2.1 تعارف

آپ نے پچھلی جماعتوں میں الجبرائی اظہار، ان کی جمع، تفریق، ضرب اور تقسیم کا مطالعہ کیا ہے۔ آپ نے یہ بھی سیکھا ہے کہ کچھ الجبرائی اظہارات کو کیسے عامل بنایا جاتا ہے۔ آپ کو الجبرائی شناختوں کی یاد ہوگی:

اور

$$ \begin{aligned} & (x+y)^{2}=x^{2}+2 x y+y^{2} \\ & (x-y)^{2}=x^{2}-2 x y+y^{2} \\ & x^{2}-y^{2}=(x+y)(x-y) \end{aligned} $$

اور عامل سازی میں ان کے استعمال۔ اس باب میں، ہم ایک خاص قسم کے الجبرائی اظہار سے اپنی تعلیم کا آغاز کریں گے، جسے کثیرالرقمی کہتے ہیں، اور اس سے متعلق اصطلاحات۔ ہم باقی ماندہ قضیہ اور عامل قضیہ اور کثیرالرموز کی عامل سازی میں ان کے استعمال کا بھی مطالعہ کریں گے۔ اس کے علاوہ، ہم کچھ مزید الجبرائی شناختوں اور عامل سازی اور کچھ دی گئی عبارتوں کی قدر نکالنے میں ان کے استعمال کا مطالعہ کریں گے۔

2.2 ایک متغیر میں کثیرالرموز

آئیے اس بات کو یاد کرکے شروع کرتے ہیں کہ متغیر کو ایک ایسے علامت سے ظاہر کیا جاتا ہے جو کوئی بھی حقیقی قدر اختیار کر سکتا ہے۔ ہم متغیرات کو ظاہر کرنے کے لیے حروف $x, y, z$ وغیرہ استعمال کرتے ہیں۔ نوٹ کریں کہ $2 x, 3 x,-x,-\frac{1}{2} x$ الجبرائی اظہار ہیں۔ یہ تمام اظہار (ایک مستقل) $\times x$ کی شکل میں ہیں۔ اب فرض کریں کہ ہم ایک ایسا اظہار لکھنا چاہتے ہیں جو (ایک مستقل) $\times($ ایک متغیر $)$ ہو اور ہم نہیں جانتے کہ مستقل کیا ہے۔ ایسے معاملات میں، ہم مستقل کو $a, b, c$ وغیرہ لکھتے ہیں۔ لہذا اظہار $a x$ ہوگا، فرض کریں۔

تاہم، مستقل کو ظاہر کرنے والے حرف اور متغیر کو ظاہر کرنے والے حرف میں فرق ہے۔ مستقلات کی قدریں کسی خاص صورت حال میں یکساں رہتی ہیں، یعنی دیے گئے مسئلے میں مستقلات کی قدریں تبدیل نہیں ہوتیں، لیکن متغیر کی قدر بدلتی رہ سکتی ہے۔

اب، 3 اکائیوں کا ایک مربع غور کریں (شکل 2.1 دیکھیں)۔ اس کا محیط کیا ہے؟ آپ جانتے ہیں کہ مربع کا محیط اس کی چاروں اطراف کی لمبائیوں کا مجموعہ ہوتا ہے۔ یہاں، ہر طرف 3 اکائیاں ہیں۔ لہذا، اس کا محیط $4 \times 3$ ہے، یعنی 12 اکائیاں۔ اگر مربع کی ہر طرف 10 اکائیاں ہو تو محیط کیا ہوگا؟ محیط $4 \times 10$ ہے، یعنی 40 اکائیاں۔ اگر ہر طرف کی لمبائی $x$ اکائیاں ہو (شکل 2.2 دیکھیں)، تو محیط $4 x$ اکائیوں کے ذریعے دیا جاتا ہے۔ لہذا، جیسے جیسے طرف کی لمبائی بدلتی ہے، محیط بدلتا ہے۔

شکل 2.1

شکل 2.2 متغیر $x$ میں کثیرالرقمی۔ اسی طرح، $3 y^{2}+5 y$ متغیر $y$ میں ایک کثیرالرقمی ہے اور $t^{2}+4$ متغیر $t$ میں ایک کثیرالرقمی ہے۔

کثیرالرقمی $x^{2}+2 x$ میں، اظہارات $x^{2}$ اور $2 x$ کو کثیرالرقمی کی شرائط کہا جاتا ہے۔ اسی طرح، کثیرالرقمی $3 y^{2}+5 y+7$ کی تین شرائط ہیں، یعنی $3 y^{2}, 5 y$ اور 7۔ کیا آپ کثیرالرقمی $-x^{3}+4 x^{2}+7 x-2$ کی شرائط لکھ سکتے ہیں؟ اس کثیرالرقمی کی 4 شرائط ہیں، یعنی $-x^{3}, 4 x^{2}, 7 x$ اور -2۔

کثیرالرقمی کی ہر شرط کا ایک عددی سر (coefficient) ہوتا ہے۔ لہذا، $-x^{3}+4 x^{2}+7 x-2$ میں، $x^{3}$ کا عددی سر -1 ہے، $x^{2}$ کا عددی سر 4 ہے، $x$ کا عددی سر 7 ہے اور -2 $x^{0}$ کا عددی سر ہے (یاد رکھیں، $x^{0}=1$)۔ کیا آپ جانتے ہیں کہ $x^{2}-x+7$ میں $x$ کا عددی سر کیا ہے؟ یہ -1 ہے۔

2 بھی ایک کثیرالرقمی ہے۔ درحقیقت، $2,-5,7$ وغیرہ مستقل کثیرالرموز کی مثالیں ہیں۔ مستقل کثیرالرقمی 0 کو صفر کثیرالرقمی کہتے ہیں۔ تمام کثیرالرموز کے مجموعے میں اس کی بہت اہم کردار ہے، جیسا کہ آپ اعلیٰ جماعتوں میں دیکھیں گے۔

اب، الجبرائی اظہارات جیسے $x+\frac{1}{x}, \sqrt{x}+3$ اور $\sqrt[3]{y}+y^{2}$ پر غور کریں۔ کیا آپ جانتے ہیں کہ آپ $x+\frac{1}{x}=x+x^{-1}$ لکھ سکتے ہیں؟ یہاں، دوسری شرط کا اُس (exponent)، یعنی $x^{-1}$ -1 ہے، جو ایک پورا عدد نہیں ہے۔ لہذا، یہ الجبرائی اظہار ایک کثیرالرقمی نہیں ہے۔

پھر، $\sqrt{x}+3$ کو $x^{\frac{1}{2}}+3$ لکھا جا سکتا ہے۔ یہاں $x$ کا اُس $\frac{1}{2}$ ہے، جو ایک پورا عدد نہیں ہے۔ تو کیا $\sqrt{x}+3$ ایک کثیرالرقمی ہے؟ نہیں، یہ نہیں ہے۔ $\sqrt[3]{y}+y^{2}$ کے بارے میں کیا خیال ہے؟ یہ بھی ایک کثیرالرقمی نہیں ہے (کیوں؟)۔

اگر کثیرالرقمی میں متغیر $x$ ہے، تو ہم کثیرالرقمی کو $p(x)$، یا $q(x)$، یا $r(x)$ وغیرہ سے ظاہر کر سکتے ہیں۔ لہذا، مثال کے طور پر، ہم لکھ سکتے ہیں:

$$ \begin{aligned} & p(x)=2 x^{2}+5 x-3 \\ & q(x)=x^{3}-1 \\ & r(y)=y^{3}+y+1 \\ & s(u)=2-u-u^{2}+6 u^{5} \end{aligned} $$

ایک کثیرالرقمی میں کوئی بھی (محدود) تعداد میں شرائط ہو سکتی ہیں۔ مثال کے طور پر، $x^{150}+x^{149}+\ldots$ $+x^{2}+x+1$ 151 شرائط والی ایک کثیرالرقمی ہے۔

کثیرالرموز $2 x, 2,5 x^{3},-5 x^{2}, y$ اور $u^{4}$ پر غور کریں۔ کیا آپ دیکھتے ہیں کہ ان میں سے ہر کثیرالرقمی کی صرف ایک شرط ہے؟ صرف ایک شرط والے کثیرالرموز کو یک رقمی (monomials) کہتے ہیں (‘mono’ کا مطلب ہے ‘ایک’)۔

اب درج ذیل میں سے ہر کثیرالرقمی کا مشاہدہ کریں:

$p(x)=x+1, \quad q(x)=x^{2}-x,$ $r(y)=y^{30}+1, \quad t(u)=u^{43}-u^{2}$

ان میں سے ہر ایک میں کتنی شرائط ہیں؟ ان میں سے ہر کثیرالرقمی کی صرف دو شرائط ہیں۔ صرف دو شرائط والے کثیرالرموز کو دو رقمی (binomials) کہتے ہیں (‘bi’ کا مطلب ہے ‘دو’)۔

اسی طرح، صرف تین شرائط والے کثیرالرموز کو ثلاثی (trinomials) کہتے ہیں (’tri’ کا مطلب ہے ‘تین’)۔ ثلاثی کی کچھ مثالیں ہیں

$$ \begin{array}{ll} p(x)=x+x^{2}+\pi, & q(x)=\sqrt{2}+x-x^{2}, \\ r(u)=u+u^{2}-2, & t(y)=y^{4}+y+5 \end{array} $$

اب، کثیرالرقمی $p(x)=3 x^{7}-4 x^{6}+x+9$ پر نظر ڈالیں۔ $x$ کی سب سے زیادہ طاقت والی شرط کون سی ہے؟ یہ $3 x^{7}$ ہے۔ اس شرط میں $x$ کا اُس 7 ہے۔ اسی طرح، کثیرالرقمی $q(y)=5 y^{6}-4 y^{2}-6$ میں، $y$ کی سب سے زیادہ طاقت والی شرط $5 y^{6}$ ہے اور اس شرط میں $y$ کا اُس 6 ہے۔ ہم کثیرالرقمی میں متغیر کی سب سے زیادہ طاقت کو کثیرالرقمی کی degree کہتے ہیں۔ لہذا، کثیرالرقمی $3 x^{7}-4 x^{6}+x+9$ کی degree 7 ہے اور کثیرالرقمی $5 y^{6}-4 y^{2}-6$ کی degree 6 ہے۔ ایک غیر صفر مستقل کثیرالرقمی کی degree صفر ہوتی ہے۔

مثال 1: درج ذیل میں سے ہر کثیرالرقمی کی degree معلوم کریں:

(i) $x^{5}-x^{4}+3$

(ii) $2-y^{2}-y^{3}+2 y^{8}$

(iii) 2

حل: (i) متغیر کی سب سے زیادہ طاقت 5 ہے۔ لہذا، کثیرالرقمی کی degree 5 ہے۔

(ii) متغیر کی سب سے زیادہ طاقت 8 ہے۔ لہذا، کثیرالرقمی کی degree 8 ہے۔

(iii) یہاں واحد شرط 2 ہے جسے $2 x^{0}$ لکھا جا سکتا ہے۔ لہذا $x$ کا اُس 0 ہے۔ لہذا، کثیرالرقمی کی degree 0 ہے۔

اب کثیرالرموز $p(x)=4 x+5, q(y)=2 y, r(t)=t+\sqrt{2}$ اور $s(u)=3-u$ کا مشاہدہ کریں۔ کیا آپ ان سب میں کچھ مشترک دیکھتے ہیں؟ ان میں سے ہر کثیرالرقمی کی degree ایک ہے۔ degree ایک والے کثیرالرقمی کو خطی کثیرالرقمی (linear polynomial) کہتے ہیں۔ ایک متغیر میں کچھ مزید خطی کثیرالرموز $2 x-1, \sqrt{2} y+1,2-u$ ہیں۔ اب، کوشش کریں اور $x$ میں 3 شرائط والا ایک خطی کثیرالرقمی تلاش کریں؟ آپ اسے نہیں پا سکیں گے کیونکہ $x$ میں ایک خطی کثیرالرقمی میں زیادہ سے زیادہ دو شرائط ہو سکتی ہیں۔ لہذا، $x$ میں کوئی بھی خطی کثیرالرقمی $a x+b$ کی شکل میں ہوگا، جہاں $a$ اور $b$ مستقل ہیں اور $a \neq 0$ (کیوں؟)۔ اسی طرح، $a y+b$ $y$ میں ایک خطی کثیرالرقمی ہے۔

اب درج ذیل کثیرالرموز پر غور کریں:

$$2 x^{2}+5,5 x^{2}+3 x+\pi, x^{2} \text { and } x^{2}+\frac{2}{5} x$$

کیا آپ متفق ہیں کہ یہ سب degree دو کے ہیں؟ degree دو والے کثیرالرقمی کو درجہ دوم کثیرالرقمی (quadratic polynomial) کہتے ہیں۔ درجہ دوم کثیرالرقمی کی کچھ مثالیں $5-y^{2}$، $4 y+5 y^{2}$ اور $6-y-y^{2}$ ہیں۔ کیا آپ ایک متغیر میں چار مختلف شرائط والا ایک درجہ دوم کثیرالرقمی لکھ سکتے ہیں؟ آپ پائیں گے کہ ایک متغیر میں ایک درجہ دوم کثیرالرقمی میں زیادہ سے زیادہ 3 شرائط ہوں گی۔ اگر آپ کچھ مزید درجہ دوم کثیرالرموز کی فہرست بنائیں، تو آپ پائیں گے کہ $x$ میں کوئی بھی درجہ دوم کثیرالرقمی $a x^{2}+b x+c$ کی شکل میں ہوگا، جہاں $a \neq 0$ اور $a, b, c$ مستقل ہیں۔ اسی طرح، $y$ میں درجہ دوم کثیرالرقمی $a y^{2}+b y+c$ کی شکل میں ہوگا، بشرطیکہ $a \neq 0$ اور $a, b, c$ مستقل ہوں۔

ہم degree تین والے کثیرالرقمی کو درجہ سوم کثیرالرقمی (cubic polynomial) کہتے ہیں۔ $x$ میں درجہ سوم کثیرالرقمی کی کچھ مثالیں $4 x^{3}, 2 x^{3}+1,5 x^{3}+x^{2}, 6 x^{3}-x, 6-x^{3}, 2 x^{3}+4 x^{2}+6 x+7$ ہیں۔ آپ کے خیال میں ایک متغیر میں درجہ سوم کثیرالرقمی میں کتنی شرائط ہو سکتی ہیں؟ اس میں زیادہ سے زیادہ 4 شرائط ہو سکتی ہیں۔ انہیں $a x^{3}+b x^{2}+c x+d$ کی شکل میں لکھا جا سکتا ہے، جہاں $a \neq 0$ اور $a, b, c$ اور $d$ مستقل ہیں۔

اب، جب آپ نے دیکھ لیا ہے کہ degree 1، degree 2، یا degree 3 والا کثیرالرقمی کیسا لگتا ہے، کیا آپ کسی بھی قدرتی عدد $n$ کے لیے degree $n$ والا ایک متغیر میں کثیرالرقمی لکھ سکتے ہیں؟ ایک متغیر $x$ میں degree $n$ والا کثیرالرقمی درج ذیل اظہار ہوتا ہے

$$a_{n} x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+\ldots+a_{1} x+a_{0}$$

جہاں $a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$ مستقل ہیں اور $a_{n} \neq 0$۔

خاص طور پر، اگر $a_{0}=a_{1}=a_{2}=a_{3}=\ldots=a_{n}=0$ (تمام مستقل صفر ہیں)، تو ہمیں صفر کثیرالرقمی ملتی ہے، جسے 0 سے ظاہر کیا جاتا ہے۔ صفر کثیرالرقمی کی degree کیا ہے؟ صفر کثیرالرقمی کی degree متعین نہیں ہے۔

اب تک ہم نے صرف ایک متغیر میں کثیرالرموز سے نمٹا ہے۔ ہمارے پاس ایک سے زیادہ متغیرات میں بھی کثیرالرموز ہو سکتے ہیں۔ مثال کے طور پر، $x^{2}+y^{2}+x y z$ (جہاں متغیرات $x, y$ اور $z$ ہیں) تین متغیرات میں ایک کثیرالرقمی ہے۔ اسی طرح $p^{2}+q^{10}+r$ (جہاں متغیرات $p, q$ اور $r$ ہیں)، $u^{3}+v^{2}$ (جہاں متغیرات $u$ اور $v$ ہیں) بالترتیب تین اور دو متغیرات میں کثیرالرموز ہیں۔ آپ بعد میں ایسے کثیرالرموز کا تفصیل سے مطالعہ کریں گے۔

2.3 کثیرالرقمی کے صفر

کثیرالرقمی $p(x)=5 x^{3}-2 x^{2}+3 x-2$ پر غور کریں۔

اگر ہم $p(x)$ میں ہر جگہ $x$ کو 1 سے بدل دیں، تو ہمیں ملتا ہے

$$ \begin{aligned} p(1) & =5 \times(1)^{3}-2 \times(1)^{2}+3 \times(1)-2 \\ & =5-2+3-2 \\ & =4 \end{aligned} $$

لہذا، ہم کہتے ہیں کہ $p(x)$ کی قدر $x=1$ پر 4 ہے۔

اسی طرح،

$p(0) =5(0)^{3}-2(0)^{2}+3(0)-2$

$$ =-2 $$

کیا آپ $p(-1)$ معلوم کر سکتے ہیں؟

مثال 2: متغیرات کی نشاندہی کردہ قدر پر درج ذیل میں سے ہر کثیرالرقمی کی قدر معلوم کریں:

(i) $p(x)=5 x^{2}-3 x+7$ پر $x=1$۔

(ii) $q(y)=3 y^{3}-4 y+\sqrt{11}$ پر $y=2$۔

(iii) $p(t)=4 t^{4}+5 t^{3}-t^{2}+6$ پر $t=a$۔

حل: (i) $p(x)=5 x^{2}-3 x+7$

کثیرالرقمی $p(x)$ کی قدر $x=1$ پر درج ذیل کے ذریعے دی جاتی ہے

$$ \begin{aligned} p(1) & =5(1)^{2}-3(1)+7 \\ & =5-3+7=9 \end{aligned} $$

(ii) $q(y)=3 y^{3}-4 y+\sqrt{11}$

کثیرالرقمی $q(y)$ کی قدر $y=2$ پر درج ذیل کے ذریعے دی جاتی ہے

$$q(2)=3(2)^{3}-4(2)+\sqrt{11}=24-8+\sqrt{11}=16+\sqrt{11}$$

(iii) $p(t)=4 t^{4}+5 t^{3}-t^{2}+6$

کثیرالرقمی $p(t)$ کی قدر $t=a$ پر درج ذیل کے ذریعے دی جاتی ہے

$$ p(a)=4 a^{4}+5 a^{3}-a^{2}+6 $$

اب، کثیرالرقمی $p(x)=x-1$ پر غور کریں۔

$p(1)$ کیا ہے؟ نوٹ کریں: $p(1)=1-1=0$۔

چونکہ $p(1)=0$، ہم کہتے ہیں کہ 1 کثیرالرقمی $p(x)$ کا ایک صفر ہے۔

اسی طرح، آپ چیک کر سکتے ہیں کہ 2 $q(x)$ کا ایک صفر ہے، جہاں $q(x)=x-2$۔

عام طور پر، ہم کہتے ہیں کہ کثیرالرقمی $p(x)$ کا ایک صفر ایک عدد $c$ ہے جیسا کہ $p(c)=0$۔

آپ نے ضرور مشاہدہ کیا ہوگا کہ کثیرالرقمی $x-1$ کا صفر اسے 0 کے برابر کرکے حاصل کیا جاتا ہے، یعنی $x-1=0$، جو $x=1$ دیتا ہے۔ ہم کہتے ہیں $p(x)=0$ ایک کثیرالرقمی مساوات ہے اور 1 کثیرالرقمی مساوات $p(x)=0$ کا جڑ ہے۔ لہذا ہم کہتے ہیں کہ 1 کثیرالرقمی $x-1$ کا صفر ہے، یا کثیرالرقمی مساوات $x-1=0$ کا جڑ۔

اب، مستقل کثیرالرقمی 5 پر غور کریں۔ کیا آپ بتا سکتے ہیں کہ اس کا صفر کیا ہے؟ اس کا کوئی صفر نہیں ہے کیونکہ $5 x^{0}$ میں $x$ کو کسی بھی عدد سے بدلنے پر ہمیں پھر بھی 5 ملتا ہے۔ درحقیقت، ایک غیر صفر مستقل کثیرالرقمی کا کوئی صفر نہیں ہوتا۔ صفر کثیرالرقمی کے صفر کے بارے میں کیا خیال ہے؟ رواج کے مطابق، ہر حقیقی عدد صفر کثیرالرقمی کا ایک صفر ہے۔

مثال 3: چیک کریں کہ آیا -2 اور 2 کثیرالرقمی $x+2$ کے صفر ہیں۔

حل: فرض کریں $p(x)=x+2$۔

پھر $p(2)=2+2=4, p(-2)=-2+2=0$

لہذا، -2 کثیرالرقمی $x+2$ کا ایک صفر ہے، لیکن 2 نہیں ہے۔

مثال 4: کثیرالرقمی $p(x)=2 x+1$ کا ایک صفر معلوم کریں۔

حل: $p(x)$ کا ایک صفر معلوم کرنا، مساوات حل کرنے کے مترادف ہے

$$ p(x)=0 $$

اب،

$$ 2 x+1=0 \text { gives us } x=-\frac{1}{2} $$

لہذا، $-\frac{1}{2}$ کثیرالرقمی $2 x+1$ کا ایک صفر ہے۔

اب، اگر $p(x)=a x+b, a \neq 0$، ایک خطی کثیرالرقمی ہے، تو ہم $p(x)$ کا ایک صفر کیسے معلوم کر سکتے ہیں؟ مثال 4 نے آپ کو کچھ خیال دیا ہوگا۔ کثیرالرقمی $p(x)$ کا ایک صفر معلوم کرنا، کثیرالرقمی مساوات $p(x)=0$ حل کرنے کے برابر ہے۔

اب، $p(x)=0$ کا مطلب ہے

$$ \begin{aligned} a x+b & =0, a \neq 0 \\ a x & =-b \\ x & =-\frac{b}{a} . \end{aligned} $$

لہذا،

تو، $x=-\frac{b}{a}$ $p(x)$ کا واحد صفر ہے، یعنی ایک خطی کثیرالرقمی کا ایک اور صرف ایک صفر ہوتا ہے۔

اب ہم کہہ سکتے ہیں کہ 1 $x-1$ کا صفر ہے، اور -2 $x+2$ کا صفر ہے۔

مثال 5: تصدیق کریں کہ آیا 2 اور 0 کثیرالرقمی $x^{2}-2 x$ کے صفر ہیں۔

حل: فرض کریں

$p(x)=x^{2}-2 x$

پھر $p(2)=2^{2}-4=4-4=0$

اور $p(0)=0-0=0$

لہذا، 2 اور 0 دونوں کثیرالرقمی $x^{2}-2 x$ کے صفر ہیں۔

آئیے اب اپنے مشاہدات کی فہرست بنائیں:

(i) کثیرالرقمی کا صفر 0 ہونا ضروری نہیں ہے۔

(ii) 0 کثیرالرقمی کا ایک صفر ہو سکتا ہے۔

(iii) ہر خطی کثیرالرقمی کا ایک اور صرف ایک صفر ہوتا ہے۔

(iv) ایک کثیرالرقمی کے ایک سے زیادہ صفر ہو سکتے ہیں۔

2.4 کثیرالرموز کی عامل سازی

آئیے اب مثال 10 کے اوپر والی صورت حال پر قریب سے نظر ڈالیں۔ یہ ہمیں بتاتی ہے کہ چونکہ باقی، $q\left(-\frac{1}{2}\right)=0,(2 t+1)$ $q(t)$ کا ایک عامل ہے، یعنی $q(t)=(2 t+1) g(t)$ کسی کثیرالرقمی $g(t)$ کے لیے۔ یہ درج ذیل قضیہ کا ایک خاص معاملہ ہے۔

عامل قضیہ: اگر $p(x)$ degree $n \geq 1$ کا ایک کثیرالرقمی ہے اور $a$ کوئی بھی حقیقی عدد ہے، تو (i) $x-a$ $p(x)$ کا ایک عامل ہے، اگر $p(a)=0$، اور (ii) $p(a)=0$، اگر $x-a$ $p(x)$ کا ایک عامل ہے۔

ثبوت: باقی ماندہ قضیہ کے مطابق، $p(x)=(x-a) q(x)+p(a)$۔

(i) اگر $p(a)=0$، تو $p(x)=(x-a) q(x)$، جو دکھاتا ہے کہ $x-a$ $p(x)$ کا ایک عامل ہے۔

(ii) چونکہ $x-a$ کسی کثیرالرقمی $g(x)$ کے لیے $p(x), p(x)=(x-a) g(x)$ کا ایک عامل ہے۔ اس معاملے میں، $p(a)=(a-a) g(a)=0$۔

مثال 6: جانچیں کہ آیا $x+2$ $x^{3}+3 x^{2}+5 x+6$ اور $2 x+4$ کا ایک عامل ہے۔

حل: $x+2$ کا صفر -2 ہے۔ فرض کریں $p(x)=x^{3}+3 x^{2}+5 x+6$ اور $s(x)=2 x+4$ پھر،

$$ \begin{aligned} p(-2) & =(-2)^{3}+3(-2)^{2}+5(-2)+6 \\ & =-8+12-10+6 \\ & =0 \end{aligned} $$

لہذا، عامل قضیہ کے مطابق، $x+2$ $x^{3}+3 x^{2}+5 x+6$ کا ایک عامل ہے۔

پھر،

$$ s(-2)=2(-2)+4=0 $$

لہذا، $x+2$ $2 x+4$ کا ایک عامل ہے۔ درحقیقت، آپ عامل قضیہ کو استعمال کیے بغیر اس کی تصدیق کر سکتے ہیں، کیونکہ $2 x+4=2(x+2)$۔

مثال 7: $k$ کی قدر معلوم کریں، اگر $x-1$ $4 x^{3}+3 x^{2}-4 x+k$ کا ایک عامل ہے۔

حل: چونکہ $x-1$ $p(x)=4 x^{3}+3 x^{2}-4 x+k, p(1)=0$ کا ایک عامل ہے

اب،

$$ \begin{aligned} & p(1)=0 \text { होगा। } \\ & p(1)=4(1)^{3}+3(1)^{2}-4(1)+k \end{aligned} $$

لہذا،

$$ \begin{aligned} 4+3-4+k & =0 \\ k & =-3 \end{aligned} $$

اب ہم درجہ 2 اور 3 کے کچھ کثیرالرموز کی عامل سازی کے لیے عامل قضیہ استعمال کریں گے۔ آپ پہلے سے ہی $x^{2}+l x+m$ جیسے درجہ دوم کثیرالرقمی کی عامل سازی سے واقف ہیں۔ آپ نے درمیانی شرط $l x$ کو $a x+b x$ کے طور پر تقسیم کرکے اس کی عامل سازی کی تھی تاکہ $a b=m$۔ پھر $x^{2}+l x+m=(x+a)(x+b)$۔ اب ہم $a x^{2}+b x+c$ قسم کے درجہ دوم کثیرالرموز کی عامل سازی کرنے کی کوشش کریں گے، جہاں $a \neq 0$ اور $a, b, c$ مستقل ہیں۔

درمیانی شرط کو تقسیم کرکے کثیرالرقمی $a x^{2}+b x+c$ کی عامل سازی درج ذیل ہے:

اس کے عوامل $(p x+q)$ اور $(r x+s)$ ہوں۔ پھر $\frac{3 x^{2}}{x}=3 x=$ حاصل تقسیم کی پہلی شرط

$a x^{2}+b x+c=(p x+q)(r x+s)=p r x^{2}+(p s+q r) x+q s$

$x^{2}$ کے عددی سروروں کا موازنہ کرتے ہوئے، ہمیں ملتا ہے $a=p r$۔

اسی طرح، $x$ کے عددی سروروں کا موازنہ کرتے ہوئے، ہمیں ملتا ہے $b=p s+q r$۔

اور، مستقل شرائط کا موازنہ کرتے ہوئے، ہمیں ملتا ہے $c=q s$۔

یہ ہمیں دکھاتا ہے کہ $b$ دو اعداد $p s$ اور $q r$ کا مجموعہ ہے، جن کا حاصل ضرب $(p s)(q r)=(p r)(q s)=a c$ ہے۔

لہذا، $a x^{2}+b x+c$ کی عامل سازی کے لیے، ہمیں $b$ کو دو ایسے اعداد کے مجموعہ کے طور پر لکھنا ہوگا جن کا حاصل ضرب $a c$ ہو۔ یہ مثال 13 سے واضح ہو جائے گا۔

مثال 8: درمیانی شرط کو تقسیم کرکے، اور عامل قضیہ استعمال کرکے، $6 x^{2}+17 x+5$ کی عامل سازی کریں۔

حل 1: (تقسیم کرنے کے طریقے سے): اگر ہم دو اعداد $p$ اور $q$ ایسے تلاش کر سکیں کہ $p+q=17$ اور $p q=6 \times 5=30$، تو ہمیں عوامل مل سکتے ہیں۔

لہذا، آئیے 30 کے عوامل کے جوڑے تلاش کریں۔ کچھ 1 اور 30، 2 اور 15، 3 اور 10، 5 اور 6 ہیں۔ ان جوڑوں میں سے، 2 اور 15 ہمیں $p+q=17$ دیں گے۔

لہذا،

$$ \begin{aligned} 6 x^{2}+17 x+5 & =6 x^{2}+(2+15) x+5 \\ & =6 x^{2}+2 x+15 x+5 \\ & =2 x(3 x+1)+5(3 x+1) \\ & =(3 x+1)(2 x+5) \end{aligned} $$

حل 2: (عامل قضیہ استعمال کرتے ہوئے)

$6 x^{2}+17 x+5=6\left(x^{2}+\frac{17}{6} x+\frac{5}{6}\right)=6 p(x)$، فرض کریں۔ اگر $a$ اور $b$ $p(x)$ کے صفر ہیں، تو $6 x^{2}+17 x+5=6(x-a)(x-b)$۔ لہذا، $a b=\frac{5}{6} \cdot$

آئیے $a$ اور b کے لیے کچھ امکانات پر نظر ڈالیں۔

یہ $\pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{3}, \pm \frac{5}{3}, \pm \frac{5}{2}, \pm 1$ ہو سکتے ہیں۔

اب، $p\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{4}+\frac{17}{6}\left(\frac{1}{2}\right)+\frac{5}{6} \neq 0$۔

لیکن $p\left(\frac{-1}{3}\right)=0$۔

لہذا، $\left(x+\frac{1}{3}\right)$ $p(x)$ کا ایک عامل ہے۔

اسی طرح، آزمائش سے، آپ معلوم کر سکتے ہیں کہ $\left(x+\frac{5}{2}\right)$ $p(x)$ کا ایک عامل ہے۔

لہذا،

$$ \begin{aligned} 6 x^{2}+17 x+5 & =6\left(x+\frac{1}{3}\right)\left(x+\frac{5}{2}\right) \\ & =6\left(\frac{3 x+1}{3}\right)\left(\frac{2 x+5}{2}\right) \\ & =(3 x+1)(2 x+5) \end{aligned} $$

اوپر والی مثال کے لیے، تقسیم کرنے کا طریقہ زیادہ موثر لگتا ہے۔ تاہم، آئیے ایک اور مثال پر غور کریں۔

مثال 9: عامل قضیہ استعمال کرکے $y^{2}-5 y+6$ کی عامل سازی کریں۔

حل: فرض کریں $p(y)=y^{2}-5 y+6$۔ اب، اگر $p(y)=(y-a)(y-b)$، آپ جانتے ہیں کہ مستقل شرط $a b$ ہوگی۔ لہذا، $a b=6$۔ لہذا، $p(y)$ کے عوامل تلاش کرنے کے لیے، ہم 6 کے عوامل پر نظر ڈالتے ہیں۔

6 کے عوامل 1، 2 اور 3 ہیں۔

اب، $p(2)=2^{2}-(5 \times 2)+6=0$

لہذا، $y-2$ $p(y)$ کا ایک عامل ہے۔

نیز، $p(3)=3^{2}-(5 \times 3)+6=0$

لہذا، $y-3$ بھی $y^{2}-5 y+6$ کا ایک عامل ہے۔

لہذا،$y^{2}-5 y+6=(y-2)(y-3)$

نوٹ کریں کہ $y^{2}-5 y+6$ کو درمیانی شرط $-5 y$ کو تقسیم کرکے بھی عامل بنایا جا سکتا ہے۔

اب، آئیے درجہ سوم کثیرالرموز کی عامل سازی پر غور کریں۔ یہاں، شروع میں تقسیم کرنے کا طریقہ مناسب نہیں ہوگا۔ ہمیں پہلے کم از کم ایک عامل تلاش کرنے کی ضرورت ہے، جیسا کہ آپ درج ذیل مثال میں دیکھیں گے۔

مثال 10: $x^{3}-23 x^{2}+142 x-120$ کی عامل سازی کریں۔

حل: فرض کریں $p(x)=x^{3}-23 x^{2}+142 x-120$

اب ہم -120 کے تمام عوامل تلاش کریں گے۔ ان میں سے کچھ ہیں

$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 5, \pm 6, \pm 8, \pm 10, \pm 12, \pm 15, \pm 20, \pm 24, \pm 30, \pm 60$۔

آزمائش سے، ہم پاتے ہیں کہ $p(1)=0$۔ لہذا $x-1$ $p(x)$ کا ایک عامل ہے۔

اب ہم دیکھتے ہیں کہ $x^{3}-23 x^{2}+142 x-120=x^{3}-x^{2}-22 x^{2}+22 x+120 x-120$

$$ \begin{aligned} & =x^{2}(x-1)-22 x(x-1)+120(x-1) \quad(\text { Why? }) \\ & =(x-1)\left(x^{2}-22 x+120\right) \quad[\text { Taking }(x-1) \text { common }] \end{aligned} $$

ہم $p(x)$ کو $x-1$ سے تقسیم کرکے بھی یہ حاصل کر سکتے تھے۔

اب $x^{2}-22 x+120$ کو درمیانی شرط کو تقسیم کرکے یا عامل قضیہ استعمال کرکے عامل بنایا جا سکتا ہے۔ درمیانی شرط کو تقسیم کرکے، ہمارے پاس ہے:

$$ \begin{aligned} x^{2}-22 x+120 & =x^{2}-12 x-10 x+120 \\ & =x(x-12)-10(x-12) \\ & =(x-12)(x-10) \end{aligned} $$

لہذا، $\quad x^{3}-23 x^{2}-142 x-120=(x-1)(x-10)(x-12)$

2.5 الجبرائی شناختیں

اپنی پچھلی جماعتوں سے، آپ کو یاد ہوگا کہ الجبرائی شناخت ایک الجبرائی مساوات ہوتی ہے جو اس میں موجود متغیرات کی تمام قدروں کے لیے سچ ہوتی ہے۔ آپ نے پچھلی جماعتوں میں درج ذیل الجبرائی شناختوں کا مطالعہ کیا ہے:

شناخت I: $(x+y)^{2}=x^{2}+2 x y+y^{2}$

شناخت II: $(x-y)^{2}=x^{2}-2 x y+y^{2}$

شناخت III: $x^{2}-y^{2}=(x+y)(x-y)$

شناخت IV: $(x+a)(x+b)=x^{2}+(a+b) x+a b$

آپ نے ان میں سے کچھ الجبرائی شناختوں کو الجبرائی اظہارات کی عامل سازی کے لیے بھی استعمال کیا ہوگا۔ آپ ان کی افادیت حسابات میں بھی دیکھ سکتے ہیں۔

مثال 11: مناسب شناختوں کا استعمال کرتے ہوئے درج ذیل حاصل ضرب معلوم کریں:

(i) $(x+3)(x+3)$ $\quad$ (ii) $(x-3)(x+5)$

حل: (i) یہاں ہم شناخت I استعمال کر سکتے ہیں: $(x+y)^{2}=x^{2}+2 x y+y^{2}$۔ اس میں $y=3$ رکھتے ہوئے، ہمیں ملتا ہے

$$ \begin{aligned} (x+3)(x+3) & =(x+3)^{2}=x^{2}+2(x)(3)+(3)^{2} \\ & =x^{2}+6 x+9 \end{aligned} $$

(ii) اوپر والی شناخت IV استعمال کرتے ہوئے، یعنی $(x+a)(x+b)=x^{2}+(a+b) x+a b$، ہمارے پاس ہے

$$ \begin{aligned} (x-3)(x+5) & =x^{2}+(-3+5) x+(-3)(5) \\ & =x^{2}+2 x-15 \end{aligned} $$

مثال 12: براہ راست ضرب کیے بغیر $105 \times 106$ کی قدر معلوم کریں۔

حل:

$$ \begin{aligned} 105 \times 106 & =(100+5) \times(100+6) \\ & =(100)^{2}+(5+6)(100)+(5 \times 6), \text { using Identity IV } \\ & =10000+1100+30 \\ & =11130 \end{aligned} $$

آپ نے دیے گئے کچھ اظہارات کے حاصل ضرب معلوم کرنے میں اوپر درج شناختوں کے کچھ استعمال دیکھے ہیں۔ یہ شناختیں الجبرائی اظہارات کی عامل سازی میں بھی مفید ہیں، جیسا کہ آپ درج ذیل مثالوں میں دیکھ سکتے ہیں۔

مثال 13: عامل سازی کریں:

(i) $49 a^{2}+70 a b+25 b^{2}$

(ii) $\frac{25}{4} x^{2}-\frac{y^{2}}{9}$

حل: (i) یہاں آپ دیکھ سکتے ہیں کہ

$$49 a^{2}=(7 a)^{2}, 25 b^{2}=(5 b)^{2}, 70 a b=2(7 a)(5 b)$$

دیے گئے اظہار کا $x^{2}+2 x y+y^{2}$ سے موازنہ کرتے ہوئے، ہم مشاہدہ کرتے ہیں کہ $x=7 a$ اور $y=5 b$۔

شناخت I استعمال کرتے ہوئے، ہمیں ملتا ہے $$ 49 a^{2}+70 a b+25 b^{2}=(7 a+5 b)^{2}=(7 a+5 b)(7 a+5 b) $$ (ii) ہمارے پاس $\frac{25}{4} x^{2}-\frac{y^{2}}{9}=\left(\frac{5}{2} x\right)^{2}-\left(\frac{y}{3}\right)^{2}$ ہے

اب اس کا شناخت III سے موازنہ کرتے ہوئ