2.1 ആമുഖം

മുമ്പത്തെ ക്ലാസുകളിൽ നിങ്ങൾ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങൾ, അവയുടെ സങ്കലനം, വ്യവകലനം, ഗുണനം, ഹരണം എന്നിവ പഠിച്ചിട്ടുണ്ട്. ചില ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങൾ എങ്ങനെ ഫാക്ടറൈസ് ചെയ്യാം എന്നും നിങ്ങൾ പഠിച്ചിട്ടുണ്ട്. ബീജഗണിത ഐഡന്റിറ്റികൾ ഇനിപ്പറയുന്നവയാണെന്ന് നിങ്ങൾ ഓർക്കാം:

$$ \begin{aligned} & (x+y)^{2}=x^{2}+2 x y+y^{2} \\ & (x-y)^{2}=x^{2}-2 x y+y^{2} \\ & x^{2}-y^{2}=(x+y)(x-y) \end{aligned} $$

ഫാക്ടറൈസേഷനിൽ അവയുടെ ഉപയോഗവും. ഈ അധ്യായത്തിൽ, ഒരു പ്രത്യേക തരം ബീജഗണിത സമവാക്യമായ പോളിനോമിയൽ, അതുമായി ബന്ധപ്പെട്ട പദാവലി എന്നിവയുമായി നമ്മുടെ പഠനം ആരംഭിക്കും. ശിഷ്ട സിദ്ധാന്തവും ഫാക്ടർ സിദ്ധാന്തവും പോളിനോമിയലുകളുടെ ഫാക്ടറൈസേഷനിൽ അവയുടെ ഉപയോഗവും നമ്മൾ പഠിക്കും. ഇതിനുപുറമെ, കുറച്ച് കൂടുതൽ ബീജഗണിത ഐഡന്റിറ്റികളും ഫാക്ടറൈസേഷനിലും ചില നൽകിയിരിക്കുന്ന എക്സ്പ്രഷനുകൾ വിലയിരുത്തുന്നതിലും അവയുടെ ഉപയോഗവും നമ്മൾ പഠിക്കും.

2.2 ഒരു വേരിയബിളിലെ പോളിനോമിയലുകൾ

ഒരു വേരിയബിൾ ഏതെങ്കിലും യഥാർത്ഥ മൂല്യം എടുക്കാൻ കഴിയുന്ന ഒരു ചിഹ്നത്താൽ സൂചിപ്പിക്കുന്നു എന്ന് ഓർമ്മിച്ചുകൊണ്ട് നമുക്ക് ആരംഭിക്കാം. വേരിയബിളുകൾ സൂചിപ്പിക്കാൻ $x, y, z$, മുതലായ അക്ഷരങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു. $2 x, 3 x,-x,-\frac{1}{2} x$ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളാണെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുക. ഈ എക്സ്പ്രഷനുകളെല്ലാം (ഒരു സ്ഥിരാങ്കം) $\times x$ എന്ന രൂപത്തിലാണ്. ഇപ്പോൾ (ഒരു സ്ഥിരാങ്കം) $\times($ ഒരു വേരിയബിൾ $)$ എന്ന ഒരു എക്സ്പ്രഷൻ എഴുതാൻ നമ്മൾ ആഗ്രഹിക്കുന്നുവെന്നും സ്ഥിരാങ്കം എന്താണെന്ന് നമുക്ക് അറിയില്ലെന്നും കരുതുക. അത്തരം സന്ദർഭങ്ങളിൽ, സ്ഥിരാങ്കം $a, b, c$, മുതലായവ എന്ന് എഴുതുന്നു. അതിനാൽ എക്സ്പ്രഷൻ $a x$ ആയിരിക്കും, എന്ന് പറയാം.

എന്നിരുന്നാലും, ഒരു സ്ഥിരാങ്കത്തെ സൂചിപ്പിക്കുന്ന അക്ഷരവും ഒരു വേരിയബിളിനെ സൂചിപ്പിക്കുന്ന അക്ഷരവും തമ്മിൽ വ്യത്യാസമുണ്ട്. സ്ഥിരാങ്കങ്ങളുടെ മൂല്യങ്ങൾ ഒരു പ്രത്യേക സാഹചര്യത്തിൽ മുഴുവൻ സമയവും അതേപടി നിലനിൽക്കും, അതായത്, ഒരു നൽകിയ പ്രശ്നത്തിൽ സ്ഥിരാങ്കങ്ങളുടെ മൂല്യങ്ങൾ മാറില്ല, പക്ഷേ ഒരു വേരിയബിളിന്റെ മൂല്യം മാറിക്കൊണ്ടിരിക്കും.

ഇപ്പോൾ, 3 യൂണിറ്റ് വശമുള്ള ഒരു ചതുരം പരിഗണിക്കുക (ചിത്രം 2.1 കാണുക). അതിന്റെ ചുറ്റളവ് എന്താണ്? ഒരു ചതുരത്തിന്റെ ചുറ്റളവ് അതിന്റെ നാല് വശങ്ങളുടെ നീളത്തിന്റെ ആകെത്തുകയാണെന്ന് നിങ്ങൾക്കറിയാം. ഇവിടെ, ഓരോ വശവും 3 യൂണിറ്റാണ്. അതിനാൽ, അതിന്റെ ചുറ്റളവ് $4 \times 3$, അതായത്, 12 യൂണിറ്റ് ആണ്. ചതുരത്തിന്റെ ഓരോ വശവും 10 യൂണിറ്റ് ആണെങ്കിൽ ചുറ്റളവ് എത്രയായിരിക്കും? ചുറ്റളവ് $4 \times 10$, അതായത്, 40 യൂണിറ്റ് ആണ്. ഓരോ വശത്തിന്റെയും നീളം $x$ യൂണിറ്റ് ആണെങ്കിൽ (ചിത്രം 2.2 കാണുക), ചുറ്റളവ് $4 x$ യൂണിറ്റ് നൽകുന്നു. അതിനാൽ, വശത്തിന്റെ നീളം മാറുമ്പോൾ, ചുറ്റളവും മാറുന്നു.

ചിത്രം 2.1

ചിത്രം 2.2 $x$ ലെ പോളിനോമിയൽ ആണ്. അതുപോലെ, $3 y^{2}+5 y$ വേരിയബിൾ $y$ ലെ ഒരു പോളിനോമിയലും $t^{2}+4$ വേരിയബിൾ $t$ ലെ ഒരു പോളിനോമിയലുമാണ്.

പോളിനോമിയൽ $x^{2}+2 x$ ൽ, എക്സ്പ്രഷനുകൾ $x^{2}$, $2 x$ എന്നിവ പോളിനോമിയലിന്റെ പദങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. അതുപോലെ, പോളിനോമിയൽ $3 y^{2}+5 y+7$ ന് മൂന്ന് പദങ്ങളുണ്ട്, അതായത്, $3 y^{2}, 5 y$, 7. പോളിനോമിയൽ $-x^{3}+4 x^{2}+7 x-2$ ന്റെ പദങ്ങൾ നിങ്ങൾക്ക് എഴുതാമോ? ഈ പോളിനോമിയലിന് 4 പദങ്ങളുണ്ട്, അതായത്, $-x^{3}, 4 x^{2}, 7 x$, -2.

ഒരു പോളിനോമിയലിന്റെ ഓരോ പദത്തിനും ഒരു ഗുണകം ഉണ്ട്. അതിനാൽ, $-x^{3}+4 x^{2}+7 x-2$ ൽ, $x^{3}$ ന്റെ ഗുണകം -1 ആണ്, $x^{2}$ ന്റെ ഗുണകം 4 ആണ്, $x$ ന്റെ ഗുണകം 7 ആണ്, $x^{0}$ ന്റെ ഗുണകം -2 ആണ് (ഓർക്കുക, $x^{0}=1$). $x^{2}-x+7$ ൽ $x$ ന്റെ ഗുണകം എന്താണെന്ന് നിങ്ങൾക്കറിയാമോ? അത് -1 ആണ്.

2 ഉം ഒരു പോളിനോമിയലാണ്. വാസ്തവത്തിൽ, $2,-5,7$, മുതലായവ സ്ഥിര പോളിനോമിയലുകളുടെ ഉദാഹരണങ്ങളാണ്. സ്ഥിര പോളിനോമിയൽ 0 നെ പൂജ്യ പോളിനോമിയൽ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഉയർന്ന ക്ലാസുകളിൽ നിങ്ങൾ കാണുന്നതുപോലെ, എല്ലാ പോളിനോമിയലുകളുടെയും ശേഖരത്തിൽ ഇത് വളരെ പ്രധാനപ്പെട്ട ഒരു പങ്ക് വഹിക്കുന്നു.

ഇപ്പോൾ, $x+\frac{1}{x}, \sqrt{x}+3$, $\sqrt[3]{y}+y^{2}$ എന്നിങ്ങനെയുള്ള ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങൾ പരിഗണിക്കുക. $x+\frac{1}{x}=x+x^{-1}$ എന്ന് നിങ്ങൾക്ക് എഴുതാനാകുമെന്ന് നിങ്ങൾക്കറിയാമോ? ഇവിടെ, രണ്ടാമത്തെ പദത്തിന്റെ ഘാതം, അതായത് $x^{-1}$, -1 ആണ്, അത് ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയല്ല. അതിനാൽ, ഈ ബീജഗണിത സമവാക്യം ഒരു പോളിനോമിയൽ അല്ല.

വീണ്ടും, $\sqrt{x}+3$ നെ $x^{\frac{1}{2}}+3$ എന്ന് എഴുതാം. ഇവിടെ $x$ ന്റെ ഘാതം $\frac{1}{2}$ ആണ്, അത് ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയല്ല. അതിനാൽ, $\sqrt{x}+3$ ഒരു പോളിനോമിയൽ ആണോ? ഇല്ല, അതല്ല. $\sqrt[3]{y}+y^{2}$ എന്താണ്? അതും ഒരു പോളിനോമിയൽ അല്ല (എന്തുകൊണ്ട്?).

ഒരു പോളിനോമിയലിലെ വേരിയബിൾ $x$ ആണെങ്കിൽ, നമുക്ക് പോളിനോമിയൽ $p(x)$, അല്ലെങ്കിൽ $q(x)$, അല്ലെങ്കിൽ $r(x)$, മുതലായവ എന്ന് സൂചിപ്പിക്കാം. അതിനാൽ, ഉദാഹരണത്തിന്, നമുക്ക് ഇങ്ങനെ എഴുതാം:

$$ \begin{aligned} & p(x)=2 x^{2}+5 x-3 \\ & q(x)=x^{3}-1 \\ & r(y)=y^{3}+y+1 \\ & s(u)=2-u-u^{2}+6 u^{5} \end{aligned} $$

ഒരു പോളിനോമിയലിന് ഏതെങ്കിലും (പരിമിതമായ) പദങ്ങളുടെ എണ്ണം ഉണ്ടാകാം. ഉദാഹരണത്തിന്, $x^{150}+x^{149}+\ldots$ $+x^{2}+x+1$ 151 പദങ്ങളുള്ള ഒരു പോളിനോമിയൽ ആണ്.

പോളിനോമിയലുകൾ $2 x, 2,5 x^{3},-5 x^{2}, y$, $u^{4}$ എന്നിവ പരിഗണിക്കുക. ഈ പോളിനോമിയലുകളിൽ ഓരോന്നിനും ഒരു പദം മാത്രമേ ഉള്ളൂ എന്ന് നിങ്ങൾ കാണുന്നുണ്ടോ? ഒരു പദം മാത്രമുള്ള പോളിനോമിയലുകളെ മോണോമിയൽസ് (‘മോണോ’ എന്നാൽ ‘ഒന്ന്’) എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഇപ്പോൾ ഇനിപ്പറയുന്ന ഓരോ പോളിനോമിയലുകളും നിരീക്ഷിക്കുക:

$p(x)=x+1, \quad q(x)=x^{2}-x,$ $r(y)=y^{30}+1, \quad t(u)=u^{43}-u^{2}$

ഇവയിൽ ഓരോന്നിലും എത്ര പദങ്ങളുണ്ട്? ഈ പോളിനോമിയലുകളിൽ ഓരോന്നിനും രണ്ട് പദങ്ങൾ മാത്രമേ ഉള്ളൂ. രണ്ട് പദങ്ങൾ മാത്രമുള്ള പോളിനോമിയലുകളെ ബൈനോമിയൽസ് (‘ബൈ’ എന്നാൽ ‘രണ്ട്’) എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

അതുപോലെ, മൂന്ന് പദങ്ങൾ മാത്രമുള്ള പോളിനോമിയലുകളെ ട്രൈനോമിയൽസ് (‘ട്രൈ’ എന്നാൽ ‘മൂന്ന്’) എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ട്രൈനോമിയൽസിന്റെ ചില ഉദാഹരണങ്ങൾ

$$ \begin{array}{ll} p(x)=x+x^{2}+\pi, & q(x)=\sqrt{2}+x-x^{2}, \\ r(u)=u+u^{2}-2, & t(y)=y^{4}+y+5 \end{array} $$

ഇപ്പോൾ, പോളിനോമിയൽ $p(x)=3 x^{7}-4 x^{6}+x+9$ നോക്കുക. $x$ ന്റെ ഏറ്റവും ഉയർന്ന ശക്തിയുള്ള പദം ഏതാണ്? അത് $3 x^{7}$ ആണ്. ഈ പദത്തിൽ $x$ ന്റെ ഘാതം 7 ആണ്. അതുപോലെ, പോളിനോമിയൽ $q(y)=5 y^{6}-4 y^{2}-6$ ൽ, $y$ ന്റെ ഏറ്റവും ഉയർന്ന ശക്തിയുള്ള പദം $5 y^{6}$ ആണ്, ഈ പദത്തിൽ $y$ ന്റെ ഘാതം 6 ആണ്. ഒരു പോളിനോമിയലിലെ വേരിയബിളിന്റെ ഏറ്റവും ഉയർന്ന ശക്തിയെ പോളിനോമിയലിന്റെ ഡിഗ്രി എന്ന് വിളിക്കുന്നു. അതിനാൽ, പോളിനോമിയൽ $3 x^{7}-4 x^{6}+x+9$ ന്റെ ഡിഗ്രി 7 ഉം പോളിനോമിയൽ $5 y^{6}-4 y^{2}-6$ ന്റെ ഡിഗ്രി 6 ഉം ആണ്. പൂജ്യമല്ലാത്ത ഒരു സ്ഥിര പോളിനോമിയലിന്റെ ഡിഗ്രി പൂജ്യമാണ്.

ഉദാഹരണം 1 : താഴെ നൽകിയിരിക്കുന്ന ഓരോ പോളിനോമിയലിന്റെയും ഡിഗ്രി കണ്ടെത്തുക:

(i) $x^{5}-x^{4}+3$

(ii) $2-y^{2}-y^{3}+2 y^{8}$

(iii) 2

പരിഹാരം : (i) വേരിയബിളിന്റെ ഏറ്റവും ഉയർന്ന ശക്തി 5 ആണ്. അതിനാൽ, പോളിനോമിയലിന്റെ ഡിഗ്രി 5 ആണ്.

(ii) വേരിയബിളിന്റെ ഏറ്റവും ഉയർന്ന ശക്തി 8 ആണ്. അതിനാൽ, പോളിനോമിയലിന്റെ ഡിഗ്രി 8 ആണ്.

(iii) ഇവിടെയുള്ള ഏക പദം 2 ആണ്, അതിനെ $2 x^{0}$ എന്ന് എഴുതാം. അതിനാൽ $x$ ന്റെ ഘാതം 0 ആണ്. അതിനാൽ, പോളിനോമിയലിന്റെ ഡിഗ്രി 0 ആണ്.

ഇപ്പോൾ പോളിനോമിയലുകൾ $p(x)=4 x+5, q(y)=2 y, r(t)=t+\sqrt{2}$, $s(u)=3-u$ എന്നിവ നിരീക്ഷിക്കുക. ഇവയെല്ലാറ്റിലും പൊതുവായ എന്തെങ്കിലും നിങ്ങൾ കാണുന്നുണ്ടോ? ഈ പോളിനോമിയലുകളിൽ ഓരോന്നിന്റെയും ഡിഗ്രി ഒന്നാണ്. ഡിഗ്രി ഒന്ന് ഉള്ള ഒരു പോളിനോമിയലിനെ ലീനിയർ പോളിനോമിയൽ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഒരു വേരിയബിളിലെ കുറച്ച് കൂടുതൽ ലീനിയർ പോളിനോമിയലുകൾ $2 x-1, \sqrt{2} y+1,2-u$ ആണ്. ഇപ്പോൾ, $x$ ൽ 3 പദങ്ങളുള്ള ഒരു ലീനിയർ പോളിനോമിയൽ കണ്ടെത്താൻ ശ്രമിക്കുക? നിങ്ങൾക്കത് കണ്ടെത്താൻ കഴിയില്ല, കാരണം $x$ ലെ ഒരു ലീനിയർ പോളിനോമിയലിന് പരമാവധി രണ്ട് പദങ്ങൾ ഉണ്ടായിരിക്കും. അതിനാൽ, $x$ ലെ ഏതൊരു ലീനിയർ പോളിനോമിയലും $a x+b$ എന്ന രൂപത്തിലായിരിക്കും, ഇവിടെ $a$, $b$ സ്ഥിരാങ്കങ്ങളും $a \neq 0$ (എന്തുകൊണ്ട്?) ഉം ആണ്. അതുപോലെ, $a y+b$ $y$ ലെ ഒരു ലീനിയർ പോളിനോമിയൽ ആണ്.

ഇപ്പോൾ പോളിനോമിയലുകൾ പരിഗണിക്കുക:

$$2 x^{2}+5,5 x^{2}+3 x+\pi, x^{2} \text { and } x^{2}+\frac{2}{5} x$$

ഇവയെല്ലാം ഡിഗ്രി രണ്ട് ആണെന്ന് നിങ്ങൾ സമ്മതിക്കുന്നുണ്ടോ? ഡിഗ്രി രണ്ട് ഉള്ള ഒരു പോളിനോമിയലിനെ ക്വാഡ്രാറ്റിക് പോളിനോമിയൽ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് പോളിനോമിയലിന്റെ ചില ഉദാഹരണങ്ങൾ $5-y^{2}$, $4 y+5 y^{2}$, $6-y-y^{2}$ എന്നിവയാണ്. ഒരു വേരിയബിളിൽ നാല് വ്യത്യസ്ത പദങ്ങളുള്ള ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് പോളിനോമിയൽ നിങ്ങൾക്ക് എഴുതാമോ? ഒരു വേരിയബിളിലെ ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് പോളിനോമിയലിന് പരമാവധി 3 പദങ്ങൾ ഉണ്ടായിരിക്കുമെന്ന് നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തും. കുറച്ച് കൂടുതൽ ക്വാഡ്രാറ്റിക് പോളിനോമിയലുകൾ നിങ്ങൾ ലിസ്റ്റ് ചെയ്താൽ, $x$ ലെ ഏതൊരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് പോളിനോമിയലും $a x^{2}+b x+c$ എന്ന രൂപത്തിലായിരിക്കുമെന്ന് നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തും, ഇവിടെ $a \neq 0$, $a, b, c$ സ്ഥിരാങ്കങ്ങളാണ്. അതുപോലെ, $y$ ലെ ക്വാഡ്രാറ്റിക് പോളിനോമിയൽ $a y^{2}+b y+c$ എന്ന രൂപത്തിലായിരിക്കും, $a \neq 0$, $a, b, c$ സ്ഥിരാങ്കങ്ങളാണെങ്കിൽ.

ഡിഗ്രി മൂന്ന് ഉള്ള ഒരു പോളിനോമിയലിനെ ക്യൂബിക് പോളിനോമിയൽ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. $x$ ലെ ഒരു ക്യൂബിക് പോളിനോമിയലിന്റെ ചില ഉദാഹരണങ്ങൾ $4 x^{3}, 2 x^{3}+1,5 x^{3}+x^{2}, 6 x^{3}-x, 6-x^{3}, 2 x^{3}+4 x^{2}+6 x+7$ ആണ്. ഒരു വേരിയബിളിലെ ഒരു ക്യൂബിക് പോളിനോമിയലിന് എത്ര പദങ്ങൾ ഉണ്ടാകുമെന്ന് നിങ്ങൾ കരുതുന്നു? അതിന് പരമാവധി 4 പദങ്ങൾ ഉണ്ടായിരിക്കും. ഇവ $a x^{3}+b x^{2}+c x+d$ എന്ന രൂപത്തിൽ എഴുതാം, ഇവിടെ $a \neq 0$, $a, b, c$, $d$ സ്ഥിരാങ്കങ്ങളാണ്.

ഇപ്പോൾ, ഡിഗ്രി 1, ഡിഗ്രി 2, അല്ലെങ്കിൽ ഡിഗ്രി 3 ഉള്ള ഒരു പോളിനോമിയൽ എങ്ങനെയുള്ളതാണെന്ന് നിങ്ങൾ കണ്ടിട്ടുണ്ട്, ഏതെങ്കിലും സ്വാഭാവിക സംഖ്യ $n$ എന്നതിന് ഡിഗ്രി $n$ ഉള്ള ഒരു വേരിയബിളിലെ ഒരു പോളിനോമിയൽ നിങ്ങൾക്ക് എഴുതാമോ? ഡിഗ്രി $n$ ഉള്ള ഒരു വേരിയബിൾ $x$ ലെ ഒരു പോളിനോമിയൽ എന്നത്

$$a_{n} x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+\ldots+a_{1} x+a_{0}$$

എന്ന രൂപത്തിലുള്ള ഒരു എക്സ്പ്രഷൻ ആണ്, ഇവിടെ $a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$ സ്ഥിരാങ്കങ്ങളും $a_{n} \neq 0$ ഉം ആണ്.

പ്രത്യേകിച്ചും, $a_{0}=a_{1}=a_{2}=a_{3}=\ldots=a_{n}=0$ ആണെങ്കിൽ (എല്ലാ സ്ഥിരാങ്കങ്ങളും പൂജ്യം), നമുക്ക് പൂജ്യ പോളിനോമിയൽ ലഭിക്കും, അത് 0 എന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്നു. പൂജ്യ പോളിനോമിയലിന്റെ ഡിഗ്രി എന്താണ്? പൂജ്യ പോളിനോമിയലിന്റെ ഡിഗ്രി നിർവചിച്ചിട്ടില്ല.

ഇതുവരെ നമ്മൾ ഒരു വേരിയബിളിലെ പോളിനോമിയലുകൾ മാത്രമേ കൈകാര്യം ചെയ്തിട്ടുള്ളൂ. ഒന്നിലധികം വേരിയബിളുകളിലും നമുക്ക് പോളിനോമിയലുകൾ ഉണ്ടാകാം. ഉദാഹരണത്തിന്, $x^{2}+y^{2}+x y z$ (വേരിയബിളുകൾ $x, y$, $z$ എന്നിവയാണ്) മൂന്ന് വേരിയബിളുകളിലുള്ള ഒരു പോളിനോമിയൽ ആണ്. അതുപോലെ $p^{2}+q^{10}+r$ (വേരിയബിളുകൾ $p, q$, $r$ എന്നിവയാണ്), $u^{3}+v^{2}$ (വേരിയബിളുകൾ $u$, $v$ എന്നിവയാണ്) എന്നിവ യഥാക്രമം മൂന്ന്, രണ്ട് വേരിയബിളുകളിലുള്ള പോളിനോമിയലുകളാണ്. അത്തരം പോളിനോമിയലുകൾ നിങ്ങൾ പിന്നീട് വിശദമായി പഠിക്കും.

2.3 ഒരു പോളിനോമിയലിന്റെ പൂജ്യങ്ങൾ

പോളിനോമിയൽ $p(x)=5 x^{3}-2 x^{2}+3 x-2$ പരിഗണിക്കുക.

$p(x)$ ലെ എല്ലായിടത്തും $x$ നെ 1 ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിച്ചാൽ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്

$$ \begin{aligned} p(1) & =5 \times(1)^{3}-2 \times(1)^{2}+3 \times(1)-2 \\ & =5-2+3-2 \\ & =4 \end{aligned} $$

അതിനാൽ, $x=1$ എന്നതിൽ $p(x)$ ന്റെ മൂല്യം 4 ആണെന്ന് നമ്മൾ പറയുന്നു.

അതുപോലെ,

$p(0) =5(0)^{3}-2(0)^{2}+3(0)-2$

$$ =-2 $$

$p(-1)$ നിങ്ങൾക്ക് കണ്ടെത്താമോ?

ഉദാഹരണം 2 : വേരിയബിളുകളുടെ സൂചിപ്പിച്ച മൂല്യത്തിൽ ഇനിപ്പറയുന്ന ഓരോ പോളിനോമിയലിന്റെയും മൂല്യം കണ്ടെത്തുക:

(i) $p(x)=5 x^{2}-3 x+7$ $x=1$ എന്നതിൽ.

(ii) $q(y)=3 y^{3}-4 y+\sqrt{11}$ $y=2$ എന്നതിൽ.

(iii) $p(t)=4 t^{4}+5 t^{3}-t^{2}+6$ $t=a$ എന്നതിൽ.

പരിഹാരം : (i) $p(x)=5 x^{2}-3 x+7$

$x=1$ എന്നതിൽ പോളിനോമിയൽ $p(x)$ ന്റെ മൂല്യം നൽകുന്നത്

$$ \begin{aligned} p(1) & =5(1)^{2}-3(1)+7 \\ & =5-3+7=9 \end{aligned} $$

(ii) $q(y)=3 y^{3}-4 y+\sqrt{11}$

$y=2$ എന്നതിൽ പോളിനോമിയൽ $q(y)$ ന്റെ മൂല്യം നൽകുന്നത്

$$q(2)=3(2)^{3}-4(2)+\sqrt{11}=24-8+\sqrt{11}=16+\sqrt{11}$$

(iii) $p(t)=4 t^{4}+5 t^{3}-t^{2}+6$

$t=a$ എന്നതിൽ പോളിനോമിയൽ $p(t)$ ന്റെ മൂല്യം നൽകുന്നത്

$$ p(a)=4 a^{4}+5 a^{3}-a^{2}+6 $$

ഇപ്പോൾ, പോളിനോമിയൽ $p(x)=x-1$ പരിഗണിക്കുക.

$p(1)$ എന്താണ്? ശ്രദ്ധിക്കുക: $p(1)=1-1=0$.

$p(1)=0$ ആയതിനാൽ, 1 എന്നത് പോളിനോമിയൽ $p(x)$ ന്റെ ഒരു പൂജ്യം ആണെന്ന് നമ്മൾ പറയുന്നു.

അതുപോലെ, 2 എന്നത് $q(x)$ ന്റെ ഒരു പൂജ്യം ആണെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് പരിശോധിക്കാം, ഇവിടെ $q(x)=x-2$.

പൊതുവേ, ഒരു പോളിനോമിയൽ $p(x)$ ന്റെ ഒരു പൂജ്യം എന്നത് $c$ എന്ന സംഖ്യയാണ്, അതായത് $p(c)=0$.

പോളിനോമിയൽ $x-1$ ന്റെ പൂജ്യം അതിനെ 0 ലേക്ക് സമീകരിച്ചാണ് ലഭിക്കുന്നത്, അതായത് $x-1=0$, അത് $x=1$ നൽകുന്നു എന്ന് നിങ്ങൾ ശ്രദ്ധിച്ചിട്ടുണ്ടാകും. $p(x)=0$ ഒരു പോളിനോമിയൽ സമവാക്യം ആണെന്നും 1 എന്നത് പോളിനോമിയൽ സമവാക്യം $p(x)=0$ ന്റെ ഒരു റൂട്ട് ആണെന്നും നമ്മൾ പറയുന്നു. അതിനാൽ 1 എന്നത് പോളിനോമിയൽ $x-1$ ന്റെ പൂജ്യം ആണെന്ന്, അല്ലെങ്കിൽ പോളിനോമിയൽ സമവാക്യം $x-1=0$ ന്റെ ഒരു റൂട്ട് ആണെന്ന് നമ്മൾ പറയുന്നു.

ഇപ്പോൾ, സ്ഥിര പോളിനോമിയൽ 5 പരിഗണിക്കുക. അതിന്റെ പൂജ്യം എന്താണെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് പറയാമോ? $5 x^{0}$ ൽ $x$ നെ ഏത് സംഖ്യ ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിച്ചാലും നമുക്ക് 5 ലഭിക്കുന്നതിനാൽ അതിന് പൂജ്യം ഇല്ല. വാസ്തവത്തിൽ, പൂജ്യമല്ലാത്ത ഒരു സ്ഥിര പോളിനോമിയലിന് പൂജ്യം ഇല്ല. പൂജ്യ പോളിനോമിയലിന്റെ പൂജ്യങ്ങളെന്താണ്? പതിവ് പ്രകാരം, ഓരോ യഥാർത്ഥ സംഖ്യയും പൂജ്യ പോളിനോമിയലിന്റെ ഒരു പൂജ്യം ആണ്.

ഉദാഹരണം 3 : -2 ഉം 2 ഉം പോളിനോമിയൽ $x+2$ ന്റെ പൂജ്യങ്ങളാണോ എന്ന് പരിശോധിക്കുക.

പരിഹാരം : $p(x)=x+2$ ആയിരിക്കട