2.1 భిన్నాల గుణకారం

మీకు దీర్ఘచతురస్రం యొక్క వైశాల్యం ఎలా కనుక్కోవాలో తెలుసు. ఇది పొడవు $\times$ వెడల్పుకు సమానం. ఒక దీర్ఘచతురస్రం యొక్క పొడవు మరియు వెడల్పు వరుసగా $7 cm$ మరియు $4 cm$ అయితే, దాని వైశాల్యం ఎంత అవుతుంది? దాని వైశాల్యం $7 \times 4=28 cm^{2}$ అవుతుంది.

దీర్ఘచతురస్రం యొక్క పొడవు మరియు వెడల్పు వరుసగా $7 \frac{1}{2} cm$ మరియు $3 \frac{1}{2} cm$ అయితే దాని వైశాల్యం ఎంత అవుతుంది? మీరు అది $7 \frac{1}{2} \times 3 \frac{1}{2}=\frac{15}{2} \times \frac{7}{2} cm^{2}$ అవుతుంది అని చెప్పుతారు. సంఖ్యలు $\frac{15}{2}$

మరియు $\frac{7}{2}$ భిన్నాలు. ఇచ్చిన దీర్ఘచతురస్రం యొక్క వైశాల్యాన్ని లెక్కించడానికి, భిన్నాలను ఎలా గుణించాలో తెలుసుకోవాలి. మనం ఇప్పుడు దానిని నేర్చుకుందాం.

2.1.1 ఒక భిన్నాన్ని పూర్ణ సంఖ్యతో గుణించడం

Fig 2.1

ఎడమవైపు (Fig 2.1) ఉన్న చిత్రాలను గమనించండి. ప్రతి నీడ పాటు చేయబడిన భాగం ఒక వృత్తంలో $\frac{1}{4}$ వంతు. రెండు నీడ పాటు చేయబడిన భాగాలు కలిసి ఎంత సూచిస్తాయి? అవి $\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=2 \times \frac{1}{4}$ ను సూచిస్తాయి.

రెండు నీడ పాటు చేయబడిన భాగాలను కలిపితే, మనకు Fig 2.2 వస్తుంది. Fig 2.2 లోని నీడ పాటు చేయబడిన భాగం ఒక వృత్తంలో ఎంత వంతును సూచిస్తుంది? ఇది వృత్తంలో $\frac{2}{4}$ వంతును సూచిస్తుంది.

Fig 2.2

Fig 2.1 లోని నీడ పాటు చేయబడిన భాగాలు కలిసి Fig 2.2 లోని నీడ పాటు చేయబడిన భాగానికి సమానం, అంటే, మనకు Fig 2.3 వస్తుంది.

Fig 2.3

లేదా

$ 2 \times \frac{1}{4}=\frac{2}{4} . $

ఈ చిత్రం ఏమి సూచిస్తుందో ఇప్పుడు మీరు చెప్పగలరా? (Fig 2.4)

Fig 2.4

మరియు ఇది? (Fig 2.5)

Fig 2.5

ఇప్పుడు $3 \times \frac{1}{2}$ ని కనుక్కోండి.

మనకు ఉంది

$3 \times \frac{1}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$

మనకు ఇంకా ఉంది

$ \frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=\frac{1+1+1}{2}=\frac{3 \times 1}{2}=\frac{3}{2} $

కాబట్టి

$ 3 \times \frac{1}{2}=\frac{3 \times 1}{2}=\frac{3}{2} $

అదేవిధంగా

$ \frac{2}{3} \times 5=\frac{2 \times 5}{3}=? $

మీరు చెప్పగలరా

$ 3 \times \frac{2}{7}=? \quad 4 \times \frac{3}{5}=? $

మనం ఇప్పటివరకు పరిగణించిన భిన్నాలు, అంటే, $\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{2}{7}$ మరియు $\frac{3}{5}$ సరైన భిన్నాలు.

అపరిమిత భిన్నాలకు కూడా మనకు ఉంది,

ప్రయత్నించండి,

$ \begin{aligned} & 2 \times \frac{5}{3}=\frac{2 \times 5}{3}=\frac{10}{3} \\ & 3 \times \frac{8}{7}=? 4 \times \frac{7}{5}=? \end{aligned} $

అందువల్ల, ఒక పూర్ణ సంఖ్యను సరైన లేదా అపరిమిత భిన్నంతో గుణించడానికి, మనం భిన్నం యొక్క హారంను అలాగే ఉంచి, పూర్ణ సంఖ్యను భిన్నం యొక్క లవంతో గుణిస్తాము.

ప్రయత్నించండి

1. కనుక్కోండి: (a) $\frac{2}{7} \times 3$

(b) $\frac{9}{7} \times 6$

(c) $3 \times \frac{1}{8}$

(d) $\frac{13}{11} \times 6$

గుణలబ్ధం ఒక అపరిమిత భిన్నం అయితే దానిని మిశ్రమ భిన్నంగా వ్యక్తపరచండి.

2. చిత్రాల ద్వారా సూచించండి: $2 \times \frac{2}{5}=\frac{4}{5}$

ప్రయత్నించండి

కనుక్కోండి: (i) $5 \times 2 \frac{3}{7}$

(ii) $1 \frac{4}{9} \times 6$

ఒక మిశ్రమ భిన్నాన్ని పూర్ణ సంఖ్యతో గుణించడానికి, ముందుగా మిశ్రమ భిన్నాన్ని అపరిమిత భిన్నంగా మార్చి, ఆపై గుణించండి.

కాబట్టి, $\quad 3 \times 2 \frac{5}{7}=3 \times \frac{19}{7}=\frac{57}{7}=8 \frac{1}{7}$.

అదేవిధంగా, $\quad 2 \times 4 \frac{2}{5}=2 \times \frac{22}{5}=$ ?

ఒక ఆపరేటర్గా భిన్నం ‘యొక్క’

ఈ చిత్రాలను గమనించండి (Fig 2.6)

రెండు చతురస్రాలు సరిగ్గా ఒకేలా ఉన్నాయి.

ప్రతి నీడ పాటు చేయబడిన భాగం 1 లో $\frac{1}{2}$ ని సూచిస్తుంది.

కాబట్టి, రెండు నీడ పాటు చేయబడిన భాగాలు కలిసి 2 లో $\frac{1}{2}$ ని సూచిస్తాయి.

2 నీడ పాటు చేయబడిన $\frac{1}{2}$ భాగాలను కలపండి. ఇది 1 ని సూచిస్తుంది.

కాబట్టి, మనం చెప్పుతాము 2 లో $\frac{1}{2}$ 1. మనం దానిని $\frac{1}{2} \times 2=1$ గా కూడా పొందవచ్చు.

అందువలన, $\frac{1}{2}$ యొక్క $2=\frac{1}{2} \times 2=1$

Fig 2.6

ఇంకా, ఈ సమాన చతురస్రాలను చూడండి (Fig 2.7).

ప్రతి నీడ పాటు చేయబడిన భాగం 1 లో $\frac{1}{2}$ ని సూచిస్తుంది.

కాబట్టి, మూడు నీడ పాటు చేయబడిన భాగాలు 3 లో $\frac{1}{2}$ ని సూచిస్తాయి.

3 నీడ పాటు చేయబడిన భాగాలను కలపండి.

ఇది $1 \frac{1}{2}$ ని సూచిస్తుంది, అంటే, $\frac{3}{2}$.

కాబట్టి, 3 లో $\frac{1}{2}$ $\frac{3}{2}$. ఇంకా, $\frac{1}{2} \times 3=\frac{3}{2}$.

Fig 2.7

అందువలన, $\frac{1}{2}$ యొక్క $3=\frac{1}{2} \times 3=\frac{3}{2}$.

కాబట్టి ‘యొక్క’ గుణకారాన్ని సూచిస్తుంది అని మనం చూస్తాము.

ఫరీదా వద్ద 20 గోళీలు ఉన్నాయి. రేష్మా వద్ద ఫరీదా వద్ద ఉన్న గోళీల సంఖ్యలో $\frac{1}{5}$ వ వంతు ఉంది. రేష్మా వద్ద ఎన్ని గోళీలు ఉన్నాయి? ‘యొక్క’ గుణకారాన్ని సూచిస్తుంది కాబట్టి, రేష్మా వద్ద $\frac{1}{5} \times 20=4$ గోళీలు ఉన్నాయి.

అదేవిధంగా, మనకు 16 లో $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{2} \times 16=\frac{16}{2}=8$.

ప్రయత్నించండి

మీరు చెప్పగలరా, (i) $\frac{1}{2}$ యొక్క $10 ?$, (ii) $\frac{1}{4}$ యొక్క $16 ?$, (iii) $\frac{2}{5}$ యొక్క $25 ?$ ఏమిటి?

ఉదాహరణ 1 40 మంది విద్యార్థులున్న తరగతిలో $\frac{1}{5}$ మంది విద్యార్థులు ఇంగ్లీష్ చదవడానికి ఇష్టపడతారు, $\frac{2}{5}$ మంది విద్యార్థులు గణితం చదవడానికి ఇష్టపడతారు మరియు మిగిలిన విద్యార్థులు సైన్స్ చదవడానికి ఇష్టపడతారు.

(i) ఎంత మంది విద్యార్థులు ఇంగ్లీష్ చదవడానికి ఇష్టపడతారు?

(ii) ఎంత మంది విద్యార్థులు గణితం చదవడానికి ఇష్టపడతారు?

(iii) మొత్తం విద్యార్థులలో ఎంత భిన్నం సైన్స్ చదవడానికి ఇష్టపడతారు?

సాధన

తరగతిలో మొత్తం విద్యార్థుల సంఖ్య $=40$.

(i) వీటిలో $\frac{1}{5}$ మంది విద్యార్థులు ఇంగ్లీష్ చదవడానికి ఇష్టపడతారు.

అందువలన, ఇంగ్లీష్ చదవడానికి ఇష్టపడే విద్యార్థుల సంఖ్య $=\frac{1}{5}$ యొక్క $40=\frac{1}{5} \times 40=8$.

(ii) మీరే ప్రయత్నించండి.

(iii) ఇంగ్లీష్ మరియు గణితం చదవడానికి ఇష్టపడే విద్యార్థుల సంఖ్య $=8+16=24$. అందువలన, సైన్స్ చదవడానికి ఇష్టపడే విద్యార్థుల సంఖ్య $=40-24=16$.

అందువలన, కావలసిన భిన్నం $\frac{16}{40}$.

అభ్యాసం 2.1

1. ఏ డ్రాయింగ్లు (a) నుండి (d) వరకు క్రింది వాటిని చూపుతాయి:

(i) $2 \times \frac{1}{5}$

(ii) $2 \times \frac{1}{2}$

(iii) $3 \times \frac{2}{3}$

(iv) $3 \times \frac{1}{4}$

(a)

(b)

(c)

(d)

2. కొన్ని చిత్రాలు (a) నుండి (c) క్రింద ఇవ్వబడ్డాయి. వాటిలో ఏవి క్రింది వాటిని చూపుతాయో చెప్పండి:

(i) $3 \times \frac{1}{5}=\frac{3}{5}$

(ii) $2 \times \frac{1}{3}=\frac{2}{3}$

(iii) $3 \times \frac{3}{4}=2 \frac{1}{4}$

(a)

(b)

(c)

3. గుణించి, తక్కువ రూపానికి తగ్గించి, మిశ్రమ భిన్నంగా మార్చండి:

(i) $7 \times \frac{3}{5}$

(ii) $4 \times \frac{1}{3}$

(iii) $2 \times \frac{6}{7}$

(iv) $5 \times \frac{2}{9}$

(v) $\frac{2}{3} \times 4$

(vi) $\frac{5}{2} \times 6$

(vii) $11 \times \frac{4}{7}$

(viii) $20 \times \frac{4}{5}$

(ix) $13 \times \frac{1}{3}$

(x) $15 \times \frac{3}{5}$

4. నీడ పాటు చేయండి: (i) బాక్స్ (a) లోని వృత్తాలలో $\frac{1}{2}$ (ii) బాక్స్ (b) లోని త్రిభుజాలలో $\frac{2}{3}$

(iii) బాక్స్ (c) లోని చతురస్రాలలో $\frac{3}{5}$.

(a)

(b)

(c)

5. కనుక్కోండి:

(a) $\frac{1}{2}$ యొక్క (i) 24 (ii) 46

(b) $\frac{2}{3}$ యొక్క (i) 18 (ii) 27

(c) $\frac{3}{4}$ యొక్క (i) 16 (ii) 36

(d) $\frac{4}{5}$ యొక్క (i) 20 (ii) 35

6. గుణించి, మిశ్రమ భిన్నంగా వ్యక్తపరచండి :

(a) $3 \times 5 \frac{1}{5}$

(b) $5 \times 6 \frac{3}{4}$

(c) $7 \times 2 \frac{1}{4}$

(d) $4 \times 6 \frac{1}{3}$

(e) $3 \frac{1}{4} \times 6$

(f) $3 \frac{2}{5} \times 8$

7. కనుక్కోండి: (a) $\frac{1}{2}$ యొక్క (i) $2 \frac{3}{4}$ (ii) $4 \frac{2}{9}$

(b) $\frac{5}{8}$ యొక్క (i) $3 \frac{5}{6}$ (ii) $9 \frac{2}{3}$

8. విద్య మరియు ప్రతాప్ పిక్నిక్కు వెళ్లారు. వారి తల్లి వారికి 5 లీటర్ల నీరు ఉన్న ఒక వాటర్ బాటిల్ ఇచ్చారు. విద్య ఆ నీటిలో $\frac{2}{5}$ వ వంతు తాగింది. ప్రతాప్ మిగిలిన నీటిని తాగాడు.

(i) విద్య ఎంత నీరు తాగింది?

(ii) ప్రతాప్ మొత్తం నీటి పరిమాణంలో ఎంత భిన్నం తాగాడు?

2.1.2 ఒక భిన్నాన్ని మరొక భిన్నంతో గుణించడం

ఫరీదా వద్ద $9 cm$ పొడవు ఉన్న రిబ్బన్ స్ట్రిప్ ఉంది. ఆమె ఈ స్ట్రిప్ను నాలుగు సమాన భాగాలుగా కత్తిరించింది. ఆమె అది ఎలా చేసింది? ఆమె స్ట్రిప్ను రెండుసార్లు మడిచింది. మొత్తం పొడవులో ప్రతి భాగం ఎంత భిన్నాన్ని సూచిస్తుంది?

ప్రతి భాగం స్ట్రిప్లో $\frac{9}{4}$ వ వంతు అవుతుంది. ఆమె ఒక భాగాన్ని తీసుకుని, ఆ భాగాన్ని ఒకసారి మడచి రెండు సమాన భాగాలుగా విభజించింది. ముక్కలలో ఒకటి ఏమి సూచిస్తుంది? ఇది $\frac{1}{2}$ యొక్క $\frac{9}{4}$ లేదా $\frac{1}{2} \times \frac{9}{4}$ ని సూచిస్తుంది.

ఇప్పుడు $\frac{1}{2} \times \frac{9}{4}$ వంటి రెండు భిన్నాల గుణలబ్ధాన్ని ఎలా కనుగొనాలో చూద్దాం.

Fig 2.8

Fig 2.9

దీన్ని చేయడానికి మనం ముందుగా $\frac{1}{2} \times \frac{1}{3}$ వంటి గుణలబ్ధాలను కనుగొనడం నేర్చుకుందాం.

(a) మొత్తంలో $\frac{1}{3}$ ని మనం ఎలా కనుగొంటాము? మనం మొత్తాన్ని మూడు సమాన భాగాలుగా విభజిస్తాము. ఈ మూడు భాగాలలో ప్రతి ఒక్కటి మొత్తంలో $\frac{1}{3}$ వ వంతును సూచిస్తుంది. ఈ మూడు భాగాలలో ఒక భాగాన్ని తీసుకుని, Fig 2.8 లో చూపినట్లుగా నీడ పాటు చేయండి.

(b) ఈ నీడ పాటు చేయబడిన భాగంలో $\frac{1}{2}$ ని మీరు ఎలా కనుగొంటారు? ఈ మూడవ వంతు $(\frac{1}{3})$ నీడ పాటు చేయబడిన భాగాన్ని రెండు సమాన భాగాలుగా విభజించండి. ఈ రెండు భాగాలలో ప్రతి ఒక్కటి $\frac{1}{2}$ యొక్క $\frac{1}{3}$ ని సూచిస్తుంది, అంటే, $\frac{1}{2} \times \frac{1}{3}$ (Fig 2.9).

ఈ రెండింటిలో 1 భాగాన్ని తీసి దానికి ‘A’ అని పేరు పెట్టండి. ‘A’ $\frac{1}{2} \times \frac{1}{3}$ ని సూచిస్తుంది.

(c) ‘A’ మొత్తంలో ఎంత భిన్నం? దీని కోసం, మిగిలిన ప్రతి $\frac{1}{3}$ భాగాలను కూడా రెండు సమాన భాగాలుగా విభజించండి. మీ వద్ద ఇప్పుడు ఎన్ని అటువంటి సమాన భాగాలు ఉన్నాయి?

అలాంటి ఆరు సమాన భాగాలు ఉన్నాయి. ‘A’ ఈ భాగాలలో ఒకటి.

కాబట్టి, ‘$A$’ మొత్తంలో $\frac{1}{6}$. అందువలన, $\frac{1}{2} \times \frac{1}{3}=\frac{1}{6}$.

‘$A$’ మొత్తంలో $\frac{1}{6}$ అని మనం ఎలా నిర్ణయించాము? మొత్తం $6=2 \times 3$ భాగాలుగా విభజించబడింది మరియు దాని నుండి $1=1 \times 1$ భాగం తీసుకోబడింది.

అందువలన,

$ \begin{aligned} & \frac{1}{2} \times \frac{1}{3}=\frac{1}{6}=\frac{1 \times 1}{2 \times 3} \\ & \frac{1}{2} \times \frac{1}{3}=\frac{1 \times 1}{2 \times 3} \end{aligned} $

$\frac{1}{3} \times \frac{1}{2}$ యొక్క విలువను కూడా ఇదే విధంగా కనుగొనవచ్చు. మొత్తాన్ని రెండు సమాన భాగాలుగా విభజించి, ఆపై ఈ భాగాలలో ఒకదాన్ని మూడు సమాన భాగాలుగా విభజించండి. ఈ భాగాలలో ఒకదాన్ని తీసుకోండి. ఇది $\frac{1}{3} \times \frac{1}{2}$ ని సూచిస్తుంది, అంటే, $\frac{1}{6}$.

కాబట్టి

$ \frac{1}{3} \times \frac{1}{2}=\frac{1}{6}=\frac{1 \times 1}{3 \times 2} \text{ as discussed earlier. } $

అందువలన

$ \frac{1}{2} \times \frac{1}{3}=\frac{1}{3} \times \frac{1}{2}=\frac{1}{6} $

$\frac{1}{3} \times \frac{1}{4}$ మరియు $\frac{1}{4} \times \frac{1}{3} ; \frac{1}{2} \times \frac{1}{5}$ మరియు $\frac{1}{5} \times \frac{1}{2}$ ని కనుక్కోండి మరియు మీరు పొందేది

$ \frac{1}{3} \times \frac{1}{4}=\frac{1}{4} \times \frac{1}{3} ; \frac{1}{2} \times \frac{1}{5}=\frac{1}{5} \times \frac{1}{2} $

అని తనిఖీ చేయండి.

ప్రయత్నించండి

ఈ బాక్స్లను పూరించండి: (i) $\frac{1}{2} \times \frac{1}{7}=\frac{1 \times 1}{2 \times 7}=\square \qquad$ (ii) $\frac{1}{5} \times \frac{1}{7}=\square=\square$

(iii) $\frac{1}{7} \times \frac{1}{2}=\square=\square \qquad$ (iv) $\frac{1}{7} \times \frac{1}{5}=\square=\square$

ఉదాహరణ 2 సుశాంత్ 1 గంటలో ఒక పుస్తకంలో $\frac{1}{3}$ వ వంతు చదువుతాడు. $2 \frac{1}{5}$ గంటల్లో అతను పుస్తకంలో ఎంత భాగం చదువుతాడు?

సాధన

సుశాంత్ 1 గంటలో చదివిన పుస్తక భాగం $=\frac{1}{3}$.

కాబట్టి, $2 \frac{1}{5}$ గంటల్లో అతను చదివిన పుస్తక భాగం $=2 \frac{1}{5} \times \frac{1}{3}$

$ =\frac{11}{5} \times \frac{1}{3}=\frac{11 \times 1}{5 \times 3}=\frac{11}{15} $

ఇప్పుడు $\frac{1}{2} \times \frac{5}{3}$ ని కనుక్కోండి. మనకు తెలుసు $\frac{5}{3}=\frac{1}{3} \times 5$.

$ \text{ So, } \frac{1}{2} \times \frac{5}{3}=\frac{1}{2} \times \frac{1}{3} \times 5=\frac{1}{6} \quad 5=\frac{5}{6} $

ఇంకా, $\frac{5}{6}=\frac{1 \times 5}{2 \times 3}$. అందువలన, $\frac{1}{2} \times \frac{5}{3}=\frac{1 \times 5}{2 \times 3}=\frac{5}{6}$.

ఇది క్రింద గీయబడిన చిత్రాల ద్వారా కూడా చూపబడింది. ఈ ఐదు సమాన ఆకారాలలో (Fig 2.10) ప్రతి ఒక్కటి ఐదు సమాన వృత్తాల భాగాలు. అలాంటి ఒక ఆకారాన్ని తీసుకోండి. ఈ ఆకారాన్ని పొందడానికి మనం ముందుగా ఒక వృత్తాన్ని మూడు సమాన భాగాలుగా విభజిస్తాము. ఈ మూడు భాగాలలో ప్రతి ఒక్కటి రెండు సమాన భాగాలుగా విభజించండి. దాని నుండి ఒక భాగం మనం పరిగణించిన ఆకారం. ఇది ఏమి సూచిస్తుంది?

ఇది $\frac{1}{2} \times \frac{1}{3}=\frac{1}{6}$ ని సూచిస్తుంది. అలాంటి భాగాల మొత్తం $5 \times \frac{1}{6}=\frac{5}{6}$ అవుతుంది.

ప్రయత్నించండి

కనుక్కోండి: $\frac{1}{3} \times \frac{4}{5} ; \frac{2}{3} \times \frac{1}{5}$

అదేవిధంగా $ \quad \frac{3}{5} \times \frac{1}{7}=\frac{3 \times 1}{5 \times 7}=\frac{3}{35} . $

అందువలన మనం $\frac{2}{3} \times \frac{7}{5}$ ని $\frac{2}{3} \times \frac{7}{5}=\frac{2 \times 7}{3 \times 5}=\frac{14}{15}$ గా కనుగొనవచ్చు.

కాబట్టి, మనం రెండు భిన్నాలను $\frac{\text{ Product of Numerators }}{\text{ Product of Denominators }}$ గా గుణిస్తాము అని మనం కనుగొంటాము.

ప్రయత్నించండి

కనుక్కోండి: $\frac{8}{3} \times \frac{4}{7} ; \frac{3}{4} \times \frac{2}{3}$.

గుణలబ్ధాల విలువ

రెండు పూర్ణ సంఖ్యల గుణలబ్ధం ఆ రెండు పూర్ణ సంఖ్యలలో ప్రతి ఒక్కటి కంటే పెద్దదిగా ఉంటుందని మీరు చూశారు. ఉదాహరణకు, $3 \times 4=12$ మరియు $12>4,12>3$. మనం రెండు భిన్నాలను గుణించినప్పుడు గుణలబ్ధం యొక్క విలువకు ఏమి జరుగుతుంది?

ముందుగా రెండు సరైన భిన్నాల గుణలబ్ధాన్ని పరిగణిద్దాం.

మనకు ఉంది,

రెండు సరైన భిన్నాలు గుణించబడినప్పుడు, గుణలబ్ధం ఆ రెండు భిన్నాలలో ప్రతి ఒక్కటి కంటే తక్కువగా ఉంటుందని మీరు కనుగొంటారు. లేదా, రెండు సరైన భిన్నాల గుణలబ్ధం యొక్క విలువ ఆ రెండు భిన్నాలలో ప్రతి ఒక్కటి కంటే చిన్నదిగా ఉంటుంది అని చెప్పుతాము.

మరో ఐదు ఉదాహరణలను తయారు చేసి దీన్ని తనిఖీ చేయండి.

ఇప్పుడు రెండు అపరిమిత భిన్నాలను గుణిద్దాం.

రెండు అపరిమిత భిన్నాల గుణలబ్ధం ఆ రెండు భిన్నాలలో ప్రతి ఒక్కటి కంటే ఎక్కువగా ఉంటుందని మనం కనుగొంటాము.

లేదా, రెండు అపరిమిత భిన్నాల గుణలబ్ధం యొక్క విలువ ఆ రెండు భిన్నాలలో ప్రతి ఒక్కటి కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది.

మీ కోసం మరో ఐదు ఉదాహరణలను తయారు చేసి పైన చెప్పిన ప్రకటనను ధృవీకరించండి.

ఇప్పుడు ఒక సరైన మరియు ఒక అపరిమిత భిన్నాన్ని గుణిద్దాం, $\frac{2}{3}$ మరియు $\frac{7}{5}$ అనుకోండి.

మనకు ఉంది $\quad \frac{2}{3} \times \frac{7}{5}=\frac{14}{15}$. ఇక్కడ, $\frac{14}{15}<\frac{7}{5}$ మరియు $\frac{14}{15}>\frac{2}{3}$

పొందిన గుణలబ్ధం అపరిమిత భిన్నం కంటే తక్కువ మరియు గుణకారంలో పాల్గొన్న సరైన భిన్నం కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది.

దీన్ని $\frac{6}{5} \times \frac{2}{8}, \frac{8}{3} \times \frac{4}{5}$ కోసం తనిఖీ చేయండి.

అభ్యాసం 2.2

1. కనుక్కోండి:

(i) $\frac{1}{4}$ యొక్క $\quad$(a) $\frac{1}{4}$ $\quad$ (b) $\frac{3}{5}$(c) $\quad$ $\frac{4}{3}$

(ii) $\frac{1}{7}$ యొక్క $\quad$ (a) $\frac{2}{9}$ $\quad$ (b) $\frac{6}{5}$ $\quad$ (c) $\frac{3}{10}$

2. గుణించి, తక్కువ రూపానికి తగ్గించండి (సాధ్యమైతే):

(i) $\frac{2}{3} \times 2 \frac{2}{3}$

(ii) $\frac{2}{7} \times \frac{7}{9}$

(iii) $\frac{3}{8} \times \frac{6}{4}$

(iv) $\frac{9}{5} \times \frac{3}{5}$

(v) $\frac{1}{3} \times \frac{15}{8}$

(vi) $\frac{11}{2} \times \frac{3}{10}$

(vii) $\frac{4}{5} \times \frac{12}{7}$

3. క్రింది భిన్నాలను గుణించండ