2.1 ਭਿੰਨਾਂ ਦਾ ਗੁਣਾ

ਤੁਸੀਂ ਇੱਕ ਆਇਤ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਕਿਵੇਂ ਪਤਾ ਕਰਨਾ ਹੈ ਜਾਣਦੇ ਹੋ। ਇਹ ਲੰਬਾਈ $\times$ ਚੌੜਾਈ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਇੱਕ ਆਇਤ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਅਤੇ ਚੌੜਾਈ ਕ੍ਰਮਵਾਰ $7 cm$ ਅਤੇ $4 cm$ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਸਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਕੀ ਹੋਵੇਗਾ? ਇਸਦਾ ਖੇਤਰਫਲ $7 \times 4=28 cm^{2}$ ਹੋਵੇਗਾ।

ਜੇਕਰ ਆਇਤ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਅਤੇ ਚੌੜਾਈ ਕ੍ਰਮਵਾਰ $7 \frac{1}{2} cm$ ਅਤੇ $3 \frac{1}{2} cm$ ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਆਇਤ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਕੀ ਹੋਵੇਗਾ? ਤੁਸੀਂ ਕਹੋਗੇ ਕਿ ਇਹ $7 \frac{1}{2} \times 3 \frac{1}{2}=\frac{15}{2} \times \frac{7}{2} cm^{2}$ ਹੋਵੇਗਾ। ਸੰਖਿਆਵਾਂ $\frac{15}{2}$

ਅਤੇ $\frac{7}{2}$ ਭਿੰਨਾਂ ਹਨ। ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਆਇਤ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਭਿੰਨਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਨਾ ਆਉਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਇਹ ਸਿੱਖਾਂਗੇ।

2.1.1 ਇੱਕ ਭਿੰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆ ਨਾਲ ਗੁਣਾ

ਚਿੱਤਰ 2.1

ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਦੀਆਂ ਤਸਵੀਰਾਂ (ਚਿੱਤਰ 2.1) ਨੂੰ ਵੇਖੋ। ਹਰੇਕ ਰੰਗੀਨ ਭਾਗ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਦਾ $\frac{1}{4}$ ਹਿੱਸਾ ਹੈ। ਦੋਵੇਂ ਰੰਗੀਨ ਭਾਗ ਮਿਲ ਕੇ ਕਿੰਨਾ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧਤਵ ਕਰਨਗੇ? ਉਹ $\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=2 \times \frac{1}{4}$ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧਤਵ ਕਰਨਗੇ।

ਦੋਵੇਂ ਰੰਗੀਨ ਭਾਗਾਂ ਨੂੰ ਮਿਲਾ ਕੇ, ਅਸੀਂ ਚਿੱਤਰ 2.2 ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਚਿੱਤਰ 2.2 ਵਿੱਚ ਰੰਗੀਨ ਭਾਗ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਦਾ ਕਿੰਨਾ ਹਿੱਸਾ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧਤਵ ਕਰਦਾ ਹੈ? ਇਹ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਦਾ $\frac{2}{4}$ ਹਿੱਸਾ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧਤਵ ਕਰਦਾ ਹੈ।

ਚਿੱਤਰ 2.2

ਚਿੱਤਰ 2.1 ਵਿੱਚ ਰੰਗੀਨ ਭਾਗ ਇਕੱਠੇ ਕੀਤੇ ਗਏ, ਚਿੱਤਰ 2.2 ਵਿੱਚ ਰੰਗੀਨ ਭਾਗ ਵਾਂਗ ਹੀ ਹਨ, ਯਾਨੀ, ਅਸੀਂ ਚਿੱਤਰ 2.3 ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।

ਚਿੱਤਰ 2.3

ਜਾਂ

$ 2 \times \frac{1}{4}=\frac{2}{4} . $

ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਹੁਣ ਦੱਸ ਸਕਦੇ ਹੋ ਕਿ ਇਹ ਤਸਵੀਰ ਕੀ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧਤਵ ਕਰੇਗੀ? (ਚਿੱਤਰ 2.4)

ਚਿੱਤਰ 2.4

ਅਤੇ ਇਹ? (ਚਿੱਤਰ 2.5)

ਚਿੱਤਰ 2.5

ਆਓ ਹੁਣ $3 \times \frac{1}{2}$ ਪਤਾ ਕਰੀਏ।

ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ

$3 \times \frac{1}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$

ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਇਹ ਵੀ ਹੈ

$ \frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=\frac{1+1+1}{2}=\frac{3 \times 1}{2}=\frac{3}{2} $

ਇਸਲਈ

$ 3 \times \frac{1}{2}=\frac{3 \times 1}{2}=\frac{3}{2} $

ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ

$ \frac{2}{3} \times 5=\frac{2 \times 5}{3}=? $

ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਦੱਸ ਸਕਦੇ ਹੋ

$ 3 \times \frac{2}{7}=? \quad 4 \times \frac{3}{5}=? $

ਭਿੰਨਾਂ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਬਾਰੇ ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਤੱਕ ਵਿਚਾਰ ਕੀਤਾ ਹੈ, ਯਾਨੀ $\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{2}{7}$ ਅਤੇ $\frac{3}{5}$, ਉਹਨਾਂ ਭਿੰਨਾਂ ਸਨ।

ਅਣਉਚਿਤ ਭਿੰਨਾਂ ਲਈ ਵੀ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ,

ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ,

$ \begin{aligned} & 2 \times \frac{5}{3}=\frac{2 \times 5}{3}=\frac{10}{3} \\ & 3 \times \frac{8}{7}=? 4 \times \frac{7}{5}=? \end{aligned} $

ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਇੱਕ ਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਇੱਕ ਉਚਿਤ ਜਾਂ ਅਣਉਚਿਤ ਭਿੰਨ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਭਿੰਨ ਦੇ ਅੰਸ਼ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਹਰ ਨੂੰ ਉਹੀ ਰੱਖਦੇ ਹੋਏ।

ਇਹ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ

1. ਪਤਾ ਕਰੋ: (a) $\frac{2}{7} \times 3$

(b) $\frac{9}{7} \times 6$

(c) $3 \times \frac{1}{8}$

(d) $\frac{13}{11} \times 6$

ਜੇਕਰ ਗੁਣਨਫਲ ਇੱਕ ਅਣਉਚਿਤ ਭਿੰਨ ਹੈ ਤਾਂ ਇਸਨੂੰ ਮਿਸ਼ਰਤ ਭਿੰਨ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ।

2. ਚਿੱਤਰਾਤਮਕ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧਤਵ ਕਰੋ: $2 \times \frac{2}{5}=\frac{4}{5}$

ਇਹ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ

ਪਤਾ ਕਰੋ: (i) $5 \times 2 \frac{3}{7}$

(ii) $1 \frac{4}{9} \times 6$

ਇੱਕ ਮਿਸ਼ਰਤ ਭਿੰਨ ਨੂੰ ਇੱਕ ਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਪਹਿਲਾਂ ਮਿਸ਼ਰਤ ਭਿੰਨ ਨੂੰ ਅਣਉਚਿਤ ਭਿੰਨ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ ਅਤੇ ਫਿਰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।

ਇਸਲਈ, $\quad 3 \times 2 \frac{5}{7}=3 \times \frac{19}{7}=\frac{57}{7}=8 \frac{1}{7}$.

ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, $\quad 2 \times 4 \frac{2}{5}=2 \times \frac{22}{5}=$ ?

ਇੱਕ ਓਪਰੇਟਰ ਵਜੋਂ ਭਿੰਨ ‘ਦਾ’

ਇਹਨਾਂ ਚਿੱਤਰਾਂ ਨੂੰ ਵੇਖੋ (ਚਿੱਤਰ 2.6)

ਦੋਵੇਂ ਵਰਗ ਬਿਲਕੁਲ ਸਮਾਨ ਹਨ।

ਹਰੇਕ ਰੰਗੀਨ ਭਾਗ 1 ਦੇ $\frac{1}{2}$ ਨੂੰ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧਤਵ ਕਰਦਾ ਹੈ।

ਇਸਲਈ, ਦੋਵੇਂ ਰੰਗੀਨ ਭਾਗ ਮਿਲ ਕੇ 2 ਦੇ $\frac{1}{2}$ ਨੂੰ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧਤਵ ਕਰਨਗੇ।

2 ਰੰਗੀਨ $\frac{1}{2}$ ਭਾਗਾਂ ਨੂੰ ਮਿਲਾਓ। ਇਹ 1 ਨੂੰ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧਤਵ ਕਰਦਾ ਹੈ।

ਇਸਲਈ, ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ 2 ਦਾ $\frac{1}{2}$ 1 ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ $\frac{1}{2} \times 2=1$ ਵਜੋਂ ਵੀ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।

ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, $\frac{1}{2}$ ਦਾ $2=\frac{1}{2} \times 2=1$

ਚਿੱਤਰ 2.6

ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਇਹਨਾਂ ਸਮਾਨ ਵਰਗਾਂ ਨੂੰ ਵੇਖੋ (ਚਿੱਤਰ 2.7)।

ਹਰੇਕ ਰੰਗੀਨ ਭਾਗ 1 ਦੇ $\frac{1}{2}$ ਨੂੰ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧਤਵ ਕਰਦਾ ਹੈ।

ਇਸਲਈ, ਤਿੰਨ ਰੰਗੀਨ ਭਾਗ 3 ਦੇ $\frac{1}{2}$ ਨੂੰ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧਤਵ ਕਰਦੇ ਹਨ।

3 ਰੰਗੀਨ ਭਾਗਾਂ ਨੂੰ ਮਿਲਾਓ।

ਇਹ $1 \frac{1}{2}$ ਨੂੰ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧਤਵ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਯਾਨੀ $\frac{3}{2}$।

ਇਸਲਈ, 3 ਦਾ $\frac{1}{2}$ $\frac{3}{2}$ ਹੈ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, $\frac{1}{2} \times 3=\frac{3}{2}$।

ਚਿੱਤਰ 2.7

ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, $\frac{1}{2}$ ਦਾ $3=\frac{1}{2} \times 3=\frac{3}{2}$।

ਇਸਲਈ ਅਸੀਂ ਵੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ‘ਦਾ’ ਗੁਣਾ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।

ਫਰੀਦਾ ਕੋਲ 20 ਕੰਚੇ ਹਨ। ਰੇਸ਼ਮਾ ਕੋਲ ਫਰੀਦਾ ਦੇ ਕੰਚਿਆਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਦਾ $\frac{1}{5}$ ਹਿੱਸਾ ਹੈ। ਰੇਸ਼ਮਾ ਕੋਲ ਕਿੰਨੇ ਕੰਚੇ ਹਨ? ਕਿਉਂਕਿ, ‘ਦਾ’ ਗੁਣਾ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਇਸਲਈ, ਰੇਸ਼ਮਾ ਕੋਲ $\frac{1}{5} \times 20=4$ ਕੰਚੇ ਹਨ।

ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ 16 ਦਾ $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{2} \times 16=\frac{16}{2}=8$ ਹੈ।

ਇਹ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ

ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਦੱਸ ਸਕਦੇ ਹੋ, (i) $\frac{1}{2}$ ਦਾ $10 ?$, (ii) $\frac{1}{4}$ ਦਾ $16 ?$, (iii) $\frac{2}{5}$ ਦਾ $25 ?$ ਕੀ ਹੈ?

ਉਦਾਹਰਨ 1 40 ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਦੀ ਇੱਕ ਕਲਾਸ ਵਿੱਚ ਕੁੱਲ ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਦਾ $\frac{1}{5}$ ਹਿੱਸਾ ਅੰਗਰੇਜ਼ੀ ਪੜ੍ਹਨਾ ਪਸੰਦ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਕੁੱਲ ਸੰਖਿਆ ਦਾ $\frac{2}{5}$ ਹਿੱਸਾ ਗਣਿਤ ਪੜ੍ਹਨਾ ਪਸੰਦ ਕਰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਬਾਕੀ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਵਿਗਿਆਨ ਪੜ੍ਹਨਾ ਪਸੰਦ ਕਰਦੇ ਹਨ।

(i) ਕਿੰਨੇ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਅੰਗਰੇਜ਼ੀ ਪੜ੍ਹਨਾ ਪਸੰਦ ਕਰਦੇ ਹਨ?

(ii) ਕਿੰਨੇ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਗਣਿਤ ਪੜ੍ਹਨਾ ਪਸੰਦ ਕਰਦੇ ਹਨ?

(iii) ਕੁੱਲ ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਦਾ ਕਿੰਨਾ ਹਿੱਸਾ ਵਿਗਿਆਨ ਪੜ੍ਹਨਾ ਪਸੰਦ ਕਰਦਾ ਹੈ?

ਹੱਲ

ਕਲਾਸ ਵਿੱਚ ਕੁੱਲ ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ $=40$।

(i) ਇਹਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕੁੱਲ ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਦਾ $\frac{1}{5}$ ਹਿੱਸਾ ਅੰਗਰੇਜ਼ੀ ਪੜ੍ਹਨਾ ਪਸੰਦ ਕਰਦਾ ਹੈ।

ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਅੰਗਰੇਜ਼ੀ ਪੜ੍ਹਨਾ ਪਸੰਦ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ $=\frac{1}{5}$ ਦਾ $40=\frac{1}{5} \times 40=8$।

(ii) ਆਪਣੇ ਆਪ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ।

(iii) ਅੰਗਰੇਜ਼ੀ ਅਤੇ ਗਣਿਤ ਪਸੰਦ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ $=8+16=24$। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਵਿਗਿਆਨ ਪਸੰਦ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ $=40-24=16$।

ਇਸਲਈ, ਲੋੜੀਂਦੀ ਭਿੰਨ $\frac{16}{40}$ ਹੈ।

ਅਭਿਆਸ 2.1

1. ਕਿਹੜੀਆਂ ਡਰਾਇੰਗਾਂ (a) ਤੋਂ (d) ਦਰਸਾਉਂਦੀਆਂ ਹਨ:

(i) $2 \times \frac{1}{5}$

(ii) $2 \times \frac{1}{2}$

(iii) $3 \times \frac{2}{3}$

(iv) $3 \times \frac{1}{4}$

(a)

(b)

(c)

(d)

2. ਕੁਝ ਤਸਵੀਰਾਂ (a) ਤੋਂ (c) ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਹਨ। ਦੱਸੋ ਕਿ ਇਹਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕਿਹੜੀਆਂ ਦਰਸਾਉਂਦੀਆਂ ਹਨ:

(i) $3 \times \frac{1}{5}=\frac{3}{5}$

(ii) $2 \times \frac{1}{3}=\frac{2}{3}$

(iii) $3 \times \frac{3}{4}=2 \frac{1}{4}$

(a)

(b)

(c)

3. ਗੁਣਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਹੇਠਲੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਘਟਾਓ ਅਤੇ ਮਿਸ਼ਰਤ ਭਿੰਨ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ:

(i) $7 \times \frac{3}{5}$

(ii) $4 \times \frac{1}{3}$

(iii) $2 \times \frac{6}{7}$

(iv) $5 \times \frac{2}{9}$

(v) $\frac{2}{3} \times 4$

(vi) $\frac{5}{2} \times 6$

(vii) $11 \times \frac{4}{7}$

(viii) $20 \times \frac{4}{5}$

(ix) $13 \times \frac{1}{3}$

(x) $15 \times \frac{3}{5}$

4. ਰੰਗਿਆਂ: (i) ਬਾਕਸ (a) ਵਿੱਚ ਚੱਕਰਾਂ ਦਾ $\frac{1}{2}$ (ii) ਬਾਕਸ (b) ਵਿੱਚ ਤਿਕੋਣਾਂ ਦਾ $\frac{2}{3}$

(iii) ਬਾਕਸ (c) ਵਿੱਚ ਵਰਗਾਂ ਦਾ $\frac{3}{5}$।

(a)

(b)

(c)

5. ਪਤਾ ਕਰੋ:

(a) $\frac{1}{2}$ ਦਾ (i) 24 (ii) 46

(b) $\frac{2}{3}$ ਦਾ (i) 18 (ii) 27

(c) $\frac{3}{4}$ ਦਾ (i) 16 (ii) 36

(d) $\frac{4}{5}$ ਦਾ (i) 20 (ii) 35

6. ਗੁਣਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਮਿਸ਼ਰਤ ਭਿੰਨ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ:

(a) $3 \times 5 \frac{1}{5}$

(b) $5 \times 6 \frac{3}{4}$

(c) $7 \times 2 \frac{1}{4}$

(d) $4 \times 6 \frac{1}{3}$

(e) $3 \frac{1}{4} \times 6$

(f) $3 \frac{2}{5} \times 8$

7. ਪਤਾ ਕਰੋ: (a) $\frac{1}{2}$ ਦਾ (i) $2 \frac{3}{4}$ (ii) $4 \frac{2}{9}$

(b) $\frac{5}{8}$ ਦਾ (i) $3 \frac{5}{6}$ (ii) $9 \frac{2}{3}$

8. ਵਿਦਿਆ ਅਤੇ ਪ੍ਰਤਾਪ ਪਿਕਨਿਕ ਲਈ ਗਏ। ਉਹਨਾਂ ਦੀ ਮਾਂ ਨੇ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਪਾਣੀ ਦੀ ਬੋਤਲ ਦਿੱਤੀ ਜਿਸ ਵਿੱਚ 5 ਲੀਟਰ ਪਾਣੀ ਸੀ। ਵਿਦਿਆ ਨੇ ਪਾਣੀ ਦਾ $\frac{2}{5}$ ਹਿੱਸਾ ਪੀ ਲਿਆ। ਪ੍ਰਤਾਪ ਨੇ ਬਾਕੀ ਪਾਣੀ ਪੀ ਲਿਆ।

(i) ਵਿਦਿਆ ਨੇ ਕਿੰਨਾ ਪਾਣੀ ਪੀਤਾ?

(ii) ਪ੍ਰਤਾਪ ਨੇ ਕੁੱਲ ਪਾਣੀ ਦਾ ਕਿੰਨਾ ਹਿੱਸਾ ਪੀਤਾ?

2.1.2 ਇੱਕ ਭਿੰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਭਿੰਨ ਨਾਲ ਗੁਣਾ

ਫਰੀਦਾ ਕੋਲ ਰਿਬਨ ਦੀ ਇੱਕ $9 cm$ ਲੰਬੀ ਪੱਟੀ ਸੀ। ਉਸਨੇ ਇਸ ਪੱਟੀ ਨੂੰ ਚਾਰ ਬਰਾਬਰ ਹਿੱਸਿਆਂ ਵਿੱਚ ਕੱਟਿਆ। ਉਸਨੇ ਇਹ ਕਿਵੇਂ ਕੀਤਾ? ਉਸਨੇ ਪੱਟੀ ਨੂੰ ਦੋ ਵਾਰ ਮੋੜਿਆ। ਹਰੇਕ ਹਿੱਸਾ ਕੁੱਲ ਲੰਬਾਈ ਦਾ ਕਿੰਨਾ ਹਿੱਸਾ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧਤਵ ਕਰੇਗਾ?

ਹਰੇਕ ਹਿੱਸਾ ਪੱਟੀ ਦਾ $\frac{9}{4}$ ਹੋਵੇਗਾ। ਉਸਨੇ ਇੱਕ ਹਿੱਸਾ ਲਿਆ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਇੱਕ ਵਾਰ ਮੋੜ ਕੇ ਦੋ ਬਰਾਬਰ ਹਿੱਸਿਆਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਿਆ। ਇਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਟੁਕੜਾ ਕੀ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧਤਵ ਕਰੇਗਾ? ਇਹ $\frac{1}{2}$ ਦਾ $\frac{9}{4}$ ਜਾਂ $\frac{1}{2} \times \frac{9}{4}$ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧਤਵ ਕਰੇਗਾ।

ਆਓ ਹੁਣ ਵੇਖੀਏ ਕਿ $\frac{1}{2} \times \frac{9}{4}$ ਵਰਗੇ ਦੋ ਭਿੰਨਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਕਿਵੇਂ ਪਤਾ ਕਰਨਾ ਹੈ।

ਚਿੱਤਰ 2.8

ਚਿੱਤਰ 2.9

ਇਹ ਕਰਨ ਲਈ ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ $\frac{1}{2} \times \frac{1}{3}$ ਵਰਗੇ ਗੁਣਨਫਲ ਪਤਾ ਕਰਨਾ ਸਿੱਖਦੇ ਹਾਂ।

(a) ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਪੂਰੇ ਦਾ $\frac{1}{3}$ ਕਿਵੇਂ ਪਤਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ? ਅਸੀਂ ਪੂਰੇ ਨੂੰ ਤਿੰਨ ਬਰਾਬਰ ਹਿੱਸਿਆਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਦੇ ਹਾਂ। ਇਹਨਾਂ ਤਿੰਨ ਹਿੱਸਿਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਹਿੱਸਾ ਪੂਰੇ ਦੇ $\frac{1}{3}$ ਨੂੰ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧਤਵ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਇਹਨਾਂ ਤਿੰਨ ਹਿੱਸਿਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਹਿੱਸਾ ਲਓ, ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਚਿੱਤਰ 2.8 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਅਨੁਸਾਰ ਰੰਗ ਦਿਓ।

(b) ਤੁਸੀਂ ਇਸ ਰੰਗੀਨ ਭਾਗ ਦਾ $\frac{1}{2}$ ਕਿਵੇਂ ਪਤਾ ਕਰੋਗੇ? ਇਸ ਇੱਕ-ਤਿਹਾਈ $(\frac{1}{3})$ ਰੰਗੀਨ ਭਾਗ ਨੂੰ ਦੋ ਬਰਾਬਰ ਹਿੱਸਿਆਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡੋ। ਇਹਨਾਂ ਦੋਵਾਂ ਹਿੱਸਿਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਹਿੱਸਾ $\frac{1}{2}$ ਦੇ $\frac{1}{3}$ ਨੂੰ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧਤਵ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਯਾਨੀ $\frac{1}{2} \times \frac{1}{3}$ (ਚਿੱਤਰ 2.9)।

ਇਹਨਾਂ ਦੋਵਾਂ ਵਿੱਚੋਂ 1 ਹਿੱਸਾ ਕੱਢੋ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ‘A’ ਨਾਮ ਦਿਓ। ‘A’ $\frac{1}{2} \times \frac{1}{3}$ ਨੂੰ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧਤਵ ਕਰਦਾ ਹੈ।

(c) ‘A’ ਪੂਰੇ ਦਾ ਕਿੰਨਾ ਹਿੱਸਾ ਹੈ? ਇਸ ਲਈ, ਬਾਕੀ ਬਚੇ ਹਰੇਕ $\frac{1}{3}$ ਹਿੱਸੇ ਨੂੰ ਵੀ ਦੋ ਬਰਾਬਰ ਹਿੱਸਿਆਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡੋ। ਹੁਣ ਤੁਹਾਡੇ ਕੋਲ ਕਿੰਨੇ ਅਜਿਹੇ ਬਰਾਬਰ ਹਿੱਸੇ ਹਨ?

ਇੱਥੇ ਛੇ ਅਜਿਹੇ ਬਰਾਬਰ ਹਿੱਸੇ ਹਨ। ‘A’ ਇਹਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਹਿੱਸਾ ਹੈ।

ਇਸਲਈ, ’ $A$ ’ ਪੂਰੇ ਦਾ $\frac{1}{6}$ ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, $\frac{1}{2} \times \frac{1}{3}=\frac{1}{6}$।

ਅਸੀਂ ਕਿਵੇਂ ਤੈਅ ਕੀਤਾ ਕਿ ’ $A$ ’ ਪੂਰੇ ਦਾ $\frac{1}{6}$ ਸੀ? ਪੂਰੇ ਨੂੰ $6=2 \times 3$ ਹਿੱਸਿਆਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਿਆ ਗਿਆ ਸੀ ਅਤੇ ਇਸ ਵਿੱਚੋਂ $1=1 \times 1$ ਹਿੱਸਾ ਕੱਢਿਆ ਗਿਆ ਸੀ।

ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ,

$ \begin{aligned} & \frac{1}{2} \times \frac{1}{3}=\frac{1}{6}=\frac{1 \times 1}{2 \times 3} \\ & \frac{1}{2} \times \frac{1}{3}=\frac{1 \times 1}{2 \times 3} \end{aligned} $

$\frac{1}{3} \times \frac{1}{2}$ ਦਾ ਮੁੱਲ ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪਤਾ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਪੂਰੇ ਨੂੰ ਦੋ ਬਰਾਬਰ ਹਿੱਸਿਆਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡੋ ਅਤੇ ਫਿਰ ਇਹਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਹਿੱਸੇ ਨੂੰ ਤਿੰਨ ਬਰਾਬਰ ਹਿੱਸਿਆਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡੋ। ਇਹਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਹਿੱਸਾ ਲਓ। ਇਹ $\frac{1}{3} \times \frac{1}{2}$ ਨੂੰ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧਤਵ ਕਰੇਗਾ, ਯਾਨੀ $\frac{1}{6}$।

ਇਸਲਈ

$ \frac{1}{3} \times \frac{1}{2}=\frac{1}{6}=\frac{1 \times 1}{3 \times 2} \text{ ਜਿਵੇਂ ਪਹਿਲਾਂ ਚਰਚਾ ਕੀਤੀ ਗਈ ਸੀ। } $

ਇਸਲਈ

$ \frac{1}{2} \times \frac{1}{3}=\frac{1}{3} \times \frac{1}{2}=\frac{1}{6} $

$\frac{1}{3} \times \frac{1}{4}$ ਅਤੇ $\frac{1}{4} \times \frac{1}{3} ; \frac{1}{2} \times \frac{1}{5}$ ਅਤੇ $\frac{1}{5} \times \frac{1}{2}$ ਪਤਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਜਾਂਚ ਕਰੋ ਕਿ ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹੋ

$ \frac{1}{3} \times \frac{1}{4}=\frac{1}{4} \times \frac{1}{3} ; \frac{1}{2} \times \frac{1}{5}=\frac{1}{5} \times \frac{1}{2} $

ਇਹ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ

ਇਹਨਾਂ ਬਾਕਸਾਂ ਨੂੰ ਭਰੋ: (i) $\frac{1}{2} \times \frac{1}{7}=\frac{1 \times 1}{2 \times 7}=\square \qquad$ (ii) $\frac{1}{5} \times \frac{1}{7}=\square=\square$

(iii) $\frac{1}{7} \times \frac{1}{2}=\square=\square \qquad$ (iv) $\frac{1}{7} \times \frac{1}{5}=\square=\square$

ਉਦਾਹਰਨ 2 ਸੁਸ਼ਾਂਤ 1 ਘੰਟੇ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਕਿਤਾਬ ਦਾ $\frac{1}{3}$ ਹਿੱਸਾ ਪੜ੍ਹਦਾ ਹੈ। ਉਹ $2 \frac{1}{5}$ ਘੰਟਿਆਂ ਵਿੱਚ ਕਿਤਾਬ ਦਾ ਕਿੰਨਾ ਹਿੱਸਾ ਪੜ੍ਹੇਗਾ?

ਹੱਲ

ਸੁਸ਼ਾਂਤ ਦੁਆਰਾ 1 ਘੰਟੇ ਵਿੱਚ ਪੜ੍ਹਿਆ ਗਿਆ ਕਿਤਾਬ ਦਾ ਹਿੱਸਾ $=\frac{1}{3}$।

ਇਸਲਈ, ਉਸਦੁਆਰਾ $2 \frac{1}{5}$ ਘੰਟਿਆਂ ਵਿੱਚ ਪੜ੍ਹਿਆ ਗਿਆ ਕਿਤਾਬ ਦਾ ਹਿੱਸਾ $=2 \frac{1}{5} \times \frac{1}{3}$

$ =\frac{11}{5} \times \frac{1}{3}=\frac{11 \times 1}{5 \times 3}=\frac{11}{15} $

ਆਓ ਹੁਣ $\frac{1}{2} \times \frac{5}{3}$ ਪਤਾ ਕਰੀਏ। ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ $\frac{5}{3}=\frac{1}{3} \times 5$।

$ \text{ ਇਸਲਈ, } \frac{1}{2} \times \frac{5}{3}=\frac{1}{2} \times \frac{1}{3} \times 5=\frac{1}{6} \quad 5=\frac{5}{6} $

ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, $\frac{5}{6}=\frac{1 \times 5}{2 \times 3}$। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, $\frac{1}{2} \times \frac{5}{3}=\frac{1 \times 5}{2 \times 3}=\frac{5}{6}$।

ਇਹ ਹੇਠਾਂ ਖਿੱਚੇ ਗਏ ਚਿੱਤਰਾਂ ਦੁਆਰਾ ਵੀ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਇਹਨਾਂ ਪੰਜ ਬਰਾਬਰ ਆਕਾਰਾਂ (ਚਿੱਤਰ 2.10) ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਪੰਜ ਸਮਾਨ ਚੱਕਰਾਂ ਦੇ ਹਿੱਸੇ ਹਨ। ਇੱਕ ਅਜਿਹਾ ਆਕਾਰ ਲਓ। ਇਹ ਆਕਾਰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਨੂੰ ਤਿੰਨ ਬਰਾਬਰ ਹਿੱਸਿਆਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਦੇ ਹਾਂ। ਫਿਰ ਇਹਨਾਂ ਤਿੰਨ ਹਿੱਸਿਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਨੂੰ ਦੋ ਬਰਾਬਰ ਹਿੱਸਿਆਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਹਿੱਸਾ ਉਹ ਆਕਾਰ ਹੈ ਜਿਸ ਬਾਰੇ ਅਸੀਂ ਵਿਚਾਰ ਕੀਤਾ। ਇਹ ਕੀ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧਤਵ ਕਰੇਗਾ?

ਇਹ $\frac{1}{2} \times \frac{1}{3}=\frac{1}{6}$ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧਤਵ ਕਰੇਗਾ। ਅਜਿਹੇ ਹਿੱਸਿਆਂ ਦਾ ਕੁੱਲ $5 \times \frac{1}{6}=\frac{5}{6}$ ਹੋਵੇਗਾ।

ਇਹ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ

ਪਤਾ ਕਰੋ: $\frac{1}{3} \times \frac{4}{5} ; \frac{2}{3} \times \frac{1}{5}$

ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ $ \quad \frac{3}{5} \times \frac{1}{7}=\frac{3 \times 1}{5 \times 7}=\frac{3}{35} . $

ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਅਸੀਂ $\frac{2}{3} \times \frac{7}{5}$ ਨੂੰ $\frac{2}{3} \times \frac{7}{5}=\frac{2 \times 7}{3 \times 5}=\frac{14}{15}$ ਵਜੋਂ ਪਤਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।

ਇਸਲਈ, ਅਸੀਂ ਪਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਦੋ ਭਿੰਨਾਂ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ $\frac{\text{ Product of Numerators }}{\text{ Product of Denominators }}$।

ਇਹ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ

ਪਤਾ ਕਰੋ: $\frac{8}{3} \times \frac{4}{7} ; \frac{3}{4} \times \frac{2}{3}$।

ਗੁਣਨਫਲਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ

ਤੁਸੀਂ ਵੇਖਿਆ ਹੈ ਕਿ ਦੋ ਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਦੋਵਾਂ ਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, $3 \times 4=12$ ਅਤੇ $12>4,12>3$। ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਦੋ ਭਿੰਨਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਗੁਣਨਫਲ ਦੇ ਮੁੱਲ ਵਿੱਚ ਕੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ?

ਆਓ ਪਹਿਲਾਂ ਦੋ ਉਚਿਤ ਭਿੰਨਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਬਾਰੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੀਏ।

ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ,

ਤੁਸੀਂ ਪਾਓਗੇ ਕਿ ਜਦੋਂ ਦੋ ਉਚਿਤ ਭਿੰਨਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਗੁਣਨਫਲ ਹਰੇਕ ਭਿੰਨ ਤੋਂ ਘੱਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਜਾਂ, ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਦੋ ਉਚਿਤ ਭਿੰਨਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਦਾ ਮੁੱਲ ਦੋਵਾਂ ਭਿੰਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਤੋਂ ਘੱਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

ਇਸਨੂੰ ਪੰਜ ਹੋਰ ਉਦਾਹਰਣਾਂ ਬਣਾ ਕੇ ਜਾਂਚ ਕਰੋ।

ਆਓ ਹੁਣ ਦੋ ਅਣਉਚ