9.1 ಜ್ಯಾದಿಂದ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಏರ್ಪಡುವ ಕೋನ

ವೃತ್ತಗಳು ಮತ್ತು ಅದರ ಭಾಗಗಳ ಬಗ್ಗೆ ನೀವು ಈಗಾಗಲೇ 6ನೇ ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ್ದೀರಿ. ಒಂದು ರೇಖಾಖಂಡ $P Q$ ಮತ್ತು PQ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಇಲ್ಲದ ಒಂದು ಬಿಂದು $R$ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ. PR ಮತ್ತು QR ಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿ (ಚಿತ್ರ 9.1 ನೋಡಿ). ನಂತರ $\angle \mathrm{PRQ}$ ಅನ್ನು ರೇಖಾಖಂಡ $\mathrm{PQ}$ ಯಿಂದ ಬಿಂದು $\mathrm{R}$ ನಲ್ಲಿ ಏರ್ಪಡುವ ಕೋನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಚಿತ್ರ 9.2 ರಲ್ಲಿ POQ, PRQ ಮತ್ತು PSQ ಕೋನಗಳನ್ನು ಏನು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ? $\angle$ POQ ಎಂಬುದು ಜ್ಯಾ $\mathrm{PQ}$ ಯಿಂದ ಕೇಂದ್ರ $\mathrm{O}, \angle \mathrm{PRQ}$ ನಲ್ಲಿ ಏರ್ಪಡುವ ಕೋನ ಮತ್ತು $\angle \mathrm{PSQ}$ ಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ $\mathrm{PQ}$ ಯಿಂದ ಪ್ರಮುಖ ಮತ್ತು ಗೌಣ ಚಾಪಗಳ ಮೇಲಿನ ಬಿಂದುಗಳು $\mathrm{R}$ ಮತ್ತು $\mathrm{S}$ ನಲ್ಲಿ ಏರ್ಪಡುವ ಕೋನಗಳಾಗಿವೆ.

ಚಿತ್ರ 9.1

ಚಿತ್ರ 9.2

ಜ್ಯಾದ ಗಾತ್ರ ಮತ್ತು ಅದು ಕೇಂದ್ರದಲ್ಲಿ ಏರ್ಪಡಿಸುವ ಕೋನದ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ. ವೃತ್ತದ ವಿವಿಧ ಜ್ಯಾಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಅವು ಕೇಂದ್ರದಲ್ಲಿ ಏರ್ಪಡಿಸುವ ಕೋನಗಳನ್ನು ಎಳೆದು ನೋಡುವ ಮೂಲಕ, ಜ್ಯಾ ಉದ್ದವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಕೇಂದ್ರದಲ್ಲಿ ಏರ್ಪಡಿಸುವ ಕೋನವೂ ದೊಡ್ಡದಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನೀವು ನೋಡಬಹುದು. ನೀವು ವೃತ್ತದ ಎರಡು ಸಮಾನ ಜ್ಯಾಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ ಏನಾಗುತ್ತದೆ? ಕೇಂದ್ರದಲ್ಲಿ ಏರ್ಪಡುವ ಕೋನಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆಯೇ ಅಥವಾ ಇಲ್ಲವೇ?

ವೃತ್ತದ ಎರಡು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚು ಸಮಾನ ಜ್ಯಾಗಳನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ಅವು ಕೇಂದ್ರದಲ್ಲಿ ಏರ್ಪಡಿಸುವ ಕೋನಗಳನ್ನು ಅಳೆಯಿರಿ (ಚಿತ್ರ 9.3 ನೋಡಿ). ಅವು ಕೇಂದ್ರದಲ್ಲಿ ಏರ್ಪಡಿಸುವ ಕೋನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ ಎಂದು ನೀವು ಕಾಣುವಿರಿ. ಈ ಸತ್ಯದ ಒಂದು ಸಾಧನೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಚಿತ್ರ 9.3

ಪ್ರಮೇಯ 9.1 : ವೃತ್ತದ ಸಮಾನ ಜ್ಯಾಗಳು ಕೇಂದ್ರದಲ್ಲಿ ಸಮಾನ ಕೋನಗಳನ್ನು ಏರ್ಪಡಿಸುತ್ತವೆ.

ಸಾಧನೆ : O ಕೇಂದ್ರವಿರುವ ವೃತ್ತದ ಎರಡು ಸಮಾನ ಜ್ಯಾಗಳಾದ AB ಮತ್ತು CD ಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ (ಚಿತ್ರ 9.4 ನೋಡಿ). $\angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{COD}$ ಎಂದು ಸಾಧಿಸಬೇಕು.

ಚಿತ್ರ 9.4

ತ್ರಿಕೋನಗಳು $\mathrm{AOB}$ ಮತ್ತು $\mathrm{COD}$ ರಲ್ಲಿ,

$$ \begin{array}{ll} \mathrm{OA}=\mathrm{OC} & (\text { Radii of a circle }) \\ \mathrm{OB}=\mathrm{OD} & (\text { Radii of a circle }) \\ \mathrm{AB}=\mathrm{CD} & (\text { Given}) \end{array} $$

ಆದ್ದರಿಂದ

$$ \Delta \mathrm{AOB} \cong \Delta \mathrm{COD} \quad(\mathrm{SSS} \text { rule }) $$

ಇದು $\angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{COD}$ ನೀಡುತ್ತದೆ

(ಸರ್ವಸಮ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಅನುರೂಪ ಭಾಗಗಳು)

ಟಿಪ್ಪಣಿ : ಅನುಕೂಲಕ್ಕಾಗಿ, ‘ಸರ್ವಸಮ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಅನುರೂಪ ಭಾಗಗಳು’ ಎಂಬ ಪದದ ಬದಲಾಗಿ CPCT ಎಂಬ ಸಂಕ್ಷೇಪಣವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ ನಾವು ಇದನ್ನು ಬಹಳಷ್ಟು ಬಾರಿ ಬಳಸುತ್ತೇವೆ.

ಈಗ ವೃತ್ತದ ಎರಡು ಜ್ಯಾಗಳು ಕೇಂದ್ರದಲ್ಲಿ ಸಮಾನ ಕೋನಗಳನ್ನು ಏರ್ಪಡಿಸಿದರೆ, ಜ್ಯಾಗಳ ಬಗ್ಗೆ ನೀವು ಏನು ಹೇಳಬಹುದು? ಅವು ಸಮಾನವಾಗಿವೆಯೇ ಅಥವಾ ಇಲ್ಲವೇ? ಈ ಕೆಳಗಿನ ಚಟುವಟಿಕೆಯ ಮೂಲಕ ಇದನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ:

ಒಂದು ಟ್ರೇಸಿಂಗ್ ಪೇಪರ್ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಅದರ ಮೇಲೆ ಒಂದು ವೃತ್ತವನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ. ವೃತ್ತದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಕತ್ತರಿಸಿ ಒಂದು ಡಿಸ್ಕ್ ಪಡೆಯಿರಿ. ಅದರ ಕೇಂದ್ರ $\mathrm{O}$ ನಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಕೋನ $\mathrm{AOB}$ ಎಳೆಯಿರಿ, ಇಲ್ಲಿ $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ ಗಳು ವೃತ್ತದ ಮೇಲಿನ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿವೆ. ಕೇಂದ್ರದಲ್ಲಿ ಮತ್ತೊಂದು ಕೋನ $\mathrm{POQ}$ ಅನ್ನು $\angle A O B$ ಗೆ ಸಮನಾಗಿ ಎಳೆಯಿರಿ. ಡಿಸ್ಕ್ ಅನ್ನು $A B$ ಮತ್ತು $P Q$ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಕತ್ತರಿಸಿ (ಚಿತ್ರ 9.5 ನೋಡಿ). ನೀವು ವೃತ್ತದ ಎರಡು ಖಂಡಗಳಾದ ACB ಮತ್ತು PRQ ಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುವಿರಿ. ಒಂದನ್ನು ಇನ್ನೊಂದರ ಮೇಲೆ ಇಟ್ಟರೆ, ನೀವು ಏನು ಗಮನಿಸುತ್ತೀರಿ? ಅವು ಪರಸ್ಪರ ಮುಚ್ಚಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ, ಅವು ಸರ್ವಸಮವಾಗಿವೆ. $\mathrm{So} \mathrm{AB}=\mathrm{PQ}$.

ಚಿತ್ರ 9.5

ಈ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕಾಗಿ ನೀವು ಅದನ್ನು ನೋಡಿದ್ದರೂ, ಇತರ ಸಮಾನ ಕೋನಗಳಿಗೂ ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ ನೋಡಿ. ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಮೇಯದ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ ಎಲ್ಲಾ ಜ್ಯಾಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ:

ಪ್ರಮೇಯ 9.2 : ವೃತ್ತದ ಜ್ಯಾಗಳು ಕೇಂದ್ರದಲ್ಲಿ ಏರ್ಪಡಿಸುವ ಕೋನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಆ ಜ್ಯಾಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಮೇಲಿನ ಪ್ರಮೇಯವು ಪ್ರಮೇಯ 9.1 ರ ವಿಲೋಮವಾಗಿದೆ. ಚಿತ್ರ 9.4 ರಲ್ಲಿ, $\angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{COD}$ ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ನಂತರ

$\triangle \mathrm{AOB} \cong \triangle \mathrm{COD}$ (ಏಕೆ?)

ಈಗ ನೀವು $\mathrm{AB}=\mathrm{CD}$ ಎಂದು ನೋಡಬಹುದೇ?

9.2 ಕೇಂದ್ರದಿಂದ ಜ್ಯಾಕ್ಕೆ ಲಂಬ

ಚಟುವಟಿಕೆ : ಟ್ರೇಸಿಂಗ್ ಪೇಪರ್ ಮೇಲೆ ಒಂದು ವೃತ್ತವನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ. ಅದರ ಕೇಂದ್ರವು $\mathrm{O}$ ಆಗಿರಲಿ. ಒಂದು ಜ್ಯಾ AB ಯನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ. ಪೇಪರ್ ಅನ್ನು $\mathrm{O}$ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ರೇಖೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಮಡಿಸಿ, ಇದರಿಂದ ಜ್ಯಾದ ಒಂದು ಭಾಗ ಇನ್ನೊಂದರ ಮೇಲೆ ಬೀಳುತ್ತದೆ. ಮಡಿಕೆಯು ಜ್ಯಾ $\mathrm{AB}$ ಅನ್ನು ಬಿಂದು $\mathrm{M}$ ನಲ್ಲಿ ಕತ್ತರಿಸಲಿ. ನಂತರ, $\angle \mathrm{OMA}=\angle \mathrm{OMB}=90^{\circ}$ ಅಥವಾ $\mathrm{OM}$ AB ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಬಿಂದು B ಯು A ಯೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆಯೇ (ಚಿತ್ರ 9.6 ನೋಡಿ)?

ಹೌದು, ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ MA=MB.

ಚಿತ್ರ 9.6

$\mathrm{OA}$ ಮತ್ತು $\mathrm{OB}$ ಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಕೋನಗಳಾದ OMA ಮತ್ತು OMB ಗಳು ಸರ್ವಸಮವೆಂದು ಸಾಧಿಸುವ ಮೂಲಕ ನೀವೇ ಸಾಧನೆಯನ್ನು ನೀಡಿ. ಈ ಉದಾಹರಣೆಯು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಫಲಿತಾಂಶದ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನಿದರ್ಶನವಾಗಿದೆ:

ಪ್ರಮೇಯ 9.3 : ವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರದಿಂದ ಜ್ಯಾಕ್ಕೆ ಎಳೆದ ಲಂಬವು ಜ್ಯಾವನ್ನು ಸಮದ್ವಿಭಾಗಿಸುತ್ತದೆ.

ಈ ಪ್ರಮೇಯದ ವಿಲೋಮ ಏನು? ಇದನ್ನು ಬರೆಯಲು, ಮೊದಲು ಪ್ರಮೇಯ 9.3 ರಲ್ಲಿ ಏನು ಊಹಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಏನು ಸಾಧಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ. ವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರದಿಂದ ಜ್ಯಾಕ್ಕೆ ಲಂಬವನ್ನು ಎಳೆಯಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅದು ಜ್ಯಾವನ್ನು ಸಮದ್ವಿಭಾಗಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸಾಧಿಸಲಾಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ವಿಲೋಮದಲ್ಲಿ, ‘ವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರದಿಂದ ಒಂದು ರೇಖೆಯು ಜ್ಯಾವನ್ನು ಸಮದ್ವಿಭಾಗಿಸಿದರೆ’ ಎಂಬುದು ಊಹೆ ಮತ್ತು ‘ರೇಖೆಯು ಜ್ಯಾಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ’ ಎಂಬುದು ಸಾಧಿಸಬೇಕಾದದ್ದು. ಆದ್ದರಿಂದ ವಿಲೋಮವು:

ಪ್ರಮೇಯ 9.4 : ವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರದ ಮೂಲಕ ಎಳೆದು ಜ್ಯಾವನ್ನು ಸಮದ್ವಿಭಾಗಿಸುವ ರೇಖೆಯು ಜ್ಯಾಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಇದು ಸತ್ಯವೇ? ಕೆಲವು ಪ್ರಕರಣಗಳಿಗೆ ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ ನೋಡಿ. ಆ ಪ್ರಕರಣಗಳಿಗೆ ಇದು ಸತ್ಯವೆಂದು ನೀವು ನೋಡುವಿರಿ. ಈ ಕೆಳಗಿನ ವ್ಯಾಯಾಮವನ್ನು ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸತ್ಯವೇ ಎಂದು ನೋಡಿ. ನಾವು ಹಂತಗಳನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ನೀವು ಕಾರಣಗಳನ್ನು ನೀಡಿ.

$\mathrm{AB}$ ಎಂಬುದು O ಕೇಂದ್ರವಿರುವ ವೃತ್ತದ ಒಂದು ಜ್ಯಾ ಆಗಿರಲಿ ಮತ್ತು $\mathrm{O}$ ಅನ್ನು ಜ್ಯಾ $\mathrm{AB}$ ಯ ಮಧ್ಯಬಿಂದು $\mathrm{M}$ ಗೆ ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆ. $\mathrm{OM} \perp \mathrm{AB}$ ಎಂದು ಸಾಧಿಸಬೇಕು. $\mathrm{OA}$ ಮತ್ತು $\mathrm{OB}$ ಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿ (ಚಿತ್ರ 9.7 ನೋಡಿ). ತ್ರಿಕೋನಗಳು OAM ಮತ್ತು OBM ರಲ್ಲಿ,

$$ \begin{aligned} \mathrm{OA} & =\mathrm{OB}\quad \text{(Why ?)}\\ \mathrm{AM} & =\mathrm{BM}\quad \text{(Why ?)} \\ \mathrm{OM} & =\mathrm{OM}\quad \text{(Common)} \end{aligned} $$

ಚಿತ್ರ 9.7

ಆದ್ದರಿಂದ, $\triangle \mathrm{OAM} \cong \triangle \mathrm{OBM}\quad \text{(How ?)}$

ಇದು $\angle \mathrm{OMA}=\angle \mathrm{OMB}=90^{\circ} \quad$ ನೀಡುತ್ತದೆ (ಏಕೆ?)

9.3 ಸಮಾನ ಜ್ಯಾಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಕೇಂದ್ರದಿಂದ ದೂರ

$\mathrm{AB}$ ಒಂದು ರೇಖೆಯಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು $\mathrm{P}$ ಒಂದು ಬಿಂದುವಾಗಿರಲಿ. ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಿಂದುಗಳಿರುವುದರಿಂದ, ಈ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು $\mathrm{P}$ ಗೆ ಸೇರಿಸಿದರೆ, ನೀವು ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ರೇಖಾಖಂಡಗಳಾದ $\mathrm{PL_1}, \mathrm{PL_2}, \mathrm{PM}, \mathrm{PL_3}, \mathrm{PL_4}$, ಇತ್ಯಾದಿಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ. ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದು AB ರೇಖೆಯಿಂದ P ಬಿಂದುವಿನ ದೂರವಾಗಿದೆ? ಸ್ವಲ್ಪ ಸಮಯ ಯೋಚಿಸಿ ನೋಡಿ, ನಂತರ ಉತ್ತರ ಸಿಗಬಹುದು. ಈ ರೇಖಾಖಂಡಗಳಲ್ಲಿ, $\mathrm{P}$ ನಿಂದ $\mathrm{AB}$ ಕ್ಕೆ ಎಳೆದ ಲಂಬ, ಅಂದರೆ ಚಿತ್ರ 9.8 ರಲ್ಲಿನ $\mathrm{PM}$, ಅತ್ಯಂತ ಕಡಿಮೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಈ ಕನಿಷ್ಠ ಉದ್ದ $P M$ ಅನ್ನು $A B$ ರಿಂದ $P$ ಗೆ ಇರುವ ದೂರ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ನೀವು ಹೀಗೆ ಹೇಳಬಹುದು:

ಚಿತ್ರ 9.8

ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ರೇಖೆಗೆ ಎಳೆದ ಲಂಬದ ಉದ್ದವು ಆ ರೇಖೆಯಿಂದ ಆ ಬಿಂದುವಿನ ದೂರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಬಿಂದುವು ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಇದ್ದರೆ, ರೇಖೆಯಿಂದ ಬಿಂದುವಿನ ದೂರ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ.

ಒಂದು ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಜ್ಯಾಗಳು ಇರಬಹುದು. ವೃತ್ತದ ಜ್ಯಾಗಳನ್ನು ಎಳೆದು ನೋಡುವ ಮೂಲಕ, ಉದ್ದವಾದ ಜ್ಯಾವು ಚಿಕ್ಕ ಜ್ಯಾವಿಗಿಂತ ಕೇಂದ್ರಕ್ಕೆ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನೀವು ಗಮನಿಸಬಹುದು. ವಿವಿಧ ಉದ್ದಗಳ ಜ್ಯಾಗಳನ್ನು ಎಳೆದು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಕೇಂದ್ರದಿಂದ ದೂರವನ್ನು ಅಳೆಯುವ ಮೂಲಕ ನೀವು ಇದನ್ನು ಗಮನಿಸಬಹುದು. ಅತ್ಯಂತ ಉದ್ದದ ಜ್ಯಾವಾದ ವ್ಯಾಸದ ದೂರ ಕೇಂದ್ರದಿಂದ ಎಷ್ಟು? ಕೇಂದ್ರವು ಅದರ ಮೇಲೆ ಇರುವುದರಿಂದ, ದೂರ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಜ್ಯಾಗಳ ಉದ್ದ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಕೇಂದ್ರದಿಂದ ದೂರದ ನಡುವೆ ಯಾವುದಾದರೂ ಸಂಬಂಧ ಇದೆಯೇ ಎಂದು ನೀವು ಭಾವಿಸುತ್ತೀರಾ? ಇದು ಹಾಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ನೋಡೋಣ.

ಚಿತ್ರ 9.9

ಚಟುವಟಿಕೆ : ಟ್ರೇಸಿಂಗ್ ಪೇಪರ್ ಮೇಲೆ ಯಾವುದೇ ತ್ರಿಜ್ಯದ ವೃತ್ತವನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ. ಅದರ ಎರಡು ಸಮಾನ ಜ್ಯಾಗಳಾದ $\mathrm{AB}$ ಮತ್ತು $\mathrm{CD}$ ಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಕೇಂದ್ರ O ನಿಂದ ಅವುಗಳ ಮೇಲೆ ಎಳೆದ ಲಂಬಗಳಾದ $\mathrm{OM}$ ಮತ್ತು $\mathrm{ON}$ ಗಳನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ. D ಯು B ಮೇಲೆ ಮತ್ತು C ಯು A ಮೇಲೆ ಬೀಳುವಂತೆ ಚಿತ್ರವನ್ನು ಮಡಿಸಿ [ಚಿತ್ರ 9.9 (i) ನೋಡಿ]. $\mathrm{O}$ ಮಡಿಕೆಯ ಮೇಲೆ ಇರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು $\mathrm{N}$ ಯು $\mathrm{M}$ ಮೇಲೆ ಬೀಳುತ್ತದೆ ಎಂದು ನೀವು ಗಮನಿಸಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ, $\mathrm{OM}=\mathrm{ON}$. ಸರ್ವಸಮ ವೃತ್ತಗಳನ್ನು $\mathrm{O}$ ಮತ್ತು $\mathrm{O}^{\prime}$ ಕೇಂದ್ರಗಳೊಂದಿಗೆ ಎಳೆದು ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯೊಂದರ ಮೇಲೆ ಒಂದೊಂದು ಸಮಾನ ಜ್ಯಾಗಳಾದ $A B$ ಮತ್ತು $C D$ ಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಚಟುವಟಿಕೆಯನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಿ. ಅವುಗಳ ಮೇಲೆ ಲಂಬಗಳಾದ $O M$ ಮತ್ತು $O^{\prime} N$ ಗಳನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ [ಚಿತ್ರ 9.9(ii) ನೋಡಿ]. ಒಂದು ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಡಿಸ್ಕ್ ಅನ್ನು ಕತ್ತರಿಸಿ ಮತ್ತು $A B$ ಯು $\mathrm{CD}$ ಯೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವಂತೆ ಇನ್ನೊಂದರ ಮೇಲೆ ಇಡಿ. ನಂತರ $\mathrm{O}$ ಯು $\mathrm{O}^{\prime}$ ಯೊಂದಿಗೆ ಮತ್ತು $\mathrm{M}$ ಯು $\mathrm{N}$ ಯೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನೀವು ಕಾಣುವಿರಿ. ಈ ರೀತಿಯಾಗಿ ನೀವು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿದ್ದೀರಿ:

ಪ್ರಮೇಯ 9.5 : ವೃತ್ತದ (ಅಥವಾ ಸರ್ವಸಮ ವೃತ್ತಗಳ) ಸಮಾನ ಜ್ಯಾಗಳು ಕೇಂದ್ರದಿಂದ (ಅಥವಾ ಕೇಂದ್ರಗಳಿಂದ) ಸಮಾನ ದೂರದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ.

ಮುಂದೆ, ಈ ಪ್ರಮೇಯದ ವಿಲೋಮವು ಸತ್ಯವೇ ಅಥವಾ ಅಲ್ಲವೇ ಎಂದು ನೋಡಲಾಗುವುದು. ಇದಕ್ಕಾಗಿ, O ಕೇಂದ್ರವಿರುವ ವೃತ್ತವನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ. ಕೇಂದ್ರ O ನಿಂದ, ಸಮಾನ ಉದ್ದದ ಮತ್ತು ವೃತ್ತದ ಒಳಗೆ ಇರುವ ಎರಡು ರೇಖಾಖಂಡಗಳಾದ OL ಮತ್ತು OM ಗಳನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ [ಚಿತ್ರ 9.10(i) ನೋಡಿ]. ನಂತರ ಕ್ರಮವಾಗಿ OL ಮತ್ತು OM ಗಳಿಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ವೃತ್ತದ ಜ್ಯಾಗಳಾದ PQ ಮತ್ತು RS ಗಳನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ [ಚಿತ್ರ 9.10(ii) ನೋಡಿ]. PQ ಮತ್ತು RS ಗಳ ಉದ್ದಗಳನ್ನು ಅಳೆಯಿರಿ. ಇವು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿವೆಯೇ? ಇಲ್ಲ, ಎರಡೂ ಸಮಾನವಾಗಿವೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಮಾನ ರೇಖಾಖಂಡಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳಿಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಜ್ಯಾಗಳನ್ನು ಎಳೆಯುವ ಮೂಲಕ ಚಟುವಟಿಕೆಯನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಿ. ಇದು ಪ್ರಮೇಯ 9.5 ರ ವಿಲೋಮವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುತ್ತದೆ, ಅದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಹೇಳಲಾಗಿದೆ:

ಚಿತ್ರ 9.10

ಪ್ರಮೇಯ 9.6 : ವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರದಿಂದ ಸಮಾನ ದೂರದಲ್ಲಿರುವ ಜ್ಯಾಗಳು ಉದ್ದದಲ್ಲಿ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಈಗ ಮೇಲಿನ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಬಳಕೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ:

ಉದಾಹರಣೆ 1 : ವೃತ್ತದ ಎರಡು ಛೇದಿಸುವ ಜ್ಯಾಗಳು ಅವುಗಳ ಛೇದನ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ವ್ಯಾಸದೊಂದಿಗೆ ಸಮಾನ ಕೋನಗಳನ್ನು ಮಾಡಿದರೆ, ಆ ಜ್ಯಾಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ : $\mathrm{AB}$ ಮತ್ತು $\mathrm{CD}$ ಗಳು O ಕೇಂದ್ರವಿರುವ ವೃತ್ತದ ಎರಡು ಜ್ಯಾಗಳಾಗಿವೆ, ಇವುಗಳು E ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. $\mathrm{PQ}$ ಎಂಬುದು $\mathrm{E}$ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ವ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ, ಇದರಿಂದ $\angle \mathrm{AEQ}=\angle \mathrm{DEQ}$ (ಚಿತ್ರ 9.11 ನೋಡಿ). $\mathrm{AB}=\mathrm{CD}$ ಎಂದು ಸಾಧಿಸಬೇಕು. ಜ್ಯಾಗಳಾದ $\mathrm{AB}$ ಮತ್ತು $\mathrm{CD}$ ಗಳ ಮೇಲೆ ಕ್ರಮವಾಗಿ ಲಂಬಗಳಾದ OL ಮತ್ತು OM ಗಳನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ. ಈಗ

ಚಿತ್ರ 9.11

$$ \begin{aligned} \angle \mathrm{LOE}= & 180^{\circ}-90^{\circ}-\angle \mathrm{LEO}=90^{\circ}-\angle \mathrm{LEO} \\ & \quad(\text { Angle sum property of a triangle }) \\ = & 90^{\circ}-\angle \mathrm{AEQ}=90^{\circ}-\angle \mathrm{DEQ} \\ = & 90^{\circ}-\angle \mathrm{MEO}=\angle \mathrm{MOE} \end{aligned} $$

ತ್ರಿಕೋನಗಳು OLE ಮತ್ತು OME ರಲ್ಲಿ,

$$ \begin{aligned} \angle \mathrm{LEO} & =\angle \mathrm{MEO}\quad \quad \text{(Why ?)} \\ \angle \mathrm{LOE} & =\angle \mathrm{MOE}\quad \quad \text{(Proved above)} \\ \mathrm{EO} & =\mathrm{EO}\quad \quad \text{(Common)} \\ \text{Therefore},\quad\Delta \mathrm{OLE} & \cong \Delta \mathrm{OME}\quad \quad \text{(Why ?)} \\ \text{This gives}\quad\mathrm{OL} & =\mathrm{OM}\quad \quad \text{(CPCT)} \\ \text{ So, }\quad\mathrm{AB} & =\mathrm{CD}\quad \quad \text{(Why?)} \end{aligned} $$

9.4 ವೃತ್ತದ ಚಾಪದಿಂದ ಏರ್ಪಡುವ ಕೋನ

ವೃತ್ತದ ಒಂದು ಜ್ಯಾವು (ವ್ಯಾಸವನ್ನು ಬಿಟ್ಟು) ಅದನ್ನು ಎರಡು ಚಾಪಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ - ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ಗೌಣ ಎಂದು ನೀವು ನೋಡಿದ್ದೀರಿ. ನೀವು ಎರಡು ಸಮಾನ ಜ್ಯಾಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ಚಾಪಗಳ ಗಾತ್ರದ ಬಗ್ಗೆ ನೀವು ಏನು ಹೇಳಬಹುದು? ಮೊದಲ ಜ್ಯಾವು ಮಾಡಿದ ಚಾಪವು ಇನ್ನೊಂದು ಜ್ಯಾವು ಮಾಡಿದ ಅನುರೂಪ ಚಾಪಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆಯೇ? ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಅವು ಉದ್ದದಲ್ಲಿ ಸಮಾನವಾಗಿರುವುದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನದಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಚಾಪವನ್ನು ಇನ್ನೊಂದರ ಮೇಲೆ, ಬಾಗಿಸದೆ ಅಥವಾ ತಿರುಚದೆ ಇಟ್ಟರೆ, ಒಂದು ಇನ್ನೊಂದನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಮುಚ್ಚಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಅವು ಸರ್ವಸಮವಾಗಿವೆ.

ಜ್ಯಾ $\mathrm{CD}$ ಗೆ ಅನುರೂಪವಾದ ಚಾಪವನ್ನು ವೃತ್ತದಿಂದ $\mathrm{CD}$ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಕತ್ತರಿಸಿ ಅದನ್ನು ಸಮಾನ ಜ್ಯಾ AB ಯಿಂದ ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟ ಅನುರೂಪ ಚಾಪದ ಮೇಲೆ ಇಡುವ ಮೂಲಕ ನೀವು ಈ ಸತ್ಯವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು. ಚಾಪ CD ಯು ಚಾಪ AB ಯನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಮುಚ್ಚಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂದು ನೀವು ಕಾಣುವಿರಿ (ಚಿತ್ರ 9.13 ನೋಡಿ). ಇದು ಸಮಾನ ಜ್ಯಾಗಳು ಸರ್ವಸಮ ಚಾಪಗಳನ್ನು ಮಾಡುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ ಸರ್ವಸಮ ಚಾಪಗಳು ವೃತ್ತದ ಸಮಾನ ಜ್ಯಾಗಳನ್ನು ಮಾಡುತ್ತವೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ನೀವು ಇದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಹೇಳಬಹುದು:

ಚಿತ್ರ 9.13

ವೃತ್ತದ ಎರಡು ಜ್ಯಾಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅವುಗಳ ಅನುರೂಪ ಚಾಪಗಳು ಸರ್ವಸಮವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ, ಎರಡು ಚಾಪಗಳು ಸರ್ವಸಮವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅವುಗಳ ಅನುರೂಪ ಜ್ಯಾಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಅಲ್ಲದೆ, ಚಾಪವು ಕೇಂದ್ರದಲ್ಲಿ ಏರ್ಪಡಿಸುವ ಕೋನವನ್ನು ಅನುರೂಪ ಜ್ಯಾವು ಕೇಂದ್ರದಲ್ಲಿ ಏರ್ಪಡಿಸುವ ಕೋನ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದರ ಅರ್ಥ ಗೌಣ ಚಾಪವು ಕೋನವನ್ನು ಏರ್ಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಮುಖ ಚಾಪವು ಪ್ರತಿಬಿಂಬ ಕೋನವನ್ನು ಏರ್ಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಚಿತ್ರ 9.14 ರಲ್ಲಿ, ಗೌಣ ಚಾಪ $\mathrm{PQ}$ ಯು $\mathrm{O}$ ನಲ್ಲಿ ಏರ್ಪಡಿಸುವ ಕೋನವು $\angle \mathrm{POQ}$ ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಮುಖ ಚಾಪ $\mathrm{PQ}$ ಯು $\mathrm{O}$ ನಲ್ಲಿ ಏರ್ಪಡಿಸುವ ಕೋನವು ಪ್ರತಿಬಿಂಬ ಕೋನ POQ ಆಗಿದೆ.

ಮೇಲಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣ ಮತ್ತು ಪ್ರಮೇಯ 9.1 ರ ದೃಷ್ಟಿಯಿಂದ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಫಲಿತಾಂಶವು ಸತ್ಯವಾಗಿದೆ:

ಚಿತ್ರ 9.14

ವೃತ್ತದ ಸರ್ವಸಮ ಚಾಪಗಳು (ಅಥವಾ ಸಮಾನ ಚಾಪಗಳು) ಕೇಂದ್ರದಲ್ಲಿ ಸಮಾನ ಕೋನಗಳನ್ನು ಏರ್ಪಡಿಸುತ್ತವೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ವೃತ್ತದ ಒಂದು ಜ್ಯಾವು ಅದರ ಕೇಂದ್ರದಲ್ಲಿ ಏರ್ಪಡಿಸುವ ಕೋನವು ಅನುರೂಪ (ಗೌಣ) ಚಾಪವು ಕೇಂದ್ರದಲ್ಲಿ ಏರ್ಪಡಿಸುವ ಕೋನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಚಾಪವು ಕೇಂದ್ರದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ವೃತ್ತದ ಮೇಲಿನ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಏರ್ಪಡಿಸುವ ಕೋನಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಮೇಯವು ನೀಡುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಮೇಯ 9.7 : ಚಾಪವು ಕೇಂದ್ರದಲ್ಲಿ ಏರ್ಪಡಿಸುವ ಕೋನವು ಚಾಪದ ಉಳಿದ ಭಾಗದ ಮೇಲಿನ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಅದು ಏರ್ಪಡಿಸುವ ಕೋನದ ಎರಡರಷ್ಟಿರುತ್ತದೆ.

ಸಾಧನೆ : ವೃತ್ತದ ಒಂದು ಚಾಪ PQ ಯು ಕೇಂದ್ರ $\mathrm{O}$ ನಲ್ಲಿ POQ ಕೋನವನ್ನು ಮತ್ತು ಚಾಪದ ಉಳಿದ ಭಾಗದ ಮೇಲಿನ ಒಂದು ಬಿಂದು $A$ ನಲ್ಲಿ PAQ ಕೋನವನ್ನು ಏರ್ಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. $\angle \mathrm{POQ}=2 \angle \mathrm{PAQ}$ ಎಂದು ಸಾಧಿಸಬೇಕು.

(i)

(ii)

(iii)

ಚಿತ್ರ 9.15

ಚಿತ್ರ 9.15 ರಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದಂತೆ ಮೂರು ವಿಭಿನ್ನ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. (i) ರಲ್ಲಿ, ಚಾಪ PQ ಗೌಣವಾಗಿದೆ; (ii) ರಲ್ಲಿ, ಚಾಪ PQ ಅರ್ಧವೃತ್ತವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು (iii) ರಲ್ಲಿ, ಚಾಪ PQ ಪ್ರಮುಖವಾಗಿದೆ.

$\mathrm{AO}$ ಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಒಂದು ಬಿಂದು $\mathrm{B}$ ಕ್ಕೆ ವಿಸ್ತರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ.

ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರಕರಣಗಳಲ್ಲಿ,

$$ \angle \mathrm{BOQ}=\angle \mathrm{OAQ}+\angle \mathrm{AQO} $$

ಏಕೆಂದರೆ ತ್ರಿಕೋನದ ಬಾಹ್ಯ ಕೋನವು ಎರಡು ಅಂತರಾಭಿಮುಖ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಅಲ್ಲದೆ $\triangle \mathrm{OAQ}$ ರಲ್ಲಿ,

$\quad \quad \quad \mathrm{OA}=\mathrm{OQ}\quad \text{(Radii of a circle)}$

ಆದ್ದರಿಂದ, $\quad \angle \mathrm{OAQ}=\angle \mathrm{OQA} \quad \text{(Theorem 7.5)}$

ಇದು $\quad \angle \mathrm{BOQ}=2 \angle \mathrm{OAQ} \quad (1)$ ನೀಡುತ್ತದೆ

ಅದೇ ರೀತಿ, $ \quad \angle \mathrm{BOP}=2 \angle \mathrm{OAP} \quad (2)$

(1) ಮತ್ತು (2) ರಿಂದ, $\quad \angle \mathrm{BOP}+\angle \mathrm{BOQ}=2(\angle \mathrm{OAP}+\angle \mathrm{OAQ})$

ಇದು $\quad \angle \mathrm{POQ}=2 \angle \mathrm{PAQ}\quad (3)$ ನಂತೆಯೇ ಇದೆ

ಪ್ರಕರಣ (iii) ಗಾಗಿ, ಇಲ್ಲಿ $\mathrm{PQ}$ ಪ್ರಮುಖ ಚಾಪವಾಗಿದೆ, (3) ಅನ್ನು

$\text { reflex angle } \mathrm{POQ}=2 \angle \mathrm{PAQ}$ ಯಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ

ಟಿಪ್ಪಣಿ : ನಾವು ಬಿಂದುಗಳಾದ $\mathrm{P}$ ಮತ್ತು $\mathrm{Q}$ ಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿ ಮೇಲಿನ ಚಿತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಜ್ಯಾ PQ ಯನ್ನು ರಚಿಸಿದರೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ನಂತರ $\angle \mathrm{PAQ}$ ಅನ್ನು ಖಂಡ PAQP ರಲ್ಲಿ ರಚಿತವಾದ ಕೋನ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಮೇಯ 9.7 ರಲ್ಲಿ, A ಯು ಚಾಪದ ಉಳಿದ ಭಾಗದ ಮೇಲಿನ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಾಗಿರಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ ನೀವು ಚಾಪದ ಉಳಿದ ಭಾಗದ ಮೇಲೆ ಯಾವುದೇ ಇತರ ಬಿಂದು $\mathrm{C}$ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ (ಚಿತ್ರ 9.16 ನೋಡಿ), ನೀವು ಹೊಂದಿರುತ್ತೀರಿ

$\quad \quad \quad \angle \mathrm{POQ}=2 \angle \mathrm{PCQ}=2 \angle \mathrm{PAQ}$

ಆದ್ದರಿಂದ, $\quad \angle \mathrm{PCQ}=2 \angle \mathrm{PAQ}$.

ಚಿತ್ರ 9.16

ಇದು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಸಾಧಿಸುತ್ತದೆ:

ಪ್ರಮೇಯ 9.8 : ಒಂದೇ ವೃತ್ತಖಂಡದಲ್ಲಿರುವ ಕೋನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಪ್ರಮೇಯ 10.8 ರ ಪ್ರಕರಣ (ii) ಅನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಚರ್ಚಿಸೋಣ. ಇಲ್ಲಿ $\angle \mathrm{PAQ}$ ಎಂಬುದು ಅರ್ಧವೃತ್ತವಾಗಿರುವ ಖಂಡದಲ್ಲಿರುವ ಒಂದು ಕೋನವಾಗಿದೆ. ಅಲ್ಲದೆ, $\angle \mathrm{PAQ}=\frac{1}{2} \angle \mathrm{POQ}=\frac{1}{2} \times 180^{\circ}=90^{\circ}$. ನೀವು ಅರ್ಧವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ ಯಾವುದೇ ಇತರ ಬಿಂದು $\mathrm{C}$ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ಮತ್ತೆ ನೀವು ಅದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ

$\angle \mathrm{PCQ}=90^{\circ}$

ಆದ್ದರಿಂದ, ನೀವು ವ