আৰু $a \neq 0$ (কিয়?)। একেদৰে, $a y+b$ হৈছে $y$ ত থকা এটা ৰৈখিক বহুপদ।

এতিয়া তলৰ বহুপদবোৰ বিবেচনা কৰা:

$$2 x^{2}+5,5 x^{2}+3 x+\pi, x^{2} \text { and } x^{2}+\frac{2}{5} x$$

তুমি মানি লোৱানে যে এইবোৰৰ প্ৰতিটোৰ মাত্ৰা দুই? মাত্ৰা দুই থকা বহুপদক দ্বিঘাত বহুপদ বোলে। দ্বিঘাত বহুপদৰ কিছুমান উদাহৰণ হৈছে $5-y^{2}$, $4 y+5 y^{2}$ আৰু $6-y-y^{2}$। তুমি এটা চলকত চাৰিটা বেলেগ পদ থকা এটা দ্বিঘাত বহুপদ লিখিব পাৰানে? তুমি দেখিবা যে এটা চলকত থকা দ্বিঘাত বহুপদ এটাত বেছিকৈ ৩টা পদ থাকিব। যদি তুমি আৰু কেইটামান দ্বিঘাত বহুপদ তালিকাভুক্ত কৰা, তেন্তে তুমি দেখিবা যে $x$ ত থকা যিকোনো দ্বিঘাত বহুপদ $a x^{2}+b x+c$ ৰ ৰূপৰ হ’ব, য’ত $a \neq 0$ আৰু $a, b, c$ ধ্ৰুৱক। একেদৰে, $y$ ত থকা দ্বিঘাত বহুপদ $a y^{2}+b y+c$ ৰ ৰূপৰ হ’ব, যদি $a \neq 0$ আৰু $a, b, c$ ধ্ৰুৱক হয়।

মাত্ৰা তিনিটাক থকা বহুপদক আমি ঘন বহুপদ বুলি কওঁ। $x$ ত থকা ঘন বহুপদৰ কিছুমান উদাহৰণ হৈছে $4 x^{3}, 2 x^{3}+1,5 x^{3}+x^{2}, 6 x^{3}-x, 6-x^{3}, 2 x^{3}+4 x^{2}+6 x+7$। তুমি কি ভাবা যে এটা চলকত থকা ঘন বহুপদ এটাত কিমানটা পদ থাকিব পাৰে? ইয়াত বেছিকৈ ৪টা পদ থাকিব পাৰে। এইবোৰ $a x^{3}+b x^{2}+c x+d$ ৰ ৰূপত লিখিব পাৰি, য’ত $a \neq 0$ আৰু $a, b, c$ আৰু $d$ ধ্ৰুৱক।

এতিয়া, যেতিয়া তুমি মাত্ৰা ১, মাত্ৰা ২, বা মাত্ৰা ৩ থকা বহুপদ কেনেকুৱা দেখিলা, তুমি এটা চলকত থকা যিকোনো স্বাভাৱিক সংখ্যা $n$ ৰ বাবে মাত্ৰা $n$ থকা বহুপদ এটা লিখিব পাৰানে? $x$ চলকত থকা মাত্ৰা $n$ ৰ বহুপদ এটা হৈছে

$$a_{n} x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+\ldots+a_{1} x+a_{0}$$

ৰূপৰ এটা ৰাশি, য’ত $a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$ ধ্ৰুৱক আৰু $a_{n} \neq 0$।

বিশেষকৈ, যদি $a_{0}=a_{1}=a_{2}=a_{3}=\ldots=a_{n}=0$ (সকলো ধ্ৰুৱক শূন্য), আমি শূন্য বহুপদ পাম, যাক ০ৰে সূচোৱা হয়। শূন্য বহুপদটোৰ মাত্ৰা কিমান? শূন্য বহুপদটোৰ মাত্ৰা সংজ্ঞায়িত কৰা হোৱা নাই।

এতিয়ালৈকে আমি মাত্ৰ এটা চলকত থকা বহুপদৰ সৈতে ব্যৱহাৰ কৰিছো। আমি এটাতকৈ বেছি চলকত থকা বহুপদও থাকিব পাৰো। উদাহৰণস্বৰূপে, $x^{2}+y^{2}+x y z$ (য’ত চলকবোৰ হৈছে $x, y$ আৰু $z$) হৈছে তিনিটা চলকত থকা বহুপদ। একেদৰে $p^{2}+q^{10}+r$ (য’ত চলকবোৰ হৈছে $p, q$ আৰু $r$), $u^{3}+v^{2}$ (য’ত চলকবোৰ হৈছে $u$ আৰু $v$) ক্ৰমে তিনিটা আৰু দুটা চলকত থকা বহুপদ। তুমি পাছত এনেবোৰ বহুপদৰ বিষয়ে বিস্তাৰিতভাৱে অধ্যয়ন কৰিবা।

২.৩ বহুপদৰ শূন্য

$p(x)=5 x^{3}-2 x^{2}+3 x-2$ বহুপদটো বিবেচনা কৰা।

যদি আমি $p(x)$ ত $x$ ক সকলো ঠাইত ১ৰে সলনি কৰো, আমি পাওঁ

$$ \begin{aligned} p(1) & =5 \times(1)^{3}-2 \times(1)^{2}+3 \times(1)-2 \\ & =5-2+3-2 \\ & =4 \end{aligned} $$

গতিকে, আমি কওঁ যে $x=1$ ত $p(x)$ ৰ মান হৈছে ৪।

একেদৰে,

$p(0) =5(0)^{3}-2(0)^{2}+3(0)-2$

$$ =-2 $$

তুমি $p(-1)$ উলিয়াব পাৰানে?

উদাহৰণ ২ : চলকবোৰৰ নিৰ্দেশিত মানত তলৰ প্ৰতিটো বহুপদৰ মান নিৰ্ণয় কৰা:

(i) $p(x)=5 x^{2}-3 x+7$, $x=1$ ত।

(ii) $q(y)=3 y^{3}-4 y+\sqrt{11}$, $y=2$ ত।

(iii) $p(t)=4 t^{4}+5 t^{3}-t^{2}+6$, $t=a$ ত।

সমাধান : (i) $p(x)=5 x^{2}-3 x+7$

$x=1$ ত $p(x)$ বহুপদটোৰ মান দিয়া হৈছে

$$ \begin{aligned} p(1) & =5(1)^{2}-3(1)+7 \\ & =5-3+7=9 \end{aligned} $$

(ii) $q(y)=3 y^{3}-4 y+\sqrt{11}$

$y=2$ ত $q(y)$ বহুপদটোৰ মান দিয়া হৈছে

$$q(2)=3(2)^{3}-4(2)+\sqrt{11}=24-8+\sqrt{11}=16+\sqrt{11}$$

(iii) $p(t)=4 t^{4}+5 t^{3}-t^{2}+6$

$t=a$ ত $p(t)$ বহুপদটোৰ মান দিয়া হৈছে

$$ p(a)=4 a^{4}+5 a^{3}-a^{2}+6 $$

এতিয়া, $p(x)=x-1$ বহুপদটো বিবেচনা কৰা।

$p(1)$ কি? মনত ৰাখা: $p(1)=1-1=0$।

যিহেতু $p(1)=0$, আমি কওঁ যে ১ হৈছে $p(x)$ বহুপদটোৰ এটা শূন্য।

একেদৰে, তুমি পৰীক্ষা কৰিব পাৰা যে ২ হৈছে $q(x)$ ৰ এটা শূন্য, য’ত $q(x)=x-2$।

সাধাৰণতে, আমি কওঁ যে $p(x)$ বহুপদটোৰ শূন্য হৈছে এটা সংখ্যা $c$ যেনে $p(c)=0$।

তুমি লক্ষ্য কৰিছা হ’ব যে $x-1$ বহুপদটোৰ শূন্য পোৱা যায় ইয়াক ০ৰ সমান কৰি, অৰ্থাৎ $x-1=0$, যিয়ে $x=1$ দিয়ে। আমি কওঁ $p(x)=0$ হৈছে এটা বহুপদ সমীকৰণ আৰু ১ হৈছে বহুপদ সমীকৰণ $p(x)=0$ ৰ এটা মূল। গতিকে আমি কওঁ ১ হৈছে $x-1$ বহুপদটোৰ শূন্য, বা বহুপদ সমীকৰণ $x-1=0$ ৰ এটা মূল।

এতিয়া, ধ্ৰুৱক বহুপদ ৫ৰ কথা বিবেচনা কৰা। তুমি ক’ব পাৰানে ইয়াৰ শূন্য কি? ইয়াৰ কোনো শূন্য নাই কাৰণ $5 x^{0}$ ত $x$ ক যিকোনো সংখ্যাৰে সলনি কৰিলেও আমি ৫হে পাওঁ। প্ৰকৃততে, শূন্য নোহোৱা ধ্ৰুৱক বহুপদৰ কোনো শূন্য নাথাকে। শূন্য বহুপদৰ শূন্যবোৰৰ বিষয়ে কি? পৰম্পৰাগতভাৱে, প্ৰতিটো বাস্তৱ সংখ্যাই শূন্য বহুপদৰ শূন্য।

উদাহৰণ ৩ : পৰীক্ষা কৰা যে -২ আৰু ২ বহুপদ $x+2$ ৰ শূন্য নেকি।

সমাধান : ধৰা হওক $p(x)=x+2$।

তেন্তে $p(2)=2+2=4, p(-2)=-2+2=0$

সেয়েহে, -২ হৈছে $x+2$ বহুপদটোৰ এটা শূন্য, কিন্তু ২ নহয়।

উদাহৰণ ৪ : $p(x)=2 x+1$ বহুপদটোৰ এটা শূন্য নিৰ্ণয় কৰা।

সমাধান : $p(x)$ ৰ এটা শূন্য উলিওৱা, হৈছে সমীকৰণটো সমাধান কৰাৰ দৰেই

$$ p(x)=0 $$

এতিয়া,

$$ 2 x+1=0 \text { gives us } x=-\frac{1}{2} $$

গতিকে, $-\frac{1}{2}$ হৈছে $2 x+1$ বহুপদটোৰ এটা শূন্য।

এতিয়া, যদি $p(x)=a x+b, a \neq 0$, এটা ৰৈখিক বহুপদ হয়, তেন্তে আমি $p(x)$ ৰ এটা শূন্য কেনেকৈ উলিয়াব পাৰো? উদাহৰণ ৪য়ে তোমাক কিছু ধাৰণা দিয়া হ’ব পাৰে। $p(x)$ বহুপদটোৰ এটা শূন্য উলিওৱা, হৈছে বহুপদ সমীকৰণ $p(x)=0$ সমাধান কৰা।

এতিয়া, $p(x)=0$ ৰ অৰ্থ

$$ \begin{aligned} a x+b & =0, a \neq 0 \\ a x & =-b \\ x & =-\frac{b}{a} . \end{aligned} $$

গতিকে,

সেয়েহে, $x=-\frac{b}{a}$ হৈছে $p(x)$ ৰ একমাত্ৰ শূন্য, অৰ্থাৎ, এটা ৰৈখিক বহুপদৰ এটাই আৰু মাত্ৰ এটাই শূন্য থাকে।

এতিয়া আমি ক’ব পাৰো যে ১ হৈছে $x-1$ ৰ শূন্য, আৰু -২ হৈছে $x+2$ ৰ শূন্য।

উদাহৰণ ৫ : পৰীক্ষা কৰা যে ২ আৰু ০ বহুপদ $x^{2}-2 x$ ৰ শূন্য নেকি।

সমাধান : ধৰা হওক

$p(x)=x^{2}-2 x$

তেন্তে $p(2)=2^{2}-4=4-4=0$

আৰু $p(0)=0-0=0$

সেয়েহে, ২ আৰু ০ দুয়োটাই $x^{2}-2 x$ বহুপদটোৰ শূন্য।

এতিয়া আমাৰ লক্ষণবোৰ তালিকাভুক্ত কৰোঁ:

(i) বহুপদ এটাৰ শূন্য অগত্যা ০ নহ’বও পাৰে।

(ii) ০ বহুপদ এটাৰ শূন্য হ’ব পাৰে।

(iii) প্ৰতিটো ৰৈখিক বহুপদৰ এটাই আৰু মাত্ৰ এটাই শূন্য থাকে।

(iv) বহুপদ এটাৰ এটাতকৈ বেছি শূন্য থাকিব পাৰে।

২.৪ বহুপদৰ উৎপাদকত বিভাজন

এতিয়া ওপৰৰ উদাহৰণ ১০ৰ পৰিস্থিতিটো ঘনিষ্ঠভাৱে চাওঁ। ই আমাক কয় যে যিহেতু ভাগশেষ, $q\left(-\frac{1}{2}\right)=0,(2 t+1)$ হৈছে $q(t)$ ৰ এটা উৎপাদক, অৰ্থাৎ, কিছুমান বহুপদ $g(t)$ ৰ বাবে $q(t)=(2 t+1) g(t)$। ই হৈছে তলৰ উপপাদ্যটোৰ এটা বিশেষ ক্ষেত্ৰ।

উৎপাদক উপপাদ্য : যদি $p(x)$ হৈছে মাত্ৰা $n \geq 1$ ৰ বহুপদ এটা আৰু $a$ হৈছে যিকোনো বাস্তৱ সংখ্যা, তেন্তে (i) $x-a$ হৈছে $p(x)$ ৰ এটা উৎপাদক, যদি $p(a)=0$, আৰু (ii) $p(a)=0$, যদি $x-a$ হৈছে $p(x)$ ৰ এটা উৎপাদক।

প্ৰমাণ: ভাগশেষ উপপাদ্যৰ দ্বাৰা, $p(x)=(x-a) q(x)+p(a)$।

(i) যদি $p(a)=0$, তেন্তে $p(x)=(x-a) q(x)$, যিয়ে দেখুৱায় যে $x-a$ হৈছে $p(x)$ ৰ এটা উৎপাদক।

(ii) যিহেতু $x-a$ হৈছে কিছুমান বহুপদ $g(x)$ ৰ বাবে $p(x), p(x)=(x-a) g(x)$ ৰ এটা উৎপাদক। এই ক্ষেত্ৰত, $p(a)=(a-a) g(a)=0$।

উদাহৰণ ৬ : পৰীক্ষা কৰা যে $x+2$ হৈছে $x^{3}+3 x^{2}+5 x+6$ আৰু $2 x+4$ ৰ উৎপাদক নেকি।

সমাধান : $x+2$ ৰ শূন্য হৈছে -২। ধৰা হওক $p(x)=x^{3}+3 x^{2}+5 x+6$ আৰু $s(x)=2 x+4$ তেন্তে,

$$ \begin{aligned} p(-2) & =(-2)^{3}+3(-2)^{2}+5(-2)+6 \\ & =-8+12-10+6 \\ & =0 \end{aligned} $$

গতিকে, উৎপাদক উপপাদ্যৰ দ্বাৰা, $x+2$ হৈছে $x^{3}+3 x^{2}+5 x+6$ ৰ এটা উৎপাদক।

আকৌ,

$$ s(-2)=2(-2)+4=0 $$

গতিকে, $x+2$ হৈছে $2 x+4$ ৰ এটা উৎপাদক। প্ৰকৃততে, তুমি উৎপাদক উপপাদ্য প্ৰয়োগ নকৰাকৈয়ে এইটো পৰীক্ষা কৰিব পাৰা, কাৰণ $2 x+4=2(x+2)$।

উদাহৰণ ৭ : $k$ ৰ মান নিৰ্ণয় কৰা, যদি $x-1$ হৈছে $4 x^{3}+3 x^{2}-4 x+k$ ৰ এটা উৎপাদক।

সমাধান : যিহেতু $x-1$ হৈছে $p(x)=4 x^{3}+3 x^{2}-4 x+k, p(1)=0$ ৰ এটা উৎপাদক

এতিয়া,

$$ \begin{aligned} & p(1)=0 \text { होगा। } \\ & p(1)=4(1)^{3}+3(1)^{2}-4(1)+k \end{aligned} $$

গতিকে,

$$ \begin{aligned} 4+3-4+k & =0 \\ k & =-3 \end{aligned} $$

এতিয়া আমি মাত্ৰা ২ আৰু ৩ৰ কিছুমান বহুপদ উৎপাদকত বিভাজন কৰিবলৈ উৎপাদক উপপাদ্য ব্যৱহাৰ কৰিম। তুমি $x^{2}+l x+m$ৰ দৰে দ্বিঘাত বহুপদৰ উৎপাদকত বিভাজনৰ সৈতে ইতিমধ্যে পৰিচিত। তুমি মধ্যম পদ $l x$ ক $a x+b x$ হিচাপে ভাগ কৰি ইয়াক উৎপাদকত বিভাজন কৰিছিলা যাতে $a b=m$। তেন্তে $x^{2}+l x+m=(x+a)(x+b)$। আমি এতিয়া $a x^{2}+b x+c$ ধৰণৰ দ্বিঘাত বহুপদবোৰ উৎপাদকত বিভাজন কৰিবলৈ চেষ্টা কৰিম, য’ত $a \neq 0$ আৰু $a, b, c$ ধ্ৰুৱক।

মধ্যম পদ ভাগ কৰি $a x^{2}+b x+c$ বহুপদটোৰ উৎপাদকত বিভাজন তলত দিয়া ধৰণৰ:

ইয়াৰ উৎপাদকবোৰ $(p x+q)$ আৰু $(r x+s)$ হ’ব। তেন্তে $\frac{3 x^{2}}{x}=3 x=$ ভাগফলৰ প্ৰথম পদ

$a x^{2}+b x+c=(p x+q)(r x+s)=p r x^{2}+(p s+q r) x+q s$

$x^{2}$ ৰ সহগবোৰ তুলনা কৰি, আমি পাওঁ $a=p r$।

একেদৰে, $x$ ৰ সহগবোৰ তুলনা কৰি, আমি পাওঁ $b=p s+q r$।

আৰু, ধ্ৰুৱক পদবোৰ তুলনা কৰি, আমি পাওঁ $c=q s$।

ই আমাক দেখুৱায় যে $b$ হৈছে দুটা সংখ্যা $p s$ আৰু $q r$ ৰ সমষ্টি, যাৰ গুণফল হৈছে $(p s)(q r)=(p r)(q s)=a c$।

সেয়েহে, $a x^{2}+b x+c$ উৎপাদকত বিভাজন কৰিবলৈ, আমি $b$ ক দুটা সংখ্যাৰ সমষ্টি হিচাপে লিখিব লাগিব যাৰ গুণফল $a c$। উদাহৰণ ১৩ৰ পৰা এইটো স্পষ্ট হ’ব।

উদাহৰণ ৮ : মধ্যম পদ ভাগ কৰি, আৰু উৎপাদক উপপাদ্য ব্যৱহাৰ কৰি $6 x^{2}+17 x+5$ উৎপাদকত বিভাজন কৰা।

সমাধান ১ : (ভাগ কৰা পদ্ধতিৰে): যদি আমি দুটা সংখ্যা $p$ আৰু $q$ এনে বিচাৰি পাওঁ যে $p+q=17$ আৰু $p q=6 \times 5=30$, তেন্তে আমি উৎপাদকবোৰ পাব পাৰো।

গতিকে, ৩০ৰ উৎপাদক যোৰবোৰ চাওঁ। কিছুমান হৈছে ১ আৰু ৩০, ২ আৰু ১৫, ৩ আৰু ১০, ৫ আৰু ৬। এই যোৰবোৰৰ ভিতৰত, ২ আৰু ১৫য়ে আমাক $p+q=17$ দিব।

গতিকে,

$$ \begin{aligned} 6 x^{2}+17 x+5 & =6 x^{2}+(2+15) x+5 \\ & =6 x^{2}+2 x+15 x+5 \\ & =2 x(3 x+1)+5(3 x+1) \\ & =(3 x+1)(2 x+5) \end{aligned} $$

সমাধান ২ : (উৎপাদক উপপাদ্য ব্যৱহাৰ কৰি)

$6 x^{2}+17 x+5=6\left(x^{2}+\frac{17}{6} x+\frac{5}{6}\right)=6 p(x)$, ধৰা হওক। যদি $a$ আৰু $b$ হৈছে $p(x)$ ৰ শূন্য, তেন্তে $6 x^{2}+17 x+5=6(x-a)(x-b)$। গতিকে, $a b=\frac{5}{6} \cdot$

$a$ আৰু b ৰ বাবে কিছুমান সম্ভাৱনা চাওঁ।

এইবোৰ $\pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{3}, \pm \frac{5}{3}, \pm \frac{5}{2}, \pm 1$ হ’ব পাৰে।

এতিয়া, $p\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{4}+\frac{17}{6}\left(\frac{1}{2}\right)+\frac{5}{6} \neq 0$।

কিন্তু $p\left(\frac{-1}{3}\right)=0$।

গতিকে, $\left(x+\frac{1}{3}\right)$ হৈছে $p(x)$ ৰ এটা উৎপাদক।

একেদৰে, পৰীক্ষাৰ দ্বাৰা, তুমি দেখিব পাৰা যে $\left(x+\frac{5}{2}\right)$ হৈছে $p(x)$ ৰ এটা উৎপাদক।

সেয়েহে,

$$ \begin{aligned} 6 x^{2}+17 x+5 & =6\left(x+\frac{1}{3}\right)\left(x+\frac{5}{2}\right) \\ & =6\left(\frac{3 x+1}{3}\right)\left(\frac{2 x+5}{2}\right) \\ & =(3 x+1)(2 x+5) \end{aligned} $$

ওপৰৰ উদাহৰণটোৰ বাবে, ভাগ কৰা পদ্ধতিৰ ব্যৱহাৰ অধিক কাৰ্যকৰী যেন লাগে। অৱশ্যে, আন এটা উদাহৰণ বিবেচনা কৰোঁ।

উদাহৰণ ৯ : উৎপাদক উপপাদ্য ব্যৱহাৰ কৰি $y^{2}-5 y+6$ উৎপাদকত বিভাজন কৰা।

সমাধান : ধৰা হওক $p(y)=y^{2}-5 y+6$। এতিয়া, যদি $p(y)=(y-a)(y-b)$, তুমি জানা যে ধ্ৰুৱক পদটো $a b$ হ’ব। গতিকে, $a b=6$। সেয়েহে, $p(y)$ ৰ উৎপাদকবোৰ বিচাৰিবলৈ, আমি ৬ৰ উৎপাদকবোৰ চাওঁ।

৬ৰ উৎপাদকবোৰ হৈছে ১, ২ আৰু ৩।

এতিয়া, $p(2)=2^{2}-(5 \times 2)+6=0$

গতিকে, $y-2$ হৈছে $p(y)$ ৰ এটা উৎপাদক।

আকৌ, $p(3)=3^{2}-(5 \times 3)+6=0$

গতিকে, $y-3$ও $y^{2}-5 y+6$ ৰ এটা উৎপাদক।

সেয়েহে, $y^{2}-5 y+6=(y-2)(y-3)$

মনত ৰাখিবা যে $y^{2}-5 y+6$ ক মধ্যম পদ $-5 y$ ভাগ কৰিও উৎপাদকত বিভাজন কৰিব পাৰি।

এতিয়া, ঘন বহুপদবোৰ উৎপাদকত বিভাজন কৰাৰ কথা বিবেচনা কৰোঁ। ইয়াত, আৰম্ভণিতে ভাগ কৰা পদ্ধতি উপযুক্ত নহ’ব। তলৰ উদাহৰণটোত দেখুৱাৰ দৰে, আমাক আৰম্ভণিতে অন্ততঃ এটা উৎপাদক বিচাৰিব লাগিব।

উদাহৰণ ১০ : $x^{3}-23 x^{2}+142 x-120$ উৎপাদকত বিভাজন কৰা।

সমাধান : ধৰা হওক $p(x)=x^{3}-23 x^{2}+142 x-120$

এতিয়া আমি -১২০ৰ সকলো উৎপাদক বিচাৰিম। এইবোৰৰ কিছুমান হৈছে

$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 5, \pm 6, \pm 8, \pm 10, \pm 12, \pm 15, \pm 20, \pm 24, \pm 30, \pm 60$।

পৰীক্ষাৰ দ্বাৰা, আমি পাওঁ যে $p(1)=0$। গতিকে $x-1$ হৈছে $p(x)$ ৰ এটা উৎপাদক।

এতিয়া আমি দেখো যে $x^{3}-23 x^{2}+142 x-120=x^{3}-x^{2}-22 x^{2}+22 x+120 x-120$

$$ \begin{aligned} & =x^{2}(x-1)-22 x(x-1)+120(x-1) \quad(\text { Why? }) \\ & =(x-1)\left(x^{2}-22 x+120\right) \quad[\text { Taking }(x-1) \text { common }] \end{aligned} $$

$p(x)$ ক $x-1$ ৰে হৰণ কৰিও আমি এইটো পাব পাৰিলোহেঁতেন।

এতিয়া $x^{2}-22 x+120$ ক মধ্যম পদ ভাগ কৰি বা উৎপাদক উপপাদ্য ব্যৱহাৰ কৰি উৎপাদকত বিভাজন কৰিব পাৰি। মধ্যম পদ ভাগ কৰি, আমি পাওঁ:

$$ \begin{aligned} x^{2}-22 x+120 & =x^{2}-12 x-10 x+120 \\ & =x(x-12)-10(x-12) \\ & =(x-12)(x-10) \end{aligned} $$

গতিকে, $\quad x^{3}-23 x^{2}-142 x-120=(x-1)(x-10)(x-12)$

২.৫ বীজগণিতীয় সৰ্বসমতা

তোমাৰ আগৰ শ্ৰেণীসমূহৰ পৰা, তুমি মনত পেলাব পাৰা যে বীজগণিতীয় সৰ্বসমতা হৈছে এটা বীজগণিতীয় সমীকৰণ যিটো ইয়াত থকা চলক