2.1 పరిచయం

మీరు మునుపటి తరగతులలో బీజీయ సమాసాలను, వాటి సంకలనం, వ్యవకలనం, గుణకారం మరియు భాగహారం అధ్యయనం చేసారు. కొన్ని బీజీయ సమాసాలను కారణాంకాలుగా విభజించే విధానాన్ని కూడా మీరు అధ్యయనం చేసారు. మీరు బీజీయ సర్వసమీకరణాలను గుర్తు చేసుకోవచ్చు :

మరియు

$$ \begin{aligned} & (x+y)^{2}=x^{2}+2 x y+y^{2} \\ & (x-y)^{2}=x^{2}-2 x y+y^{2} \\ & x^{2}-y^{2}=(x+y)(x-y) \end{aligned} $$

మరియు కారణాంక విభజనలో వాటి ఉపయోగం. ఈ అధ్యాయంలో, మనం బహుపది అనే ఒక ప్రత్యేక రకమైన బీజీయ సమాసంతో మరియు దానికి సంబంధించిన పరిభాషతో మన అధ్యయనాన్ని ప్రారంభిస్తాము. శేష సిద్ధాంతం మరియు కారణాంక సిద్ధాంతం మరియు బహుపదుల కారణాంక విభజనలో వాటి ఉపయోగాన్ని కూడా మనం అధ్యయనం చేస్తాము. పైన పేర్కొన్న వాటికి అదనంగా, మనం మరికొన్ని బీజీయ సర్వసమీకరణాలను మరియు కారణాంక విభజనలో మరియు కొన్ని ఇవ్వబడిన సమాసాలను విలువ కనుగొనడంలో వాటి ఉపయోగాన్ని అధ్యయనం చేస్తాము.

2.2 ఒక చరరాశిలో బహుపదులు

ఒక చరరాశిని ఏదైనా వాస్తవ విలువను తీసుకోగల చిహ్నం ద్వారా సూచిస్తారని గుర్తుచేసుకోవడం ద్వారా ప్రారంభిద్దాం. చరరాశులను సూచించడానికి మనం $x, y, z$, మొదలైన అక్షరాలను ఉపయోగిస్తాము. $2 x, 3 x,-x,-\frac{1}{2} x$ బీజీయ సమాసాలు అని గమనించండి. ఈ సమాసాలన్నీ (ఒక స్థిరాంకం) $\times x$ రూపంలో ఉన్నాయి. ఇప్పుడు మనం (ఒక స్థిరాంకం) $\times($ ఒక చరరాశి $)$ అనే సమాసాన్ని రాయాలనుకుంటే మరియు ఆ స్థిరాంకం ఏమిటో మనకు తెలియకపోతే, అటువంటి సందర్భాలలో, మనం ఆ స్థిరాంకాన్ని $a, b, c$, మొదలైనవాటిగా రాస్తాము. కాబట్టి ఆ సమాసం $a x$ అవుతుంది, అనుకోండి.

అయితే, ఒక స్థిరాంకాన్ని సూచించే అక్షరం మరియు ఒక చరరాశిని సూచించే అక్షరం మధ్య తేడా ఉంది. స్థిరాంకాల విలువలు ఒక నిర్దిష్ట పరిస్థితిలో మొత్తం మారకుండా ఉంటాయి, అంటే, ఇవ్వబడిన సమస్యలో స్థిరాంకాల విలువలు మారవు, కానీ ఒక చరరాశి విలువ మారుతూ ఉంటుంది.

ఇప్పుడు, 3 యూనిట్లు (Fig. 2.1 చూడండి) భుజం గల ఒక చతురస్రాన్ని పరిగణించండి. దాని చుట్టుకొలత ఎంత? చతురస్రం యొక్క చుట్టుకొలత దాని నాలుగు భుజాల పొడవుల మొత్తం అని మీకు తెలుసు. ఇక్కడ, ప్రతి భుజం 3 యూనిట్లు. కాబట్టి, దాని చుట్టుకొలత $4 \times 3$, అంటే 12 యూనిట్లు. చతురస్రం యొక్క ప్రతి భుజం 10 యూనిట్లు అయితే చుట్టుకొలత ఎంత? చుట్టుకొలత $4 \times 10$, అంటే 40 యూనిట్లు. ప్రతి భుజం యొక్క పొడవు $x$ యూనిట్లు (Fig. 2.2 చూడండి) అయిన సందర్భంలో, చుట్టుకొలత $4 x$ యూనిట్లు ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది. కాబట్టి, భుజం యొక్క పొడవు మారుతున్నప్పుడు, చుట్టుకొలత కూడా మారుతుంది.

Fig. 2.1

Fig. 2.2 $x$ లో బహుపది. అదేవిధంగా, $3 y^{2}+5 y$ చరరాశి $y$ లో ఒక బహుపది మరియు $t^{2}+4$ చరరాశి $t$ లో ఒక బహుపది.

బహుపది $x^{2}+2 x$ లో, సమాసాలు $x^{2}$ మరియు $2 x$ బహుపది యొక్క పదాలు అంటారు. అదేవిధంగా, బహుపది $3 y^{2}+5 y+7$ కి మూడు పదాలు ఉన్నాయి, అవి $3 y^{2}, 5 y$ మరియు 7. మీరు బహుపది $-x^{3}+4 x^{2}+7 x-2$ యొక్క పదాలను రాయగలరా? ఈ బహుపదికి 4 పదాలు ఉన్నాయి, అవి $-x^{3}, 4 x^{2}, 7 x$ మరియు -2.

బహుపది యొక్క ప్రతి పదానికి ఒక గుణకం ఉంటుంది. కాబట్టి, $-x^{3}+4 x^{2}+7 x-2$ లో, $x^{3}$ యొక్క గుణకం -1, $x^{2}$ యొక్క గుణకం 4, $x$ యొక్క గుణకం 7 మరియు -2 $x^{0}$ యొక్క గుణకం (గుర్తుంచుకోండి, $x^{0}=1$). $x^{2}-x+7$ లో $x$ యొక్క గుణకం మీకు తెలుసా? అది -1.

2 కూడా ఒక బహుపది. వాస్తవానికి, $2,-5,7$, మొదలైనవి స్థిర బహుపదులకు ఉదాహరణలు. స్థిర బహుపది 0 ను శూన్య బహుపది అంటారు. ఇది అన్ని బహుపదుల సముదాయంలో చాలా ముఖ్యమైన పాత్ర పోషిస్తుంది, మీరు ఉన్నత తరగతులలో చూస్తారు.

ఇప్పుడు, $x+\frac{1}{x}, \sqrt{x}+3$ మరియు $\sqrt[3]{y}+y^{2}$ వంటి బీజీయ సమాసాలను పరిగణించండి. మీరు $x+\frac{1}{x}=x+x^{-1}$ అని రాయగలరని మీకు తెలుసా? ఇక్కడ, రెండవ పదం యొక్క ఘాతాంకం, అంటే $x^{-1}$ -1, ఇది పూర్ణ సంఖ్య కాదు. కాబట్టి, ఈ బీజీయ సమాసం ఒక బహుపది కాదు.

మళ్ళీ, $\sqrt{x}+3$ ను $x^{\frac{1}{2}}+3$ గా రాయవచ్చు. ఇక్కడ $x$ యొక్క ఘాతాంకం $\frac{1}{2}$, ఇది పూర్ణ సంఖ్య కాదు. కాబట్టి, $\sqrt{x}+3$ ఒక బహుపది అవుతుందా? లేదు, అది కాదు. $\sqrt[3]{y}+y^{2}$ గురించి ఏమిటి? అది కూడా బహుపది కాదు (ఎందుకు?).

ఒక బహుపదిలోని చరరాశి $x$ అయితే, మనం ఆ బహుపదిని $p(x)$, లేదా $q(x)$, లేదా $r(x)$, మొదలైనవాటి ద్వారా సూచించవచ్చు. కాబట్టి, ఉదాహరణకు, మనం రాయవచ్చు:

$$ \begin{aligned} & p(x)=2 x^{2}+5 x-3 \\ & q(x)=x^{3}-1 \\ & r(y)=y^{3}+y+1 \\ & s(u)=2-u-u^{2}+6 u^{5} \end{aligned} $$

ఒక బహుపదికి ఎన్ని (పరిమిత) పదాలు ఉండవచ్చు. ఉదాహరణకు, $x^{150}+x^{149}+\ldots$ $+x^{2}+x+1$ 151 పదాలు ఉన్న ఒక బహుపది.

బహుపదులు $2 x, 2,5 x^{3},-5 x^{2}, y$ మరియు $u^{4}$ ను పరిగణించండి. ఈ బహుపదులలో ప్రతి ఒక్కటి ఒకే ఒక పదాన్ని కలిగి ఉందని మీరు చూస్తారా? ఒకే ఒక పదం ఉన్న బహుపదులను ఏకపదులు (‘మోనో’ అంటే ‘ఒకటి’) అంటారు.

ఇప్పుడు క్రింది బహుపదులను గమనించండి:

$p(x)=x+1, \quad q(x)=x^{2}-x,$ $r(y)=y^{30}+1, \quad t(u)=u^{43}-u^{2}$

ఇందులో ప్రతి ఒక్కదానిలో ఎన్ని పదాలు ఉన్నాయి? ఈ బహుపదులలో ప్రతి ఒక్కటి కేవలం రెండు పదాలను కలిగి ఉంది. కేవలం రెండు పదాలు ఉన్న బహుపదులను ద్విపదులు (‘బై’ అంటే ‘రెండు’) అంటారు.

అదేవిధంగా, కేవలం మూడు పదాలు ఉన్న బహుపదులను త్రిపదులు (‘ట్రై’ అంటే ‘మూడు’) అంటారు. త్రిపదులకు కొన్ని ఉదాహరణలు

$$ \begin{array}{ll} p(x)=x+x^{2}+\pi, & q(x)=\sqrt{2}+x-x^{2}, \\ r(u)=u+u^{2}-2, & t(y)=y^{4}+y+5 \end{array} $$

ఇప్పుడు, బహుపది $p(x)=3 x^{7}-4 x^{6}+x+9$ ను చూడండి. $x$ యొక్క అత్యధిక ఘాతాంకం ఉన్న పదం ఏది? అది $3 x^{7}$. ఈ పదంలో $x$ యొక్క ఘాతాంకం 7. అదేవిధంగా, బహుపది $q(y)=5 y^{6}-4 y^{2}-6$ లో, $y$ యొక్క అత్యధిక ఘాతాంకం ఉన్న పదం $5 y^{6}$ మరియు ఈ పదంలో $y$ యొక్క ఘాతాంకం 6. ఒక బహుపదిలోని చరరాశి యొక్క అత్యధిక ఘాతాంకాన్ని ఆ బహుపది యొక్క ఘాతం (డిగ్రీ) అంటాము. కాబట్టి, బహుపది $3 x^{7}-4 x^{6}+x+9$ యొక్క ఘాతం 7 మరియు బహుపది $5 y^{6}-4 y^{2}-6$ యొక్క ఘాతం 6. ఒక శూన్యేతర స్థిర బహుపది యొక్క ఘాతం సున్నా.

ఉదాహరణ 1 : క్రింద ఇవ్వబడిన బహుపదులలో ప్రతి ఒక్కదాని యొక్క ఘాతాన్ని కనుగొనండి:

(i) $x^{5}-x^{4}+3$

(ii) $2-y^{2}-y^{3}+2 y^{8}$

(iii) 2

సాధన : (i) చరరాశి యొక్క అత్యధిక ఘాతాంకం 5. కాబట్టి, బహుపది యొక్క ఘాతం 5.

(ii) చరరాశి యొక్క అత్యధిక ఘాతాంకం 8. కాబట్టి, బహుపది యొక్క ఘాతం 8.

(iii) ఇక్కడ ఉన్న ఏకైక పదం 2, దీనిని $2 x^{0}$ గా రాయవచ్చు. కాబట్టి $x$ యొక్క ఘాతాంకం 0. అందువల్ల, బహుపది యొక్క ఘాతం 0.

ఇప్పుడు బహుపదులు $p(x)=4 x+5, q(y)=2 y, r(t)=t+\sqrt{2}$ మరియు $s(u)=3-u$ ను గమనించండి. వీటన్నిటిలో ఏదైనా సామాన్యం మీరు చూస్తారా? ఈ బహుపదులలో ప్రతి ఒక్కదాని యొక్క ఘాతం ఒకటి. ఘాతం ఒకటి ఉన్న బహుపదిని రేఖీయ బహుపది అంటారు. ఒక చరరాశిలో మరికొన్ని రేఖీయ బహుపదులు $2 x-1, \sqrt{2} y+1,2-u$. ఇప్పుడు, $x$ లో 3 పదాలు ఉన్న ఒక రేఖీయ బహుపదిని కనుగొనడానికి ప్రయత్నించండి? మీరు దానిని కనుగొనలేరు, ఎందుకంటే $x$ లో ఒక రేఖీయ బహుపదికి గరిష్టంగా రెండు పదాలు మాత్రమే ఉంటాయి. కాబట్టి, $x$ లో ఏదైనా రేఖీయ బహుపది $a x+b$ రూపంలో ఉంటుంది, ఇక్కడ $a$ మరియు $b$ స్థిరాంకాలు మరియు $a \neq 0$ (ఎందుకు?). అదేవిధంగా, $a y+b$ $y$ లో ఒక రేఖీయ బహుపది.

ఇప్పుడు క్రింది బహుపదులను పరిగణించండి:

$$2 x^{2}+5,5 x^{2}+3 x+\pi, x^{2} \text { and } x^{2}+\frac{2}{5} x$$

ఇవన్నీ రెండో ఘాతం కలిగిన బహుపదులు అని మీరు అంగీకరిస్తారా? ఘాతం రెండు ఉన్న బహుపదిని వర్గ బహుపది అంటారు. వర్గ బహుపదికి కొన్ని ఉదాహరణలు $5-y^{2}$, $4 y+5 y^{2}$ మరియు $6-y-y^{2}$. మీరు ఒక చరరాశిలో నాలుగు వేర్వేరు పదాలు ఉన్న ఒక వర్గ బహుపదిని రాయగలరా? ఒక చరరాశిలో ఒక వర్గ బహుపదికి గరిష్టంగా 3 పదాలు మాత్రమే ఉంటాయని మీరు కనుగొంటారు. మీరు మరికొన్ని వర్గ బహుపదులను జాబితా చేస్తే, $x$ లో ఏదైనా వర్గ బహుపది $a x^{2}+b x+c$ రూపంలో ఉంటుందని మీరు కనుగొంటారు, ఇక్కడ $a \neq 0$ మరియు $a, b, c$ స్థిరాంకాలు. అదేవిధంగా, $y$ లో వర్గ బహుపది $a y^{2}+b y+c$ రూపంలో ఉంటుంది, $a \neq 0$ మరియు $a, b, c$ స్థిరాంకాలు అయితే.

ఘాతం మూడు ఉన్న బహుపదిని ఘన బహుపది అంటాము. $x$ లో ఘన బహుపదికి కొన్ని ఉదాహరణలు $4 x^{3}, 2 x^{3}+1,5 x^{3}+x^{2}, 6 x^{3}-x, 6-x^{3}, 2 x^{3}+4 x^{2}+6 x+7$. ఒక చరరాశిలో ఒక ఘన బహుపదికి ఎన్ని పదాలు ఉంటాయని మీరు భావిస్తారు? దానికి గరిష్టంగా 4 పదాలు ఉంటాయి. ఇవి $a x^{3}+b x^{2}+c x+d$ రూపంలో రాయబడతాయి, ఇక్కడ $a \neq 0$ మరియు $a, b, c$ మరియు $d$ స్థిరాంకాలు.

ఇప్పుడు, మీరు ఘాతం 1, ఘాతం 2, లేదా ఘాతం 3 ఉన్న బహుపది ఎలా ఉంటుందో చూసిన తర్వాత, మీరు ఏదైనా సహజ సంఖ్య $n$ కోసం ఘాతం $n$ ఉన్న ఒక చరరాశిలో బహుపదిని రాయగలరా? ఘాతం $n$ ఉన్న ఒక చరరాశి $x$ లో బహుపది

$$a_{n} x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+\ldots+a_{1} x+a_{0}$$

రూపంలో ఉండే ఒక సమాసం, ఇక్కడ $a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$ స్థిరాంకాలు మరియు $a_{n} \neq 0$.

ప్రత్యేకంగా, $a_{0}=a_{1}=a_{2}=a_{3}=\ldots=a_{n}=0$ అయితే (అన్ని స్థిరాంకాలు సున్నా), మనకు శూన్య బహుపది లభిస్తుంది, దీనిని 0 ద్వారా సూచిస్తారు. శూన్య బహుపది యొక్క ఘాతం ఎంత? శూన్య బహుపది యొక్క ఘాతం నిర్వచించబడలేదు.

ఇప్పటి వరకు మనం ఒకే ఒక చరరాశిలో బహుపదులతో మాత్రమే వ్యవహరించాము. మనకు ఒకటి కంటే ఎక్కువ చరరాశులలో కూడా బహుపదులు ఉండవచ్చు. ఉదాహరణకు, $x^{2}+y^{2}+x y z$ (ఇక్కడ చరరాశులు $x, y$ మరియు $z$) మూడు చరరాశులలో ఒక బహుపది. అదేవిధంగా $p^{2}+q^{10}+r$ (ఇక్కడ చరరాశులు $p, q$ మరియు $r$), $u^{3}+v^{2}$ (ఇక్కడ చరరాశులు $u$ మరియు $v$) వరుసగా మూడు మరియు రెండు చరరాశులలో బహుపదులు. మీరు తర్వాత వివరంగా అటువంటి బహుపదులను అధ్యయనం చేస్తారు.

2.3 బహుపది యొక్క శూన్యాలు

బహుపది $p(x)=5 x^{3}-2 x^{2}+3 x-2$ ను పరిగణించండి.

మనం $p(x)$ లో ప్రతిచోటా $x$ ను 1 తో భర్తీ చేస్తే, మనకు లభిస్తుంది

$$ \begin{aligned} p(1) & =5 \times(1)^{3}-2 \times(1)^{2}+3 \times(1)-2 \\ & =5-2+3-2 \\ & =4 \end{aligned} $$

కాబట్టి, $x=1$ వద్ద $p(x)$ యొక్క విలువ 4 అని మనం చెప్పతాము.

అదేవిధంగా,

$p(0) =5(0)^{3}-2(0)^{2}+3(0)-2$

$$ =-2 $$

మీరు $p(-1)$ ను కనుగొనగలరా?

ఉదాహరణ 2 : చరరాశుల యొక్క సూచించిన విలువ వద్ద క్రింది బహుపదులలో ప్రతి ఒక్కదాని విలువను కనుగొనండి:

(i) $p(x)=5 x^{2}-3 x+7$ వద్ద $x=1$.

(ii) $q(y)=3 y^{3}-4 y+\sqrt{11}$ వద్ద $y=2$.

(iii) $p(t)=4 t^{4}+5 t^{3}-t^{2}+6$ వద్తు $t=a$.

సాధన : (i) $p(x)=5 x^{2}-3 x+7$

$x=1$ వద్ద బహుపది $p(x)$ యొక్క విలువ దీని ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది

$$ \begin{aligned} p(1) & =5(1)^{2}-3(1)+7 \\ & =5-3+7=9 \end{aligned} $$

(ii) $q(y)=3 y^{3}-4 y+\sqrt{11}$

$y=2$ వద్ద బహుపది $q(y)$ యొక్క విలువ దీని ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది

$$q(2)=3(2)^{3}-4(2)+\sqrt{11}=24-8+\sqrt{11}=16+\sqrt{11}$$

(iii) $p(t)=4 t^{4}+5 t^{3}-t^{2}+6$

$t=a$ వద్ద బహుపది $p(t)$ యొక్క విలువ దీని ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది

$$ p(a)=4 a^{4}+5 a^{3}-a^{2}+6 $$

ఇప్పుడు, బహుపది $p(x)=x-1$ ను పరిగణించండి.

$p(1)$ ఎంత? గమనించండి: $p(1)=1-1=0$.

$p(1)=0$ కాబట్టి, 1 బహుపది $p(x)$ యొక్క ఒక శూన్యం అని మనం చెప్తాము.

అదేవిధంగా, 2 బహుపది $q(x)$ యొక్క ఒక శూన్యం అని మీరు సరిచూసుకోవచ్చు, ఇక్కడ $q(x)=x-2$.

సాధారణంగా, ఒక బహుపది $p(x)$ యొక్క శూన్యం అనేది ఒక సంఖ్య $c$ అంటే $p(c)=0$ అని మనం చెప్తాము.

బహుపది $x-1$ యొక్క శూన్యం దానిని 0 కి సమానం చేయడం ద్వారా పొందబడుతుందని మీరు గమనించి ఉండాలి, అంటే $x-1=0$, ఇది $x=1$ ను ఇస్తుంది. మనం $p(x)=0$ ను బహుపది సమీకరణం అని మరియు 1 బహుపది సమీకరణం $p(x)=0$ యొక్క మూలం అని చెప్తాము. కాబట్టి మనం 1 బహుపది $x-1$ యొక్క శూన్యం, లేదా బహుపది సమీకరణం $x-1=0$ యొక్క మూలం అని చెప్తాము.

ఇప్పుడు, స్థిర బహుపది 5 ను పరిగణించండి. దాని శూన్యం ఏమిటో మీరు చెప్పగలరా? దానికి శూన్యం లేదు ఎందుకంటే $5 x^{0}$ లో $x$ ను ఏదైనా సంఖ్యతో భర్తీ చేయడం వలన మనకు ఇంకా 5 లభిస్తుంది. వాస్తవానికి, ఒక శూన్యేతర స్థిర బహుపదికి శూన్యం ఉండదు. శూన్య బహుపది యొక్క శూన్యాలు ఏమిటి? సంప్రదాయం ప్రకారం, ప్రతి వాస్తవ సంఖ్య శూన్య బహుపది యొక్క ఒక శూన్యం.

ఉదాహరణ 3 : -2 మరియు 2 బహుపది $x+2$ యొక్క శూన్యాలు కాదా అని సరిచూడండి.

సాధన : $p(x)=x+2$ అనుకోండి.

అప్పుడు $p(2)=2+2=4, p(-2)=-2+2=0$

అందువల్ల, -2 బహుపది $x+2$ యొక్క ఒక శూన్యం, కానీ 2 కాదు.

ఉదాహరణ 4 : బహుపది $p(x)=2 x+1$ యొక్క ఒక శూన్యాన్ని కనుగొనండి.

సాధన : $p(x)$ యొక్క ఒక శూన్యాన్ని కనుగొనడం, అనేది సమీకరణాన్ని సాధించడం వలెనే

$$ p(x)=0 $$

ఇప్పుడు,

$$ 2 x+1=0 \text { gives us } x=-\frac{1}{2} $$

కాబట్టి, $-\frac{1}{2}$ బహుపది $2 x+1$ యొక్క ఒక శూన్యం.

ఇప్పుడు, $p(x)=a x+b, a \neq 0$, ఒక రేఖీయ బహుపది అయితే, $p(x)$ యొక్క ఒక శూన్యాన్ని మనం ఎలా కనుగొనగలం? ఉదాహరణ 4 మీకు కొంత ఆలోచన ఇచ్చి ఉండవచ్చు. బహుపది $p(x)$ యొక్క ఒక శూన్యాన్ని కనుగొనడం, బహుపది సమీకరణం $p(x)=0$ ను సాధించడానికి సమానం.

ఇప్పుడు, $p(x)=0$ అంటే

$$ \begin{aligned} a x+b & =0, a \neq 0 \\ a x & =-b \\ x & =-\frac{b}{a} . \end{aligned} $$

కాబట్టి,

కాబట్టి, $x=-\frac{b}{a}$ $p(x)$ యొక్క ఏకైక శూన్యం, అంటే, ఒక రేఖీయ బహుపదికి ఒక మరియు ఒకే ఒక శూన్యం ఉంటుంది.

ఇప్పుడు మనం 1 $x-1$ యొక్క శూన్యం, మరియు -2 $x+2$ యొక్క శూన్యం అని చెప్పగలం.

ఉదాహరణ 5 : 2 మరియు 0 బహుపది $x^{2}-2 x$ యొక్క శూన్యాలు కాదా అని సరిచూడండి.

సాధన : అనుకోండి

$p(x)=x^{2}-2 x$

అప్పుడు $p(2)=2^{2}-4=4-4=0$

మరియు $p(0)=0-0=0$

అందువల్ల, 2 మరియు 0 రెండూ బహుపది $x^{2}-2 x$ యొక్క శూన్యాలు.

ఇప్పుడు మన పరిశీలనలను జాబితా చేద్దాం:

(i) ఒక బహుపది యొక్క శూన్యం 0 అయ్యే అవసరం లేదు.

(ii) 0 ఒక బహుపది యొక్క శూన్యం కావచ్చు.

(iii) ప్రతి రేఖీయ బహుపదికి ఒక మరియు ఒకే ఒక శూన్యం ఉంటుంది.

(iv) ఒక బహుపదికి ఒకటి కంటే ఎక్కువ శూన్యాలు ఉండవచ్చు.

2.4 బహుపదుల కారణాంక విభజన

ఇప్పుడు పైన ఉదాహరణ 10 యొక్క పరిస్థితిని మరింత దగ్గరగా పరిశీలిద్దాం. ఇది మనకు చెప్తుంది, శేషం $q\left(-\frac{1}{2}\right)=0,(2 t+1)$ కాబట్టి, $q(t)$ యొక్క ఒక కారణాంకం, అంటే, కొన్ని బహుపది $g(t)$ కోసం $q(t)=(2 t+1) g(t)$. ఇది క్రింది సిద్ధాంతం యొక్క ఒక ప్రత్యేక సందర్భం.

కారణాంక సిద్ధాంతం : $p(x)$ ఘాతం $n \geq 1$ ఉన్న ఒక బహుపది మరియు $a$ ఏదైనా వాస్తవ సంఖ్య అయితే, (i) $x-a$ $p(x)$ యొక్క ఒక కారణాంకం, $p(a)=0$ అయితే, మరియు (ii) $p(a)=0$, $x-a$ $p(x)$ యొక్క ఒక కారణాంకం అయితే.

నిరూపణ: శేష సిద్ధాంతం ద్వారా, $p(x)=(x-a) q(x)+p(a)$.

(i) $p(a)=0$ అయితే