9.1 जीवा द्वारा एक बिंदु पर अंतरित कोण

आपने कक्षा VI में वृत्त और उसके भागों के बारे में पहले ही पढ़ा है। एक रेखाखंड $P Q$ लीजिए और एक बिंदु $R$ जो PQ वाली रेखा पर नहीं है। PR और QR को मिलाइए (चित्र 9.1 देखें)। तब $\angle \mathrm{PRQ}$ को रेखाखंड $\mathrm{PQ}$ द्वारा बिंदु $\mathrm{R}$ पर अंतरित कोण कहा जाता है। चित्र 9.2 में कोण POQ, PRQ और PSQ को क्या कहा जाता है? $\angle$ POQ, जीवा $\mathrm{PQ}$ द्वारा केंद्र $\mathrm{O}, \angle \mathrm{PRQ}$ पर अंतरित कोण है और $\angle \mathrm{PSQ}$ क्रमशः $\mathrm{PQ}$ द्वारा बिंदुओं $\mathrm{R}$ और $\mathrm{S}$ पर, जो दीर्घ और लघु चाप $\mathrm{PQ}$ पर स्थित हैं, अंतरित कोण हैं।

चित्र 9.1

चित्र 9.2

आइए हम जीवा के आकार और उसके द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण के बीच संबंध की जाँच करें। आप एक वृत्त की विभिन्न जीवाएँ खींचकर और उनके द्वारा केंद्र पर अंतरित कोणों को देखकर यह देख सकते हैं कि जीवा जितनी लंबी होगी, उसके द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण उतना ही बड़ा होगा। यदि आप एक वृत्त की दो बराबर जीवाएँ लेंगे तो क्या होगा? क्या केंद्र पर अंतरित कोण समान होंगे या नहीं?

एक वृत्त की दो या अधिक बराबर जीवाएँ खींचिए और उनके द्वारा केंद्र पर अंतरित कोणों को मापिए (चित्र 9.3 देखें)। आप पाएंगे कि उनके द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण बराबर हैं। आइए हम इस तथ्य का प्रमाण दें।

चित्र 9.3

प्रमेय 9.1 : एक वृत्त की बराबर जीवाएँ केंद्र पर बराबर कोण अंतरित करती हैं।

प्रमाण : आपको केंद्र O वाले एक वृत्त की दो बराबर जीवाएँ AB और CD दी गई हैं (चित्र 9.4 देखें)। आपको यह सिद्ध करना है कि $\angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{COD}$

चित्र 9.4

त्रिभुजों $\mathrm{AOB}$ और $\mathrm{COD}$ में,

$$ \begin{array}{ll} \mathrm{OA}=\mathrm{OC} & (\text { Radii of a circle }) \\ \mathrm{OB}=\mathrm{OD} & (\text { Radii of a circle }) \\ \mathrm{AB}=\mathrm{CD} & (\text { Given}) \end{array} $$

अतः

$$ \Delta \mathrm{AOB} \cong \Delta \mathrm{COD} \quad(\mathrm{SSS} \text { rule }) $$

इससे प्राप्त होता है $\angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{COD}$

(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)

टिप्पणी : सुविधा के लिए, ‘सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग’ के स्थान पर संक्षिप्त नाम CPCT का प्रयोग किया जाएगा, क्योंकि जैसा कि आप देखेंगे, हम इसका बहुत बार उपयोग करते हैं।

अब यदि एक वृत्त की दो जीवाएँ केंद्र पर बराबर कोण अंतरित करती हैं, तो आप जीवाओं के बारे में क्या कह सकते हैं? क्या वे बराबर हैं या नहीं? आइए इसे निम्नलिखित गतिविधि द्वारा जाँचें:

एक ट्रेसिंग पेपर लीजिए और उस पर एक वृत्त खींचिए। वृत्त के साथ काटकर एक डिस्क प्राप्त कीजिए। इसके केंद्र $\mathrm{O}$ पर, एक कोण $\mathrm{AOB}$ खींचिए जहाँ $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ वृत्त पर स्थित बिंदु हैं। केंद्र पर एक अन्य कोण $\mathrm{POQ}$ बनाइए जो $\angle A O B$ के बराबर हो। डिस्क को $A B$ और $P Q$ के साथ काटिए (चित्र 9.5 देखें)। आपको वृत्त के दो खंड ACB और PRQ प्राप्त होंगे। यदि आप एक को दूसरे पर रखते हैं, तो आप क्या देखते हैं? वे एक दूसरे को ढक लेते हैं, अर्थात् वे सर्वांगसम हैं। $\mathrm{So} \mathrm{AB}=\mathrm{PQ}$।

चित्र 9.5

हालाँकि आपने इसे इस विशेष मामले के लिए देखा है, इसे अन्य बराबर कोणों के लिए भी आज़माएँ। जीवाएँ सभी बराबर निकलेंगी क्योंकि निम्नलिखित प्रमेय है:

प्रमेय 9.2 : यदि एक वृत्त की जीवाओं द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण बराबर हों, तो जीवाएँ बराबर होती हैं।

उपरोक्त प्रमेय, प्रमेय 9.1 का विलोम है। ध्यान दें कि चित्र 9.4 में, यदि आप $\angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{COD}$ लेते हैं, तो

$\triangle \mathrm{AOB} \cong \triangle \mathrm{COD}$ (क्यों?)

क्या आप अब देख सकते हैं कि $\mathrm{AB}=\mathrm{CD}$ ?

9.2 केंद्र से जीवा पर लंब

गतिविधि : एक ट्रेसिंग पेपर पर एक वृत्त खींचिए। मान लीजिए $\mathrm{O}$ इसका केंद्र है। एक जीवा AB खींचिए। कागज को $\mathrm{O}$ से गुजरने वाली एक रेखा के साथ मोड़िए ताकि जीवा का एक भाग दूसरे पर पड़ जाए। मान लीजिए कि दबी हुई रेखा (क्रीज) $\mathrm{AB}$ को बिंदु $\mathrm{M}$ पर काटती है। तब, $\angle \mathrm{OMA}=\angle \mathrm{OMB}=90^{\circ}$ या $\mathrm{OM}$, AB पर लंब है। क्या बिंदु B, A के साथ संपाती होता है (चित्र 9.6 देखें)?

हाँ, होगा। अतः MA = MB.

चित्र 9.6

$\mathrm{OA}$ और $\mathrm{OB}$ को मिलाकर और समकोण त्रिभुज OMA और OMB को सर्वांगसम सिद्ध करके स्वयं एक प्रमाण दीजिए। यह उदाहरण निम्नलिखित परिणाम का एक विशेष उदाहरण है:

प्रमेय 9.3 : एक वृत्त के केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है।

इस प्रमेय का विलोम क्या है? इसे लिखने के लिए, पहले हमें स्पष्ट होना चाहिए कि प्रमेय 9.3 में क्या माना गया है और क्या सिद्ध किया गया है। दिया गया है कि एक वृत्त के केंद्र से जीवा पर लंब खींचा गया है और यह सिद्ध करना है कि यह जीवा को समद्विभाजित करता है। इस प्रकार विलोम में, परिकल्पना यह है कि ‘यदि केंद्र से एक रेखा एक वृत्त की जीवा को समद्विभाजित करती है’ और जो सिद्ध करना है वह है ‘रेखा जीवा पर लंब है’। अतः विलोम है:

प्रमेय 9.4 : एक वृत्त के केंद्र से होकर जीवा को समद्विभाजित करने के लिए खींची गई रेखा जीवा पर लंब होती है।

क्या यह सत्य है? इसे कुछ मामलों के लिए आज़माएँ और देखें। आप देखेंगे कि यह इन मामलों के लिए सत्य है। देखें कि क्या यह सामान्य रूप से सत्य है, निम्नलिखित अभ्यास करके। हम चरण लिखेंगे और आप कारण दीजिए।

मान लीजिए $\mathrm{AB}$ केंद्र $\mathrm{O}$ वाले एक वृत्त की एक जीवा है और $\mathrm{O}$ को $\mathrm{AB}$ के मध्य-बिंदु $\mathrm{M}$ से मिलाया गया है। आपको यह सिद्ध करना है कि $\mathrm{OM} \perp \mathrm{AB}$। $\mathrm{OA}$ और $\mathrm{OB}$ को मिलाइए (चित्र 9.7 देखें)। त्रिभुज OAM और OBM में,

$$ \begin{aligned} \mathrm{OA} & =\mathrm{OB}\quad \text{(Why ?)}\\ \mathrm{AM} & =\mathrm{BM}\quad \text{(Why ?)} \\ \mathrm{OM} & =\mathrm{OM}\quad \text{(Common)} \end{aligned} $$

चित्र 9.7

अतः, $\triangle \mathrm{OAM} \cong \triangle \mathrm{OBM}\quad \text{(How ?)}$

इससे प्राप्त होता है $\angle \mathrm{OMA}=\angle \mathrm{OMB}=90^{\circ} \quad$ (क्यों?)

9.3 बराबर जीवाएँ और उनकी केंद्र से दूरियाँ

मान लीजिए $\mathrm{AB}$ एक रेखा है और $\mathrm{P}$ एक बिंदु है। चूँकि एक रेखा पर अनंत संख्या में बिंदु होते हैं, यदि आप इन बिंदुओं को $\mathrm{P}$ से मिलाते हैं, तो आपको अनंत संख्या में रेखाखंड $\mathrm{PL_1}, \mathrm{PL_2}, \mathrm{PM}, \mathrm{PL_3}, \mathrm{PL_4}$, आदि प्राप्त होंगे। इनमें से कौन सी AB की P से दूरी है? आप कुछ देर सोच सकते हैं और उत्तर प्राप्त कर सकते हैं। इन रेखाखंडों में से, $\mathrm{P}$ से $\mathrm{AB}$ पर डाला गया लंब, अर्थात् चित्र 9.8 में $\mathrm{PM}$, सबसे कम होगा। गणित में, हम इस न्यूनतम लंबाई $P M$ को $A B$ की $P$ से दूरी के रूप में परिभाषित करते हैं। अतः आप कह सकते हैं कि:

चित्र 9.8

एक बिंदु से एक रेखा पर डाले गए लंब की लंबाई, रेखा की बिंदु से दूरी होती है।

ध्यान दें कि यदि बिंदु रेखा पर स्थित है, तो रेखा की बिंदु से दूरी शून्य होती है।

एक वृत्त में अनंत संख्या में जीवाएँ हो सकती हैं। आप एक वृत्त की जीवाएँ खींचकर यह देख सकते हैं कि लंबी जीवा छोटी जीवा की तुलना में केंद्र के अधिक निकट होती है। आप विभिन्न लंबाई की एक वृत्त की कई जीवाएँ खींचकर और उनकी केंद्र से दूरियाँ मापकर इसे देख सकते हैं। व्यास, जो सबसे लंबी जीवा है, की केंद्र से दूरी क्या है? चूँकि केंद्र इस पर स्थित है, दूरी शून्य है। क्या आपको लगता है कि जीवाओं की लंबाई और उनकी केंद्र से दूरी के बीच कोई संबंध है? आइए देखें कि क्या ऐसा है।

चित्र 9.9

गतिविधि : एक ट्रेसिंग पेपर पर किसी भी त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए। इसकी दो बराबर जीवाएँ $\mathrm{AB}$ और $\mathrm{CD}$ खींचिए और केंद्र O से उन पर लंब $\mathrm{OM}$ और $\mathrm{ON}$ भी खींचिए। आकृति को इस प्रकार मोड़िए कि D, B पर पड़ जाए और C, A पर पड़ जाए [चित्र 9.9 (i) देखें]। आप देख सकते हैं कि $\mathrm{O}$ दबी हुई रेखा (क्रीज) पर स्थित है और $\mathrm{N}$, $\mathrm{M}$ पर पड़ता है। अतः, $\mathrm{OM}=\mathrm{ON}$। केंद्र $\mathrm{O}$ और $\mathrm{O}^{\prime}$ वाले सर्वांगसम वृत्त खींचकर और बराबर जीवाएँ $A B$ और $C D$ प्रत्येक पर एक लेकर गतिविधि को दोहराइए। उन पर लंब $O M$ और $O^{\prime} N$ खींचिए [चित्र 9.9(ii) देखें]। एक वृत्ताकार डिस्क काटिए और इसे दूसरी पर इस प्रकार रखिए कि $A B$, $\mathrm{CD}$ के साथ संपाती हो जाए। तब आप पाएंगे कि $\mathrm{O}$, $\mathrm{O}^{\prime}$ के साथ संपाती हो जाता है और $\mathrm{M}$, $\mathrm{N}$ के साथ संपाती हो जाता है। इस प्रकार आपने निम्नलिखित को सत्यापित किया:

प्रमेय 9.5 : एक वृत्त (या सर्वांगसम वृत्तों) की बराबर जीवाएँ केंद्र (या केंद्रों) से समदूरस्थ होती हैं।

अगला, यह देखा जाएगा कि इस प्रमेय का विलोम सत्य है या नहीं। इसके लिए, केंद्र O वाला एक वृत्त खींचिए। केंद्र O से, समान लंबाई के दो रेखाखंड OL और OM खींचिए जो वृत्त के अंदर स्थित हों [चित्र 9.10(i) देखें]। फिर वृत्त की जीवाएँ PQ और RS क्रमशः OL और OM पर लंबवत खींचिए [चित्र 9.10(ii) देखें]। PQ और RS की लंबाइयाँ मापिए। क्या ये भिन्न हैं? नहीं, दोनों बराबर हैं। अधिक बराबर रेखाखंडों के लिए और उन पर लंबवत जीवाएँ खींचकर गतिविधि को दोहराइए। यह प्रमेय 9.5 के विलोम को सत्यापित करता है जिसे निम्नानुसार कहा जाता है:

चित्र 9.10

प्रमेय 9.6 : एक वृत्त के केंद्र से समदूरस्थ जीवाएँ लंबाई में बराबर होती हैं। अब हम उपरोक्त परिणामों के उपयोग को दर्शाने के लिए एक उदाहरण लेते हैं:

उदाहरण 1 : यदि एक वृत्त की दो प्रतिच्छेदी जीवाएँ, उनके प्रतिच्छेदन बिंदु से गुजरने वाले व्यास के साथ बराबर कोण बनाती हैं, तो सिद्ध कीजिए कि जीवाएँ बराबर हैं।

हल : दिया गया है कि $\mathrm{AB}$ और $\mathrm{CD}$ केंद्र $\mathrm{O}$ वाले एक वृत्त की दो जीवाएँ हैं, जो एक बिंदु $\mathrm{E}$ पर प्रतिच्छेद करती हैं। $\mathrm{PQ}$, $\mathrm{E}$ से गुजरने वाला एक व्यास है, जैसे कि $\angle \mathrm{AEQ}=\angle \mathrm{DEQ}$ (चित्र 9.11 देखें)। आपको यह सिद्ध करना है कि $\mathrm{AB}=\mathrm{CD}$। जीवाओं $\mathrm{AB}$ और $\mathrm{CD}$ पर क्रमशः लंब OL और OM खींचिए। अब

चित्र 9.11

$$ \begin{aligned} \angle \mathrm{LOE}= & 180^{\circ}-90^{\circ}-\angle \mathrm{LEO}=90^{\circ}-\angle \mathrm{LEO} \\ & \quad(\text { Angle sum property of a triangle }) \\ = & 90^{\circ}-\angle \mathrm{AEQ}=90^{\circ}-\angle \mathrm{DEQ} \\ = & 90^{\circ}-\angle \mathrm{MEO}=\angle \mathrm{MOE} \end{aligned} $$

त्रिभुज OLE और OME में,

$$ \begin{aligned} \angle \mathrm{LEO} & =\angle \mathrm{MEO}\quad \quad \text{(Why ?)} \\ \angle \mathrm{LOE} & =\angle \mathrm{MOE}\quad \quad \text{(Proved above)} \\ \mathrm{EO} & =\mathrm{EO}\quad \quad \text{(Common)} \\ \text{Therefore},\quad\Delta \mathrm{OLE} & \cong \Delta \mathrm{OME}\quad \quad \text{(Why ?)} \\ \text{This gives}\quad\mathrm{OL} & =\mathrm{OM}\quad \quad \text{(CPCT)} \\ \text{ So, }\quad\mathrm{AB} & =\mathrm{CD}\quad \quad \text{(Why?)} \end{aligned} $$

9.4 एक वृत्त के चाप द्वारा अंतरित कोण

आपने देखा है कि एक वृत्त के व्यास के अलावा किसी जीवा के अंत बिंदु उसे दो चापों में विभाजित करते हैं - एक दीर्घ और दूसरा लघु। यदि आप दो बराबर जीवाएँ लेते हैं, तो आप चापों के आकार के बारे में क्या कह सकते हैं? क्या पहली जीवा द्वारा बनाया गया चाप दूसरी जीवा द्वारा बनाए गए संगत चाप के बराबर है? वास्तव में, वे लंबाई में केवल बराबर होने से अधिक हैं। वे सर्वांगसम हैं इस अर्थ में कि यदि एक चाप को बिना मोड़े या बिना घुमाए दूसरे पर रखा जाए, तो वह दूसरे को पूरी तरह से अध्यारोपित कर देता है।

आप इस तथ्य को जीवा $\mathrm{CD}$ के संगत चाप को वृत्त से $\mathrm{CD}$ के साथ काटकर और बराबर जीवा AB द्वारा बनाए गए संगत चाप पर रखकर सत्यापित कर सकते हैं। आप पाएंगे कि चाप CD, चाप AB को पूरी तरह से अध्यारोपित कर देता है (चित्र 9.13 देखें)। यह दर्शाता है कि बराबर जीवाएँ सर्वांगसम चाप बनाती हैं और विलोमतः सर्वांगसम चाप एक वृत्त की बराबर जीवाएँ बनाते हैं। आप इसे निम्नानुसार कह सकते हैं:

चित्र 9.13

यदि एक वृत्त की दो जीवाएँ बराबर हों, तो उनके संगत चाप सर्वांगसम होते हैं और विलोमतः, यदि दो चाप सर्वांगसम हों, तो उनकी संगत जीवाएँ बराबर होती हैं।

साथ ही, एक चाप द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण को संगत जीवा द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण के रूप में परिभाषित किया जाता है, इस अर्थ में कि लघु चाप कोण अंतरित करता है और दीर्घ चाप प्रतिवर्ती कोण अंतरित करता है। अतः, चित्र 9.14 में, लघु चाप $\mathrm{PQ}$ द्वारा $\mathrm{O}$ पर अंतरित कोण $\angle \mathrm{POQ}$ है और दीर्घ चाप $\mathrm{PQ}$ द्वारा $\mathrm{O}$ पर अंतरित कोण प्रतिवर्ती कोण POQ है।

उपरोक्त गुण और प्रमेय 9.1 के आधार पर, निम्नलिखित परिणाम सत्य है:

चित्र 9.14

एक वृत्त के सर्वांगसम चाप (या बराबर चाप) केंद्र पर बराबर कोण अंतरित करते हैं।

अतः, एक वृत्त की एक जीवा द्वारा उसके केंद्र पर अंतरित कोण, संगत (लघु) चाप द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण के बराबर होता है। निम्नलिखित प्रमेय एक चाप द्वारा केंद्र पर और वृत्त पर एक बिंदु पर अंतरित कोणों के बीच संबंध देता है।

प्रमेय 9.7 : एक चाप द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण, वृत्त के शेष भाग पर किसी भी बिंदु पर उसके द्वारा अंतरित कोण का दोगुना होता है।

प्रमाण : दिया गया है कि एक वृत्त का एक चाप PQ, केंद्र $\mathrm{O}$ पर कोण POQ और शेष भाग पर एक बिंदु $A$ पर कोण PAQ अंतरित करता है। हमें यह सिद्ध करना है कि $\angle \mathrm{POQ}=2 \angle \mathrm{PAQ}$।

(i)

(ii)

(iii)

चित्र 9.15

चित्र 9.15 में दिए गए तीन अलग-अलग मामलों पर विचार कीजिए। (i) में, चाप PQ लघु है; (ii) में, चाप PQ एक अर्धवृत्त है और (iii) में, चाप PQ दीर्घ है।

आइए हम $\mathrm{AO}$ को मिलाकर और इसे एक बिंदु $\mathrm{B}$ तक बढ़ाकर शुरू करते हैं।

सभी मामलों में,

$$ \angle \mathrm{BOQ}=\angle \mathrm{OAQ}+\angle \mathrm{AQO} $$

क्योंकि एक त्रिभुज का बहिष्कोण दो अंतः सम्मुख कोणों के योग के बराबर होता है।

साथ ही $\triangle \mathrm{OAQ}$ में,

$\quad \quad \quad \mathrm{OA}=\mathrm{OQ}\quad \text{(Radii of a circle)}$

अतः, $\quad \angle \mathrm{OAQ}=\angle \mathrm{OQA} \quad \text{(Theorem 7.5)}$

इससे प्राप्त होता है $\quad \angle \mathrm{BOQ}=2 \angle \mathrm{OAQ} \quad (1)$

इसी प्रकार, $ \quad \angle \mathrm{BOP}=2 \angle \mathrm{OAP} \quad (2)$

(1) और (2) से, $\quad \angle \mathrm{BOP}+\angle \mathrm{BOQ}=2(\angle \mathrm{OAP}+\angle \mathrm{OAQ})$

यह $\quad \angle \mathrm{POQ}=2 \angle \mathrm{PAQ}\quad (3)$ के समान है

मामले (iii) के लिए, जहाँ $\mathrm{PQ}$ दीर्घ चाप है, (3) को इससे प्रतिस्थापित किया जाता है

$\text { reflex angle } \mathrm{POQ}=2 \angle \mathrm{PAQ}$

टिप्पणी : मान लीजिए हम बिंदुओं $\mathrm{P}$ और $\mathrm{Q}$ को मिलाते हैं और उपरोक्त आकृतियों में एक जीवा PQ बनाते हैं। तब $\angle \mathrm{PAQ}$ को खंड PAQP में बना कोण भी कहा जाता है।

प्रमेय 9.7 में, A वृत्त के शेष भाग पर कोई भी बिंदु हो सकता है। अतः यदि आप वृत्त के शेष भाग पर कोई अन्य बिंदु $\mathrm{C}$ लेते हैं (चित्र 9.16 देखें), तो आपके पास है

$\quad \quad \quad \angle \mathrm{POQ}=2 \angle \mathrm{PCQ}=2 \angle \mathrm{PAQ}$

अतः, $\quad \angle \mathrm{PCQ}=2 \angle \mathrm{PAQ}$।

चित्र 9.16

यह निम्नलिखित को सिद्ध करता है:

प्रमेय 9.8 : एक वृत्त के एक ही वृत्तखंड में स्थित कोण बराबर होते हैं।

फिर से, आइए हम प्रमेय 10.8 के मामले (ii) पर अलग से चर्चा करें। यहाँ $\angle \mathrm{PAQ}$ एक वृत्तखंड में स्थित कोण है, जो एक अर्धवृत्त है। साथ ही, $\angle \mathrm{PAQ}=\frac{1}{2} \angle \mathrm{POQ}=\frac{1}{2} \times 180^{\circ}=90^{\circ}$। यदि आप अर्धवृत्त पर कोई अन्य बिंदु $\mathrm{C}$ लेते हैं, तो फिर से आप पाते हैं कि

$\angle \mathrm{PCQ}=90^{\circ}$

अतः, आपको वृत्त का एक अन्य गुण प्राप्त होता है:

अर्धवृत्त में कोण एक समकोण होता है।

प्रमेय 9.8 का विलोम भी सत्य है। इसे इस प्रकार कहा जा सकता है:

प्रमेय 9.9 : यदि दो बिंदुओं को मिलाने वाला एक रेखाखंड, रेखाखंड वाली रेखा के एक ही ओर स्थित दो अन्य बिंदुओं पर बराबर कोण अंतरित करता है, तो चारों बिंदु एक वृत्त पर स्थित होते हैं (अर्थात् वे चक्रीय होते हैं)।

आप इस परिणाम की सत्यता को निम्नानुसार देख सकते हैं:

चित्र 9.17 में, $\mathrm{AB}$ एक रेखाखंड है, जो दो बिंदुओं $\mathrm{C}$ और $\mathrm{D}$ पर बराबर कोण अंतरित करता है। अर्थात्

चित्र 9.17

$$ \angle \mathrm{ACB}=\angle \mathrm{ADB} $$

यह दिखाने के लिए कि बिंदु $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ और $\mathrm{D}$ एक वृत्त पर स्थित हैं, आइए हम बिंदुओं A, C और B से होकर एक वृत्त खींचते हैं। मान लीजिए यह बिंदु $\mathrm{D}$ से नहीं गुजरता है। तब यह $\mathrm{AD}$ (या विस्तारित $\mathrm{AD}$) को एक बिंदु, मान लीजिए $\mathrm{E}$ (या $\mathrm{E}^{\prime}$) पर प्रतिच्छेद करेगा।

यदि बिंदु $\mathrm{A}, \mathrm{C}, \mathrm{E}$ और $\mathrm{B}$ एक वृत्त पर स्थित हैं, तो

$$ \angle \mathrm{ACB}=\angle \mathrm{AEB} \quad \text{(Why?)} $$

लेकिन यह दिया गया है कि $\quad \angle \mathrm{ACB}=\angle \mathrm{ADB}$।

अतः, $\quad \quad \angle \mathrm{AEB}=\angle \mathrm{ADB} .$

यह तब तक संभव नहीं है जब तक कि $\mathrm{E}$, $\mathrm{D}$ के साथ संपाती न हो जाए। (क्यों?)

इसी प्रकार, E’ भी D के साथ संपाती होना चाहिए।

9.5 चक्रीय चतुर्भुज

एक चतुर्भुज $\mathrm{ABCD}$ चक्रीय कहलाता है यदि इसके सभी चार शीर्ष एक वृत्त पर स्थित हों (चित्र 9.18 देखें)। आपको ऐसे चतुर्भुजों में एक विशेष गुण मिलेगा। विभिन्न भुजाओं के कई चक्रीय चतुर्भुज खींचिए और इनमें से प्रत्येक को ABCD नाम दीजिए। (यह विभिन्न त्रिज्याओं के कई वृत्त खींचकर और उनमें से प्रत्येक पर चार बिंदु लेकर किया जा सकता है।) सम्मुख कोणों को मापिए और अपनी प्रेक्षण निम्नलिखित सारणी में लिखिए।

चित्र 9.18

आप सारणी से क्या निष्कर्ष निकालते हैं?

आप पाते हैं कि $\angle \mathrm{A}+\angle \mathrm{C}=180^{\circ}$ और $\angle \mathrm{B}+\angle \mathrm{D}=180^{\circ}$, मापन में त्रुटि को नगण्य मानते हुए। यह निम्नलिखित को सत्यापित करता है:

प्रमेय 9.10 : एक चक्रीय चतुर्भुज के किसी भी एक युग्म के सम्मुख कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।

वास्तव में, इस प्रमेय का विलोम, जो नीचे कहा गया है, भी सत्य है।

प्रमेय 9.11 : यदि एक चतुर्भुज के सम्मुख कोणों के एक युग्म का योग $180^{\circ}$ हो, तो चतुर्भुज चक्रीय होता है।

आप प्रमेय 9.9 के लिए अपनाई गई विधि के समान एक विधि का पालन करके इस प्रमेय की सत्यता देख सकते हैं।

उदाहरण 2 : चित्र 9.19 में, $\mathrm{AB}$ वृत्त का एक व्यास है, $\mathrm{CD}$ वृत्त की त्रिज्या के बराबर एक जीवा है। $\mathrm{AC}$ और $\mathrm{BD}$ जब बढ़ाए जाते हैं तो एक बिंदु $\mathrm{E}$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। सिद्ध कीजिए कि $\angle \mathrm{AEB}=60^{\circ}$।

चित्र 9.19

हल : OC, OD और BC को मिलाइए।

त्रिभुज ODC समबाहु है $\quad$ (क्यों?)

अतः, $\angle \mathrm{COD}=60^{\circ}$

अब, $\quad \angle \mathrm{CBD}=\frac{1}{2} \angle \mathrm{COD} \quad$ (प्रमेय 9.7)

इससे प्राप्त होता है $\quad \angle \mathrm{CBD}=30^{\circ}$

पुनः, $\quad \angle \mathrm{ACB}=90^{\circ}\quad $ (क्यों?)

अतः, $\quad \angle \mathrm{BCE}=180^{\circ}-\angle \mathrm{ACB}=90^{\circ}$

जिससे प्राप्त होता है $\angle \mathrm{CEB}=90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}$, अर्थात् $\angle \mathrm{AEB}=60^{\circ}$

उदाहरण 3 : चित्र 9.20 में, ABCD एक चक