২.১ ভগ্নাংশের গুণ

আপনি জানেন কিভাবে একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল বের করতে হয়। এটি দৈর্ঘ্য $\times$ প্রস্থের সমান। যদি একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ যথাক্রমে $7 cm$ এবং $4 cm$ হয়, তবে এর ক্ষেত্রফল কত হবে? এর ক্ষেত্রফল হবে $7 \times 4=28 cm^{2}$।

আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ যদি যথাক্রমে $7 \frac{1}{2} cm$ এবং $3 \frac{1}{2} cm$ হয় তবে এর ক্ষেত্রফল কত হবে? আপনি বলবেন এটি হবে $7 \frac{1}{2} \times 3 \frac{1}{2}=\frac{15}{2} \times \frac{7}{2} cm^{2}$। সংখ্যাগুলি $\frac{15}{2}$

এবং $\frac{7}{2}$ হল ভগ্নাংশ। প্রদত্ত আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে, আমাদের ভগ্নাংশকে কিভাবে গুণ করতে হয় তা জানা প্রয়োজন। আমরা এখনই তা শিখব।

২.১.১ একটি ভগ্নাংশকে পূর্ণ সংখ্যা দ্বারা গুণ

চিত্র ২.১

বাম দিকের ছবিগুলি লক্ষ্য করুন (চিত্র ২.১)। প্রতিটি ছায়াযুক্ত অংশ একটি বৃত্তের $\frac{1}{4}$ অংশ। দুটি ছায়াযুক্ত অংশ একত্রে কতটা নির্দেশ করবে? তারা $\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=2 \times \frac{1}{4}$ নির্দেশ করবে।

দুটি ছায়াযুক্ত অংশ একত্রিত করে, আমরা চিত্র ২.২ পাই। চিত্র ২.২-এর ছায়াযুক্ত অংশটি একটি বৃত্তের কত অংশ নির্দেশ করে? এটি একটি বৃত্তের $\frac{2}{4}$ অংশ নির্দেশ করে।

চিত্র ২.২

চিত্র ২.১-এর ছায়াযুক্ত অংশগুলি একত্রে নেওয়া হলে চিত্র ২.২-এর ছায়াযুক্ত অংশের সমান হয়, অর্থাৎ আমরা পাই চিত্র ২.৩।

চিত্র ২.৩

অথবা

$ 2 \times \frac{1}{4}=\frac{2}{4} . $

আপনি কি এখন বলতে পারেন এই ছবিটি কী নির্দেশ করবে? (চিত্র ২.৪)

চিত্র ২.৪

এবং এটি? (চিত্র ২.৫)

চিত্র ২.৫

আসুন এখন $3 \times \frac{1}{2}$ বের করি।

আমাদের আছে

$3 \times \frac{1}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$

আমাদের আরও আছে

$ \frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=\frac{1+1+1}{2}=\frac{3 \times 1}{2}=\frac{3}{2} $

সুতরাং

$ 3 \times \frac{1}{2}=\frac{3 \times 1}{2}=\frac{3}{2} $

একইভাবে

$ \frac{2}{3} \times 5=\frac{2 \times 5}{3}=? $

আপনি কি বলতে পারেন

$ 3 \times \frac{2}{7}=? \quad 4 \times \frac{3}{5}=? $

আমরা এখন পর্যন্ত যে ভগ্নাংশগুলি বিবেচনা করেছি, যেমন $\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{2}{7}$ এবং $\frac{3}{5}$, তারা ছিল প্রকৃত ভগ্নাংশ।

অপ্রকৃত ভগ্নাংশের জন্যও আমাদের আছে,

চেষ্টা করুন,

$ \begin{aligned} & 2 \times \frac{5}{3}=\frac{2 \times 5}{3}=\frac{10}{3} \\ & 3 \times \frac{8}{7}=? 4 \times \frac{7}{5}=? \end{aligned} $

সুতরাং, একটি পূর্ণ সংখ্যাকে একটি প্রকৃত বা অপ্রকৃত ভগ্নাংশ দ্বারা গুণ করতে, আমরা ভগ্নাংশের লবের সাথে পূর্ণ সংখ্যাটিকে গুণ করি, হর একই রেখে।

এগুলি চেষ্টা করুন

১. নির্ণয় করুন: (ক) $\frac{2}{7} \times 3$

(খ) $\frac{9}{7} \times 6$

(গ) $3 \times \frac{1}{8}$

(ঘ) $\frac{13}{11} \times 6$

যদি গুণফলটি একটি অপ্রকৃত ভগ্নাংশ হয়, তবে এটিকে মিশ্র ভগ্নাংশ হিসাবে প্রকাশ করুন।

২. চিত্রের মাধ্যমে উপস্থাপন করুন: $2 \times \frac{2}{5}=\frac{4}{5}$

এগুলি চেষ্টা করুন

নির্ণয় করুন: (i) $5 \times 2 \frac{3}{7}$

(ii) $1 \frac{4}{9} \times 6$

একটি মিশ্র ভগ্নাংশকে একটি পূর্ণ সংখ্যা দ্বারা গুণ করতে, প্রথমে মিশ্র ভগ্নাংশটিকে অপ্রকৃত ভগ্নাংশে রূপান্তর করুন এবং তারপর গুণ করুন।

অতএব, $\quad 3 \times 2 \frac{5}{7}=3 \times \frac{19}{7}=\frac{57}{7}=8 \frac{1}{7}$।

একইভাবে, $\quad 2 \times 4 \frac{2}{5}=2 \times \frac{22}{5}=$ ?

‘এর’ হিসাবে ভগ্নাংশ একটি অপারেটর

এই চিত্রগুলি লক্ষ্য করুন (চিত্র ২.৬)

দুটি বর্গক্ষেত্র ঠিক একই রকম।

প্রতিটি ছায়াযুক্ত অংশ 1 এর $\frac{1}{2}$ নির্দেশ করে।

সুতরাং, উভয় ছায়াযুক্ত অংশ একত্রে 2 এর $\frac{1}{2}$ নির্দেশ করবে।

2 টি ছায়াযুক্ত $\frac{1}{2}$ অংশ একত্রিত করুন। এটি 1 নির্দেশ করে।

সুতরাং, আমরা বলি 2 এর $\frac{1}{2}$ হল 1। আমরা এটিও পেতে পারি $\frac{1}{2} \times 2=1$ হিসাবে।

এইভাবে, $2=\frac{1}{2} \times 2=1$ এর $\frac{1}{2}$

চিত্র ২.৬

এছাড়াও, এই একই রকম বর্গক্ষেত্রগুলি দেখুন (চিত্র ২.৭)।

প্রতিটি ছায়াযুক্ত অংশ 1 এর $\frac{1}{2}$ নির্দেশ করে।

সুতরাং, তিনটি ছায়াযুক্ত অংশ 3 এর $\frac{1}{2}$ নির্দেশ করে।

3 টি ছায়াযুক্ত অংশ একত্রিত করুন।

এটি $1 \frac{1}{2}$ নির্দেশ করে, অর্থাৎ $\frac{3}{2}$।

সুতরাং, 3 এর $\frac{1}{2}$ হল $\frac{3}{2}$। এছাড়াও, $\frac{1}{2} \times 3=\frac{3}{2}$।

চিত্র ২.৭

এইভাবে, $3=\frac{1}{2} \times 3=\frac{3}{2}$ এর $\frac{1}{2}$।

সুতরাং আমরা দেখি যে ‘এর’ গুণকে নির্দেশ করে।

ফরিদার কাছে 20 টি মার্বেল আছে। রেশমার কাছে ফরিদার মার্বেলের সংখ্যার $\frac{1}{5}$ অংশ আছে। রেশমার কতগুলি মার্বেল আছে? যেহেতু, ‘এর’ গুণ নির্দেশ করে, তাই, রেশমার আছে $\frac{1}{5} \times 20=4$ মার্বেল।

একইভাবে, আমাদের আছে 16 এর $\frac{1}{2}$ হল $\frac{1}{2} \times 16=\frac{16}{2}=8$।

এগুলি চেষ্টা করুন

আপনি কি বলতে পারেন, (i) $10 ?$ এর $\frac{1}{2}$ কত, (ii) $16 ?$ এর $\frac{1}{4}$ কত, (iii) $25 ?$ এর $\frac{2}{5}$ কত

উদাহরণ ১ একটি শ্রেণিতে 40 জন শিক্ষার্থীর মধ্যে $\frac{1}{5}$ মোট শিক্ষার্থী ইংরেজি পড়তে পছন্দ করে, $\frac{2}{5}$ মোট শিক্ষার্থী গণিত পড়তে পছন্দ করে এবং বাকি শিক্ষার্থীরা বিজ্ঞান পড়তে পছন্দ করে।

(i) কতজন শিক্ষার্থী ইংরেজি পড়তে পছন্দ করে?

(ii) কতজন শিক্ষার্থী গণিত পড়তে পছন্দ করে?

(iii) মোট শিক্ষার্থীর কত ভগ্নাংশ বিজ্ঞান পড়তে পছন্দ করে?

সমাধান

শ্রেণিতে মোট শিক্ষার্থীর সংখ্যা $=40$।

(i) এর মধ্যে মোট শিক্ষার্থীর $\frac{1}{5}$ ইংরেজি পড়তে পছন্দ করে।

সুতরাং, যেসব শিক্ষার্থী ইংরেজি পড়তে পছন্দ করে তাদের সংখ্যা $40=\frac{1}{5} \times 40=8$ এর $=\frac{1}{5}$।

(ii) নিজে চেষ্টা করুন।

(iii) যেসব শিক্ষার্থী ইংরেজি এবং গণিত পছন্দ করে তাদের সংখ্যা $=8+16=24$। সুতরাং, যেসব শিক্ষার্থী বিজ্ঞান পছন্দ করে তাদের সংখ্যা $=40-24=16$।

সুতরাং, প্রয়োজনীয় ভগ্নাংশটি হল $\frac{16}{40}$।

অনুশীলনী ২.১

১. কোন অঙ্কনগুলি (ক) থেকে (ঘ) দেখায়:

(i) $2 \times \frac{1}{5}$

(ii) $2 \times \frac{1}{2}$

(iii) $3 \times \frac{2}{3}$

(iv) $3 \times \frac{1}{4}$

(ক)

(খ)

(গ)

(ঘ)

২. কিছু ছবি (ক) থেকে (গ) নিচে দেওয়া আছে। বলুন তাদের মধ্যে কোনগুলি দেখায়:

(i) $3 \times \frac{1}{5}=\frac{3}{5}$

(ii) $2 \times \frac{1}{3}=\frac{2}{3}$

(iii) $3 \times \frac{3}{4}=2 \frac{1}{4}$

(ক)

(খ)

(গ)

৩. গুণ করুন এবং নিম্নতম আকারে হ্রাস করুন এবং একটি মিশ্র ভগ্নাংশে রূপান্তর করুন:

(i) $7 \times \frac{3}{5}$

(ii) $4 \times \frac{1}{3}$

(iii) $2 \times \frac{6}{7}$

(iv) $5 \times \frac{2}{9}$

(v) $\frac{2}{3} \times 4$

(vi) $\frac{5}{2} \times 6$

(vii) $11 \times \frac{4}{7}$

(viii) $20 \times \frac{4}{5}$

(ix) $13 \times \frac{1}{3}$

(x) $15 \times \frac{3}{5}$

৪. ছায়া দিন: (i) বক্স (ক)-এর বৃত্তগুলির $\frac{1}{2}$ (ii) বক্স (খ)-এর ত্রিভুজগুলির $\frac{2}{3}$

(iii) বক্স (গ)-এর বর্গক্ষেত্রগুলির $\frac{3}{5}$।

(ক)

(খ)

(গ)

৫. নির্ণয় করুন:

(ক) এর $\frac{1}{2}$ (i) 24 (ii) 46

(খ) এর $\frac{2}{3}$ (i) 18 (ii) 27

(গ) এর $\frac{3}{4}$ (i) 16 (ii) 36

(ঘ) এর $\frac{4}{5}$ (i) 20 (ii) 35

৬. গুণ করুন এবং একটি মিশ্র ভগ্নাংশ হিসাবে প্রকাশ করুন:

(ক) $3 \times 5 \frac{1}{5}$

(খ) $5 \times 6 \frac{3}{4}$

(গ) $7 \times 2 \frac{1}{4}$

(ঘ) $4 \times 6 \frac{1}{3}$

(ঙ) $3 \frac{1}{4} \times 6$

(চ) $3 \frac{2}{5} \times 8$

৭. নির্ণয় করুন: (ক) (i) $2 \frac{3}{4}$ এর $\frac{1}{2}$ (ii) $4 \frac{2}{9}$

(খ) (i) $3 \frac{5}{6}$ এর $\frac{5}{8}$ (ii) $9 \frac{2}{3}$

৮. বিদ্যা এবং প্রতাপ পিকনিকে গিয়েছিল। তাদের মা তাদের 5 লিটার জল সহ একটি পানির বোতল দিয়েছিলেন। বিদ্যা জলের $\frac{2}{5}$ অংশ খরচ করেছিল। প্রতাপ বাকি জল খরচ করেছিল।

(i) বিদ্যা কত জল পান করেছিল?

(ii) মোট জলের কত ভগ্নাংশ প্রতাপ পান করেছিল?

২.১.২ একটি ভগ্নাংশ দ্বারা একটি ভগ্নাংশের গুণ

ফরিদার কাছে $9 cm$ দীর্ঘ একটি ফিতার স্ট্রিপ ছিল। তিনি এই স্ট্রিপটি চারটি সমান অংশে কাটলেন। তিনি কিভাবে করলেন? তিনি স্ট্রিপটি দুবার ভাঁজ করলেন। মোট দৈর্ঘ্যের কত ভগ্নাংশ প্রতিটি অংশ নির্দেশ করবে?

প্রতিটি অংশ স্ট্রিপের $\frac{9}{4}$ হবে। তিনি একটি অংশ নিলেন এবং অংশটিকে একবার ভাঁজ করে দুটি সমান অংশে ভাগ করলেন। টুকরোগুলির একটি কী নির্দেশ করবে? এটি $\frac{9}{4}$ এর $\frac{1}{2}$ বা $\frac{1}{2} \times \frac{9}{4}$ নির্দেশ করবে।

আসুন এখন দেখি কিভাবে $\frac{1}{2} \times \frac{9}{4}$ এর মত দুটি ভগ্নাংশের গুণফল বের করতে হয়।

চিত্র ২.৮

চিত্র ২.৯

এটি করতে আমরা প্রথমে $\frac{1}{2} \times \frac{1}{3}$ এর মত গুণফল বের করতে শিখি।

(ক) কিভাবে আমরা একটি পূর্ণের $\frac{1}{3}$ বের করব? আমরা পূর্ণটিকে তিনটি সমান অংশে ভাগ করি। তিনটি অংশের প্রতিটি পূর্ণটির $\frac{1}{3}$ নির্দেশ করে। এই তিনটি অংশের একটি অংশ নিন, এবং চিত্র ২.৮-এ দেখানো হিসাবে ছায়া দিন।

(খ) আপনি কিভাবে এই ছায়াযুক্ত অংশের $\frac{1}{2}$ বের করবেন? এই এক-তৃতীয়াংশ $(\frac{1}{3})$ ছায়াযুক্ত অংশটিকে দুটি সমান অংশে ভাগ করুন। এই দুটি অংশের প্রতিটি $\frac{1}{3}$ এর $\frac{1}{2}$ নির্দেশ করে, অর্থাৎ $\frac{1}{2} \times \frac{1}{3}$ (চিত্র ২.৯)।

এই দুটির মধ্যে 1 অংশ বের করুন এবং এটির নাম দিন ‘A’। ‘A’ $\frac{1}{2} \times \frac{1}{3}$ নির্দেশ করে।

(গ) ‘A’ পূর্ণটির কত ভগ্নাংশ? এর জন্য, বাকি $\frac{1}{3}$ অংশগুলির প্রতিটিকেও দুটি সমান অংশে ভাগ করুন। এখন আপনার কতগুলি এমন সমান অংশ আছে?

এখানে ছয়টি এমন সমান অংশ আছে। ‘A’ এই অংশগুলির একটি।

সুতরাং, ‘$A$’ হল পূর্ণটির $\frac{1}{6}$। এইভাবে, $\frac{1}{2} \times \frac{1}{3}=\frac{1}{6}$।

আমরা কিভাবে সিদ্ধান্ত নিলাম যে ‘$A$’ পূর্ণটির $\frac{1}{6}$ ছিল? পূর্ণটিকে $6=2 \times 3$ অংশে ভাগ করা হয়েছিল এবং এর থেকে $1=1 \times 1$ অংশ নেওয়া হয়েছিল।

এইভাবে,

$ \begin{aligned} & \frac{1}{2} \times \frac{1}{3}=\frac{1}{6}=\frac{1 \times 1}{2 \times 3} \\ & \frac{1}{2} \times \frac{1}{3}=\frac{1 \times 1}{2 \times 3} \end{aligned} $

$\frac{1}{3} \times \frac{1}{2}$ এর মান একইভাবে বের করা যেতে পারে। পূর্ণটিকে দুটি সমান অংশে ভাগ করুন এবং তারপর এই অংশগুলির একটি অংশকে তিনটি সমান অংশে ভাগ করুন। এই অংশগুলির একটি নিন। এটি $\frac{1}{3} \times \frac{1}{2}$ নির্দেশ করবে, অর্থাৎ $\frac{1}{6}$।

অতএব

$ \frac{1}{3} \times \frac{1}{2}=\frac{1}{6}=\frac{1 \times 1}{3 \times 2} \text{ যেমন আগে আলোচনা করা হয়েছে। } $

সুতরাং

$ \frac{1}{2} \times \frac{1}{3}=\frac{1}{3} \times \frac{1}{2}=\frac{1}{6} $

$\frac{1}{3} \times \frac{1}{4}$ এবং $\frac{1}{4} \times \frac{1}{3} ; \frac{1}{2} \times \frac{1}{5}$ এবং $\frac{1}{5} \times \frac{1}{2}$ নির্ণয় করুন এবং পরীক্ষা করুন আপনি পাচ্ছেন কিনা

$ \frac{1}{3} \times \frac{1}{4}=\frac{1}{4} \times \frac{1}{3} ; \frac{1}{2} \times \frac{1}{5}=\frac{1}{5} \times \frac{1}{2} $

এগুলি চেষ্টা করুন

এই বাক্সগুলি পূরণ করুন: (i) $\frac{1}{2} \times \frac{1}{7}=\frac{1 \times 1}{2 \times 7}=\square \qquad$ (ii) $\frac{1}{5} \times \frac{1}{7}=\square=\square$

(iii) $\frac{1}{7} \times \frac{1}{2}=\square=\square \qquad$ (iv) $\frac{1}{7} \times \frac{1}{5}=\square=\square$

উদাহরণ ২ সুষান্ত 1 ঘন্টায় একটি বইয়ের $\frac{1}{3}$ অংশ পড়ে। $2 \frac{1}{5}$ ঘন্টায় তিনি বইয়ের কত অংশ পড়বেন?

সমাধান

1 ঘন্টায় সুষান্ত দ্বারা পড়া বইয়ের অংশ $=\frac{1}{3}$।

সুতরাং, $2 \frac{1}{5}$ ঘন্টায় তার দ্বারা পড়া বইয়ের অংশ $=2 \frac{1}{5} \times \frac{1}{3}$

$ =\frac{11}{5} \times \frac{1}{3}=\frac{11 \times 1}{5 \times 3}=\frac{11}{15} $

আসুন এখন $\frac{1}{2} \times \frac{5}{3}$ বের করি। আমরা জানি যে $\frac{5}{3}=\frac{1}{3} \times 5$।

$ \text{ সুতরাং, } \frac{1}{2} \times \frac{5}{3}=\frac{1}{2} \times \frac{1}{3} \times 5=\frac{1}{6} \quad 5=\frac{5}{6} $

এছাড়াও, $\frac{5}{6}=\frac{1 \times 5}{2 \times 3}$। এইভাবে, $\frac{1}{2} \times \frac{5}{3}=\frac{1 \times 5}{2 \times 3}=\frac{5}{6}$।

এটি নিচে আঁকা চিত্রগুলির দ্বারাও দেখানো হয়েছে। এই পাঁচটি সমান আকৃতির প্রতিটি (চিত্র ২.১০) পাঁচটি একই রকম বৃত্তের অংশ। একটি এমন আকৃতি নিন। এই আকৃতি পেতে আমরা প্রথমে একটি বৃত্তকে তিনটি সমান অংশে ভাগ করি। তারপর এই তিনটি অংশের প্রতিটিকে দুটি সমান অংশে ভাগ করি। এর মধ্যে একটি অংশ হল আমরা বিবেচনা করা আকৃতি। এটি কী নির্দেশ করবে?

এটি $\frac{1}{2} \times \frac{1}{3}=\frac{1}{6}$ নির্দেশ করবে। এইরকম অংশের মোট সংখ্যা হবে $5 \times \frac{1}{6}=\frac{5}{6}$।

এগুলি চেষ্টা করুন

নির্ণয় করুন: $\frac{1}{3} \times \frac{4}{5} ; \frac{2}{3} \times \frac{1}{5}$

একইভাবে $ \quad \frac{3}{5} \times \frac{1}{7}=\frac{3 \times 1}{5 \times 7}=\frac{3}{35} . $

সুতরাং আমরা $\frac{2}{3} \times \frac{7}{5}$ কে $\frac{2}{3} \times \frac{7}{5}=\frac{2 \times 7}{3 \times 5}=\frac{14}{15}$ হিসাবে বের করতে পারি।

সুতরাং, আমরা দেখি যে আমরা দুটি ভগ্নাংশকে $\frac{\text{ Product of Numerators }}{\text{ Product of Denominators }}$ হিসাবে গুণ করি।

এগুলি চেষ্টা করুন

নির্ণয় করুন: $\frac{8}{3} \times \frac{4}{7} ; \frac{3}{4} \times \frac{2}{3}$।

গুণফলের মান

আপনি দেখেছেন যে দুটি পূর্ণ সংখ্যার গুণফল উভয় পূর্ণ সংখ্যা থেকে বড়। উদাহরণস্বরূপ, $3 \times 4=12$ এবং $12>4,12>3$। দুটি ভগ্নাংশ গুণ করলে গুণফলের মানের কী হয়?

আসুন প্রথমে দুটি প্রকৃত ভগ্নাংশের গুণফল বিবেচনা করি।

আমাদের আছে,

আপনি দেখবেন যে যখন দুটি প্রকৃত ভগ্নাংশ গুণ করা হয়, গুণফল প্রতিটি ভগ্নাংশ থেকে কম হয়। অথবা, আমরা বলি যে দুটি প্রকৃত ভগ্নাংশের গুণফলের মান উভয় ভগ্নাংশ থেকে ছোট।

আরও পাঁচটি উদাহরণ তৈরি করে এটি পরীক্ষা করুন।

আসুন এখন দুটি অপ্রকৃত ভগ্নাংশ গুণ করি।

আমরা দেখি যে দুটি অপ্রকৃত ভগ্নাংশের গুণফল উভয় ভগ্নাংশ থেকে বেশি।

অথবা, দুটি অপ্রকৃত ভগ্নাংশের গুণফলের মান উভয় ভগ্নাংশ থেকে বেশি।

নিজের জন্য আরও পাঁচটি উদাহরণ তৈরি করুন এবং উপরের বিবৃতিটি যাচাই করুন।

আসুন এখন একটি প্রকৃত এবং একটি অপ্রকৃত ভগ্নাংশ গুণ করি, ধরি $\frac{2}{3}$ এবং $\frac{7}{5}$।

আমাদের আছে $\quad \frac{2}{3} \times \frac{7}{5}=\frac{14}{15}$। এখানে, $\frac{14}{15}<\frac{7}{5}$ এবং $\frac{14}{15}>\frac{2}{3}$

প্রাপ্ত গুণফল অপ্রকৃত ভগ্নাংশ থেকে কম এবং গুণে জড়িত প্রকৃত ভগ্নাংশ থেকে বেশি।

$\frac{6}{5} \times \frac{2}{8}, \frac{8}{3} \times \frac{4}{5}$ এর জন্য এটি পরীক্ষা করুন।

অনুশীলনী ২.২

১. নির্ণয় করুন:

(i) $\quad$ এর $\frac{1}{4}$(ক) $\frac{1}{4}$ $\quad$ (খ) $\frac{3}{5}$(গ) $\quad$ $\frac{4}{3}$

(ii) $\quad$ এর $\frac{1}{7}$ (ক) $\frac{2}{9}$ $\quad$ (খ) $\frac{6}{5}$ $\quad$ (গ) $\frac{3}{10}$

২. গুণ করুন এবং নিম্নতম আকারে হ্রাস করুন (যদি সম্ভব হয়):

(i) $\frac{2}{3} \times 2 \frac{2}{3}$

(ii) $\frac{2}{7} \times \frac{7}{9}$

(iii) $\frac{3}{8} \times \frac{6}{4}$

(iv) $\frac{9}{5} \times \frac{3}{5}$

(v) $\frac{1}{3} \times \frac{15}{8}$

(vi) $\frac{11}{2} \times \frac{3}{10}$

(vii) $\frac{4}{5} \times \frac{12}{7}$

৩. নিম্নলিখিত ভগ্নাংশগুলি গুণ করুন:

(i) $\frac{2}{5} \times 5 \frac{1}{4}$

(ii) $6 \frac{2}{5} \times \frac{7}{9}$

(iii) $\frac{3}{2} \times 5 \frac{1}{3}$

(iv) $\frac{5}{6} \times 2 \frac{3}{7}$

(v) $3 \frac{2}{5} \times \frac{4}{7}$

(vi) $2 \frac{3}{5} \times 3$

(vii) $3 \frac{4}{7} \times \frac{3}{5}$

৪. কোনটি বড়:

(i) $\frac{3}{4}$ এর $\frac{2}{7}$ নাকি $\frac{5}{8}$ এর $\frac{3}{5}$

(ii) $\frac{6}{7}$ এর $\frac{1}{2}$ নাকি $\frac{3}{7}$ এর $\frac{2}{3}$

৫. শৈলী তার বাগানে একটি সারিতে 4 টি চারা রোপণ করে। দুটি সংলগ্ন চারার মধ্যে দূরত্ব $\frac{3}{4} m$। প্রথম এবং শেষ চারার মধ্যে দূরত্ব নির্ণয় করুন।

৬. লিপিকা প্রতিদিন $1 \frac{3}{4}$ ঘন্টা বই পড়ে। তিনি 6 দিনে সম্পূর্ণ বই পড়েন। বইটি পড়তে তার মোট কত ঘন্টা সময় লাগবে?

৭. একটি গাড়ি 1 লিটার পেট্রোল ব্যবহার করে $16 km$ দূরত্ব অতিক্রম করে। $2 \frac{3}{4}$ লিটার পেট্রোল ব্যবহার করে এটি কত দূরত্ব অতিক্রম করবে?

৮. (ক) (i) বাক্সে $\square$ সংখ্যাটি প্রদান করুন, যাতে $\frac{2}{3} \times \square=\frac{10}{30}$।

(ii) $\square$-এ প্রাপ্ত সংখ্যাটির সরলতম রূপ হল

(খ) (i) বাক্সে $\square$ সংখ্যাটি প্রদান করুন, যাতে $\frac{3}{5} \times \square=\frac{24}{75}$।

(ii) $\square$-এ প্রাপ্ত সংখ্যাটির সরলতম রূপ হল

২.২ ভগ্নাংশের ভাগ

জনের কাছে $6 cm$ দৈর্ঘ্যের একটি কাগজের স্ট্রিপ আছে। তিনি এই স্ট্রিপটিকে $2 cm$ দৈর্ঘ্যের ছোট ছোট স্ট্রিপে কাটেন। আপনি জানেন যে তিনি $6 \div 2=3$ টি স্ট্রিপ পাবেন।

জন $6 cm$ দৈর্ঘ্যের আরেকটি স্ট্রিপকে $\frac{3}{2} cm$ দৈর্ঘ্যের ছোট ছোট স্ট্রিপে কাটেন। এখন তিনি কতগুলি স্ট্রিপ পাবেন? তিনি $6 \div \frac{3}{2}$ টি স্ট্রিপ পাবেন।

$\frac{15}{2} cm$ দৈর্ঘ্যের একটি কাগজের স্ট্রিপকে $\frac{3}{2} cm$ দৈর্ঘ্যের ছোট ছোট স্ট্রিপে কেটে $\frac{15}{2} \div \frac{3}{2}$ টি টুকরা পাওয়া যেতে পারে।

সুতরাং, আমাদের একটি পূর্ণ সংখ্যাকে একটি ভগ্নাংশ দ্বারা বা একটি ভগ্নাংশকে অন্য ভগ্নাংশ দ্বারা ভাগ করতে হবে। আসুন দেখি কিভাবে তা করা যায়।

২.২.১ একটি ভগ্নাংশ দ্বারা পূর্ণ সংখ্যার ভাগ

আসুন $1 \div \frac{1}{2}$ বের করি।

আমরা একটি পূর্ণকে অনেকগুলি সমান অংশে ভাগ করি যাতে প্রতিটি অংশ পূর্ণটির অর্ধেক হয়।

এইরকম অর্ধেক $(\frac{1}{2}.$) অংশের সংখ্যা হবে $1 \div \frac{1}{2}$। চিত্রটি (চিত্র ২.১১) লক্ষ্য করুন। আপনি কতগুলি অর্ধেক অংশ দেখতে পাচ্ছেন?

দুটি অর্ধেক অংশ আছে।

সুতরাং, $\quad 1 \div \frac{1}{2}=2$। এছাড়াও, $1 \times \frac{2}{1}=1 \times 2=2$।

এইভাবে, $1 \div \frac{1}{2}=1 \times \frac{2}{1}(\frac{1}{2} \quad \frac{1}{2})$

চিত্র ২.১১

একইভাবে, $3 \div \frac{1}{4}=$ $\frac{1}{4}$ অংশের সংখ্যা পাওয়া যায় যখন 3 টি পূর্ণ সংখ্যার প্রতিটিকে $\frac{1}{4}$ সমান অংশে ভাগ করা হয় $=12$ (চিত্র ২.১২ থেকে)

চিত্র ২.১২

এছাড়াও লক্ষ্য করুন যে, $3 \times \frac{4}{1}=3 \times 4=12$। এইভাবে, $3 \div \frac{1}{4}=3 \times \frac{4}{1}=12$।

একইভাবে বের করুন, $3 \div \frac{1}{2}$ এবং $3 \times \frac{2}{1}$।

একটি ভগ্নাংশের বিপরীত

$\frac{2}{1}$ সংখ্যাটি $\frac{1}{2}$ এর লব এবং হর পরিবর্তন করে বা $\frac{1}{2}$ কে উল্টিয়ে পাওয়া যেতে পারে। একইভাবে, $\frac{3}{1}$ কে $\frac{1}{3}$ উল্টিয়ে পাওয়া যায়।

আসুন প্রথমে এইরকম সংখ্যা উল্টানো সম্পর্কে দেখি।

এই গুণফলগুলি লক্ষ্য করুন এবং শূন্যস্থান পূরণ করুন:

আরও পাঁচটি এমন জোড়া গুণ করুন।

যেসব অশূন্য সংখ্যার পরস্পরের সাথে গুণফল 1, তাদের একে অপরের বিপরীত বলা হয়।

সুতরাং $\frac{5}{9}$ এর বিপরীত হল $\frac{9}{5}$ এবং $\frac{9}{5}$ এর বিপরীত হল $\frac{5}{9}$। $\frac{1}{9}$ এর বিপরীত কী? $\frac{2}{7}$ ?

আপনি দেখবেন যে $\frac{2}{3}$ এর বিপরীত এটি উল্টিয়ে পাওয়া যায়। আপনি পাবেন $\frac{3}{2}$।

চিন্তা করুন, আলোচনা করুন এবং লিখুন

(i) একটি প্রকৃত ভগ্নাংশের বিপরীত কি আবার একটি প্রকৃত ভগ্নাংশ হবে?

(ii) একটি অপ্রকৃত ভগ্নাংশের বিপরীত কি আবার একটি অপ্রকৃত ভগ্নাংশ হবে? অতএব, আমরা বলতে পারি যে

$ \begin{aligned} & 1 \div \frac{1}{2}=1 \times \frac{2}{1}=1 \times \text{ এর বিপরীত } \frac{1}{2} \\ & 3 \div \frac{1}{4}=3 \times \frac{4}{1}=3 \times \text{ এর বিপরীত } \frac{1}{4} \\ & 3 \div \frac{1}{2}=—-=—- \end{aligned} $

সুতরাং, $2 \div \frac{3}{4}=2 \times$ $\frac{3}{4}=2 \times \frac{4}{3}$ এর বিপরীত।

$ 5 \div \frac{2}{9}=5 \times \text{————— }=5 \times $

এইভাবে, যেকোনো ভগ্নাংশ দ্বারা একটি পূর্ণ সংখ্যাকে ভাগ করতে, সেই পূর্ণ সংখ্যাটিকে সেই ভগ্নাংশের বিপরীত দ্বারা গুণ করুন।

এগুলি চেষ্টা করুন

নির্ণয় করুন: (i) $7 \div \frac{2}{5}\quad$(ii) $6 \div \frac{4}{7}\quad$(iii) $2 \div \frac{8}{9}$

• একটি পূর্ণ সংখ্যাকে একটি মিশ্র ভগ্নাংশ দ্বারা ভাগ করার সময়, প্রথমে মিশ্র ভগ্নাংশটিকে অপ্রকৃত ভগ্নাংশে রূপান্তর করুন এবং তারপর সমাধান করুন।

এইভাবে, $4 \div 2 \frac{2}{5}=4 \div \frac{12}{5}=? \quad$ এছাড়াও, $5 \div 3 \frac{1}{3}=3 \div \frac{10}{3}=$ ?

এগুলি চেষ্টা করুন

নির্ণয় করুন: (i) $6 \div 5 \frac{1}{3}\quad$(ii) $7 \div 2 \frac{4}{7}$

২.২.২ একটি পূর্ণ সংখ্যা দ্বারা একটি ভগ্নাংশের ভাগ

• $\frac{3}{4} \div 3$ কত হবে?

আমাদের আগের পর্যবেক্ষণের উপর ভিত্তি করে আমরা পাই: $\frac{3}{4} \div 3=\frac{3}{4} \div \frac{3}{1}=\frac{3}{4} \times \frac{1}{3}=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$

সুতরাং, $\frac{2}{3} \div 7=\frac{2}{3} \times \frac{1}{7}=\quad$ ? $\frac{5}{7} \div 6, \frac{2}{7} \div 8$ কত?

• মিশ্র ভগ্নাংশকে পূর্ণ সংখ্যা দ্বারা ভাগ করার সময়, মিশ্র ভগ্নাংশগুলিকে অপ্রকৃত ভগ্নাংশে রূপান্তর করুন। অর্থাৎ,

$ 2 \frac{2}{3} \div 5=\frac{8}{3} \div 5=—–\quad 4 \frac{2}{5} \div 3=—-=—-; 2 \frac{3}{5} \div 2=—–= $

২.২.৩ একটি ভগ্নাংশ দ্বারা অন্য একটি ভগ্নাংশের ভাগ

আমরা এখন $\frac{1}{3} \div \frac{6}{5}$ বের করতে পারি।

$ \frac{1}{3} \div \frac{6}{5}=\frac{1}{3} \times \text{ এর বিপরীত } \frac{6}{5}=\frac{1}{3} \times \frac{5}{6}=\frac{5}{18} $

একইভাবে, $\frac{8}{5} \div \frac{2}{3}=\frac{8}{5} \times$ $\frac{2}{3}=$ এর বিপরীত?

এবং, $\frac{1}{2} \div \frac{3}{4}=$ ?

এগুলি চেষ্টা করুন

নির্ণয় করুন: (i) $\frac{3}{5} \div \frac{1}{2}$

(ii) $\frac{1}{2} \div \frac{3}{5}$

(iii) $2 \frac{1}{2} \div \frac{3}{5}$

(iv) $5 \frac{1}{6} \div \frac{9}{2}$

অনুশীলনী ২.৩

১. নির্ণয় করুন:

(i) $12 \div \frac{3}{4}$

(ii) $14 \div \frac{5}{6}$

(iii) $8 \div \frac{7}{3}$

(iv) $4 \div \frac{8}{3}$

(v) $3 \div 2 \frac{1}{3}$

(vi) $5 \div 3 \frac{4}{7}$

২. নিম্নলিখিত ভগ্নাংশগুলির প্রতিটির বিপরীত নির্ণয় করুন। বিপরীতগুলিকে প্রকৃত ভগ্নাংশ, অপ্রকৃত ভগ্নাংশ এবং পূর্ণ সংখ্যা হিসাবে শ্রেণীবদ্ধ করুন।

(i) $\frac{3}{7}$

(ii) $\frac{5}{8}$

(iii) $\frac{9}{7}$

(iv) $\frac{6}{5}$

(v) $\frac{12}{7}$

(vi) $\frac{1}{8}$

(vii) $\frac{1}{11}$

৩. নির্ণয় করুন:

(i) $\frac{7}{3} \div 2$

(ii) $\frac{4}{9} \div 5$

(iii) $\frac{6}{13} \div 7$

(iv) $4 \frac{1}{3} \div 3$

(v) $3 \frac{1}{2} \div 4$

(vi) $4 \frac{3}{7} \div 7$

৪. নির্ণয় করুন:

(i) $\frac{2}{5} \div \frac{1}{2}$

(ii) $\frac{4}{9} \div \frac{2}{3}$

(iii) $\frac{3}{7} \div \frac{8}{7}$

(iv) $2 \frac{1}{3} \div \frac{3}{5}$

(v) $3 \frac{1}{2} \div \frac{8}{3}$

(vi) $\frac{2}{5} \div 1 \frac{1}{2}$

(vii) $3 \frac{1}{5} \div 1 \frac{2}{3}$

(viii) $2 \frac{1}{5} \div 1 \frac{1}{5}$

২.৩ দশমিক সংখ্যার গুণ

রেশমা $1.5 kg$ সবজি কিনেছে ₹ $8.50 per kg$ হারে। তাকে কত টাকা দিতে হবে? নিশ্চয়ই এটি হবে $₹(8.50 \times 1.50)$। 8.5 এবং 1.5 উভয়ই দশমিক সংখ্যা। সুতরাং, আমরা এমন একটি পরিস্থিতির সম্মুখীন হয়েছি যেখানে আমাদের জানা প্রয়োজন কিভাবে দুটি দশমিক গুণ করতে হয়। আসুন এখন দুটি দশমিক সংখ্যার গুণ শিখি।

প্রথমে আমরা $0.1 \times 0.1$ বের করি।

এখন, $0.1=\frac{1}{10}$। সুতরাং, $0.1 \times 0.1=\frac{1}{10} \times \frac{1}{10}=$ $\frac{1 \times 1}{10 \times 10}=\frac{1}{100}=0.01$।

আসুন এর চিত্রিত উপস্থাপনা দেখি (চিত্র ২.১৩) ভগ্নাংশ $\frac{1}{10}$ 10 টি সমান অংশের মধ্যে 1 অংশ নির্দেশ করে।

চিত্র ২.১৩

ছবিতে ছায়াযুক্ত অংশ $\frac{1}{10}$ নির্দেশ করে।

আমরা জানি যে,

$\frac{1}{10} \times \frac{1}{10}$ মানে $\frac{1}{10}$ এর $\frac{1}{10}$। সুতরাং, এই $\frac{1}{10}$ অংশটিকে 10 টি সমান অংশে ভাগ করুন এবং এর মধ্যে একটি অংশ বের করুন।

এইভাবে, আমরা পাই, (চিত্র ২.১৪)।

বিন্দুযুক্ত বর্গক্ষেত্রটি $\frac{1}10^{\text{th }}$ অংশের 10 ভাগের 1 অংশ। অর্থাৎ, এটি $\frac{1}{10} \times \frac{1}{10}$ বা $0.1 \times 0.1$ নির্দেশ করে।

বিন্দুযুক্ত বর্গক্ষেত্রটিকে কি অন্য কোনভাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে?

চিত্র ২.১৪-এ আপনি কতগুলি ছোট বর্গক্ষেত্র দেখতে পাচ্ছেন?

100 টি ছোট বর্গক্ষেত্র আছে। সুতরাং বিন্দুযুক্ত বর্গক্ষেত্রটি 100 এর মধ্যে 1 বা 0.01 নির্দেশ করে।

সুতরাং, $0.1 \times 0.1=0.01$।

লক্ষ্য করুন যে 0.1 গুণফলে দুইবার ঘটেছে। 0.1-এ দশমিক বিন্দুর ডানদিকে একটি অঙ্ক আছে। 0.01-এ দশমিক বিন্দুর ডানদিকে দুটি অঙ্ক (অর্থাৎ $1+1$) আছে।

আসুন এখন $0.2 \times 0.3$ বের করি।

আমাদের আছে, $0.2 \times 0.3=\frac{2}{10} \times \frac{3}{10}$

যেভাবে আমরা