2.1 ଭଗ୍ନାଂଶର ଗୁଣନ

ତୁମେ ଏକ ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ କିପରି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବେ ଜାଣିଛ। ଏହା ଦୈର୍ଘ୍ୟ $\times$ ପ୍ରସ୍ଥ ସହ ସମାନ। ଯଦି ଏକ ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଓ ପ୍ରସ୍ଥ ଯଥାକ୍ରମେ $7 cm$ ଓ $4 cm$ ହୁଏ, ତେବେ ଏହାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ କେତେ ହେବ? ଏହାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $7 \times 4=28 cm^{2}$ ହେବ।

ଯଦି ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଓ ପ୍ରସ୍ଥ ଯଥାକ୍ରମେ $7 \frac{1}{2} cm$ ଓ $3 \frac{1}{2} cm$ ହୁଏ, ତେବେ ଏହାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ କେତେ ହେବ? ତୁମେ କହିବ ଏହା $7 \frac{1}{2} \times 3 \frac{1}{2}=\frac{15}{2} \times \frac{7}{2} cm^{2}$ ହେବ। ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ $\frac{15}{2}$

ଏବଂ $\frac{7}{2}$ ଭଗ୍ନାଂଶ। ଦିଆଯାଇଥିବା ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ଗଣନା କରିବାକୁ ଆମକୁ ଭଗ୍ନାଂଶଗୁଡ଼ିକୁ କିପରି ଗୁଣିବାକୁ ହେବ ଜାଣିବା ଆବଶ୍ୟକ। ଆମେ ଏବେ ସେଇଥିପାଇଁ ଶିଖିବା।

2.1.1 ଏକ ଭଗ୍ନାଂଶର ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ସଂଖ୍ୟା ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ

ଚିତ୍ର 2.1

ବାମ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଥିବା ଚିତ୍ରଗୁଡ଼ିକୁ ଲକ୍ଷ୍ୟ କର (ଚିତ୍ର 2.1)। ପ୍ରତ୍ୟେକ ଛାୟାଚ୍ଛନ୍ନ ଅଂଶ ଏକ ବୃତ୍ତର $\frac{1}{4}$ ଅଂଶକୁ ପ୍ରତିନିଧିତ୍ୱ କରେ। ଦୁଇଟି ଛାୟାଚ୍ଛନ୍ନ ଅଂଶ ମିଶି କେତେ ପ୍ରତିନିଧିତ୍ୱ କରିବ? ସେମାନେ $\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=2 \times \frac{1}{4}$ ପ୍ରତିନିଧିତ୍ୱ କରିବେ।

ଦୁଇଟି ଛାୟାଚ୍ଛନ୍ନ ଅଂଶକୁ ମିଶାଇଲେ ଆମେ ଚିତ୍ର 2.2 ପାଇବା। ଚିତ୍ର 2.2ରେ ଥିବା ଛାୟାଚ୍ଛନ୍ନ ଅଂଶ ଏକ ବୃତ୍ତର କେତେ ଅଂଶକୁ ପ୍ରତିନିଧିତ୍ୱ କରେ? ଏହା ଏକ ବୃତ୍ତର $\frac{2}{4}$ ଅଂଶକୁ ପ୍ରତିନିଧିତ୍ୱ କରେ।

ଚିତ୍ର 2.2

ଚିତ୍ର 2.1ରେ ଥିବା ଛାୟାଚ୍ଛନ୍ନ ଅଂଶଗୁଡ଼ିକୁ ଏକତ୍ର ନେଲେ ଚିତ୍ର 2.2ରେ ଥିବା ଛାୟାଚ୍ଛନ୍ନ ଅଂଶ ସହ ସମାନ ହୁଏ, ଅର୍ଥାତ୍, ଆମେ ଚିତ୍ର 2.3 ପାଇବା।

ଚିତ୍ର 2.3

କିମ୍ବା

$ 2 \times \frac{1}{4}=\frac{2}{4} . $

ତୁମେ ଏବେ କହିପାରିବ କି ଏହି ଚିତ୍ରଟି କେତେ ପ୍ରତିନିଧିତ୍ୱ କରିବ? (ଚିତ୍ର 2.4)

ଚିତ୍ର 2.4

ଏବଂ ଏହା? (ଚିତ୍ର 2.5)

ଚିତ୍ର 2.5

ଚାଲ ଏବେ $3 \times \frac{1}{2}$ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବା।

ଆମ ପାଖରେ ଅଛି

$3 \times \frac{1}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$

ଆମ ପାଖରେ ଆଉ ଅଛି

$ \frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=\frac{1+1+1}{2}=\frac{3 \times 1}{2}=\frac{3}{2} $

ତେଣୁ

$ 3 \times \frac{1}{2}=\frac{3 \times 1}{2}=\frac{3}{2} $

ସେହିପରି

$ \frac{2}{3} \times 5=\frac{2 \times 5}{3}=? $

ତୁମେ କହିପାରିବ କି

$ 3 \times \frac{2}{7}=? \quad 4 \times \frac{3}{5}=? $

ଆମେ ଏଯାଏଁ ବିଚାର କରିଥିବା ଭଗ୍ନାଂଶଗୁଡ଼ିକ, ଯଥା $\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{2}{7}$ ଏବଂ $\frac{3}{5}$ ସମୁଚିତ ଭଗ୍ନାଂଶ ଥିଲା।

ଅସମୁଚିତ ଭଗ୍ନାଂଶଗୁଡ଼ିକ ପାଇଁ ମଧ୍ୟ ଆମ ପାଖରେ ଅଛି,

ଚେଷ୍ଟା କର,

$ \begin{aligned} & 2 \times \frac{5}{3}=\frac{2 \times 5}{3}=\frac{10}{3} \\ & 3 \times \frac{8}{7}=? 4 \times \frac{7}{5}=? \end{aligned} $

ଏହିପରି ଭାବରେ, ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ସଂଖ୍ୟାକୁ ଏକ ସମୁଚିତ କିମ୍ବା ଅସମୁଚିତ ଭଗ୍ନାଂଶ ସହ ଗୁଣନ କରିବାକୁ ହେଲେ, ଆମେ ଭଗ୍ନାଂଶର ଲବ ସହ ପୂର୍ଣ୍ଣ ସଂଖ୍ୟାଟିକୁ ଗୁଣନ କରୁ, ହରକୁ ସମାନ ରଖୁ।

ଏହାକୁ ଚେଷ୍ଟା କର

1. ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର: (କ) $\frac{2}{7} \times 3$

(ଖ) $\frac{9}{7} \times 6$

(ଗ) $3 \times \frac{1}{8}$

(ଘ) $\frac{13}{11} \times 6$

ଯଦି ଗୁଣଫଳଟି ଏକ ଅସମୁଚିତ ଭଗ୍ନାଂଶ ହୁଏ, ତାହାକୁ ଏକ ମିଶ୍ର ଭଗ୍ନାଂଶ ଭାବରେ ପ୍ରକାଶ କର।

2. ଚିତ୍ରାତ୍ମକ ଭାବରେ ପ୍ରତିନିଧିତ୍ୱ କର: $2 \times \frac{2}{5}=\frac{4}{5}$

ଏହାକୁ ଚେଷ୍ଟା କର

ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର: (i) $5 \times 2 \frac{3}{7}$

(ii) $1 \frac{4}{9} \times 6$

ଏକ ମିଶ୍ର ଭଗ୍ନାଂଶକୁ ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ସଂଖ୍ୟା ସହ ଗୁଣନ କରିବାକୁ ହେଲେ, ପ୍ରଥମେ ମିଶ୍ର ଭଗ୍ନାଂଶକୁ ଏକ ଅସମୁଚିତ ଭଗ୍ନାଂଶରେ ପରିଣତ କର ଏବଂ ତା’ପରେ ଗୁଣନ କର।

ତେଣୁ, $\quad 3 \times 2 \frac{5}{7}=3 \times \frac{19}{7}=\frac{57}{7}=8 \frac{1}{7}$.

ସେହିପରି, $\quad 2 \times 4 \frac{2}{5}=2 \times \frac{22}{5}=$ ?

ଏକ କ୍ରିୟାପଦ ଭାବରେ ଭଗ୍ନାଂଶ ‘ର’

ଏହି ଚିତ୍ରଗୁଡ଼ିକୁ ଲକ୍ଷ୍ୟ କର (ଚିତ୍ର 2.6)

ଦୁଇଟି ବର୍ଗ ଠିକ୍ ସମାନ।

ପ୍ରତ୍ୟେକ ଛାୟାଚ୍ଛନ୍ନ ଅଂଶ 1 ର $\frac{1}{2}$ କୁ ପ୍ରତିନିଧିତ୍ୱ କରେ।

ତେଣୁ, ଉଭୟ ଛାୟାଚ୍ଛନ୍ନ ଅଂଶ ମିଶି 2 ର $\frac{1}{2}$ କୁ ପ୍ରତିନିଧିତ୍ୱ କରିବ।

2 ଟି $\frac{1}{2}$ ଅଂଶକୁ ମିଶାଅ। ଏହା 1 କୁ ପ୍ରତିନିଧିତ୍ୱ କରେ।

ତେଣୁ, ଆମେ କହୁ 2 ର $\frac{1}{2}$ ହେଉଛି 1। ଆମେ ଏହାକୁ $\frac{1}{2} \times 2=1$ ଭାବରେ ମଧ୍ୟ ପାଇପାରିବା।

ଏହିପରି, $\frac{1}{2}$ ର $2=\frac{1}{2} \times 2=1$

ଚିତ୍ର 2.6

ଆଉ, ଏହି ସମାନ ବର୍ଗଗୁଡ଼ିକୁ ଦେଖ (ଚିତ୍ର 2.7)।

ପ୍ରତ୍ୟେକ ଛାୟାଚ୍ଛନ୍ନ ଅଂଶ 1 ର $\frac{1}{2}$ କୁ ପ୍ରତିନିଧିତ୍ୱ କରେ।

ତେଣୁ, ତିନୋଟି ଛାୟାଚ୍ଛନ୍ନ ଅଂଶ 3 ର $\frac{1}{2}$ କୁ ପ୍ରତିନିଧିତ୍ୱ କରେ।

3 ଟି ଛାୟାଚ୍ଛନ୍ନ ଅଂଶକୁ ମିଶାଅ।

ଏହା $1 \frac{1}{2}$ କୁ ପ୍ରତିନିଧିତ୍ୱ କରେ, ଅର୍ଥାତ୍ $\frac{3}{2}$।

ତେଣୁ, 3 ର $\frac{1}{2}$ ହେଉଛି $\frac{3}{2}$। ଆଉ, $\frac{1}{2} \times 3=\frac{3}{2}$।

ଚିତ୍ର 2.7

ଏହିପରି, $\frac{1}{2}$ ର $3=\frac{1}{2} \times 3=\frac{3}{2}$।

ତେଣୁ ଆମେ ଦେଖୁଛୁ ଯେ ‘ର’ ଗୁଣନକୁ ପ୍ରତିନିଧିତ୍ୱ କରେ।

ଫରିଦା ପାଖରେ 20ଟି ଗୋଟି ଅଛି। ରେଶମା ପାଖରେ ଫରିଦା ପାଖରେ ଥିବା ଗୋଟି ସଂଖ୍ୟାର $\frac{1}{5}$ ଅଂଶ ଅଛି। ରେଶମା ପାଖରେ କେତେ ଗୋଟି ଅଛି? ଯେହେତୁ ‘ର’ ଗୁଣନକୁ ସୂଚାଏ, ତେଣୁ ରେଶମା ପାଖରେ $\frac{1}{5} \times 20=4$ ଗୋଟି ଅଛି।

ସେହିପରି, ଆମ ପାଖରେ 16 ର $\frac{1}{2}$ ହେଉଛି $\frac{1}{2} \times 16=\frac{16}{2}=8$।

ଏହାକୁ ଚେଷ୍ଟା କର

ତୁମେ କହିପାରିବ କି, (i) $\frac{1}{2}$ ର $10 ?$ କେତେ, (ii) $\frac{1}{4}$ ର $16 ?$ କେତେ, (iii) $\frac{2}{5}$ ର $25 ?$ କେତେ

ଉଦାହରଣ 1 40 ଜଣ ଛାତ୍ରଛାତ୍ରୀ ଥିବା ଏକ ଶ୍ରେଣୀରେ ମୋଟ ଛାତ୍ରଛାତ୍ରୀ ସଂଖ୍ୟାର $\frac{1}{5}$ ଅଂଶ ଇଂରାଜୀ ପଢ଼ିବାକୁ ପସନ୍ଦ କରନ୍ତି, ମୋଟ ଛାତ୍ରଛାତ୍ରୀ ସଂଖ୍ୟାର $\frac{2}{5}$ ଅଂଶ ଗଣିତ ପଢ଼ିବାକୁ ପସନ୍ଦ କରନ୍ତି ଏବଂ ବାକି ଛାତ୍ରଛାତ୍ରୀମାନେ ବିଜ୍ଞାନ ପଢ଼ିବାକୁ ପସନ୍ଦ କରନ୍ତି।

(i) କେତେ ଜଣ ଛାତ୍ରଛାତ୍ରୀ ଇଂରାଜୀ ପଢ଼ିବାକୁ ପସନ୍ଦ କରନ୍ତି?

(ii) କେତେ ଜଣ ଛାତ୍ରଛାତ୍ରୀ ଗଣିତ ପଢ଼ିବାକୁ ପସନ୍ଦ କରନ୍ତି?

(iii) ମୋଟ ଛାତ୍ରଛାତ୍ରୀ ସଂଖ୍ୟାର କେତେ ଅଂଶ ବିଜ୍ଞାନ ପଢ଼ିବାକୁ ପସନ୍ଦ କରନ୍ତି?

ସମାଧାନ

ଶ୍ରେଣୀରେ ଥିବା ମୋଟ ଛାତ୍ରଛାତ୍ରୀ ସଂଖ୍ୟା $=40$।

(i) ଏଥିରୁ ମୋଟ ଛାତ୍ରଛାତ୍ରୀ ସଂଖ୍ୟାର $\frac{1}{5}$ ଅଂଶ ଇଂରାଜୀ ପଢ଼ିବାକୁ ପସନ୍ଦ କରନ୍ତି।

ତେଣୁ, ଇଂରାଜୀ ପଢ଼ିବାକୁ ପସନ୍ଦ କରୁଥିବା ଛାତ୍ରଛାତ୍ରୀ ସଂଖ୍ୟା $=\frac{1}{5}$ ର $40=\frac{1}{5} \times 40=8$।

(ii) ନିଜେ ଚେଷ୍ଟା କର।

(iii) ଇଂରାଜୀ ଓ ଗଣିତ ପଢ଼ିବାକୁ ପସନ୍ଦ କରୁଥିବା ଛାତ୍ରଛାତ୍ରୀ ସଂଖ୍ୟା $=8+16=24$। ତେଣୁ, ବିଜ୍ଞାନ ପଢ଼ିବାକୁ ପସନ୍ଦ କରୁଥିବା ଛାତ୍ରଛାତ୍ରୀ ସଂଖ୍ୟା $=40-24=16$।

ତେଣୁ, ଆବଶ୍ୟକ ଭଗ୍ନାଂଶଟି ହେଉଛି $\frac{16}{40}$।

ଅଭ୍ୟାସ 2.1

1. କେଉଁ ଚିତ୍ର (କ) ରୁ (ଘ) ଦର୍ଶାଉଛି:

(i) $2 \times \frac{1}{5}$

(ii) $2 \times \frac{1}{2}$

(iii) $3 \times \frac{2}{3}$

(iv) $3 \times \frac{1}{4}$

(କ)

(ଖ)

(ଗ)

(ଘ)

2. କିଛି ଚିତ୍ର (କ) ରୁ (ଗ) ତଳେ ଦିଆଯାଇଛି। କେଉଁଟି ଦର୍ଶାଉଛି କୁହ:

(i) $3 \times \frac{1}{5}=\frac{3}{5}$

(ii) $2 \times \frac{1}{3}=\frac{2}{3}$

(iii) $3 \times \frac{3}{4}=2 \frac{1}{4}$

(କ)

(ଖ)

(ଗ)

3. ଗୁଣନ କରି ନିମ୍ନତମ ରୂପକୁ ଆଣ ଏବଂ ଏକ ମିଶ୍ର ଭଗ୍ନାଂଶରେ ପରିଣତ କର:

(i) $7 \times \frac{3}{5}$

(ii) $4 \times \frac{1}{3}$

(iii) $2 \times \frac{6}{7}$

(iv) $5 \times \frac{2}{9}$

(v) $\frac{2}{3} \times 4$

(vi) $\frac{5}{2} \times 6$

(vii) $11 \times \frac{4}{7}$

(viii) $20 \times \frac{4}{5}$

(ix) $13 \times \frac{1}{3}$

(x) $15 \times \frac{3}{5}$

4. ଛାୟାଚ୍ଛନ୍ନ କର: (i) ବାକ୍ସ (କ) ରେ ଥିବା ବୃତ୍ତଗୁଡ଼ିକର $\frac{1}{2}$ ଅଂଶ (ii) ବାକ୍ସ (ଖ) ରେ ଥିବା ତ୍ରିଭୁଜଗୁଡ଼ିକର $\frac{2}{3}$ ଅଂଶ

(iii) ବାକ୍ସ (ଗ) ରେ ଥିବା ବର୍ଗଗୁଡ଼ିକର $\frac{3}{5}$ ଅଂଶ।

(କ)

(ଖ)

(ଗ)

5. ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର:

(କ) (i) 24 (ii) 46 ର $\frac{1}{2}$

(ଖ) (i) 18 (ii) 27 ର $\frac{2}{3}$

(ଗ) (i) 16 (ii) 36 ର $\frac{3}{4}$

(ଘ) (i) 20 (ii) 35 ର $\frac{4}{5}$

6. ଗୁଣନ କରି ଏକ ମିଶ୍ର ଭଗ୍ନାଂଶ ଭାବରେ ପ୍ରକାଶ କର:

(କ) $3 \times 5 \frac{1}{5}$

(ଖ) $5 \times 6 \frac{3}{4}$

(ଗ) $7 \times 2 \frac{1}{4}$

(ଘ) $4 \times 6 \frac{1}{3}$

(ଙ) $3 \frac{1}{4} \times 6$

(ଚ) $3 \frac{2}{5} \times 8$

7. ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର: (କ) (i) $2 \frac{3}{4}$ (ii) $4 \frac{2}{9}$ ର $\frac{1}{2}$

(ଖ) (i) $3 \frac{5}{6}$ (ii) $9 \frac{2}{3}$ ର $\frac{5}{8}$

8. ବିଦ୍ୟା ଓ ପ୍ରତାପ ଏକ ବନଭୋଜନକୁ ଗଲେ। ସେମାନଙ୍କ ମା’ ସେମାନଙ୍କୁ 5 ଲିଟର ପାଣି ଥିବା ଏକ ପାଣି ବୋତଲ ଦେଲେ। ବିଦ୍ୟା ପାଣିର $\frac{2}{5}$ ଅଂଶ ବ୍ୟବହାର କଲା। ପ୍ରତାପ ବାକି ପାଣି ବ୍ୟବହାର କଲା।

(i) ବିଦ୍ୟା କେତେ ପାଣି ପିଇଲା?

(ii) ମୋଟ ପାଣିର କେତେ ଅଂଶ ପ୍ରତାପ ପିଇଲା?

2.1.2 ଏକ ଭଗ୍ନାଂଶର ଏକ ଭଗ୍ନାଂଶ ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ

ଫରିଦା ପାଖରେ $9 cm$ ଲମ୍ବର ଏକ ରିବନ ଷ୍ଟ୍ରିପ୍ ଥିଲା। ସେ ଏହି ଷ୍ଟ୍ରିପ୍କୁ ଚାରି ସମାନ ଅଂଶରେ କାଟିଲା। ସେ ଏହା କିପରି କଲା? ସେ ଷ୍ଟ୍ରିପ୍ଟିକୁ ଦୁଇଥର ଭାଙ୍ଗିଲା। ପ୍ରତ୍ୟେକ ଅଂଶ ମୋଟ ଲମ୍ବର କେତେ ଅଂଶ ପ୍ରତିନିଧିତ୍ୱ କରିବ?

ପ୍ରତ୍ୟେକ ଅଂଶ ଷ୍ଟ୍ରିପ୍ର $\frac{9}{4}$ ଅଂଶ ହେବ। ସେ ଗୋଟିଏ ଅଂଶ ନେଲା ଏବଂ ଏହାକୁ ଥରେ ଭାଙ୍ଗି ଦୁଇ ସମାନ ଅଂଶରେ ବିଭକ୍ତ କଲା। ଏହି ଟୁକୁଡ଼ାଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏ କେତେ ପ୍ରତିନିଧିତ୍ୱ କରିବ? ଏହା $\frac{1}{2}$ ର $\frac{9}{4}$ କିମ୍ବା $\frac{1}{2} \times \frac{9}{4}$ କୁ ପ୍ରତିନିଧିତ୍ୱ କରିବ।

ଚାଲ ଏବେ ଦେଖିବା $\frac{1}{2} \times \frac{9}{4}$ ପରି ଦୁଇଟି ଭଗ୍ନାଂଶର ଗୁଣଫଳ କିପରି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରାଯାଏ।

ଚିତ୍ର 2.8

ଚିତ୍ର 2.9

ଏହା କରିବାକୁ ଆମେ ପ୍ରଥମେ $\frac{1}{2} \times \frac{1}{3}$ ପରି ଗୁଣଫଳ କିପରି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରାଯାଏ ଶିଖିବା।

(କ) ଆମେ ଏକ ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣର $\frac{1}{3}$ କିପରି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବା? ଆମେ ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣକୁ ତିନି ସମାନ ଅଂଶରେ ବିଭକ୍ତ କରୁ। ଏହି ତିନି ଅଂଶ ମଧ୍ୟରୁ ପ୍ରତ୍ୟେକ ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣର $\frac{1}{3}$ ଅଂଶକୁ ପ୍ରତିନିଧିତ୍ୱ କରେ। ଏହି ତିନି ଅଂଶ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏ ଅଂଶ ନିଅ ଏବଂ ଚିତ୍ର 2.8ରେ ଦେଖାଯାଇଥିବା ଭଳି ଛାୟାଚ୍ଛନ୍ନ କର।

(ଖ) ତୁମେ ଏହି ଛାୟାଚ୍ଛନ୍ନ ଅଂଶର $\frac{1}{2}$ କିପରି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବ? ଏହି ଏକ-ତୃତୀୟାଂଶ $(\frac{1}{3})$ ଛାୟାଚ୍ଛନ୍ନ ଅଂଶକୁ ଦୁଇ ସମାନ ଅଂଶରେ ବିଭକ୍ତ କର। ଏହି ଦୁଇ ଅଂଶ ମଧ୍ୟରୁ ପ୍ରତ୍ୟେକ $\frac{1}{2}$ ର $\frac{1}{3}$ କୁ ପ୍ରତିନିଧିତ୍ୱ କରେ, ଅର୍ଥାତ୍ $\frac{1}{2} \times \frac{1}{3}$ (ଚିତ୍ର 2.9)।

ଏହି ଦୁଇଟି ମଧ୍ୟରୁ 1 ଅଂଶ ବାହାର କର ଏବଂ ଏହାକୁ ‘A’ ନାମ ଦିଅ। ‘A’ $\frac{1}{2} \times \frac{1}{3}$ କୁ ପ୍ରତିନିଧିତ୍ୱ କରେ।

(ଗ) ‘A’ ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣର କେତେ ଅଂଶ? ଏଥିପାଇଁ, ବାକି ଥିବା ପ୍ରତ୍ୟେକ $\frac{1}{3}$ ଅଂଶକୁ ମଧ୍ୟ ଦୁଇ ସମାନ ଅଂଶରେ ବିଭକ୍ତ କର। ତୁମ ପାଖରେ ଏବେ କେତେ ସମାନ ଅଂଶ ଅଛି?

ସେଠାରେ ଛଅଟି ସେହିପରି ସମାନ ଅଂଶ ଅଛି। ‘A’ ଏହି ଅଂଶଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏ।

ତେଣୁ, ‘$A$’ ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣର $\frac{1}{6}$ ଅଂଶ। ଏହିପରି, $\frac{1}{2} \times \frac{1}{3}=\frac{1}{6}$।

‘$A$’ ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣର $\frac{1}{6}$ ଅଂଶ ବୋଲି ଆମେ କିପରି ସ୍ଥିର କଲୁ? ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣକୁ $6=2 \times 3$ ଅଂଶରେ ବିଭକ୍ତ କରାଯାଇଥିଲା ଏବଂ ଏଥିରୁ $1=1 \times 1$ ଅଂଶ ନିଆଯାଇଥିଲା।

ଏହିପରି,

$ \begin{aligned} & \frac{1}{2} \times \frac{1}{3}=\frac{1}{6}=\frac{1 \times 1}{2 \times 3} \\ & \frac{1}{2} \times \frac{1}{3}=\frac{1 \times 1}{2 \times 3} \end{aligned} $

$\frac{1}{3} \times \frac{1}{2}$ ର ମୂଲ୍ୟ ସେହିପରି ଏକ ଉପାୟରେ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରାଯାଇପାରେ। ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣକୁ ଦୁଇ ସମାନ ଅଂଶରେ ବିଭକ୍ତ କର ଏବଂ ତା’ପରେ ଏହି ଅଂଶଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏକୁ ତିନି ସମାନ ଅଂଶରେ ବିଭକ୍ତ କର। ଏହି ଅଂଶଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏ ନିଅ। ଏହା $\frac{1}{3} \times \frac{1}{2}$ କୁ ପ୍ରତିନିଧିତ୍ୱ କରିବ, ଅର୍ଥାତ୍ $\frac{1}{6}$।

ତେଣୁ

$ \frac{1}{3} \times \frac{1}{2}=\frac{1}{6}=\frac{1 \times 1}{3 \times 2} \text{ ପୂର୍ବରୁ ଆଲୋଚିତ ଭାବରେ। } $

ତେଣୁ

$ \frac{1}{2} \times \frac{1}{3}=\frac{1}{3} \times \frac{1}{2}=\frac{1}{6} $

$\frac{1}{3} \times \frac{1}{4}$ ଏବଂ $\frac{1}{4} \times \frac{1}{3} ; \frac{1}{2} \times \frac{1}{5}$ ଏବଂ $\frac{1}{5} \times \frac{1}{2}$ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ଏବଂ ଯାଞ୍ଚ କର ତୁମେ ପାଉଛ କି

$ \frac{1}{3} \times \frac{1}{4}=\frac{1}{4} \times \frac{1}{3} ; \frac{1}{2} \times \frac{1}{5}=\frac{1}{5} \times \frac{1}{2} $

ଏହାକୁ ଚେଷ୍ଟା କର

ଏହି ବାକ୍ସଗୁଡ଼ିକୁ ପୂରଣ କର: (i) $\frac{1}{2} \times \frac{1}{7}=\frac{1 \times 1}{2 \times 7}=\square \qquad$ (ii) $\frac{1}{5} \times \frac{1}{7}=\square=\square$

(iii) $\frac{1}{7} \times \frac{1}{2}=\square=\square \qquad$ (iv) $\frac{1}{7} \times \frac{1}{5}=\square=\square$

ଉଦାହରଣ 2 ସୁଶାନ୍ତ 1 ଘଣ୍ଟାରେ ଏକ ପୁସ୍ତକର $\frac{1}{3}$ ଅଂଶ ପଢ଼େ। ସେ $2 \frac{1}{5}$ ଘଣ୍ଟାରେ ପୁସ୍ତକର କେତେ ଅଂଶ ପଢ଼ିବ?

ସମାଧାନ

1 ଘଣ୍ଟାରେ ସୁଶାନ୍ତ ଦ୍ୱାରା ପଢ଼ାଯାଇଥିବା ପୁସ୍ତକର ଅଂଶ $=\frac{1}{3}$।

ତେଣୁ, $2 \frac{1}{5}$ ଘଣ୍ଟାରେ ତାଙ୍କ ଦ୍ୱାରା ପଢ଼ାଯାଇଥିବା ପୁସ୍ତକର ଅଂଶ $=2 \frac{1}{5} \times \frac{1}{3}$