2.1 ਜਾਣ-ਪਛਾਣ

ਤੁਸੀਂ ਪਿਛਲੀਆਂ ਕਲਾਸਾਂ ਵਿੱਚ ਬੀਜਗਣਿਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ, ਉਹਨਾਂ ਦਾ ਜੋੜ, ਘਟਾਓ, ਗੁਣਾ ਅਤੇ ਭਾਗ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕੀਤਾ ਹੈ। ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਵੀ ਪੜ੍ਹਿਆ ਹੈ ਕਿ ਕੁਝ ਬੀਜਗਣਿਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕਿਵੇਂ ਕਰਨਾ ਹੈ। ਤੁਸੀਂ ਬੀਜਗਣਿਤੀ ਸਮਾਨਤਾਵਾਂ ਨੂੰ ਯਾਦ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ:

ਅਤੇ

$$ \begin{aligned} & (x+y)^{2}=x^{2}+2 x y+y^{2} \\ & (x-y)^{2}=x^{2}-2 x y+y^{2} \\ & x^{2}-y^{2}=(x+y)(x-y) \end{aligned} $$

ਅਤੇ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਵਿੱਚ ਉਹਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ। ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਖਾਸ ਕਿਸਮ ਦੀ ਬੀਜਗਣਿਤੀ ਸਮੀਕਰਨ, ਜਿਸਨੂੰ ਬਹੁਪਦ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਸ਼ਬਦਾਵਲੀ ਨਾਲ ਆਪਣੀ ਪੜ੍ਹਾਈ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਾਂਗੇ। ਅਸੀਂ ਬਾਕੀ ਪ੍ਰਮੇਯ ਅਤੇ ਗੁਣਨਖੰਡ ਪ੍ਰਮੇਯ ਅਤੇ ਬਹੁਪਦਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਵਿੱਚ ਉਹਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਦਾ ਵੀ ਅਧਿਐਨ ਕਰਾਂਗੇ। ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਅਸੀਂ ਕੁਝ ਹੋਰ ਬੀਜਗਣਿਤੀ ਸਮਾਨਤਾਵਾਂ ਅਤੇ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਅਤੇ ਕੁਝ ਦਿੱਤੀਆਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਉਹਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕਰਾਂਗੇ।

2.2 ਇੱਕ ਚਲ ਵਿੱਚ ਬਹੁਪਦ

ਆਓ ਇਹ ਯਾਦ ਕਰਕੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰੀਏ ਕਿ ਇੱਕ ਚਲ ਨੂੰ ਇੱਕ ਚਿੰਨ੍ਹ ਨਾਲ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜੋ ਕੋਈ ਵੀ ਅਸਲ ਮੁੱਲ ਲੈ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਚਲਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਅੱਖਰ $x, y, z$, ਆਦਿ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ $2 x, 3 x,-x,-\frac{1}{2} x$ ਬੀਜਣਿਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਹਨ। ਇਹ ਸਾਰੀਆਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ (ਇੱਕ ਸਥਿਰਾਂਕ) $\times x$ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹਨ। ਹੁਣ ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖਣੀ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ ਜੋ (ਇੱਕ ਸਥਿਰਾਂਕ) $\times($ ਇੱਕ ਚਲ $)$ ਹੈ ਅਤੇ ਸਾਨੂੰ ਨਹੀਂ ਪਤਾ ਕਿ ਸਥਿਰਾਂਕ ਕੀ ਹੈ। ਅਜਿਹੇ ਮਾਮਲਿਆਂ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਸਥਿਰਾਂਕ ਨੂੰ $a, b, c$, ਆਦਿ ਵਜੋਂ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ $a x$ ਹੋਵੇਗੀ, ਮੰਨ ਲਓ।

ਹਾਲਾਂਕਿ, ਇੱਕ ਸਥਿਰਾਂਕ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਵਾਲੇ ਅੱਖਰ ਅਤੇ ਇੱਕ ਚਲ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਵਾਲੇ ਅੱਖਰ ਵਿੱਚ ਅੰਤਰ ਹੈ। ਸਥਿਰਾਂਕਾਂ ਦੇ ਮੁੱਲ ਇੱਕ ਖਾਸ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ ਉਹੀ ਰਹਿੰਦੇ ਹਨ, ਯਾਨੀ ਕਿ, ਸਥਿਰਾਂਕਾਂ ਦੇ ਮੁੱਲ ਕਿਸੇ ਦਿੱਤੀ ਸਮੱਸਿਆ ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ ਬਦਲਦੇ, ਪਰ ਇੱਕ ਚਲ ਦਾ ਮੁੱਲ ਬਦਲਦਾ ਰਹਿ ਸਕਦਾ ਹੈ।

ਹੁਣ, 3 ਇਕਾਈਆਂ ਦੀ ਭੁਜਾ ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਵਰਗ ਬਾਰੇ ਸੋਚੋ (ਚਿੱਤਰ 2.1 ਵੇਖੋ)। ਇਸਦਾ ਪਰਿਮਾਪ ਕੀ ਹੈ? ਤੁਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹੋ ਕਿ ਇੱਕ ਵਰਗ ਦਾ ਪਰਿਮਾਪ ਇਸਦੀਆਂ ਚਾਰਾਂ ਭੁਜਾਵਾਂ ਦੀਆਂ ਲੰਬਾਈਆਂ ਦਾ ਜੋੜ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇੱਥੇ, ਹਰੇਕ ਭੁਜਾ 3 ਇਕਾਈ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਇਸਦਾ ਪਰਿਮਾਪ $4 \times 3$ ਹੈ, ਯਾਨੀ 12 ਇਕਾਈਆਂ। ਜੇਕਰ ਵਰਗ ਦੀ ਹਰੇਕ ਭੁਜਾ 10 ਇਕਾਈ ਹੈ ਤਾਂ ਪਰਿਮਾਪ ਕੀ ਹੋਵੇਗਾ? ਪਰਿਮਾਪ $4 \times 10$ ਹੈ, ਯਾਨੀ 40 ਇਕਾਈਆਂ। ਜੇਕਰ ਹਰੇਕ ਭੁਜਾ ਦੀ ਲੰਬਾਈ $x$ ਇਕਾਈ ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 2.2 ਵੇਖੋ), ਤਾਂ ਪਰਿਮਾਪ $4 x$ ਇਕਾਈਆਂ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਜਿਵੇਂ ਭੁਜਾ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਬਦਲਦੀ ਹੈ, ਪਰਿਮਾਪ ਬਦਲਦਾ ਹੈ।

ਚਿੱਤਰ 2.1

ਚਿੱਤਰ 2.2 $x$ ਵਿੱਚ ਬਹੁਪਦ ਹੈ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, $3 y^{2}+5 y$ ਚਲ $y$ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਬਹੁਪਦ ਹੈ ਅਤੇ $t^{2}+4$ ਚਲ $t$ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਬਹੁਪਦ ਹੈ।

ਬਹੁਪਦ $x^{2}+2 x$ ਵਿੱਚ, ਸਮੀਕਰਨਾਂ $x^{2}$ ਅਤੇ $2 x$ ਨੂੰ ਬਹੁਪਦ ਦੇ ਪਦ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਬਹੁਪਦ $3 y^{2}+5 y+7$ ਦੇ ਤਿੰਨ ਪਦ ਹਨ, ਯਾਨੀ, $3 y^{2}, 5 y$ ਅਤੇ 7। ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਬਹੁਪਦ $-x^{3}+4 x^{2}+7 x-2$ ਦੇ ਪਦ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹੋ? ਇਸ ਬਹੁਪਦ ਦੇ 4 ਪਦ ਹਨ, ਯਾਨੀ, $-x^{3}, 4 x^{2}, 7 x$ ਅਤੇ -2।

ਇੱਕ ਬਹੁਪਦ ਦੇ ਹਰੇਕ ਪਦ ਦਾ ਇੱਕ ਗੁਣਾਂਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, $-x^{3}+4 x^{2}+7 x-2$ ਵਿੱਚ, $x^{3}$ ਦਾ ਗੁਣਾਂਕ -1 ਹੈ, $x^{2}$ ਦਾ ਗੁਣਾਂਕ 4 ਹੈ, $x$ ਦਾ ਗੁਣਾਂਕ 7 ਹੈ ਅਤੇ -2 $x^{0}$ ਦਾ ਗੁਣਾਂਕ ਹੈ (ਯਾਦ ਰੱਖੋ, $x^{0}=1$)। ਕੀ ਤੁਸੀਂ $x^{2}-x+7$ ਵਿੱਚ $x$ ਦਾ ਗੁਣਾਂਕ ਜਾਣਦੇ ਹੋ? ਇਹ -1 ਹੈ।

2 ਵੀ ਇੱਕ ਬਹੁਪਦ ਹੈ। ਅਸਲ ਵਿੱਚ, $2,-5,7$, ਆਦਿ ਸਥਿਰ ਬਹੁਪਦਾਂ ਦੀਆਂ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਹਨ। ਸਥਿਰ ਬਹੁਪਦ 0 ਨੂੰ ਸਿਫ਼ਰ ਬਹੁਪਦ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਸਾਰੇ ਬਹੁਪਦਾਂ ਦੇ ਸੰਗ੍ਰਹਿ ਵਿੱਚ ਬਹੁਤ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਭੂਮਿਕਾ ਨਿਭਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਤੁਸੀਂ ਉੱਚੀਆਂ ਕਲਾਸਾਂ ਵਿੱਚ ਦੇਖੋਗੇ।

ਹੁਣ, ਬੀਜਗਣਿਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਜਿਵੇਂ ਕਿ $x+\frac{1}{x}, \sqrt{x}+3$ ਅਤੇ $\sqrt[3]{y}+y^{2}$ ਬਾਰੇ ਸੋਚੋ। ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹੋ ਕਿ ਤੁਸੀਂ $x+\frac{1}{x}=x+x^{-1}$ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹੋ? ਇੱਥੇ, ਦੂਜੇ ਪਦ ਦਾ ਘਾਤ, ਯਾਨੀ $x^{-1}$ -1 ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਇੱਕ ਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਇਹ ਬੀਜਗਣਿਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਇੱਕ ਬਹੁਪਦ ਨਹੀਂ ਹੈ।

ਦੁਬਾਰਾ, $\sqrt{x}+3$ ਨੂੰ $x^{\frac{1}{2}}+3$ ਵਜੋਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇੱਥੇ $x$ ਦਾ ਘਾਤ $\frac{1}{2}$ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਇੱਕ ਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਕੀ $\sqrt{x}+3$ ਇੱਕ ਬਹੁਪਦ ਹੈ? ਨਹੀਂ, ਇਹ ਨਹੀਂ ਹੈ। $\sqrt[3]{y}+y^{2}$ ਬਾਰੇ ਕੀ? ਇਹ ਵੀ ਇੱਕ ਬਹੁਪਦ ਨਹੀਂ ਹੈ (ਕਿਉਂ?)।

ਜੇਕਰ ਕਿਸੇ ਬਹੁਪਦ ਵਿੱਚ ਚਲ $x$ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਬਹੁਪਦ ਨੂੰ $p(x)$, ਜਾਂ $q(x)$, ਜਾਂ $r(x)$, ਆਦਿ ਨਾਲ ਦਰਸਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਲਈ, ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ:

$$ \begin{aligned} & p(x)=2 x^{2}+5 x-3 \\ & q(x)=x^{3}-1 \\ & r(y)=y^{3}+y+1 \\ & s(u)=2-u-u^{2}+6 u^{5} \end{aligned} $$

ਇੱਕ ਬਹੁਪਦ ਦੇ ਕੋਈ ਵੀ (ਸੀਮਿਤ) ਪਦ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, $x^{150}+x^{149}+\ldots$ $+x^{2}+x+1$ 151 ਪਦਾਂ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਬਹੁਪਦ ਹੈ।

ਬਹੁਪਦਾਂ $2 x, 2,5 x^{3},-5 x^{2}, y$ ਅਤੇ $u^{4}$ ਬਾਰੇ ਸੋਚੋ। ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹੋ ਕਿ ਇਹਨਾਂ ਬਹੁਪਦਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਦਾ ਸਿਰਫ਼ ਇੱਕ ਪਦ ਹੈ? ਸਿਰਫ਼ ਇੱਕ ਪਦ ਵਾਲੇ ਬਹੁਪਦਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕਪਦੀ (‘ਮੋਨੋ’ ਦਾ ਅਰਥ ਹੈ ‘ਇੱਕ’) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਹੁਣ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਹਰੇਕ ਬਹੁਪਦ ਨੂੰ ਦੇਖੋ:

$p(x)=x+1, \quad q(x)=x^{2}-x,$ $r(y)=y^{30}+1, \quad t(u)=u^{43}-u^{2}$

ਇਹਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨੇ ਪਦ ਹਨ? ਇਹਨਾਂ ਬਹੁਪਦਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਦੇ ਸਿਰਫ਼ ਦੋ ਪਦ ਹਨ। ਸਿਰਫ਼ ਦੋ ਪਦ ਵਾਲੇ ਬਹੁਪਦਾਂ ਨੂੰ ਦੋਪਦੀ (‘ਬਾਈ’ ਦਾ ਅਰਥ ਹੈ ‘ਦੋ’) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਸਿਰਫ਼ ਤਿੰਨ ਪਦ ਵਾਲੇ ਬਹੁਪਦਾਂ ਨੂੰ ਤ੍ਰਿਪਦੀ (‘ਟ੍ਰਾਈ’ ਦਾ ਅਰਥ ਹੈ ‘ਤਿੰਨ’) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਤ੍ਰਿਪਦੀਆਂ ਦੀਆਂ ਕੁਝ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਹਨ

$$ \begin{array}{ll} p(x)=x+x^{2}+\pi, & q(x)=\sqrt{2}+x-x^{2}, \\ r(u)=u+u^{2}-2, & t(y)=y^{4}+y+5 \end{array} $$

ਹੁਣ, ਬਹੁਪਦ $p(x)=3 x^{7}-4 x^{6}+x+9$ ਨੂੰ ਦੇਖੋ। $x$ ਦੀ ਸਭ ਤੋਂ ਉੱਚੀ ਘਾਤ ਵਾਲਾ ਪਦ ਕੀ ਹੈ? ਇਹ $3 x^{7}$ ਹੈ। ਇਸ ਪਦ ਵਿੱਚ $x$ ਦਾ ਘਾਤ 7 ਹੈ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਬਹੁਪਦ $q(y)=5 y^{6}-4 y^{2}-6$ ਵਿੱਚ, $y$ ਦੀ ਸਭ ਤੋਂ ਉੱਚੀ ਘਾਤ ਵਾਲਾ ਪਦ $5 y^{6}$ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸ ਪਦ ਵਿੱਚ $y$ ਦਾ ਘਾਤ 6 ਹੈ। ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਬਹੁਪਦ ਵਿੱਚ ਚਲ ਦੀ ਸਭ ਤੋਂ ਉੱਚੀ ਘਾਤ ਨੂੰ ਬਹੁਪਦ ਦੀ ਡਿਗਰੀ ਕਹਿੰਦੇ ਹਨ। ਇਸ ਲਈ, ਬਹੁਪਦ $3 x^{7}-4 x^{6}+x+9$ ਦੀ ਡਿਗਰੀ 7 ਹੈ ਅਤੇ ਬਹੁਪਦ $5 y^{6}-4 y^{2}-6$ ਦੀ ਡਿਗਰੀ 6 ਹੈ। ਇੱਕ ਗੈਰ-ਸਿਫ਼ਰ ਸਥਿਰ ਬਹੁਪਦ ਦੀ ਡਿਗਰੀ ਸਿਫ਼ਰ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।

ਉਦਾਹਰਨ 1 : ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਬਹੁਪਦਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਦੀ ਡਿਗਰੀ ਪਤਾ ਕਰੋ:

(i) $x^{5}-x^{4}+3$

(ii) $2-y^{2}-y^{3}+2 y^{8}$

(iii) 2

ਹੱਲ : (i) ਚਲ ਦੀ ਸਭ ਤੋਂ ਉੱਚੀ ਘਾਤ 5 ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਬਹੁਪਦ ਦੀ ਡਿਗਰੀ 5 ਹੈ।

(ii) ਚਲ ਦੀ ਸਭ ਤੋਂ ਉੱਚੀ ਘਾਤ 8 ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਬਹੁਪਦ ਦੀ ਡਿਗਰੀ 8 ਹੈ।

(iii) ਇੱਥੇ ਸਿਰਫ਼ ਇੱਕ ਪਦ 2 ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ $2 x^{0}$ ਵਜੋਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ $x$ ਦਾ ਘਾਤ 0 ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਬਹੁਪਦ ਦੀ ਡਿਗਰੀ 0 ਹੈ।

ਹੁਣ ਬਹੁਪਦਾਂ $p(x)=4 x+5, q(y)=2 y, r(t)=t+\sqrt{2}$ ਅਤੇ $s(u)=3-u$ ਨੂੰ ਦੇਖੋ। ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਸਾਰਿਆਂ ਵਿੱਚ ਕੁਝ ਸਾਂਝਾ ਦੇਖਦੇ ਹੋ? ਇਹਨਾਂ ਬਹੁਪਦਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਦੀ ਡਿਗਰੀ ਇੱਕ ਹੈ। ਡਿਗਰੀ ਇੱਕ ਵਾਲੇ ਬਹੁਪਦ ਨੂੰ ਇੱਕ ਘਾਤੀ ਬਹੁਪਦ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਚਲ ਵਿੱਚ ਕੁਝ ਹੋਰ ਇੱਕ ਘਾਤੀ ਬਹੁਪਦ ਹਨ $2 x-1, \sqrt{2} y+1,2-u$। ਹੁਣ, $x$ ਵਿੱਚ 3 ਪਦਾਂ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਇੱਕ ਘਾਤੀ ਬਹੁਪਦ ਲੱਭਣ ਦੀ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ? ਤੁਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਨਹੀਂ ਲੱਭ ਸਕੋਗੇ ਕਿਉਂਕਿ $x$ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਇੱਕ ਘਾਤੀ ਬਹੁਪਦ ਵਿੱਚ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਦੋ ਪਦ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ। ਇਸ ਲਈ, $x$ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਵੀ ਇੱਕ ਘਾਤੀ ਬਹੁਪਦ $a x+b$ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੋਵੇਗਾ, ਜਿੱਥੇ $a$ ਅਤੇ $b$ ਸਥਿਰਾਂਕ ਹਨ ਅਤੇ $a \neq 0$ (ਕਿਉਂ?)। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, $a y+b$ $y$ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਇੱਕ ਘਾਤੀ ਬਹੁਪਦ ਹੈ।

ਹੁਣ ਬਹੁਪਦਾਂ ਬਾਰੇ ਸੋਚੋ:

$$2 x^{2}+5,5 x^{2}+3 x+\pi, x^{2} \text { and } x^{2}+\frac{2}{5} x$$

ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਸਹਿਮਤ ਹੋ ਕਿ ਇਹ ਸਾਰੇ ਦੋ ਘਾਤੀ ਹਨ? ਦੋ ਘਾਤੀ ਬਹੁਪਦ ਨੂੰ ਦੋ ਘਾਤੀ ਬਹੁਪਦ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਦੋ ਘਾਤੀ ਬਹੁਪਦ ਦੀਆਂ ਕੁਝ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਹਨ $5-y^{2}$, $4 y+5 y^{2}$ ਅਤੇ $6-y-y^{2}$। ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਇੱਕ ਚਲ ਵਿੱਚ ਚਾਰ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਪਦਾਂ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਦੋ ਘਾਤੀ ਬਹੁਪਦ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹੋ? ਤੁਸੀਂ ਦੇਖੋਗੇ ਕਿ ਇੱਕ ਚਲ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਦੋ ਘਾਤੀ ਬਹੁਪਦ ਵਿੱਚ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ 3 ਪਦ ਹੋਣਗੇ। ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਕੁਝ ਹੋਰ ਦੋ ਘਾਤੀ ਬਹੁਪਦਾਂ ਦੀ ਸੂਚੀ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹੋ, ਤਾਂ ਤੁਸੀਂ ਦੇਖੋਗੇ ਕਿ $x$ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਵੀ ਦੋ ਘਾਤੀ ਬਹੁਪਦ $a x^{2}+b x+c$ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੋਵੇਗਾ, ਜਿੱਥੇ $a \neq 0$ ਅਤੇ $a, b, c$ ਸਥਿਰਾਂਕ ਹਨ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, $y$ ਵਿੱਚ ਦੋ ਘਾਤੀ ਬਹੁਪਦ $a y^{2}+b y+c$ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੋਵੇਗਾ, ਬਸ਼ਰਤੇ ਕਿ $a \neq 0$ ਅਤੇ $a, b, c$ ਸਥਿਰਾਂਕ ਹਨ।

ਅਸੀਂ ਤਿੰਨ ਘਾਤੀ ਬਹੁਪਦ ਨੂੰ ਤਿੰਨ ਘਾਤੀ ਬਹੁਪਦ ਕਹਿੰਦੇ ਹਨ। $x$ ਵਿੱਚ ਤਿੰਨ ਘਾਤੀ ਬਹੁਪਦ ਦੀਆਂ ਕੁਝ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਹਨ $4 x^{3}, 2 x^{3}+1,5 x^{3}+x^{2}, 6 x^{3}-x, 6-x^{3}, 2 x^{3}+4 x^{2}+6 x+7$। ਤੁਸੀਂ ਕੀ ਸੋਚਦੇ ਹੋ ਕਿ ਇੱਕ ਚਲ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਤਿੰਨ ਘਾਤੀ ਬਹੁਪਦ ਦੇ ਕਿੰਨੇ ਪਦ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ? ਇਸਦੇ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ 4 ਪਦ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ। ਇਹਨਾਂ ਨੂੰ $a x^{3}+b x^{2}+c x+d$ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ $a \neq 0$ ਅਤੇ $a, b, c$ ਅਤੇ $d$ ਸਥਿਰਾਂਕ ਹਨ।

ਹੁਣ, ਜਦੋਂ ਤੁਸੀਂ ਦੇਖ ਲਿਆ ਹੈ ਕਿ ਡਿਗਰੀ 1, ਡਿਗਰੀ 2, ਜਾਂ ਡਿਗਰੀ 3 ਵਾਲਾ ਬਹੁਪਦ ਕਿਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਕਿਸੇ ਵੀ ਕੁਦਰਤੀ ਸੰਖਿਆ $n$ ਲਈ ਡਿਗਰੀ $n$ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਚਲ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਬਹੁਪਦ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹੋ? ਇੱਕ ਚਲ $x$ ਵਿੱਚ ਡਿਗਰੀ $n$ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਬਹੁਪਦ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ:

$$a_{n} x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+\ldots+a_{1} x+a_{0}$$

ਜਿੱਥੇ $a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$ ਸਥਿਰਾਂਕ ਹਨ ਅਤੇ $a_{n} \neq 0$.

ਖਾਸ ਤੌਰ ‘ਤੇ, ਜੇਕਰ $a_{0}=a_{1}=a_{2}=a_{3}=\ldots=a_{n}=0$ (ਸਾਰੇ ਸਥਿਰਾਂਕ ਸਿਫ਼ਰ ਹਨ), ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਸਿਫ਼ਰ ਬਹੁਪਦ ਮਿਲਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ 0 ਨਾਲ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਸਿਫ਼ਰ ਬਹੁਪਦ ਦੀ ਡਿਗਰੀ ਕੀ ਹੈ? ਸਿਫ਼ਰ ਬਹੁਪਦ ਦੀ ਡਿਗਰੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਨਹੀਂ ਹੈ।

ਹੁਣ ਤੱਕ ਅਸੀਂ ਸਿਰਫ਼ ਇੱਕ ਚਲ ਵਿੱਚ ਬਹੁਪਦਾਂ ਨਾਲ ਵਿਹਾਰ ਕੀਤਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਧ ਚਲਾਂ ਵਿੱਚ ਵੀ ਬਹੁਪਦ ਰੱਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, $x^{2}+y^{2}+x y z$ (ਜਿੱਥੇ ਚਲ $x, y$ ਅਤੇ $z$ ਹਨ) ਤਿੰਨ ਚਲਾਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਬਹੁਪਦ ਹੈ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ $p^{2}+q^{10}+r$ (ਜਿੱਥੇ ਚਲ $p, q$ ਅਤੇ $r$ ਹਨ), $u^{3}+v^{2}$ (ਜਿੱਥੇ ਚਲ $u$ ਅਤੇ $v$ ਹਨ) ਕ੍ਰਮਵਾਰ ਤਿੰਨ ਅਤੇ ਦੋ ਚਲਾਂ ਵਿੱਚ ਬਹੁਪਦ ਹਨ। ਤੁਸੀਂ ਅਜਿਹੇ ਬਹੁਪਦਾਂ ਦਾ ਵਿਸਤਾਰ ਵਿੱਚ ਅਧਿਐਨ ਬਾਅਦ ਵਿੱਚ ਕਰੋਗੇ।

2.3 ਬਹੁਪਦ ਦੇ ਸਿਫ਼ਰ

ਬਹੁਪਦ $p(x)=5 x^{3}-2 x^{2}+3 x-2$ ਬਾਰੇ ਸੋਚੋ।

ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ $p(x)$ ਵਿੱਚ ਹਰ ਜਗ੍ਹਾ $x$ ਨੂੰ 1 ਨਾਲ ਬਦਲ ਦੇਈਏ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਮਿਲਦਾ ਹੈ

$$ \begin{aligned} p(1) & =5 \times(1)^{3}-2 \times(1)^{2}+3 \times(1)-2 \\ & =5-2+3-2 \\ & =4 \end{aligned} $$

ਇਸ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ $x=1$ ‘ਤੇ $p(x)$ ਦਾ ਮੁੱਲ 4 ਹੈ।

ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ,

$p(0) =5(0)^{3}-2(0)^{2}+3(0)-2$

$$ =-2 $$

ਕੀ ਤੁਸੀਂ $p(-1)$ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹੋ?

ਉਦਾਹਰਨ 2 : ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਬਹੁਪਦਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਦਾ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਚਲਾਂ ਦੇ ਮੁੱਲ ‘ਤੇ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ:

(i) $p(x)=5 x^{2}-3 x+7$ ‘ਤੇ $x=1$.

(ii) $q(y)=3 y^{3}-4 y+\sqrt{11}$ ‘ਤੇ $y=2$.

(iii) $p(t)=4 t^{4}+5 t^{3}-t^{2}+6$ ‘ਤੇ $t=a$.

ਹੱਲ : (i) $p(x)=5 x^{2}-3 x+7$

ਬਹੁਪਦ $p(x)$ ਦਾ ਮੁੱਲ $x=1$ ‘ਤੇ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ

$$ \begin{aligned} p(1) & =5(1)^{2}-3(1)+7 \\ & =5-3+7=9 \end{aligned} $$

(ii) $q(y)=3 y^{3}-4 y+\sqrt{11}$

ਬਹੁਪਦ $q(y)$ ਦਾ ਮੁੱਲ $y=2$ ‘ਤੇ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ

$$q(2)=3(2)^{3}-4(2)+\sqrt{11}=24-8+\sqrt{11}=16+\sqrt{11}$$

(iii) $p(t)=4 t^{4}+5 t^{3}-t^{2}+6$

ਬਹੁਪਦ $p(t)$ ਦਾ ਮੁੱਲ $t=a$ ‘ਤੇ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ

$$ p(a)=4 a^{4}+5 a^{3}-a^{2}+6 $$

ਹੁਣ, ਬਹੁਪਦ $p(x)=x-1$ ਬਾਰੇ ਸੋਚੋ।

$p(1)$ ਕੀ ਹੈ? ਧਿਆਨ ਦਿਓ: $p(1)=1-1=0$.

ਕਿਉਂਕਿ $p(1)=0$, ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ 1 ਬਹੁਪਦ $p(x)$ ਦਾ ਇੱਕ ਸਿਫ਼ਰ ਹੈ।

ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਤੁਸੀਂ ਜਾਂਚ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ ਕਿ 2 $q(x)$ ਦਾ ਇੱਕ ਸਿਫ਼ਰ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ $q(x)=x-2$.

ਸਧਾਰਨ ਰੂਪ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇੱਕ ਬਹੁਪਦ $p(x)$ ਦਾ ਇੱਕ ਸਿਫ਼ਰ ਇੱਕ ਸੰਖਿਆ $c$ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ $p(c)=0$.

ਤੁਸੀਂ ਜ਼ਰੂਰ ਦੇਖਿਆ ਹੋਵੇਗਾ ਕਿ ਬਹੁਪਦ $x-1$ ਦਾ ਸਿਫ਼ਰ ਇਸਨੂੰ 0 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਕਰਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਯਾਨੀ, $x-1=0$, ਜੋ ਕਿ $x=1$ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ $p(x)=0$ ਇੱਕ ਬਹੁਪਦ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ ਅਤੇ 1 ਬਹੁਪਦ ਸਮੀਕਰਨ $p(x)=0$ ਦਾ ਮੂਲ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ 1 ਬਹੁਪਦ $x-1$ ਦਾ ਸਿਫ਼ਰ ਹੈ, ਜਾਂ ਬਹੁਪਦ ਸਮੀਕਰਨ $x-1=0$ ਦਾ ਇੱਕ ਮੂਲ ਹੈ।

ਹੁਣ, ਸਥਿਰ ਬਹੁਪਦ 5 ਬਾਰੇ ਸੋਚੋ। ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਦੱਸ ਸਕਦੇ ਹੋ ਕਿ ਇਸਦਾ ਸਿਫ਼ਰ ਕੀ ਹੈ? ਇਸਦਾ ਕੋਈ ਸਿਫ਼ਰ ਨਹੀਂ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ $5 x^{0}$ ਵਿੱਚ $x$ ਨੂੰ ਕਿਸੇ ਵੀ ਸੰਖਿਆ ਨਾਲ ਬਦਲਣ ‘ਤੇ ਵੀ ਸਾਨੂੰ 5 ਮਿਲਦਾ ਹੈ। ਅਸਲ ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਗੈਰ-ਸਿਫ਼ਰ ਸਥਿਰ ਬਹੁਪਦ ਦਾ ਕੋਈ ਸਿਫ਼ਰ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ। ਸਿਫ਼ਰ ਬਹੁਪਦ ਦੇ ਸਿਫ਼ਰਾਂ ਬਾਰੇ ਕੀ? ਰਿਵਾਜ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ, ਹਰ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ ਸਿਫ਼ਰ ਬਹੁਪਦ ਦਾ ਇੱਕ ਸਿਫ਼ਰ ਹੈ।

ਉਦਾਹਰਨ 3 : ਜਾਂਚ ਕਰੋ ਕਿ ਕੀ -2 ਅਤੇ 2 ਬਹੁਪਦ $x+2$ ਦੇ ਸਿਫ਼ਰ ਹਨ।

ਹੱਲ : ਮੰਨ ਲਓ $p(x)=x+2$.

ਤਾਂ $p(2)=2+2=4, p(-2)=-2+2=0$

ਇਸ ਲਈ, -2 ਬਹੁਪਦ $x+2$ ਦਾ ਇੱਕ ਸਿਫ਼ਰ ਹੈ, ਪਰ 2 ਨਹੀਂ ਹੈ।

ਉਦਾਹਰਨ 4 : ਬਹੁਪਦ $p(x)=2 x+1$ ਦਾ ਇੱਕ ਸਿਫ਼ਰ ਪਤਾ ਕਰੋ।

ਹੱਲ : $p(x)$ ਦਾ ਇੱਕ ਸਿਫ਼ਰ ਲੱਭਣਾ, ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ

$$ p(x)=0 $$

ਹੁਣ,

$$ 2 x+1=0 \text { gives us } x=-\frac{1}{2} $$

ਇਸ ਲਈ, $-\frac{1}{2}$ ਬਹੁਪਦ $2 x+1$ ਦਾ ਇੱਕ ਸਿਫ਼ਰ ਹੈ।

ਹੁਣ, ਜੇਕਰ $p(x)=a x+b, a \neq 0$, ਇੱਕ ਇੱਕ ਘਾਤੀ ਬਹੁਪਦ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ $p(x)$ ਦਾ ਇੱਕ ਸਿਫ਼ਰ ਕਿਵੇਂ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ? ਉਦਾਹਰਨ 4 ਨੇ ਤੁਹਾਨੂੰ ਕੁਝ ਸੁਝਾਅ ਦਿੱਤਾ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਬਹੁਪਦ $p(x)$ ਦਾ ਇੱਕ ਸਿਫ਼ਰ ਲੱਭਣਾ, ਬਹੁਪਦ ਸਮੀਕਰਨ $p(x)=0$ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ।

ਹੁਣ, $p(x)=0$ ਦਾ ਅਰਥ ਹੈ

$$ \begin{aligned} a x+b & =0, a \neq 0 \\ a x & =-b \\ x & =-\frac{b}{a} . \end{aligned} $$

ਇਸ ਲਈ,

ਇਸ ਲਈ, $x=-\frac{b}{a}$ $p(x)$ ਦਾ ਇਕਲੌਤਾ ਸਿਫ਼ਰ ਹੈ, ਯਾਨੀ, ਇੱਕ ਇੱਕ ਘਾਤੀ ਬਹੁਪਦ ਦਾ ਇੱਕ ਅਤੇ ਸਿਰਫ਼ ਇੱਕ ਸਿਫ਼ਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਕਹਿ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ 1 $x-1$ ਦਾ ਸਿਫ਼ਰ ਹੈ, ਅਤੇ -2 $x+2$ ਦਾ ਸਿਫ਼ਰ ਹੈ।

ਉਦਾਹਰਨ 5 : ਜਾਂਚ ਕਰੋ ਕਿ ਕੀ 2 ਅਤੇ 0 ਬਹੁਪਦ $x^{2}-2 x$ ਦੇ ਸਿਫ਼ਰ ਹਨ।

ਹੱਲ : ਮੰਨ ਲਓ

$p(x)=x^{2}-2 x$

ਤਾਂ $p(2)=2^{2}-4=4-4=0$

ਅਤੇ $p(0)=0-0=0$

ਇਸ ਲਈ, 2 ਅਤੇ 0 ਦੋਵੇਂ ਬਹੁਪਦ $x^{2}-2 x$ ਦੇ ਸਿਫ਼ਰ ਹਨ।

ਆਓ ਹੁਣ ਆਪਣੇ ਨਿਰੀਖਣਾਂ ਦੀ ਸੂਚੀ ਬਣਾਈਏ:

(i) ਇੱਕ ਬਹੁਪਦ ਦਾ ਸਿਫ਼ਰ 0 ਹੋਣ ਦੀ ਲੋੜ ਨਹੀਂ ਹੈ।

(ii) 0 ਕਿਸੇ ਬਹੁਪਦ