2.1 ಪರಿಚಯ

ನೀವು ಹಿಂದಿನ ತರಗತಿಗಳಲ್ಲಿ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳು, ಅವುಗಳ ಸಂಕಲನ, ವ್ಯವಕಲನ, ಗುಣಾಕಾರ ಮತ್ತು ಭಾಗಾಕಾರವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ್ದೀರಿ. ಕೆಲವು ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಅಪವರ್ತಿಸುವುದನ್ನು ಕೂಡ ನೀವು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ್ದೀರಿ. ನೀವು ಬೀಜಗಣಿತದ ಸರ್ವಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು :

ಮತ್ತು

$$ \begin{aligned} & (x+y)^{2}=x^{2}+2 x y+y^{2} \\ & (x-y)^{2}=x^{2}-2 x y+y^{2} \\ & x^{2}-y^{2}=(x+y)(x-y) \end{aligned} $$

ಮತ್ತು ಅಪವರ್ತನದಲ್ಲಿ ಅವುಗಳ ಬಳಕೆ. ಈ ಅಧ್ಯಾಯದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೀತಿಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣದೊಂದಿಗೆ ಮತ್ತು ಅದರೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಪಾರಿಭಾಷಿಕ ಪದಗಳೊಂದಿಗೆ ನಮ್ಮ ಅಧ್ಯಯನವನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತೇವೆ. ಶೇಷ ಪ್ರಮೇಯ ಮತ್ತು ಅಪವರ್ತನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಮತ್ತು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳ ಅಪವರ್ತನದಲ್ಲಿ ಅವುಗಳ ಬಳಕೆಯನ್ನು ಕೂಡ ನಾವು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ಮೇಲಿನದರ ಜೊತೆಗೆ, ಕೆಲವು ಹೆಚ್ಚಿನ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸರ್ವಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಅಪವರ್ತನದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಕೆಲವು ನೀಡಲಾದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡುವಲ್ಲಿ ಅವುಗಳ ಬಳಕೆಯನ್ನು ನಾವು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.

2.2 ಒಂದು ಚರಾಕ್ಷರದ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳು

ಚರಾಕ್ಷರವು ಯಾವುದೇ ವಾಸ್ತವಿಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದಾದ ಒಂದು ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಸೂಚಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ. ನಾವು $x, y, z$, ಇತ್ಯಾದಿ ಅಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಚರಾಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ. ಗಮನಿಸಿ $2 x, 3 x,-x,-\frac{1}{2} x$ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿವೆ. ಈ ಎಲ್ಲಾ ಸಮೀಕರಣಗಳು (ಒಂದು ಸ್ಥಿರಾಂಕ) $\times x$ ರೂಪದಲ್ಲಿವೆ. ಈಗ ನಾವು (ಒಂದು ಸ್ಥಿರಾಂಕ) $\times($ ಒಂದು ಚರಾಕ್ಷರ $)$ ಎಂಬ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯಲು ಬಯಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರಾಂಕ ಏನು ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಅಂತಹ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ನಾವು ಸ್ಥಿರಾಂಕವನ್ನು $a, b, c$, ಇತ್ಯಾದಿ ಎಂದು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಸಮೀಕರಣವು $a x$ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಹೇಳಿ.

ಆದಾಗ್ಯೂ, ಒಂದು ಸ್ಥಿರಾಂಕವನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ ಅಕ್ಷರ ಮತ್ತು ಒಂದು ಚರಾಕ್ಷರವನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ ಅಕ್ಷರದ ನಡುವೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಿದೆ. ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ, ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳು ನೀಡಲಾದ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಚರಾಕ್ಷರದ ಮೌಲ್ಯವು ಬದಲಾಗುತ್ತಲೇ ಇರಬಹುದು.

ಈಗ, 3 ಘಟಕಗಳ ಬದಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಒಂದು ಚೌಕವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ (ಚಿತ್ರ 2.1 ನೋಡಿ). ಅದರ ಪರಿಧಿ ಏನು? ಚೌಕದ ಪರಿಧಿಯು ಅದರ ನಾಲ್ಕು ಬದಿಗಳ ಉದ್ದಗಳ ಮೊತ್ತ ಎಂದು ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿ ಬದಿಯು 3 ಘಟಕಗಳು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಅದರ ಪರಿಧಿಯು $4 \times 3$, ಅಂದರೆ, 12 ಘಟಕಗಳು. ಚೌಕದ ಪ್ರತಿ ಬದಿಯು 10 ಘಟಕಗಳಾಗಿದ್ದರೆ ಪರಿಧಿ ಏನಾಗುತ್ತದೆ? ಪರಿಧಿಯು $4 \times 10$, ಅಂದರೆ, 40 ಘಟಕಗಳು. ಪ್ರತಿ ಬದಿಯ ಉದ್ದವು $x$ ಘಟಕಗಳಾಗಿದ್ದರೆ (ಚಿತ್ರ 2.2 ನೋಡಿ), ಪರಿಧಿಯನ್ನು $4 x$ ಘಟಕಗಳಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಬದಿಯ ಉದ್ದವು ಬದಲಾದಂತೆ, ಪರಿಧಿಯು ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಚಿತ್ರ 2.1

ಚಿತ್ರ 2.2 $x$ ನಲ್ಲಿ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ. ಅದೇ ರೀತಿ, $3 y^{2}+5 y$ ಚರಾಕ್ಷರ $y$ ನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ ಮತ್ತು $t^{2}+4$ ಚರಾಕ್ಷರ $t$ ನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ.

ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ $x^{2}+2 x$ ರಲ್ಲಿ, ಸಮೀಕರಣಗಳು $x^{2}$ ಮತ್ತು $2 x$ ಅನ್ನು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯ ಪದಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅದೇ ರೀತಿ, ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ $3 y^{2}+5 y+7$ ಮೂರು ಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ, $3 y^{2}, 5 y$ ಮತ್ತು 7. ನೀವು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ $-x^{3}+4 x^{2}+7 x-2$ ನ ಪದಗಳನ್ನು ಬರೆಯಬಹುದೇ? ಈ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯು 4 ಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ, $-x^{3}, 4 x^{2}, 7 x$ ಮತ್ತು -2.

ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯ ಪ್ರತಿ ಪದವು ಒಂದು ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, $-x^{3}+4 x^{2}+7 x-2$ ರಲ್ಲಿ, $x^{3}$ ನ ಗುಣಾಂಕ -1, $x^{2}$ ನ ಗುಣಾಂಕ 4, $x$ ನ ಗುಣಾಂಕ 7 ಮತ್ತು -2 $x^{0}$ ನ ಗುಣಾಂಕವಾಗಿದೆ (ನೆನಪಿಡಿ, $x^{0}=1$). $x^{2}-x+7$ ರಲ್ಲಿ $x$ ನ ಗುಣಾಂಕ ಏನು ಎಂದು ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆಯೇ? ಅದು -1.

2 ಕೂಡ ಒಂದು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯಾಗಿದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, $2,-5,7$, ಇತ್ಯಾದಿ ಸ್ಥಿರ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳಾಗಿವೆ. ಸ್ಥಿರ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ 0 ಅನ್ನು ಶೂನ್ಯ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಎಲ್ಲಾ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳ ಸಂಗ್ರಹದಲ್ಲಿ ಬಹಳ ಮುಖ್ಯವಾದ ಪಾತ್ರವನ್ನು ವಹಿಸುತ್ತದೆ, ನೀವು ಹೆಚ್ಚಿನ ತರಗತಿಗಳಲ್ಲಿ ನೋಡುವಂತೆ.

ಈಗ, $x+\frac{1}{x}, \sqrt{x}+3$ ಮತ್ತು $\sqrt[3]{y}+y^{2}$ ನಂತಹ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ನೀವು $x+\frac{1}{x}=x+x^{-1}$ ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು ಎಂದು ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆಯೇ? ಇಲ್ಲಿ, ಎರಡನೇ ಪದದ ಘಾತಾಂಕ, ಅಂದರೆ, $x^{-1}$ -1, ಇದು ಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣವು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯಲ್ಲ.

ಮತ್ತೆ, $\sqrt{x}+3$ ಅನ್ನು $x^{\frac{1}{2}}+3$ ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು. ಇಲ್ಲಿ $x$ ನ ಘಾತಾಂಕ $\frac{1}{2}$, ಇದು ಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, $\sqrt{x}+3$ ಒಂದು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯೇ? ಇಲ್ಲ, ಅದು ಅಲ್ಲ. $\sqrt[3]{y}+y^{2}$ ಬಗ್ಗೆ ಏನು? ಅದು ಕೂಡ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯಲ್ಲ (ಏಕೆ?).

ಒಂದು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಚರಾಕ್ಷರವು $x$ ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯನ್ನು $p(x)$, ಅಥವಾ $q(x)$, ಅಥವಾ $r(x)$, ಇತ್ಯಾದಿ ಎಂದು ಸೂಚಿಸಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಾವು ಬರೆಯಬಹುದು:

$$ \begin{aligned} & p(x)=2 x^{2}+5 x-3 \\ & q(x)=x^{3}-1 \\ & r(y)=y^{3}+y+1 \\ & s(u)=2-u-u^{2}+6 u^{5} \end{aligned} $$

ಒಂದು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯು ಯಾವುದೇ (ಸೀಮಿತ) ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, $x^{150}+x^{149}+\ldots$ $+x^{2}+x+1$ 151 ಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಒಂದು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯಾಗಿದೆ.

ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳು $2 x, 2,5 x^{3},-5 x^{2}, y$ ಮತ್ತು $u^{4}$ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಈ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳು ಕೇವಲ ಒಂದು ಪದವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂದು ನೀವು ನೋಡುತ್ತೀರಾ? ಕೇವಲ ಒಂದು ಪದವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಏಕಪದಗಳು (‘ಮೊನೊ’ ಎಂದರೆ ‘ಒಂದು’) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಈಗ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಗಮನಿಸಿ:

$p(x)=x+1, \quad q(x)=x^{2}-x,$ $r(y)=y^{30}+1, \quad t(u)=u^{43}-u^{2}$

ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದರಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು ಪದಗಳಿವೆ? ಈ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳು ಕೇವಲ ಎರಡು ಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಕೇವಲ ಎರಡು ಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳನ್ನು ದ್ವಿಪದಗಳು (‘ಬೈ’ ಎಂದರೆ ‘ಎರಡು’) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಅದೇ ರೀತಿ, ಕೇವಲ ಮೂರು ಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳನ್ನು ತ್ರಿಪದಗಳು (‘ಟ್ರೈ’ ಎಂದರೆ ‘ಮೂರು’) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ತ್ರಿಪದಗಳ ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳು

$$ \begin{array}{ll} p(x)=x+x^{2}+\pi, & q(x)=\sqrt{2}+x-x^{2}, \\ r(u)=u+u^{2}-2, & t(y)=y^{4}+y+5 \end{array} $$

ಈಗ, ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ $p(x)=3 x^{7}-4 x^{6}+x+9$ ಅನ್ನು ನೋಡಿ. $x$ ನ ಅತ್ಯಧಿಕ ಘಾತವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪದ ಯಾವುದು? ಅದು $3 x^{7}$. ಈ ಪದದಲ್ಲಿ $x$ ನ ಘಾತಾಂಕ 7. ಅದೇ ರೀತಿ, ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ $q(y)=5 y^{6}-4 y^{2}-6$ ರಲ್ಲಿ, $y$ ನ ಅತ್ಯಧಿಕ ಘಾತವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪದವು $5 y^{6}$ ಮತ್ತು ಈ ಪದದಲ್ಲಿ $y$ ನ ಘಾತಾಂಕ 6. ನಾವು ಒಂದು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಚರಾಕ್ಷರದ ಅತ್ಯಧಿಕ ಘಾತವನ್ನು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯ ಘಾತ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ $3 x^{7}-4 x^{6}+x+9$ ನ ಘಾತ 7 ಮತ್ತು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ $5 y^{6}-4 y^{2}-6$ ನ ಘಾತ 6. ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಸ್ಥಿರ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯ ಘಾತವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 1 : ಕೆಳಗೆ ನೀಡಲಾದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳ ಘಾತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ:

(i) $x^{5}-x^{4}+3$

(ii) $2-y^{2}-y^{3}+2 y^{8}$

(iii) 2

ಪರಿಹಾರ : (i) ಚರಾಕ್ಷರದ ಅತ್ಯಧಿಕ ಘಾತ 5. ಆದ್ದರಿಂದ, ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯ ಘಾತ 5.

(ii) ಚರಾಕ್ಷರದ ಅತ್ಯಧಿಕ ಘಾತ 8. ಆದ್ದರಿಂದ, ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯ ಘಾತ 8.

(iii) ಇಲ್ಲಿ ಏಕೈಕ ಪದ 2, ಇದನ್ನು $2 x^{0}$ ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ $x$ ನ ಘಾತಾಂಕ 0. ಆದ್ದರಿಂದ, ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯ ಘಾತ 0.

ಈಗ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳು $p(x)=4 x+5, q(y)=2 y, r(t)=t+\sqrt{2}$ ಮತ್ತು $s(u)=3-u$ ಅನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಇವೆಲ್ಲದರಲ್ಲೂ ಏನಾದರೂ ಸಾಮಾನ್ಯವಿದೆಯೇ ಎಂದು ನೀವು ನೋಡುತ್ತೀರಾ? ಈ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳ ಘಾತವು ಒಂದು. ಘಾತ ಒಂದು ಇರುವ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯನ್ನು ರೇಖೀಯ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಚರಾಕ್ಷರದಲ್ಲಿ ಇನ್ನೂ ಕೆಲವು ರೇಖೀಯ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳು $2 x-1, \sqrt{2} y+1,2-u$. ಈಗ, $x$ ನಲ್ಲಿ 3 ಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ರೇಖೀಯ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ? ನೀವು ಅದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಏಕೆಂದರೆ $x$ ನಲ್ಲಿ ಒಂದು ರೇಖೀಯ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯು ಗರಿಷ್ಠ ಎರಡು ಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ, $x$ ನಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ರೇಖೀಯ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯು $a x+b$ ರೂಪದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ, ಇಲ್ಲಿ $a$ ಮತ್ತು $b$ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು $a \neq 0$ (ಏಕೆ?). ಅದೇ ರೀತಿ, $a y+b$ ಒಂದು ರೇಖೀಯ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯಾಗಿದೆ $y$ ನಲ್ಲಿ.

ಈಗ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ:

$$2 x^{2}+5,5 x^{2}+3 x+\pi, x^{2} \text { and } x^{2}+\frac{2}{5} x$$

ಅವೆಲ್ಲವೂ ಘಾತ ಎರಡು ಇವೆ ಎಂದು ನೀವು ಒಪ್ಪುತ್ತೀರಾ? ಘಾತ ಎರಡು ಇರುವ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯನ್ನು ವರ್ಗ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ವರ್ಗ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯ ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳು $5-y^{2}$, $4 y+5 y^{2}$ ಮತ್ತು $6-y-y^{2}$. ನೀವು ಒಂದು ಚರಾಕ್ಷರದಲ್ಲಿ ನಾಲ್ಕು ವಿಭಿನ್ನ ಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವರ್ಗ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯನ್ನು ಬರೆಯಬಹುದೇ? ಒಂದು ಚರಾಕ್ಷರದಲ್ಲಿ ಒಂದು ವರ್ಗ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯು ಗರಿಷ್ಠ 3 ಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನೀವು ಕಾಣುವಿರಿ. ನೀವು ಇನ್ನೂ ಕೆಲವು ವರ್ಗ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಿದರೆ, $x$ ನಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ವರ್ಗ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯು $a x^{2}+b x+c$ ರೂಪದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನೀವು ಕಾಣುವಿರಿ, ಇಲ್ಲಿ $a \neq 0$ ಮತ್ತು $a, b, c$ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು. ಅದೇ ರೀತಿ, $y$ ನಲ್ಲಿ ವರ್ಗ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯು $a y^{2}+b y+c$ ರೂಪದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ, $a \neq 0$ ಮತ್ತು $a, b, c$ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳಾಗಿದ್ದರೆ.

ಘಾತ ಮೂರು ಇರುವ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯನ್ನು ಘನ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ. $x$ ನಲ್ಲಿ ಘನ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯ ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳು $4 x^{3}, 2 x^{3}+1,5 x^{3}+x^{2}, 6 x^{3}-x, 6-x^{3}, 2 x^{3}+4 x^{2}+6 x+7$. ಒಂದು ಚರಾಕ್ಷರದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಘನ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯು ಎಷ್ಟು ಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು ಎಂದು ನೀವು ಭಾವಿಸುತ್ತೀರಿ? ಅದು ಗರಿಷ್ಠ 4 ಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು. ಇವುಗಳನ್ನು $a x^{3}+b x^{2}+c x+d$ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು, ಇಲ್ಲಿ $a \neq 0$ ಮತ್ತು $a, b, c$ ಮತ್ತು $d$ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು.

ಈಗ, ಘಾತ 1, ಘಾತ 2, ಅಥವಾ ಘಾತ 3 ಇರುವ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ ಹೇಗೆ ಕಾಣುತ್ತದೆ ಎಂದು ನೀವು ನೋಡಿದ್ದೀರಿ, ನೀವು ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ $n$ ಗಾಗಿ ಘಾತ $n$ ಇರುವ ಒಂದು ಚರಾಕ್ಷರದ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯನ್ನು ಬರೆಯಬಹುದೇ? ಘಾತ $n$ ಇರುವ ಒಂದು ಚರಾಕ್ಷರ $x$ ನಲ್ಲಿ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯು

$$a_{n} x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+\ldots+a_{1} x+a_{0}$$

ರೂಪದ ಒಂದು ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ, ಇಲ್ಲಿ $a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು $a_{n} \neq 0$.

ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, $a_{0}=a_{1}=a_{2}=a_{3}=\ldots=a_{n}=0$ ಆಗಿದ್ದರೆ (ಎಲ್ಲಾ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು ಶೂನ್ಯ), ನಾವು ಶೂನ್ಯ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಅದನ್ನು 0 ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಶೂನ್ಯ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯ ಘಾತ ಏನು? ಶೂನ್ಯ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯ ಘಾತವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ.

ಇಲ್ಲಿಯವರೆಗೆ ನಾವು ಕೇವಲ ಒಂದು ಚರಾಕ್ಷರದ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸಿದ್ದೇವೆ. ನಾವು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಚರಾಕ್ಷರಗಳಲ್ಲಿ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಕೂಡ ಹೊಂದಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, $x^{2}+y^{2}+x y z$ (ಇಲ್ಲಿ ಚರಾಕ್ಷರಗಳು $x, y$ ಮತ್ತು $z$) ಮೂರು ಚರಾಕ್ಷರಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯಾಗಿದೆ. ಅದೇ ರೀತಿ $p^{2}+q^{10}+r$ (ಇಲ್ಲಿ ಚರಾಕ್ಷರಗಳು $p, q$ ಮತ್ತು $r$), $u^{3}+v^{2}$ (ಇಲ್ಲಿ ಚರಾಕ್ಷರಗಳು $u$ ಮತ್ತು $v$) ಕ್ರಮವಾಗಿ ಮೂರು ಮತ್ತು ಎರಡು ಚರಾಕ್ಷರಗಳಲ್ಲಿ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳಾಗಿವೆ. ನಂತರ ನೀವು ಅಂತಹ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳನ್ನು ವಿವರವಾಗಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತೀರಿ.

2.3 ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯ ಶೂನ್ಯಗಳು

ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ $p(x)=5 x^{3}-2 x^{2}+3 x-2$ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ.

ನಾವು $x$ ಅನ್ನು 1 ರಿಂದ ಎಲ್ಲೆಡೆ $p(x)$ ನಲ್ಲಿ ಬದಲಾಯಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

$$ \begin{aligned} p(1) & =5 \times(1)^{3}-2 \times(1)^{2}+3 \times(1)-2 \\ & =5-2+3-2 \\ & =4 \end{aligned} $$

ಆದ್ದರಿಂದ, $x=1$ ನಲ್ಲಿ $p(x)$ ನ ಮೌಲ್ಯ 4 ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ.

ಅದೇ ರೀತಿ,

$p(0) =5(0)^{3}-2(0)^{2}+3(0)-2$

$$ =-2 $$

ನೀವು $p(-1)$ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದೇ?

ಉದಾಹರಣೆ 2 : ಚರಾಕ್ಷರಗಳ ಸೂಚಿಸಲಾದ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ:

(i) $p(x)=5 x^{2}-3 x+7$ ನಲ್ಲಿ $x=1$.

(ii) $q(y)=3 y^{3}-4 y+\sqrt{11}$ ನಲ್ಲಿ $y=2$.

(iii) $p(t)=4 t^{4}+5 t^{3}-t^{2}+6$ ನಲ್ಲಿ $t=a$.

ಪರಿಹಾರ : (i) $p(x)=5 x^{2}-3 x+7$

ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ $p(x)$ ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು $x=1$ ನಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ

$$ \begin{aligned} p(1) & =5(1)^{2}-3(1)+7 \\ & =5-3+7=9 \end{aligned} $$

(ii) $q(y)=3 y^{3}-4 y+\sqrt{11}$

ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ $q(y)$ ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು $y=2$ ನಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ

$$q(2)=3(2)^{3}-4(2)+\sqrt{11}=24-8+\sqrt{11}=16+\sqrt{11}$$

(iii) $p(t)=4 t^{4}+5 t^{3}-t^{2}+6$

ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ $p(t)$ ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು $t=a$ ನಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ

$$ p(a)=4 a^{4}+5 a^{3}-a^{2}+6 $$

ಈಗ, ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ $p(x)=x-1$ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ.

$p(1)$ ಏನು? ಗಮನಿಸಿ: $p(1)=1-1=0$.

$p(1)=0$ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, 1 ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ $p(x)$ ನ ಒಂದು ಶೂನ್ಯ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ.

ಅದೇ ರೀತಿ, 2 ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ $q(x)$ ನ ಒಂದು ಶೂನ್ಯ ಎಂದು ನೀವು ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು, ಇಲ್ಲಿ $q(x)=x-2$.

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಒಂದು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ $p(x)$ ನ ಶೂನ್ಯವು ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ $c$ ಆಗಿದೆ, ಅಂದರೆ $p(c)=0$.

ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ $x-1$ ನ ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಅದನ್ನು 0 ಗೆ ಸಮೀಕರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ನೀವು ಗಮನಿಸಿರಬೇಕು, ಅಂದರೆ, $x-1=0$, ಇದು $x=1$ ನೀಡುತ್ತದೆ. ನಾವು $p(x)=0$ ಒಂದು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ ಸಮೀಕರಣ ಮತ್ತು 1 ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ ಸಮೀಕರಣ $p(x)=0$ ನ ಮೂಲ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು 1 ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ $x-1$ ನ ಶೂನ್ಯ, ಅಥವಾ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ ಸಮೀಕರಣ $x-1=0$ ನ ಮೂಲ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ.

ಈಗ, ಸ್ಥಿರ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ 5 ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಅದರ ಶೂನ್ಯ ಏನು ಎಂದು ನೀವು ಹೇಳಬಹುದೇ? ಅದಕ್ಕೆ ಯಾವುದೇ ಶೂನ್ಯವಿಲ್ಲ ಏಕೆಂದರೆ $x$ ಅನ್ನು ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ $5 x^{0}$ ನಲ್ಲಿ ಬದಲಾಯಿಸಿದರೂ ನಮಗೆ 5 ನೀಡುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಸ್ಥಿರ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಶೂನ್ಯವಿಲ್ಲ. ಶೂನ್ಯ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯ ಶೂನ್ಯಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಏನು? ರೂಢಿಯಂತೆ, ಪ್ರತಿ ವಾಸ್ತವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಶೂನ್ಯ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯ ಶೂನ್ಯವಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 3 : -2 ಮತ್ತು 2 ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ $x+2$ ನ ಶೂನ್ಯಗಳೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ : $p(x)=x+2$ ಆಗಿರಲಿ.

ನಂತರ $p(2)=2+2=4, p(-2)=-2+2=0$

ಆದ್ದರಿಂದ, -2 ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ $x+2$ ನ ಒಂದು ಶೂನ್ಯವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ 2 ಅಲ್ಲ.

ಉದಾಹರಣೆ 4 : ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ $p(x)=2 x+1$ ನ ಒಂದು ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ : $p(x)$ ನ ಒಂದು ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು, ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ

$$ p(x)=0 $$

ಈಗ,

$$ 2 x+1=0 \text { gives us } x=-\frac{1}{2} $$

ಆದ್ದರಿಂದ, $-\frac{1}{2}$ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ $2 x+1$ ನ ಒಂದು ಶೂನ್ಯವಾಗಿದೆ.

ಈಗ, $p(x)=a x+b, a \neq 0$, ಒಂದು ರೇಖೀಯ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯಾಗಿದ್ದರೆ, $p(x)$ ನ ಒಂದು ಶೂನ್ಯವನ್ನು ನಾವು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು? ಉದಾಹರಣೆ 4 ನಿಮಗೆ ಕೆಲವು ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ನೀಡಿದೆ. ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ $p(x)$ ನ ಒಂದು ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು, ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ ಸಮೀಕರಣ $p(x)=0$ ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ.

ಈಗ, $p(x)=0$ ಎಂದರೆ

$$ \begin{aligned} a x+b & =0, a \neq 0 \\ a x & =-b \\ x & =-\frac{b}{a} . \end{aligned} $$

ಆದ್ದರಿಂದ,

ಆದ್ದರಿಂದ, $x=-\frac{b}{a}$ $p(x)$ ನ ಏಕೈಕ ಶೂನ್ಯವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಒಂದು ರೇಖೀಯ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗೆ ಒಂದು ಮತ್ತು ಕೇವಲ ಒಂದು ಶೂನ್ಯವಿರುತ್ತದೆ.

ಈಗ ನಾವು 1 ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ $x-1$ ನ ಶೂನ್ಯ, ಮತ್ತು -2 ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ $x+2$ ನ ಶೂನ್ಯ ಎಂದು ಹೇಳಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆ 5 : 2 ಮತ್ತು 0 ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ $x^{2}-2 x$ ನ ಶೂನ್ಯಗಳೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ : ಆಗಿರಲಿ

$p(x)=x^{2}-2 x$

ನಂತರ $p(2)=2^{2}-4=4-4=0$

ಮತ್ತು $p(0)=0-0=0$

ಆದ್ದರಿಂದ, 2 ಮತ್ತು 0 ಎರಡೂ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ $x^{2}-2 x$ ನ ಶೂನ್ಯಗಳಾಗಿವೆ.

ಈಗ ನಮ್ಮ ವೀಕ್ಷಣೆಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡೋಣ:

(i) ಒಂದು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯ ಶೂನ್ಯವು 0 ಆಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ.

(ii) 0 ಒಂದು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರಬಹುದು.

(iii) ಪ್ರತಿ ರೇಖೀಯ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗೆ ಒಂದು ಮತ್ತು ಕೇವಲ ಒಂದು ಶೂನ್ಯವಿರುತ್ತದೆ.

(iv) ಒಂದು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಶೂನ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು.

2.4 ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳ ಅಪವರ್ತನ

ಈಗ ನಾವು ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆ 10 ರ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಹತ್ತಿರದಿಂದ ನೋಡೋಣ. ಇದು ನಮಗೆ ಹೇಳುತ್ತದೆ, ಶೇಷವು $q\left(-\frac{1}{2}\right)=0,(2 t+1)$ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, $q(t)$ ನ ಅಪವರ್ತನವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಕೆಲವು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ $g(t)$ ಗಾಗಿ $q(t)=(2 t+1) g(t)$. ಇದು ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಮೇಯದ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ.

ಅಪವರ್ತನ ಪ್ರಮೇಯ : $p(x)$ ಘಾತ $n \geq 1$ ಇರುವ ಒಂದು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು $a$ ಯಾವುದೇ ವಾಸ್ತವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ (i) $x-a$ $p(x)$ ನ ಅಪವರ್ತನವಾಗಿದೆ, $p(a)=0$ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತು (ii) $p(a)=0$, $x-a$ $p(x)$ ನ ಅಪವರ್ತನವಾಗಿದ್ದರೆ.

ಪುರಾವೆ: ಶೇಷ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ, $p(x)=(x-a) q(x)+p(a)$.

(i) $p(a)=0$ ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ $p(x)=(x-a) q(x)$, ಇದು $x-a$ $p(x)$ ನ ಅಪವರ್ತನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.

(ii) $x-a$ ಕೆ