৯.১ বৃত্তৰ জ্যাই এটা বিন্দুত দৰ্শোৱা কোণ

আপুনি ইতিমধ্যে ষষ্ঠ শ্ৰেণীত বৃত্ত আৰু ইয়াৰ অংশসমূহৰ বিষয়ে অধ্যয়ন কৰিছে। এডাল ৰেখাখণ্ড $P Q$ আৰু PQ ৰেখাখণ্ডৰ ওপৰত নথকা এটা বিন্দু $R$ লওক। PR আৰু QR সংযোগ কৰক (চিত্ৰ ৯.১ চাওক)। তেতিয়া $\angle \mathrm{PRQ}$ ক ৰেখাখণ্ড $\mathrm{PQ}$ ৰ দ্বাৰা বিন্দু $\mathrm{R}$ ত দৰ্শোৱা কোণ বুলি কোৱা হয়। চিত্ৰ ৯.২ ত POQ, PRQ আৰু PSQ কোণকেইটাক কি বুলি কোৱা হয়? $\angle$ POQ হৈছে কেন্দ্ৰ $\mathrm{O}, \angle \mathrm{PRQ}$ ত জ্যা $\mathrm{PQ}$ ৰ দ্বাৰা দৰ্শোৱা কোণ আৰু $\angle \mathrm{PSQ}$ হৈছে ক্ৰমে $\mathrm{PQ}$ ৰ দ্বাৰা ডাঙৰ আৰু সৰু চাপ $\mathrm{PQ}$ ৰ ওপৰৰ বিন্দু $\mathrm{R}$ আৰু $\mathrm{S}$ ত দৰ্শোৱা কোণ।

চিত্ৰ ৯.১

চিত্ৰ ৯.২

জ্যাডালৰ দৈৰ্ঘ্য আৰু ইয়াৰ দ্বাৰা কেন্দ্ৰত দৰ্শোৱা কোণৰ মাজৰ সম্পৰ্কটো আমি পৰীক্ষা কৰোঁ আহক। আপুনি এটা বৃত্তৰ বিভিন্ন জ্যা আঁকি আৰু কেন্দ্ৰত ইহঁতে দৰ্শোৱা কোণবোৰ জুখি চাই দেখিব পাৰে যে, জ্যাডাল যিমান দীঘল, কেন্দ্ৰত ইয়াৰ দ্বাৰা দৰ্শোৱা কোণটো সিমান ডাঙৰ হ’ব। যদি আপুনি বৃত্তটোৰ দুডাল সমান জ্যা লয়, তেন্তে কি হ’ব? কেন্দ্ৰত দৰ্শোৱা কোণবোৰ একে হ’ব নে নহয়?

বৃত্ত এটাৰ দুডাল বা ততোধিক সমান জ্যা আঁকি কেন্দ্ৰত ইহঁতে দৰ্শোৱা কোণবোৰ জুখি চাওক (চিত্ৰ ৯.৩ চাওক)। আপুনি দেখিব যে কেন্দ্ৰত ইহঁতে দৰ্শোৱা কোণবোৰ সমান। এই কথাটোৰ এটা প্ৰমাণ আমি দিওঁ আহক।

চিত্ৰ ৯.৩

প্ৰমেয় ৯.১ : বৃত্তৰ সমান জ্যাই কেন্দ্ৰত সমান কোণ দৰ্শায়।

প্ৰমাণ : O কেন্দ্ৰযুক্ত বৃত্ত এটাৰ দুডাল সমান জ্যা AB আৰু CD আপুনি দিয়া আছে (চিত্ৰ ৯.৪ চাওক)। আপুনি প্ৰমাণ কৰিব লাগে যে $\angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{COD}$

চিত্ৰ ৯.৪

$\mathrm{AOB}$ আৰু $\mathrm{COD}$ ত্ৰিভুজ দুটাত,

$$ \begin{array}{ll} \mathrm{OA}=\mathrm{OC} & (\text { Radii of a circle }) \\ \mathrm{OB}=\mathrm{OD} & (\text { Radii of a circle }) \\ \mathrm{AB}=\mathrm{CD} & (\text { Given}) \end{array} $$

সেয়েহে

$$ \Delta \mathrm{AOB} \cong \Delta \mathrm{COD} \quad(\mathrm{SSS} \text { rule }) $$

ইয়াত পোৱা যায় $\angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{COD}$

(সৰ্বসম ত্ৰিভুজৰ অনূৰূপ অংশ)

টোকা : সুবিধাৰ বাবে, ‘সৰ্বসম ত্ৰিভুজৰ অনূৰূপ অংশ’ৰ সলনি CPCT সংক্ষিপ্ত ৰূপটো ব্যৱহাৰ কৰা হ’ব, কাৰণ আপুনি দেখিবলৈ পাব, আমি ইয়াক বহুতে ব্যৱহাৰ কৰো।

এতিয়া যদি বৃত্ত এটাৰ দুডাল জ্যাই কেন্দ্ৰত সমান কোণ দৰ্শায়, তেন্তে জ্যাডালৰ বিষয়ে আপুনি কি ক’ব পাৰে? ইহঁত সমান নে নহয়? আমি এইটো তলৰ কাৰ্যৰ দ্বাৰা পৰীক্ষা কৰোঁ আহক:

এখন ট্ৰেচিং কাগজ লৈ তাত এটা বৃত্ত অংকন কৰক। বৃত্তটোৰ কাষেৰে কাটি এটা ডিস্ক পাব। ইয়াৰ কেন্দ্ৰ $\mathrm{O}$ ত, এটা কোণ $\mathrm{AOB}$ অংকন কৰক য’ত $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ বৃত্তটোৰ ওপৰৰ বিন্দু। কেন্দ্ৰত $\angle A O B$ ৰ সমান আন এটা কোণ $\mathrm{POQ}$ অংকন কৰক। ডিস্কটো $A B$ আৰু $P Q$ বৰাবৰ কাটক (চিত্ৰ ৯.৫ চাওক)। আপুনি বৃত্তটোৰ ACB আৰু PRQ নামৰ দুটা খণ্ড পাব। যদি এটাক আনটোৰ ওপৰত থয়, তেন্তে আপুনি কি লক্ষ্য কৰে? ইহঁতে ইজনে সিজনক ঢাকি ধৰে, অৰ্থাৎ ইহঁত সৰ্বসম। $\mathrm{So} \mathrm{AB}=\mathrm{PQ}$।

চিত্ৰ ৯.৫

যদিও আপুনি এই বিশেষ ক্ষেত্ৰটোৰ বাবে ইয়াক দেখিছে, আন সমান কোণবোৰৰ বাবেও চেষ্টা কৰি চাওক। তলৰ প্ৰমেয়টোৰ বাবে জ্যাডালবোৰ সকলো সমান হৈ পৰিব:

প্ৰমেয় ৯.২ : যদি বৃত্ত এটাৰ জ্যাই কেন্দ্ৰত দৰ্শোৱা কোণবোৰ সমান হয়, তেন্তে জ্যাডালবোৰ সমান হয়।

ওপৰৰ প্ৰমেয়টো হৈছে প্ৰমেয় ৯.১ ৰ বিপৰীত। মন কৰক যে চিত্ৰ ৯.৪ ত, যদি আপুনি $\angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{COD}$ লয়, তেন্তে

$\triangle \mathrm{AOB} \cong \triangle \mathrm{COD}$ (কিয়?)

এতিয়া আপুনি দেখিব পাৰেনে যে $\mathrm{AB}=\mathrm{CD}$ ?

৯.২ কেন্দ্ৰৰ পৰা জ্যালৈ লম্ব

কাৰ্য : এখন ট্ৰেচিং কাগজত এটা বৃত্ত আঁকক। ইয়াৰ কেন্দ্ৰ $\mathrm{O}$ হ’ব। এডাল জ্যা AB আঁকক। কাগজখন $\mathrm{O}$ ৰ মাজেৰে যোৱা এডাল ৰেখাৰ বৰাবৰ ভাঁজ কৰক যাতে জ্যাডালৰ এটা অংশ আনটোৰ ওপৰত পৰে। ভাঁজডালে $\mathrm{AB}$ ক বিন্দু $\mathrm{M}$ ত কাটক। তেতিয়া, $\angle \mathrm{OMA}=\angle \mathrm{OMB}=90^{\circ}$ বা $\mathrm{OM}$ AB ৰ লম্ব হ’ব। B বিন্দুটোৱে A ৰ লগত মিলি যায় নে (চিত্ৰ ৯.৬ চাওক)?

হয়, মিলি যাব। গতিকে MA=MB।

চিত্ৰ ৯.৬

$\mathrm{OA}$ আৰু $\mathrm{OB}$ সংযোগ কৰি OMA আৰু OMB সমকোণী ত্ৰিভুজ দুটা সৰ্বসম বুলি প্ৰমাণ কৰি আপুনি এটা প্ৰমাণ দিয়ক। এই উদাহৰণটো তলৰ ফলাফলটোৰ এটা বিশেষ দৃষ্টান্ত:

প্ৰমেয় ৯.৩ : বৃত্ত এটাৰ কেন্দ্ৰৰ পৰা জ্যাডাললৈ টনা লম্বই জ্যাডালক সমদ্বিখণ্ডিত কৰে।

এই প্ৰমেয়টোৰ বিপৰীতটো কি? ইয়াক লিখিবলৈ, প্ৰথমতে প্ৰমেয় ৯.৩ ত কি ধৰা লোৱা হৈছে আৰু কি প্ৰমাণ কৰা হৈছে স্পষ্টকৈ বুজি লওঁ আহক। বৃত্ত এটাৰ কেন্দ্ৰৰ পৰা জ্যাডাললৈ লম্ব টনা হৈছে আৰু ই যে জ্যাডালক সমদ্বিখণ্ডিত কৰে প্ৰমাণ কৰিব লাগে। গতিকে বিপৰীতটোত, ‘যদি কেন্দ্ৰৰ পৰা ওলোৱা এডাল ৰেখাই বৃত্ত এটাৰ জ্যাডালক সমদ্বিখণ্ডিত কৰে’ হৈছে ধাৰণা আৰু ‘ৰেখাডাল জ্যাডালৰ লম্ব’ হৈছে প্ৰমাণ কৰিবলগীয়া। সেয়েহে বিপৰীতটো হ’ল:

প্ৰমেয় ৯.৪ : বৃত্ত এটাৰ কেন্দ্ৰৰ মাজেৰে টনা ৰেখাডালে যদি জ্যাডালক সমদ্বিখণ্ডিত কৰে, তেন্তে ই জ্যাডালৰ লম্ব হয়।

এইটো সত্য নে? কেইটামান ক্ষেত্ৰৰ বাবে চেষ্টা কৰি চাওক। আপুনি দেখিব যে এই ক্ষেত্ৰবোৰৰ বাবে ই সত্য। তলৰ অনুশীলনটো কৰি চাই লওক, সাধাৰণতে ই সত্য হয় নে নহয়। আমি স্তৰবোৰ লিখিম আৰু আপুনি কাৰণবোৰ দিব।

$\mathrm{AB}$ ক কেন্দ্ৰ $\mathrm{O}$ ৰ বৃত্ত এটাৰ জ্যা বুলি ধৰি লওক আৰু $\mathrm{O}$ ক $\mathrm{AB}$ ৰ মধ্যবিন্দু $\mathrm{M}$ লগত সংযোগ কৰা হৈছে। আপুনি প্ৰমাণ কৰিব লাগে যে $\mathrm{OM} \perp \mathrm{AB}$। $\mathrm{OA}$ আৰু $\mathrm{OB}$ সংযোগ কৰক (চিত্ৰ ৯.৭ চাওক)। OAM আৰু OBM ত্ৰিভুজ দুটাত,

$$ \begin{aligned} \mathrm{OA} & =\mathrm{OB}\quad \text{(Why ?)}\\ \mathrm{AM} & =\mathrm{BM}\quad \text{(Why ?)} \\ \mathrm{OM} & =\mathrm{OM}\quad \text{(Common)} \end{aligned} $$

চিত্ৰ ৯.৭

সেয়েহে, $\triangle \mathrm{OAM} \cong \triangle \mathrm{OBM}\quad \text{(How ?)}$

ইয়াত পোৱা যায় $\angle \mathrm{OMA}=\angle \mathrm{OMB}=90^{\circ} \quad$ (কিয়?)

৯.৩ সমান জ্যা আৰু কেন্দ্ৰৰ পৰা ইহঁতৰ দূৰত্ব

$\mathrm{AB}$ ক এডাল ৰেখা আৰু $\mathrm{P}$ ক এটা বিন্দু বুলি ধৰি লওক। ৰেখাডালৰ ওপৰত অসংখ্য বিন্দু থকাৰ বাবে, যদি আপুনি এই বিন্দুবোৰ $\mathrm{P}$ লগত সংযোগ কৰে, তেন্তে আপুনি অসংখ্য ৰেখাখণ্ড $\mathrm{PL_1}, \mathrm{PL_2}, \mathrm{PM}, \mathrm{PL_3}, \mathrm{PL_4}$ আদি পাব। এইবোৰৰ ভিতৰত কোনডাল হ’ব AB ৰ পৰা P ৰ দূৰত্ব? আপুনি অলপ সময় ভাবি উত্তৰটো পাব পাৰে। এই ৰেখাখণ্ডবোৰৰ ভিতৰত, $\mathrm{P}$ ৰ পৰা $\mathrm{AB}$ লৈ টনা লম্ব, অৰ্থাৎ চিত্ৰ ৯.৮ ৰ $\mathrm{PM}$, আটাইতকৈ কম হ’ব। গণিতত, আমি এই আটাইতকৈ কম দৈৰ্ঘ্য $P M$ ক $A B$ ৰ পৰা $P$ ৰ দূৰত্ব বুলি সংজ্ঞায়িত কৰোঁ। গতিকে আপুনি ক’ব পাৰে যে:

চিত্ৰ ৯.৮

বিন্দু এটাৰ পৰা ৰেখাডাললৈ টনা লম্বৰ দৈৰ্ঘ্যই হৈছে ৰেখাডালৰ পৰা বিন্দুটোৰ দূৰত্ব।

মন কৰক যে যদি বিন্দুটো ৰেখাডালৰ ওপৰত থাকে, তেন্তে ৰেখাডালৰ পৰা বিন্দুটোৰ দূৰত্ব শূন্য হয়।

বৃত্ত এটাত অসংখ্য জ্যা থাকিব পাৰে। আপুনি বৃত্ত এটাৰ জ্যা আঁকি চাই লক্ষ্য কৰিব পাৰে যে, দীঘল জ্যাডাল সৰু জ্যাডালতকৈ কেন্দ্ৰৰ ওচৰত থাকে। আপুনি বিভিন্ন দৈৰ্ঘ্যৰ বৃত্ত এটাৰ কেইবাডালো জ্যা আঁকি কেন্দ্ৰৰ পৰা ইহঁতৰ দূৰত্ব জুখি চাই ইয়াক লক্ষ্য কৰিব পাৰে। ব্যাস, যিটো আটাইতকৈ দীঘল জ্যা, কেন্দ্ৰৰ পৰা ইয়াৰ দূৰত্ব কিমান? কেন্দ্ৰটো ইয়াৰ ওপৰত থকাৰ বাবে, দূৰত্ব শূন্য। আপুনি ভাবেনে যে জ্যাডালবোৰৰ দৈৰ্ঘ্য আৰু কেন্দ্ৰৰ পৰা ইহঁতৰ দূৰত্বৰ মাজত কিছুমান সম্পৰ্ক আছে? আহক চাওঁ যদি এইটো সেয়া হয়।

চিত্ৰ ৯.৯

কাৰ্য : এখন ট্ৰেচিং কাগজত যিকোনো ব্যাসাৰ্ধৰ বৃত্ত এটা আঁকক। ইয়াৰ দুডাল সমান জ্যা $\mathrm{AB}$ আৰু $\mathrm{CD}$ আঁকক আৰু কেন্দ্ৰ O ৰ পৰা ইহঁতৰ ওপৰলৈ লম্ব $\mathrm{OM}$ আৰু $\mathrm{ON}$ আঁকক। চিত্ৰখন এনেদৰে ভাঁজ কৰক যাতে D ৰ ওপৰত B পৰে আৰু C ৰ ওপৰত A পৰে [চিত্ৰ ৯.৯ (i) চাওক]। আপুনি লক্ষ্য কৰিব পাৰে যে $\mathrm{O}$ ভাঁজডালৰ ওপৰত থাকে আৰু $\mathrm{N}$ ৰ ওপৰত $\mathrm{M}$ পৰে। সেয়েহে, $\mathrm{OM}=\mathrm{ON}$। কেন্দ্ৰ $\mathrm{O}$ আৰু $\mathrm{O}^{\prime}$ ৰ সৰ্বসম বৃত্ত আঁকি আৰু প্ৰতিটোৰ ওপৰত সমান জ্যা $A B$ আৰু $C D$ লৈ কাৰ্যটো পুনৰাবৃত্তি কৰক। ইহঁতৰ ওপৰলৈ লম্ব $O M$ আৰু $O^{\prime} N$ আঁকক [চিত্ৰ ৯.৯(ii) চাওক]। এটা বৃত্তাকাৰ ডিস্ক কাটি আনটোৰ ওপৰত থওক যাতে $A B$ ৰ লগত $\mathrm{CD}$ মিলি যায়। তেতিয়া আপুনি দেখিব যে $\mathrm{O}$ ৰ লগত $\mathrm{O}^{\prime}$ মিলি যায় আৰু $\mathrm{M}$ ৰ লগত $\mathrm{N}$ মিলি যায়। এইদৰে আপুনি তলৰ কথাটো সত্যাপন কৰিলে:

প্ৰমেয় ৯.৫ : বৃত্ত এটাৰ (বা সৰ্বসম বৃত্তৰ) সমান জ্যাই কেন্দ্ৰ (বা কেন্দ্ৰবোৰ)ৰ পৰা সমদূৰত্বত থাকে।

পৰৱৰ্তী, এই প্ৰমেয়টোৰ বিপৰীতটো সত্য নে নহয় চাবলগীয়া। ইয়াৰ বাবে, O কেন্দ্ৰযুক্ত বৃত্ত এটা আঁকক। কেন্দ্ৰ O ৰ পৰা, সমান দৈৰ্ঘ্যৰ দুডাল ৰেখাখণ্ড OL আৰু OM আঁকক যিবোৰ বৃত্তটোৰ ভিতৰত থাকে [চিত্ৰ ৯.১০(i) চাওক]। তাৰ পিছত বৃত্তটোৰ জ্যা PQ আৰু RS ক্ৰমে OL আৰু OM ৰ লম্বভাৱে আঁকক [চিত্ৰ ৯.১০(ii) চাওক]। PQ আৰু RS ৰ দৈৰ্ঘ্য জুখি চাওক। এইবোৰ বেলেগ নে? নহয়, দুয়োটা সমান। অধিক সমান ৰেখাখণ্ডৰ বাবে কাৰ্যটো পুনৰাবৃত্তি কৰক আৰু ইহঁতৰ লম্বভাৱে জ্যাডাল আঁকক। এইটোৱে প্ৰমেয় ৯.৫ ৰ বিপৰীতটো সত্যাপন কৰে যাক তলত উল্লেখ কৰা হৈছে:

চিত্ৰ ৯.১০

প্ৰমেয় ৯.৬ : বৃত্ত এটাৰ কেন্দ্ৰৰ পৰা সমদূৰত্বত থকা জ্যাডালবোৰ দৈৰ্ঘ্যত সমান হয়। এতিয়া আমি ওপৰৰ ফলাফলবোৰৰ ব্যৱহাৰ বুজাবলৈ এটা উদাহৰণ লওঁ:

উদাহৰণ ১ : যদি বৃত্ত এটাৰ দুডাল ছেদী জ্যাই ইহঁতৰ ছেদবিন্দুৰ মাজেৰে যোৱা ব্যাসৰ সৈতে সমান কোণ কৰে, তেন্তে প্ৰমাণ কৰক যে জ্যাডালবোৰ সমান।

সমাধান : ধৰি লওক যে $\mathrm{AB}$ আৰু $\mathrm{CD}$ কেন্দ্ৰ $\mathrm{O}$ ৰ বৃত্ত এটাৰ দুডাল জ্যা, যিবোৰে বিন্দু $\mathrm{E}$ ত ছেদ কৰে। $\mathrm{PQ}$ হৈছে $\mathrm{E}$ ৰ মাজেৰে যোৱা এডাল ব্যাস, যাতে $\angle \mathrm{AEQ}=\angle \mathrm{DEQ}$ (চিত্ৰ ৯.১১ চাওক)। আপুনি প্ৰমাণ কৰিব লাগে যে $\mathrm{AB}=\mathrm{CD}$। জ্যা $\mathrm{AB}$ আৰু $\mathrm{CD}$ ৰ ওপৰলৈ ক্ৰমে OL আৰু OM লম্ব আঁকক। এতিয়া

চিত্ৰ ৯.১১

$$ \begin{aligned} \angle \mathrm{LOE}= & 180^{\circ}-90^{\circ}-\angle \mathrm{LEO}=90^{\circ}-\angle \mathrm{LEO} \\ & \quad(\text { Angle sum property of a triangle }) \\ = & 90^{\circ}-\angle \mathrm{AEQ}=90^{\circ}-\angle \mathrm{DEQ} \\ = & 90^{\circ}-\angle \mathrm{MEO}=\angle \mathrm{MOE} \end{aligned} $$

OLE আৰু OME ত্ৰিভুজ দুটাত,

$$ \begin{aligned} \angle \mathrm{LEO} & =\angle \mathrm{MEO}\quad \quad \text{(Why ?)} \\ \angle \mathrm{LOE} & =\angle \mathrm{MOE}\quad \quad \text{(Proved above)} \\ \mathrm{EO} & =\mathrm{EO}\quad \quad \text{(Common)} \\ \text{Therefore},\quad\Delta \mathrm{OLE} & \cong \Delta \mathrm{OME}\quad \quad \text{(Why ?)} \\ \text{This gives}\quad\mathrm{OL} & =\mathrm{OM}\quad \quad \text{(CPCT)} \\ \text{ So, }\quad\mathrm{AB} & =\mathrm{CD}\quad \quad \text{(Why?)} \end{aligned} $$

৯.৪ বৃত্তৰ চাপ এডালে দৰ্শোৱা কোণ

আপুনি দেখিছে যে ব্যাস নোহোৱা জ্যা এডালৰ দুয়োটা মূৰে বৃত্তটোক দুটা চাপত ভাগ কৰে - এটা ডাঙৰ আৰু আনটো সৰু। যদি আপুনি দুডাল সমান জ্যা লয়, তেন্তে চাপবোৰৰ আকাৰৰ বিষয়ে আপুনি কি ক’ব পাৰে? প্ৰথম জ্যাডালে কৰা চাপটো আন জ্যাডালে কৰা অনূৰূপ চাপটোৰ সমান নেকি? প্ৰকৃততে, ইহঁত দৈৰ্ঘ্যত সমানতকৈও বেছি। ইহঁত সৰ্বসম এই অৰ্থত যে যদি এটা চাপক নভাঁজাকৈ বা নমৰাকৈ আনটোৰ ওপৰত থোৱা হয়, তেন্তে ই আনটোক সম্পূৰ্ণৰূপে ওপৰঞ্চি কৰে।

আপুনি চাপটো, জ্যা $\mathrm{CD}$ ৰ অনূৰূপ চাপটো, বৃত্তটোৰ পৰা $\mathrm{CD}$ বৰাবৰ কাটি আনি সমান জ্যা AB ৰ দ্বাৰা কৰা অনূৰূপ চাপটোৰ ওপৰত থৈ এই কথাটো সত্যাপন কৰিব পাৰে। আপুনি দেখিব যে চাপ CD ৱে চাপ AB ক সম্পূৰ্ণৰূপে ওপৰঞ্চি কৰে (চিত্ৰ ৯.১৩ চাওক)। ইয়াত দেখুৱাইছে যে সমান জ্যাই সৰ্বসম চাপ সৃষ্টি কৰে আৰু বিপৰীতক্ৰমে সৰ্বসম চাপে বৃত্ত এটাৰ সমান জ্যা সৃষ্টি কৰে। আপুনি ইয়াক তলৰ দৰে ক’ব পাৰে:

চিত্ৰ ৯.১৩

যদি বৃত্ত এটাৰ দুডাল জ্যা সমান হয়, তেন্তে ইহঁতৰ অনূৰূপ চাপবোৰ সৰ্বসম হয় আৰু বিপৰীতক্ৰমে, যদি দুডাল চাপ সৰ্বসম হয়, তেন্তে ইহঁতৰ অনূৰূপ জ্যাডালবোৰ সমান হয়।

আৰু কেন্দ্ৰত চাপ এডালে দৰ্শোৱা কোণক অনূৰূপ জ্যাডালে কেন্দ্ৰত দৰ্শোৱা কোণ বুলি সংজ্ঞায়িত কৰা হয় এই অৰ্থত যে সৰু চাপটোৱে কোণটো দৰ্শায় আৰু ডাঙৰ চাপটোৱে প্ৰতিফলিত কোণটো দৰ্শায়। সেয়েহে, চিত্ৰ ৯.১৪ ত, সৰু চাপ $\mathrm{PQ}$ ৰ দ্বাৰা $\mathrm{O}$ ত দৰ্শোৱা কোণ হৈছে $\angle \mathrm{POQ}$ আৰু ডাঙৰ চাপ $\mathrm{PQ}$ ৰ দ্বাৰা $\mathrm{O}$ ত দৰ্শোৱা কোণ হৈছে প্ৰতিফলিত কোণ POQ।

ওপৰৰ ধৰ্ম আৰু প্ৰমেয় ৯.১ ৰ দৃষ্টিত, তলৰ ফলাফলটো সত্য:

চিত্ৰ ৯.১৪

বৃত্ত এটাৰ সৰ্বসম চাপ (বা সমান চাপ)ই কেন্দ্ৰত সমান কোণ দৰ্শায়।

সেয়েহে, বৃত্ত এটাৰ জ্যা এডালে ইয়াৰ কেন্দ্ৰত দৰ্শোৱা কোণটো হৈছে অনূৰূপ (সৰু) চাপে কেন্দ্ৰত দৰ্শোৱা কোণটোৰ সমান। তলৰ প্ৰমেয়টোৱে কেন্দ্ৰত আৰু বৃত্তটোৰ বাকী অংশৰ যিকোনো বিন্দুত চাপ এডালে দৰ্শোৱা কোণৰ মাজৰ সম্পৰ্ক দিয়ে।

প্ৰমেয় ৯.৭ : কেন্দ্ৰত চাপ এডালে দৰ্শোৱা কোণটো বৃত্তটোৰ বাকী অংশৰ যিকোনো বিন্দুত ইয়াৰ দ্বাৰা দৰ্শোৱা কোণটোৰ দুগুণ।

প্ৰমাণ : ধৰি লওক যে বৃত্ত এটাৰ চাপ PQ ৱে কেন্দ্ৰ $\mathrm{O}$ ত POQ কোণ আৰু বাকী অংশৰ বিন্দু $A$ ত PAQ কোণ দৰ্শাইছে। আমি প্ৰমাণ কৰিব লাগে যে $\angle \mathrm{POQ}=2 \angle \mathrm{PAQ}$।

(i)

(ii)

(iii)

চিত্ৰ ৯.১৫

চিত্ৰ ৯.১৫ ত দিয়া তিনিটা ভিন্ন ক্ষেত্ৰ বিবেচনা কৰক। (i) ত, চাপ PQ সৰু; (ii) ত, চাপ PQ এডাল অৰ্ধবৃত্ত; আৰু (iii) ত, চাপ PQ ডাঙৰ।

$\mathrm{AO}$ সংযোগ কৰি ইয়াক বিন্দু $\mathrm{B}$ লৈ বঢ়াই দি আমি আৰম্ভ কৰোঁ।

সকলো ক্ষেত্ৰতে,

$$ \angle \mathrm{BOQ}=\angle \mathrm{OAQ}+\angle \mathrm{AQO} $$

কাৰণ ত্ৰিভুজ এটাৰ বহিঃস্থ কোণটো দুটা বিপৰীত অন্তঃস্থ কোণৰ সমষ্টিৰ সমান।

আৰু $\triangle \mathrm{OAQ}$ ত,

$\quad \quad \quad \mathrm{OA}=\mathrm{OQ}\quad \text{(Radii of a circle)}$

সেয়েহে, $\quad \angle \mathrm{OAQ}=\angle \mathrm{OQA} \quad \text{(Theorem 7.5)}$

ইয়াত পোৱা যায় $\quad \angle \mathrm{BOQ}=2 \angle \mathrm{OAQ} \quad (1)$

একেদৰে, $ \quad \angle \mathrm{BOP}=2 \angle \mathrm{OAP} \quad (2)$

(1) আৰু (2) ৰ পৰা, $\quad \angle \mathrm{BOP}+\angle \mathrm{BOQ}=2(\angle \mathrm{OAP}+\angle \mathrm{OAQ})$

এইটো $\quad \angle \mathrm{POQ}=2 \angle \mathrm{PAQ}\quad (3)$ ৰ সৈতে একে

ক্ষেত্ৰ (iii) ৰ বাবে, য’ত $\mathrm{PQ}$ ডাঙৰ চাপ, (3) ক সলনি কৰা হয়

$\text { reflex angle } \mathrm{POQ}=2 \angle \mathrm{PAQ}$

টোকা : ধৰি লওক আমি ওপৰৰ চিত্ৰবোৰত বিন্দু $\mathrm{P}$ আৰু $\mathrm{Q}$ সংযোগ কৰি জ্যা PQ গঠন কৰোঁ। তেতিয়া $\angle \mathrm{PAQ}$ ক খণ্ড PAQP ত গঠিত কোণ বুলিও কোৱা হয়।

প্ৰমেয় ৯.৭ ত, A হ’ব পাৰে বাকী অংশৰ যিকোনো বিন্দু। গতিকে যদি আপুনি বাকী অংশৰ যিকোনো আন বিন্দু $\mathrm{C}$ লয় (চিত্ৰ ৯.১৬ চাওক), আপোনাৰ আছে

$\quad \quad \quad \angle \mathrm{POQ}=2 \angle \mathrm{PCQ}=2 \angle \mathrm{PAQ}$

সেয়েহে, $\quad \angle \mathrm{PCQ}=2 \angle \mathrm{PAQ}$।

চিত্ৰ ৯.১৬

ইয়াত তলৰ কথাটো প্ৰমাণ কৰে:

প্ৰমেয় ৯.৮ : বৃত্ত এটাৰ একে খণ্ডত থকা কোণবোৰ সমান।

আকৌ আমি প্ৰমেয় ১০.৮ ৰ ক্ষেত্ৰ (ii) টো পৃথককৈ আলোচনা কৰোঁ। ইয়াত $\angle \mathrm{PAQ}$ হৈছে খণ্ড এটাৰ ভিতৰত থকা এটা কোণ, যিটো এডাল অৰ্ধবৃত্ত। আৰু, $\angle \mathrm{PAQ}=\frac{1}{2} \angle \mathrm{POQ}=\frac{1}{2} \times 180^{\circ}=90^{\circ}$। যদি আপুনি অৰ্ধবৃত্তটোৰ যিকোনো আন বিন্দু $\mathrm{C}$ লয়, আকৌ আপুনি পাব যে

$\angle \mathrm{PCQ}=90^{\circ}$

সেয়েহে, আপুনি বৃত্তটোৰ আন এটা ধৰ্ম পায়:

অৰ্ধবৃত্তত থকা কোণ এটা সমকোণ।

প্ৰমেয় ৯.৮ ৰ বিপৰীতটোও সত্য। ইয়াক তলৰ দৰে কোৱা হ’ব পাৰে:

প্ৰমেয় ৯.৯ : যদি দুটা বিন্দু সংযোগ কৰা ৰেখাখণ্ড এডালে ৰেখাখণ্ডডাল ধাৰণ কৰা ৰেখাডালৰ একে ফালে থকা আন দুটা বিন্দুত সমান কোণ দৰ্শায়, তেন্তে চাৰিটা বিন্দু বৃত্ত এটাৰ ওপৰত থাকে (অৰ্থাৎ ইহঁত একবৃত্তীয়)।

আপুনি এই ফলাফলটোৰ সত্যতা তলৰ দৰে দেখিব পাৰে:

চিত্ৰ ৯.১৭ ত, $\mathrm{AB}$ হৈছে এডাল ৰেখাখণ্ড, যিয়ে দুটা বিন্দু $\mathrm{C}$ আৰু $\mathrm{D}$ ত সমান কোণ দৰ্শাইছে। অৰ্থাৎ

চিত্ৰ ৯.১৭

$$ \angle \mathrm{ACB}=\angle \mathrm{ADB} $$

বিন্দুবোৰ $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ আৰু $\mathrm{D}$ বৃত্ত এটাৰ ওপৰত থাকে বুলি দেখুৱাবলৈ আহক আমি A, C আৰু B বিন্দু তিনিটাৰ মাজেৰে বৃত্ত এটা আঁকো। ধৰি লওক ই বিন্দু $\mathrm{D}$ ৰ মাজেৰে নাযায়। তেতিয়া ই $\mathrm{AD}$ (বা বঢ়োৱা $\mathrm{AD}$ ) ক বিন্দু এটা, যেনে $\mathrm{E}$ (বা $\mathrm{E}^{\prime}$ ) ত ছেদ কৰিব।

যদি বিন্দুবোৰ $\mathrm{A}, \mathrm{C}, \mathrm{E}$ আৰু $\mathrm{B}$ বৃত্ত এটাৰ ওপৰত থাকে,

$$ \angle \mathrm{ACB}=\angle \mathrm{AEB} \quad \text{(Why?)} $$

কিন্তু দিয়া আছে যে $\quad \angle \mathrm{ACB}=\angle \mathrm{ADB}$।

সেয়েহে, $\quad \quad \angle \mathrm{AEB}=\angle \mathrm{ADB} .$

$\mathrm{E}$ ৰ লগত $\mathrm{D}$ মিলি নগ’লে এইটো সম্ভৱ নহয়। (কিয়?)

একেদৰে, E’ ৱেও D ৰ লগত মিলি যাব লাগিব।

৯.৫ চক্ৰীয় চতুৰ্ভুজ

চতুৰ্ভুজ $\mathrm{ABCD}$ ক চক্ৰীয় বুলি কোৱা হয় যদি ইয়াৰ চাৰিওটা শীৰ্ষবিন্দু বৃত্ত এটাৰ ওপৰত থাকে (চিত্ৰ ৯.১৮ চাওক)। আপুনি এনে চতুৰ্ভুজবোৰত এটা বিশেষ ধৰ্ম পাব। বিভিন্ন বাহুৰ কেইবাটাও চক্ৰীয় চতুৰ্ভুজ আঁকি প্ৰতিটোক ABCD নাম দিয়ক। (ইয়াক বিভিন্ন ব্যাসাৰ্ধৰ কেইবাটাও বৃত্ত আঁকি আৰু প্ৰতিটোৰ ওপৰত চাৰিটা বিন্দু লৈ কৰিব পাৰি। বিপৰীত কোণবোৰ জুখি আপোনাৰ লক্ষণবোৰ তলৰ তালিকাত লিখক।

চিত্ৰ ৯.১৮

তালিকাটোৰ পৰা আপুনি কি অনুমান কৰে?

আপুনি দেখিব যে $\angle \mathrm{A}+\angle \mathrm{C}=180^{\circ}$ আৰু $\angle \mathrm{B}+\angle \mathrm{D}=180^{\circ}$, জোখত হোৱা ভুলক উপেক্ষা কৰি। ইয়াত তলৰ কথাটো সত্যাপন কৰে:

প্ৰমেয় ৯.১০ : চক্ৰীয় চতুৰ্ভুজ এটাৰ বিপৰীত যোৰ যিকোনো এযোৰ কোণৰ সমষ্টি $180^{\circ}$।

প্ৰকৃততে, এই প্ৰমেয়টোৰ বিপৰীতটো, যাক তলত উল্লেখ কৰা হৈছে, সত্য।

প্ৰমেয় ৯.১১ : যদি চতুৰ্ভুজ এটাৰ বিপৰীত যোৰ এযোৰ কোণৰ সমষ্টি $180^{\circ}$ হয়, তেন্তে চতুৰ্ভুজটো চক্ৰীয় হয়।

প্ৰমেয় ৯.৯ ৰ বাবে গ্ৰহণ কৰা পদ্ধতিৰ দৰে এটা পদ্ধতি অনুসৰণ কৰি আপুনি এই প্ৰমেয়টোৰ সত্যতা দেখিব পাৰে।

উদাহৰণ ২ : চিত্ৰ ৯.১৯ ত, $\mathrm{AB}$ হৈছে বৃত্তটোৰ ব্যাস, $\mathrm{CD}$ হৈছে বৃত্তটোৰ ব্যাসাৰ্ধৰ সমান জ্যা। $\mathrm{AC}$ আৰু $\mathrm{BD}$ ক বঢ়াই দিলে বিন্দু $\mathrm{E}$ ত ছেদ কৰে। প্ৰমাণ কৰক যে $\angle \mathrm{AEB}=60^{\circ}$।

চিত্ৰ ৯.১৯

সমাধান : OC, OD আৰু BC সংযোগ কৰক।

ODC ত্ৰিভুজটো সমবাহু $\quad$ (কিয়?)

সেয়েহে, $\angle \mathrm{COD}=60^{\circ}$

এতিয়া, $\quad \angle \mathrm{CBD}=\frac{1}{2} \angle \mathrm{COD} \quad$ (প্ৰমেয় ৯.৭)

ইয়াত পোৱা যায় $\quad \angle \mathrm{CBD}=30^{\circ}$

আকৌ, $\quad \angle \mathrm{ACB}=90^{\circ}\quad $(কিয় ?)

গতিকে, $\quad \angle \mathrm{BCE}=180^{\circ}-\angle \mathrm{ACB}=90^{\circ}$

যিয়ে দিয়ে $\angle \mathrm{CEB}=90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}$, অৰ্থাৎ $\angle \mathrm{AEB}=60^{\circ}$

উদাহৰণ ৩ : চিত্ৰ ৯.২০ ত, ABCD হৈছে চক্ৰীয় চতুৰ্ভুজ য’ত $\mathrm{AC}$ আৰু $\mathrm{BD}$ ইয়াৰ কৰ্ণ। যদি $\angle \mathrm{DBC}=55^{\circ}$ আৰু $\angle \mathrm{BAC}=45^{\circ}$, তেন্তে $\angle \mathrm{BCD}$ উলিয়াওক।

চিত্ৰ ৯.২০

সমাধান : $\quad \angle \mathrm{CAD}=\angle \mathrm{DBC}=55^{\circ}$ (একে খণ্ডত থকা কোণ)

$$ \begin{aligned} \text{Therefore,}\quad \angle \mathrm{DAB} & =\angle \mathrm{CAD}+\angle \mathrm{BAC} \\ & =55^{\circ}+45^{\circ}=100^{\circ} \end{aligned} $$

কিন্তু $\quad \angle \mathrm{DAB}+\angle \mathrm{BCD}=180^{\circ}$

(চক্ৰীয় চতুৰ্ভুজৰ বিপৰীত কোণ)

গতিকে, $\quad \angle \mathrm{BCD}=180^{\circ}-100^{\circ}=80^{\circ}$

উদাহৰণ ৪ : দুটা বৃত্তে দুটা