২.১ ভগ্নাংশৰ পূৰণ

তুমি আয়তক্ষেত্ৰৰ কালি কেনেকৈ উলিয়াব লাগে জানা। ইয়াৰ কালি দীঘ $\times$ প্ৰস্থৰ সমান। যদি আয়তক্ষেত্ৰটোৰ দীঘ আৰু প্ৰস্থ ক্ৰমে $7 cm$ আৰু $4 cm$ হয়, তেন্তে ইয়াৰ কালি কিমান হ’ব? ইয়াৰ কালি হ’ব $7 \times 4=28 cm^{2}$।

যদি আয়তক্ষেত্ৰটোৰ দীঘ আৰু প্ৰস্থ ক্ৰমে $7 \frac{1}{2} cm$ আৰু $3 \frac{1}{2} cm$ হয়, তেন্তে ইয়াৰ কালি কিমান হ’ব? তুমি ক’বা ই $7 \frac{1}{2} \times 3 \frac{1}{2}=\frac{15}{2} \times \frac{7}{2} cm^{2}$ হ’ব। সংখ্যাবোৰ $\frac{15}{2}$

আৰু $\frac{7}{2}$ ভগ্নাংশ। দিয়া আয়তক্ষেত্ৰটোৰ কালি গণনা কৰিবলৈ, আমি ভগ্নাংশ কেনেকৈ পূৰণ কৰিব লাগে জানিব লাগিব। আমি এতিয়া সেইটো শিকিম।

২.১.১ এটা ভগ্নাংশক এটা অখণ্ড সংখ্যাৰে পূৰণ কৰা

চিত্ৰ ২.১

বাওঁফালৰ ছবিবোৰ লক্ষ্য কৰা (চিত্ৰ ২.১)। প্ৰতিটো ছায়াবৃত অংশ এটা বৃত্তৰ $\frac{1}{4}$ অংশ। দুটা ছায়াবৃত অংশই একেলগে কিমান প্ৰতিনিধিত্ব কৰিব? সিহঁতে $\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=2 \times \frac{1}{4}$ প্ৰতিনিধিত্ব কৰিব।

দুটা ছায়াবৃত অংশ একেলগ কৰি, আমি চিত্ৰ ২.২ পাম। চিত্ৰ ২.২ৰ ছায়াবৃত অংশই বৃত্তৰ কিমান অংশ প্ৰতিনিধিত্ব কৰে? ই বৃত্তৰ $\frac{2}{4}$ অংশ প্ৰতিনিধিত্ব কৰে।

চিত্ৰ ২.২

চিত্ৰ ২.১ৰ ছায়াবৃত অংশবোৰ একেলগে লোৱা হ’লে চিত্ৰ ২.২ৰ ছায়াবৃত অংশটোৰ দৰে একে হয়, অৰ্থাৎ আমি চিত্ৰ ২.৩ পাওঁ।

চিত্ৰ ২.৩

বা

$ 2 \times \frac{1}{4}=\frac{2}{4} . $

তুমি এতিয়া ক’ব পাৰিবানে এই ছবিটোৱে কি প্ৰতিনিধিত্ব কৰিব? (চিত্ৰ ২.৪)

চিত্ৰ ২.৪

আৰু এইটো? (চিত্ৰ ২.৫)

চিত্ৰ ২.৫

আকৌ, $3 \times \frac{1}{2}$ উলিয়াওঁ আহা।

আমাৰ আছে

$3 \times \frac{1}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$

আমাৰ আকৌ আছে

$ \frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=\frac{1+1+1}{2}=\frac{3 \times 1}{2}=\frac{3}{2} $

গতিকে

$ 3 \times \frac{1}{2}=\frac{3 \times 1}{2}=\frac{3}{2} $

একেদৰে

$ \frac{2}{3} \times 5=\frac{2 \times 5}{3}=? $

তুমি ক’ব পাৰিবানে

$ 3 \times \frac{2}{7}=? \quad 4 \times \frac{3}{5}=? $

আমি এতিয়ালৈকে বিবেচনা কৰা ভগ্নাংশবোৰ, অৰ্থাৎ $\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{2}{7}$ আৰু $\frac{3}{5}$ আছিল সৎ ভগ্নাংশ।

অসৎ ভগ্নাংশৰ বাবেও আমি পাইছোঁ,

চেষ্টা কৰা,

$ \begin{aligned} & 2 \times \frac{5}{3}=\frac{2 \times 5}{3}=\frac{10}{3} \\ & 3 \times \frac{8}{7}=? 4 \times \frac{7}{5}=? \end{aligned} $

এইদৰে, এটা অখণ্ড সংখ্যাক এটা সৎ বা অসৎ ভগ্নাংশৰে পূৰণ কৰোঁতে, আমি ভগ্নাংশটোৰ লৱটো অখণ্ড সংখ্যাৰে পূৰণ কৰোঁ, হৰটো একে ৰাখি।

চেষ্টা কৰা

১. উলিওৱা: (ক) $\frac{2}{7} \times 3$

(খ) $\frac{9}{7} \times 6$

(গ) $3 \times \frac{1}{8}$

(ঘ) $\frac{13}{11} \times 6$

যদি পূৰণফলটো অসৎ ভগ্নাংশ হয়, তাক মিশ্ৰ ভগ্নাংশ হিচাপে প্ৰকাশ কৰা।

২. ছবিৰে দেখুওৱা: $2 \times \frac{2}{5}=\frac{4}{5}$

চেষ্টা কৰা

উলিওৱা: (i) $5 \times 2 \frac{3}{7}$

(ii) $1 \frac{4}{9} \times 6$

এটা মিশ্ৰ ভগ্নাংশক এটা অখণ্ড সংখ্যাৰে পূৰণ কৰোঁতে, প্ৰথমে মিশ্ৰ ভগ্নাংশটো অসৎ ভগ্নাংশলৈ ৰূপান্তৰ কৰা আৰু তাৰ পিছত পূৰণ কৰা।

গতিকে, $\quad 3 \times 2 \frac{5}{7}=3 \times \frac{19}{7}=\frac{57}{7}=8 \frac{1}{7}$।

একেদৰে, $\quad 2 \times 4 \frac{2}{5}=2 \times \frac{22}{5}=$ ?

এটা অপাৰেটৰ হিচাপে ভগ্নাংশ ‘ৰ’

এই ছবিবোৰ লক্ষ্য কৰা (চিত্ৰ ২.৬)

দুয়োটা বৰ্গ একেবাৰে একে।

প্ৰতিটো ছায়াবৃত অংশই ১ ৰ $\frac{1}{2}$ প্ৰতিনিধিত্ব কৰে।

গতিকে, দুয়োটা ছায়াবৃত অংশই একেলগে ২ ৰ $\frac{1}{2}$ প্ৰতিনিধিত্ব কৰিব।

২টা ছায়াবৃত $\frac{1}{2}$ অংশ একেলগ কৰা। ইয়ে ১ ক প্ৰতিনিধিত্ব কৰে।

গতিকে, আমি ক’ব পাৰোঁ যে ২ ৰ $\frac{1}{2}$ হ’ল ১। আমি ইয়াক $\frac{1}{2} \times 2=1$ হিচাপেও পাব পাৰোঁ।

এইদৰে, $\frac{1}{2}$ ৰ $2=\frac{1}{2} \times 2=1$

চিত্ৰ ২.৬

আকৌ, এই একে ধৰণৰ বৰ্গবোৰলৈ চোৱা (চিত্ৰ ২.৭)।

প্ৰতিটো ছায়াবৃত অংশই ১ ৰ $\frac{1}{2}$ প্ৰতিনিধিত্ব কৰে।

গতিকে, তিনিটা ছায়াবৃত অংশই ৩ ৰ $\frac{1}{2}$ প্ৰতিনিধিত্ব কৰে।

তিনিটা ছায়াবৃত অংশ একেলগ কৰা।

ইয়ে $1 \frac{1}{2}$ অৰ্থাৎ $\frac{3}{2}$ ক প্ৰতিনিধিত্ব কৰে।

গতিকে, ৩ ৰ $\frac{1}{2}$ হ’ল $\frac{3}{2}$। আকৌ, $\frac{1}{2} \times 3=\frac{3}{2}$।

চিত্ৰ ২.৭

এইদৰে, $\frac{1}{2}$ ৰ $3=\frac{1}{2} \times 3=\frac{3}{2}$।

গতিকে আমি দেখিলোঁ যে ‘ৰ’য়ে পূৰণক প্ৰতিনিধিত্ব কৰে।

ফৰিদাৰ ২০টা গুটি আছে। ৰেশমাৰ ফৰিদাৰ থকা গুটিৰ সংখ্যাৰ $\frac{1}{5}$ ভাগ গুটি আছে। ৰেশমাৰ কিমানটা গুটি আছে? যিহেতু ‘ৰ’য়ে পূৰণক সূচায়, গতিকে ৰেশমাৰ $\frac{1}{5} \times 20=4$টা গুটি আছে।

একেদৰে, আমি পাইছোঁ ১৬ ৰ $\frac{1}{2}$ হ’ল $\frac{1}{2} \times 16=\frac{16}{2}=8$।

চেষ্টা কৰা

তুমি ক’ব পাৰিবানে, (i) $\frac{1}{2}$ ৰ $10 ?$ কিমান, (ii) $\frac{1}{4}$ ৰ $16 ?$ কিমান, (iii) $\frac{2}{5}$ ৰ $25 ?$ কিমান

উদাহৰণ ১ ৪০জন ছাত্ৰ-ছাত্ৰী থকা শ্ৰেণীটোৰ $\frac{1}{5}$ ভাগ ছাত্ৰ-ছাত্ৰীয়ে ইংৰাজী পঢ়িবলৈ ভাল পায়, $\frac{2}{5}$ ভাগ ছাত্ৰ-ছাত্ৰীয়ে গণিত পঢ়িবলৈ ভাল পায় আৰু বাকী ছাত্ৰ-ছাত্ৰীয়ে বিজ্ঞান পঢ়িবলৈ ভাল পায়।

(i) কিমানজন ছাত্ৰ-ছাত্ৰীয়ে ইংৰাজী পঢ়িবলৈ ভাল পায়?

(ii) কিমানজন ছাত্ৰ-ছাত্ৰীয়ে গণিত পঢ়িবলৈ ভাল পায়?

(iii) মুঠ ছাত্ৰ-ছাত্ৰীৰ কিমান ভাগে বিজ্ঞান পঢ়িবলৈ ভাল পায়?

সমাধান

শ্ৰেণীটোৰ মুঠ ছাত্ৰ-ছাত্ৰীৰ সংখ্যা $=40$।

(i) ইয়াৰ ভিতৰত মুঠ ছাত্ৰ-ছাত্ৰীৰ $\frac{1}{5}$ ভাগে ইংৰাজী পঢ়িবলৈ ভাল পায়।

গতিকে, ইংৰাজী পঢ়িবলৈ ভাল পোৱা ছাত্ৰ-ছাত্ৰীৰ সংখ্যা $=\frac{1}{5}$ ৰ $40=\frac{1}{5} \times 40=8$।

(ii) নিজে চেষ্টা কৰা।

(iii) ইংৰাজী আৰু গণিত পঢ়িবলৈ ভাল পোৱা ছাত্ৰ-ছাত্ৰীৰ সংখ্যা $=8+16=24$। গতিকে, বিজ্ঞান পঢ়িবলৈ ভাল পোৱা ছাত্ৰ-ছাত্ৰীৰ সংখ্যা $=40-24=16$।

গতিকে, প্ৰয়োজনীয় ভগ্নাংশটো হ’ল $\frac{16}{40}$।

অনুশীলনী ২.১

১. কোনবোৰ অংকন (ক) ৰ পৰা (ঘ) লৈ দেখুৱায়:

(i) $2 \times \frac{1}{5}$

(ii) $2 \times \frac{1}{2}$

(iii) $3 \times \frac{2}{3}$

(iv) $3 \times \frac{1}{4}$

(ক)

(খ)

(গ)

(ঘ)

২. কিছুমান ছবি (ক) ৰ পৰা (গ) লৈ তলত দিয়া হৈছে। কোনবোৰে দেখুৱায় ক’বা:

(i) $3 \times \frac{1}{5}=\frac{3}{5}$

(ii) $2 \times \frac{1}{3}=\frac{2}{3}$

(iii) $3 \times \frac{3}{4}=2 \frac{1}{4}$

(ক)

(খ)

(গ)

৩. পূৰণ কৰা আৰু নিম্নতম ৰূপলৈ কমান আৰু মিশ্ৰ ভগ্নাংশলৈ ৰূপান্তৰ কৰা:

(i) $7 \times \frac{3}{5}$

(ii) $4 \times \frac{1}{3}$

(iii) $2 \times \frac{6}{7}$

(iv) $5 \times \frac{2}{9}$

(v) $\frac{2}{3} \times 4$

(vi) $\frac{5}{2} \times 6$

(vii) $11 \times \frac{4}{7}$

(viii) $20 \times \frac{4}{5}$

(ix) $13 \times \frac{1}{3}$

(x) $15 \times \frac{3}{5}$

৪. ছায়াবৃত কৰা: (i) বাকচ (ক) ৰ বৃত্তবোৰৰ $\frac{1}{2}$ ভাগ (ii) বাকচ (খ) ৰ ত্ৰিভূজবোৰৰ $\frac{2}{3}$ ভাগ

(iii) বাকচ (গ) ৰ বৰ্গবোৰৰ $\frac{3}{5}$ ভাগ।

(ক)

(খ)

(গ)

৫. উলিওৱা:

(ক) $\frac{1}{2}$ ৰ (i) ২৪ (ii) ৪৬

(খ) $\frac{2}{3}$ ৰ (i) ১৮ (ii) ২৭

(গ) $\frac{3}{4}$ ৰ (i) ১৬ (ii) ৩৬

(ঘ) $\frac{4}{5}$ ৰ (i) ২০ (ii) ৩৫

৬. পূৰণ কৰা আৰু মিশ্ৰ ভগ্নাংশ হিচাপে প্ৰকাশ কৰা:

(ক) $3 \times 5 \frac{1}{5}$

(খ) $5 \times 6 \frac{3}{4}$

(গ) $7 \times 2 \frac{1}{4}$

(ঘ) $4 \times 6 \frac{1}{3}$

(ঙ) $3 \frac{1}{4} \times 6$

(চ) $3 \frac{2}{5} \times 8$

৭. উলিওৱা: (ক) $\frac{1}{2}$ ৰ (i) $2 \frac{3}{4}$ (ii) $4 \frac{2}{9}$

(খ) $\frac{5}{8}$ ৰ (i) $3 \frac{5}{6}$ (ii) $9 \frac{2}{3}$

৮. বিদ্যা আৰু প্ৰতাপে পিকনিকলৈ গৈছিল। তেওঁলোকৰ মাকে তেওঁলোকক ৫ লিটাৰ পানী থকা এটা পানীৰ বটল দিছিল। বিদ্যাই $\frac{2}{5}$ ভাগ পানী খালে। প্ৰতাপে বাকী থকা পানী খালে।

(i) বিদ্যাই কিমান পানী খালে?

(ii) মুঠ পানীৰ কিমান ভাগ পানী প্ৰতাপে খালে?

২.১.২ এটা ভগ্নাংশক আন এটা ভগ্নাংশৰে পূৰণ কৰা

ফৰিদাৰ এডোখৰ $9 cm$ দীঘল ৰিবনৰ ফিতা আছিল। তাই এই ফিতাডাল চাৰিটা সমান অংশত কাটিলে। তাই কেনেকৈ কৰিলে? তাই ফিতাডাল দুবাৰকৈ ভাঁজ কৰিলে। মুঠ দৈৰ্ঘ্যৰ কিমান ভাগ প্ৰতিটো অংশই প্ৰতিনিধিত্ব কৰিব?

প্ৰতিটো অংশই ফিতাডালৰ $\frac{9}{4}$ ভাগ হ’ব। তাই এটা অংশ ল’লে আৰু অংশটো এবাৰ ভাঁজ কৰি দুটা সমান অংশত ভাগ কৰিলে। এই টুকুৰাবোৰৰ এটাই কি প্ৰতিনিধিত্ব কৰিব? ইয়ে $\frac{9}{4}$ ৰ $\frac{1}{2}$ বা $\frac{1}{2} \times \frac{9}{4}$ ক প্ৰতিনিধিত্ব কৰিব।

এতিয়া $\frac{1}{2} \times \frac{9}{4}$ৰ দৰে দুটা ভগ্নাংশৰ পূৰণফল কেনেকৈ উলিয়াব লাগে চাওঁ আহা।

চিত্ৰ ২.৮

চিত্ৰ ২.৯

ইয়াক কৰিবলৈ আমি প্ৰথমে $\frac{1}{2} \times \frac{1}{3}$ৰ দৰে পূৰণফলবোৰ কেনেকৈ উলিয়াব লাগে শিকো।

(ক) আমি এটা সমগ্ৰৰ $\frac{1}{3}$ কেনেকৈ উলিয়াওঁ? আমি সমগ্ৰটো তিনিটা সমান অংশত ভাগ কৰোঁ। তিনিটা অংশৰ প্ৰতিটোৱে সমগ্ৰটোৰ $\frac{1}{3}$ ভাগ প্ৰতিনিধিত্ব কৰে। এই তিনিটা অংশৰ এটা অংশ লোৱা, আৰু চিত্ৰ ২.৮ত দেখুওৱাৰ দৰে ছায়াবৃত কৰা।

(খ) তুমি এই ছায়াবৃত অংশটোৰ $\frac{1}{2}$ কেনেকৈ উলিয়াবা? এই এক-তৃতীয়াংশ $(\frac{1}{3})$ ছায়াবৃত অংশটো দুটা সমান অংশত ভাগ কৰা। এই দুটা অংশৰ প্ৰতিটোৱে $\frac{1}{3}$ ৰ $\frac{1}{2}$ অৰ্থাৎ $\frac{1}{2} \times \frac{1}{3}$ (চিত্ৰ ২.৯) প্ৰতিনিধিত্ব কৰে।

এই দুটা অংশৰ পৰা ১টা অংশ বাহিৰ কৰি লোৱা আৰু ইয়াক ‘A’ নাম দিয়া। ‘A’য়ে $\frac{1}{2} \times \frac{1}{3}$ ক প্ৰতিনিধিত্ব কৰে।

(গ) ‘A’ সমগ্ৰটোৰ কিমান ভাগ? ইয়াৰ বাবে, বাকী থকা প্ৰতিটো $\frac{1}{3}$ অংশকো দুটা সমান অংশত ভাগ কৰা। এতিয়া তুমি কিমানটা এনে সমান অংশ পাইছা?

এতিয়া এনে ছয়টা সমান অংশ আছে। ‘A’ এই অংশবোৰৰ এটা।

গতিকে, ‘$A$’ হ’ল সমগ্ৰটোৰ $\frac{1}{6}$ ভাগ। এইদৰে, $\frac{1}{2} \times \frac{1}{3}=\frac{1}{6}$।

আমি কেনেকৈ ঠাৱৰ কৰিলোঁ যে ‘$A$’ সমগ্ৰটোৰ $\frac{1}{6}$ আছিল? সমগ্ৰটোক $6=2 \times 3$টা অংশত ভাগ কৰা হৈছিল আৰু ইয়াৰ পৰা $1=1 \times 1$ অংশ লোৱা হৈছিল।

এইদৰে,

$ \begin{aligned} & \frac{1}{2} \times \frac{1}{3}=\frac{1}{6}=\frac{1 \times 1}{2 \times 3} \\ & \frac{1}{2} \times \frac{1}{3}=\frac{1 \times 1}{2 \times 3} \end{aligned} $

$\frac{1}{3} \times \frac{1}{2}$ৰ মান একে ধৰণেৰে উলিয়াব পাৰি। সমগ্ৰটোক দুটা সমান অংশত ভাগ কৰা আৰু তাৰ পিছত এই অংশবোৰৰ এটাক তিনিটা সমান অংশত ভাগ কৰা। এই অংশবোৰৰ পৰা এটা লোৱা। ইয়ে $\frac{1}{3} \times \frac{1}{2}$ অৰ্থাৎ $\frac{1}{6}$ ক প্ৰতিনিধিত্ব কৰিব।

গতিকে

$ \frac{1}{3} \times \frac{1}{2}=\frac{1}{6}=\frac{1 \times 1}{3 \times 2} \text{ আগতে আলোচনা কৰাৰ দৰে। } $

সেয়েহে

$ \frac{1}{2} \times \frac{1}{3}=\frac{1}{3} \times \frac{1}{2}=\frac{1}{6} $

$\frac{1}{3} \times \frac{1}{4}$ আৰু $\frac{1}{4} \times \frac{1}{3} ; \frac{1}{2} \times \frac{1}{5}$ আৰু $\frac{1}{5} \times \frac{1}{2}$ উলিওৱা আৰু পৰীক্ষা কৰা তুমি

$ \frac{1}{3} \times \frac{1}{4}=\frac{1}{4} \times \frac{1}{3} ; \frac{1}{2} \times \frac{1}{5}=\frac{1}{5} \times \frac{1}{2} $

পাইছানে নাই।

চেষ্টা কৰা

এই বাকচবোৰ পূৰ কৰা: (i) $\frac{1}{2} \times \frac{1}{7}=\frac{1 \times 1}{2 \times 7}=\square \qquad$ (ii) $\frac{1}{5} \times \frac{1}{7}=\square=\square$

(iii) $\frac{1}{7} \times \frac{1}{2}=\square=\square \qquad$ (iv) $\frac{1}{7} \times \frac{1}{5}=\square=\square$

উদাহৰণ ২ সুষান্তই ১ ঘণ্টাত কিতাপ এখনৰ $\frac{1}{3}$ ভাগ পঢ়ে। $2 \frac{1}{5}$ ঘণ্টাত সি কিতাপখনৰ কিমান ভাগ পঢ়িব?

সমাধান

সুষান্তই ১ ঘণ্টাত পঢ়া কিতাপৰ ভাগ $=\frac{1}{3}$।

গতিকে, $2 \frac{1}{5}$ ঘণ্টাত সি পঢ়া কিতাপৰ ভাগ $=2 \frac{1}{5} \times \frac{1}{3}$

$ =\frac{11}{5} \times \frac{1}{3}=\frac{11 \times 1}{5 \times 3}=\frac{11}{15} $

এতিয়া $\frac{1}{2} \times \frac{5}{3}$ উলিয়াওঁ আহা। আমি জানো যে $\frac{5}{3}=\frac{1}{3} \times 5$।

$ \text{ গতিকে, } \frac{1}{2} \times \frac{5}{3}=\frac{1}{2} \times \frac{1}{3} \times 5=\frac{1}{6} \quad 5=\frac{5}{6} $

আকৌ, $\frac{5}{6}=\frac{1 \times 5}{2 \times 3}$। এইদৰে, $\frac{1}{2} \times \frac{5}{3}=\frac{1 \times 5}{2 \times 3}=\frac{5}{6}$।

এইটো তলত অংকন কৰা ছবিবোৰৰ দ্বাৰাও দেখুওৱা হৈছে। এই পাঁচটা সমান আকৃতিৰ (চিত্ৰ ২.১০) প্ৰতিটো পাঁচটা একে ধৰণৰ বৃত্তৰ অংশ। এনে এটা আকৃতি লোৱা। এই আকৃতিটো পাবলৈ আমি প্ৰথমে এটা বৃত্তক তিনিটা সমান অংশত ভাগ কৰোঁ। তাৰ পিছত এই তিনিটা অংশৰ প্ৰতিটোক দুটা সমান অংশত ভাগ কৰোঁ। ইয়াৰ পৰা এটা অংশ হ’ল আমি বিবেচনা কৰা আকৃতিটো। ইয়ে কি প্ৰতিনিধিত্ব কৰিব?

ইয়ে $\frac{1}{2} \times \frac{1}{3}=\frac{1}{6}$ ক প্ৰতিনিধিত্ব কৰিব। এনে অংশবোৰৰ মুঠ সংখ্যা হ’ব $5 \times \frac{1}{6}=\frac{5}{6}$।

চেষ্টা কৰা

উলিওৱা: $\frac{1}{3} \times \frac{4}{5} ; \frac{2}{3} \times \frac{1}{5}$

একেদৰে $ \quad \frac{3}{5} \times \frac{1}{7}=\frac{3 \times 1}{5 \times 7}=\frac{3}{35} . $

এইদৰে আমি $\frac{2}{3} \times \frac{7}{5}$ক $\frac{2}{3} \times \frac{7}{5}=\frac{2 \times 7}{3 \times 5}=\frac{14}{15}$ হিচাপে উলিয়াব পাৰোঁ।

গতিকে, আমি দেখিলোঁ যে আমি দুটা ভগ্নাংশক $\frac{\text{ Product of Numerators }}{\text{ Product of Denominators }}$ হিচাপে পূৰণ কৰোঁ।

চেষ্টা কৰা

উলিওৱা: $\frac{8}{3} \times \frac{4}{7} ; \frac{3}{4} \times \frac{2}{3}$।

পূৰণফলবোৰৰ মান

তুমি দেখিছা যে দুটা অখণ্ড সংখ্যাৰ পূৰণফল দুয়োটা অখণ্ড সংখ্যাৰ প্ৰতিটোতকৈ ডাঙৰ। উদাহৰণস্বৰূপে, $3 \times 4=12$ আৰু $12>4,12>3$। দুটা ভগ্নাংশ পূৰণ কৰোঁতে পূৰণফলৰ মানৰ কি হয়?

প্ৰথমে দুটা সৎ ভগ্নাংশৰ পূৰণফল বিবেচনা কৰোঁ আহা।

আমাৰ আছে,

তুমি দেখিবা যে দুটা সৎ ভগ্নাংশ পূৰণ কৰিলে, পূৰণফলটো ভগ্নাংশ দুটাৰ প্ৰতিটোতকৈ সৰু হয়। বা, আমি ক’ব পাৰোঁ যে দুটা সৎ ভগ্নাংশৰ পূৰণফলৰ মান ভগ্নাংশ দুটাৰ প্ৰতিটোতকৈ সৰু।

আৰু পাঁচটা উদাহৰণ সাজি এইটো পৰীক্ষা কৰা।

এতিয়া দুটা অসৎ ভগ্নাংশ পূৰণ কৰোঁ আহা।

আমি দেখিলোঁ যে দুটা অসৎ ভগ্নাংশৰ পূৰণফল ভগ্নাংশ দুটাৰ প্ৰতিটোতকৈ ডাঙৰ।

বা, দুটা অসৎ ভগ্নাংশৰ পূৰণফলৰ মান ভগ্নাংশ দুটাৰ প্ৰতিটোতকৈ বেছি।

নিজৰ বাবে আৰু পাঁচটা উদাহৰণ সাজি ওপৰৰ উক্তিটো সত্যাপন কৰা।

এতিয়া এটা সৎ ভগ্নাংশ আৰু এটা অসৎ ভগ্নাংশ পূৰণ কৰোঁ আহা, যেনে $\frac{2}{3}$ আৰু $\frac{7}{5}$।

আমাৰ আছে $\quad \frac{2}{3} \times \frac{7}{5}=\frac{14}{15}$। ইয়াত, $\frac{14}{15}<\frac{7}{5}$ আৰু $\frac{14}{15}>\frac{2}{3}$

পোৱা পূৰণফলটো অসৎ ভগ্নাংশটোতকৈ সৰু আৰু পূৰণত জড়িত সৎ ভগ্নাংশটোতকৈ ডাঙৰ।

$\frac{6}{5} \times \frac{2}{8}, \frac{8}{3} \times \frac{4}{5}$ৰ বাবে এইটো পৰীক্ষা কৰা।

অনুশীলনী ২.২

১. উলিওৱা:

(i) $\frac{1}{4}$ ৰ $\quad$(ক) $\frac{1}{4}$ $\quad$ (খ) $\frac{3}{5}$(গ) $\quad$ $\frac{4}{3}$

(ii) $\frac{1}{7}$ ৰ $\quad$ (ক) $\frac{2}{9}$ $\quad$ (খ) $\frac{6}{5}$ $\quad$ (গ) $\frac{3}{10}$

২. পূৰণ কৰা আৰু নিম্নতম ৰূপলৈ কমান (যদি সম্ভৱ):

(i) $\frac{2}{3} \times 2 \frac{2}{3}$

(ii) $\frac{2}{7} \times \frac{7}{9}$

(iii) $\frac{3}{8} \times \frac{6}{4}$

(iv) $\frac{9}{5} \times \frac{3}{5}$

(v) $\frac{1}{3} \times \frac{15}{8}$

(vi) $\frac{11}{2} \times \frac{3}{10}$

(vii) $\frac{4}{5} \times \frac{12}{7}$

৩. তলৰ ভগ্নাংশবোৰ পূৰণ কৰা:

(i) $\frac{2}{5} \times 5 \frac{1}{4}$

(ii) $6 \frac{2}{5} \times \frac{7}{9}$

(iii) $\frac{3}{2} \times 5 \frac{1}{3}$

(iv) $\frac{5}{6} \times 2 \frac{3}{7}$

(v) $3 \frac{2}{5} \times \frac{4}{7}$

(vi) $2 \frac{3}{5} \times 3$

(vii) $3 \frac{4}{7} \times \frac{3}{5}$

৪. কোনটো ডাঙৰ:

(i) $\frac{2}{7}$ ৰ $\frac{3}{4}$ নে $\frac{3}{5}$ ৰ $\frac{5}{8}$

(ii) $\frac{1}{2}$ ৰ $\frac{6}{7}$ নে $\frac{2}{3}$ ৰ $\frac{3}{7}$

৫. শাইলীয়ে তাইৰ বাৰীত এটা শাৰীত ৪টা চাৰি গছৰ গুটি ৰুইছে। দুটা কাষৰীয়া গুটিৰ মাজৰ দূৰত্ব $\frac{3}{4} m$। প্ৰথম আৰু শেহৰীয়া গুটিটোৰ মাজৰ দূৰত্ব উলিওৱা।

৬. লিপিকাই প্ৰতিদিনে $1 \frac{3}{4}$ ঘণ্টাকৈ কিতাপ এখন পঢ়ে। তাই ৬ দিনত সমগ্ৰ কিতাপখন পঢ়ে। কিতাপখন পঢ়িবলৈ তাইৰ মুঠতে কিমান ঘণ্টা লাগিল?

৭. এটা গাড়ীয়ে ১ লিটাৰ পেট্ৰল ব্যৱহাৰ কৰি $16 km$ দূৰত্ব অতিক্ৰম কৰে। $2 \frac{3}{4}$ লিটাৰ পেট্ৰল ব্যৱহাৰ কৰি ই কিমান দূৰত্ব অতিক্ৰম কৰিব?

৮. (ক) (i) বাকচটোত $\square$ সংখ্যাটো দিয়া, যাতে $\frac{2}{3} \times \square=\frac{10}{30}$ হয়।

(ii) $\square$ত পোৱা সংখ্যাটোৰ আটাইতকৈ সৰল ৰূপ হ’ল

(খ) (i) বাকচটোত $\square$ সংখ্যাটো দিয়া, যাতে $\frac{3}{5} \times \square=\frac{24}{75}$ হয়।

(ii) $\square$ত পোৱা সংখ্যাটোৰ আটাইতকৈ সৰল ৰূপ হ’ল

২.২ ভগ্নাংশৰ হৰণ

জনৰ দীঘ $6 cm$ৰ কাগজৰ এডোখৰ ফিতা আছে। সি এই ফিতাডাল $2 cm$ দীঘৰ সৰু সৰু ফিতাত কাটিলে। তুমি জানা যে সি $6 \div 2=3$ডাল ফিতা পাব।

জনে আকৌ দীঘ $6 cm$ৰ আন এডোখৰ ফিতা $\frac{3}{2} cm$ দীঘৰ সৰু সৰু ফিতাত কাটিলে। এতিয়া সি কিমানডাল ফিতা পাব? সি $6 \div \frac{3}{2}$ডাল ফিতা পাব।

দীঘ $\frac{15}{2} cm$ৰ কাগজৰ এডোখৰ ফিতাক $\frac{3}{2} cm$ দীঘৰ সৰু সৰু ফিতাত কাটিব পাৰি $\frac{15}{2} \div \frac{3}{2}$টা টুকুৰা পাবলৈ।

গতিকে, আমি এটা অখণ্ড সংখ্যাক ভগ্নাংশ এটাৰে বা ভগ্নাংশ এটাক আন এটা ভগ্নাংশৰে হৰণ কৰিবলগীয়া হৈছে। সেইটো কেনেকৈ কৰিব লাগে চাওঁ আহা।

২.২.১ অখণ্ড সংখ্যা এটাৰ ভগ্নাংশ এটাৰে হৰণ

$1 \div \frac{1}{2}$ উলিয়াওঁ আহা।

আমি এটা সমগ্ৰক এনে কেইবাটাও সমান অংশত ভাগ কৰোঁ যাতে প্ৰতিটো অংশ সমগ্ৰটোৰ আধা হয়।

এনে আধা $(\frac{1}{2}.$) অংশবোৰৰ সংখ্যা হ’ব $1 \div \frac{1}{2}$। চিত্ৰটোলৈ (চিত্ৰ ২.১১) চোৱা। তুমি কিমানটা আধা অংশ দেখিছা?

দুটা আধা অংশ আছে।

গতিকে, $\quad 1 \div \frac{1}{2}=2$। আকৌ, $1 \times \frac{2}{1}=1 \times 2=2$।

এইদৰে, $1 \div \frac{1}{2}=1 \times \frac{2}{1}(\frac{1}{2} \quad \frac{1}{2})$

চিত্ৰ ২.১১

একেদৰে, $3 \div \frac{1}{4}=$ $\frac{1}{4}$ অংশবোৰৰ সংখ্যা যেতিয়া প্ৰতিটো ৩টা সমগ্ৰক $\frac{1}{4}$ সমান অংশত ভাগ কৰা হয় $=12$ (চিত্ৰ ২.১২ৰ পৰা)

চিত্ৰ ২.১২

আকৌ লক্ষ্য কৰা যে, $3 \times \frac{4}{1}=3 \times 4=12$। এইদৰে, $3 \div \frac{1}{4}=3 \times \frac{4}{1}=12$।

একেদৰে উলিওৱা, $3 \div \frac{1}{2}$ আৰু $3 \times \frac{2}{1}$।

ভগ্নাংশ এটাৰ প্ৰতিলোম

সংখ্যাটো $\frac{2}{1}$ক $\frac{1}{2}$ৰ লৱ আৰু হৰ সলনি কৰি বা $\frac{1}{2}$ক ওলোটাই পাব পাৰি। একেদৰে, $\frac{3}{1}$ক $\frac{1}{3}$ক ওলোটাই পোৱা যায়।

প্ৰথমে এনে সংখ্যাবোৰ ওলোটোৱাৰ বিষয়ে চাওঁ আহা।

এই পূৰণফলবোৰ লক্ষ্য কৰা আৰু খালী ঠাইবোৰ পূৰ কৰা:

আৰু পাঁচযোৰ এনে পূৰণ কৰা।

যি অশূন্য সংখ্যাবোৰৰ পৰস্পৰৰ সৈতে পূৰণফল ১, তেওঁলোকক পৰস্পৰৰ প্ৰতিলোম বোলে।

গতিকে $\frac{5}{9}$ৰ প্ৰতিলোম হ’ল $\frac{9}{5}$ আৰু $\frac{9}{5}$ৰ প্ৰতিলোম হ’ল $\frac{5}{9}$। $\frac{1}{9}$ৰ প্ৰতিলোম কি? $\frac{2}{7}$ ?

তুমি দেখিবা যে $\frac{2}{3}$ৰ প্ৰতিলোম ইয়াক ওলোটাই পোৱা যায়। তুমি $\frac{3}{2}$ পোৱা।

চিন্তা কৰা, আলোচনা কৰা আৰু লিখা

(i) সৎ ভগ্নাংশ এটাৰ প্ৰতিলোম আকৌ সৎ ভগ্নাংশ হ’ব নেকি?

(ii) অসৎ ভগ্নাংশ এটাৰ প্ৰতিলোম আকৌ অসৎ ভগ্নাংশ হ’ব নেকি? গতিকে, আমি ক’ব পাৰোঁ যে

$ \begin{aligned} & 1 \div \frac{1}{2}=1 \times \frac{2}{1}=1 \times \text{ ৰ প্ৰতিলোম } \frac{1}{2} \\ & 3 \div \frac{1}{4}=3 \times \frac{4}{1}=3 \times \text{ ৰ প্ৰতিলোম } \frac{1}{4} \\ & 3 \div \frac{1}{2}=—-=—- \end{aligned} $

গতিকে, $2 \div \frac{3}{4}=2 \times$ ৰ প্ৰতিলোম $\frac{3}{4}=2 \times \frac{4}{3}$.

$ 5 \div \frac{2}{9}=5 \times \text{————— }=5 \times $

এইদৰে, যিকোনো ভগ্নাংশৰে অখণ্ড সংখ্যা এটা হৰণ কৰিবলৈ, সেই অখণ্ড সংখ্যাটো সেই ভগ্নাংশটোৰ প্ৰতিলোমৰে পূৰণ কৰা।

চেষ্টা কৰা

উলিওৱা: (i) $7 \div \frac{2}{5}\quad$(ii) $6 \div \frac{4}{7}\quad$(iii) $2 \div \frac{8}{9}$

• মিশ্ৰ ভগ্নাংশ এটাৰে অখণ্ড সংখ্যা এটা হৰণ কৰ