9.1 وتر کے ذریعے نقطے پر بننے والا زاویہ

آپ نے کلاس ششم میں دائرے اور اس کے حصوں کے بارے میں پہلے ہی پڑھا ہے۔ ایک خط قطعہ $P Q$ لیں اور ایک نقطہ $R$ لیں جو PQ پر مشتمل خط پر نہ ہو۔ PR اور QR جوڑیں (شکل 9.1 دیکھیں)۔ پھر $\angle \mathrm{PRQ}$ کو خط قطعہ $\mathrm{PQ}$ کے ذریعے نقطہ $\mathrm{R}$ پر بننے والا زاویہ کہا جاتا ہے۔ شکل 9.2 میں زاویہ POQ، PRQ اور PSQ کو کیا کہتے ہیں؟ $\angle$ POQ وتر $\mathrm{PQ}$ کے ذریعے مرکز $\mathrm{O}, \angle \mathrm{PRQ}$ پر بننے والا زاویہ ہے اور $\angle \mathrm{PSQ}$ بالترتیب $\mathrm{PQ}$ کے ذریعے نقاط $\mathrm{R}$ اور $\mathrm{S}$ پر بننے والے زاویے ہیں جو بڑے اور چھوٹے قوس $\mathrm{PQ}$ پر واقع ہیں۔

شکل 9.1

شکل 9.2

آئیے ہم وتر کے سائز اور اس کے ذریعے مرکز پر بننے والے زاویے کے درمیان تعلق کا جائزہ لیں۔ آپ مختلف سائز کے وتر کھینچ کر اور ان کے ذریعے مرکز پر بننے والے زاویے ناپ کر دیکھ سکتے ہیں کہ وتر جتنا لمبا ہوگا، اس کے ذریعے مرکز پر بننے والا زاویہ اتنا ہی بڑا ہوگا۔ اگر آپ ایک دائرے کے دو برابر وتر لیں گے تو کیا ہوگا؟ کیا مرکز پر بننے والے زاویے برابر ہوں گے یا نہیں؟

ایک دائرے کے دو یا زیادہ برابر وتر کھینچیں اور ان کے ذریعے مرکز پر بننے والے زاویے ناپیں (شکل 9.3 دیکھیں)۔ آپ پائیں گے کہ ان کے ذریعے مرکز پر بننے والے زاویے برابر ہیں۔ آئیے ہم اس حقیقت کا ثبوت دیں۔

شکل 9.3

قضیہ 9.1 : دائرے کے برابر وتر مرکز پر برابر زاویے بناتے ہیں۔

ثبوت : آپ کو مرکز O والے دائرے کے دو برابر وتر AB اور CD دیے گئے ہیں (شکل 9.4 دیکھیں)۔ آپ کو ثابت کرنا ہے کہ $\angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{COD}$

شکل 9.4

مثلثوں $\mathrm{AOB}$ اور $\mathrm{COD}$ میں،

$$ \begin{array}{ll} \mathrm{OA}=\mathrm{OC} & (\text { Radii of a circle }) \\ \mathrm{OB}=\mathrm{OD} & (\text { Radii of a circle }) \\ \mathrm{AB}=\mathrm{CD} & (\text { Given}) \end{array} $$

لہٰذا

$$ \Delta \mathrm{AOB} \cong \Delta \mathrm{COD} \quad(\mathrm{SSS} \text { rule }) $$

اس سے ملتا ہے $\angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{COD}$

(مطابق مثلثوں کے متناظر حصے)

ملاحظہ : سہولت کے لیے، ‘مطابق مثلثوں کے متناظر حصے’ کی جگہ مخفف CPCT استعمال کیا جائے گا، کیونکہ جیسا کہ آپ دیکھیں گے، ہم اسے بہت کثرت سے استعمال کرتے ہیں۔

اب اگر دائرے کے دو وتر مرکز پر برابر زاویے بناتے ہیں، تو آپ وتروں کے بارے میں کیا کہہ سکتے ہیں؟ کیا وہ برابر ہیں یا نہیں؟ آئیے اس کا جائزہ مندرجہ ذیل سرگرمی کے ذریعے لیں:

ٹریسنگ پیپر لیں اور اس پر ایک دائرہ کھینچیں۔ دائرے کے ساتھ کاٹ کر ایک ڈسک حاصل کریں۔ اس کے مرکز $\mathrm{O}$ پر، ایک زاویہ $\mathrm{AOB}$ بنائیں جہاں $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ دائرے پر نقاط ہیں۔ مرکز پر ایک اور زاویہ $\mathrm{POQ}$ بنائیں جو $\angle A O B$ کے برابر ہو۔ ڈسک کو $A B$ اور $P Q$ کے ساتھ کاٹیں (شکل 9.5 دیکھیں)۔ آپ کو دائرے کے دو قطعے ACB اور PRQ ملیں گے۔ اگر آپ ایک کو دوسرے پر رکھیں، تو آپ کیا مشاہدہ کرتے ہیں؟ وہ ایک دوسرے کو ڈھانپ لیتے ہیں، یعنی وہ مطابق ہیں۔ $\mathrm{So} \mathrm{AB}=\mathrm{PQ}$.

شکل 9.5

اگرچہ آپ نے اس خاص صورت کے لیے دیکھا ہے، دیگر برابر زاویوں کے لیے بھی آزما کر دیکھیں۔ تمام وتر برابر ثابت ہوں گے کیونکہ مندرجہ ذیل قضیہ ہے:

قضیہ 9.2 : اگر دائرے کے وتروں کے ذریعے مرکز پر بننے والے زاویے برابر ہوں، تو وتر برابر ہوتے ہیں۔

مذکورہ بالا قضیہ قضیہ 9.1 کا معکوس ہے۔ نوٹ کریں کہ شکل 9.4 میں، اگر آپ $\angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{COD}$ لیں، تو

$\triangle \mathrm{AOB} \cong \triangle \mathrm{COD}$ (کیوں؟)

کیا اب آپ دیکھ سکتے ہیں کہ $\mathrm{AB}=\mathrm{CD}$ ؟

9.2 مرکز سے وتر پر عمود

سرگرمی : ٹریسنگ پیپر پر ایک دائرہ کھینچیں۔ اس کا مرکز $\mathrm{O}$ ہو۔ ایک وتر AB کھینچیں۔ کاغذ کو $\mathrm{O}$ سے گزرنے والی ایک خط کے ساتھ موڑیں تاکہ وتر کا ایک حصہ دوسرے پر گر جائے۔ موڑ وتر $\mathrm{AB}$ کو نقطہ $\mathrm{M}$ پر کاٹے۔ پھر، $\angle \mathrm{OMA}=\angle \mathrm{OMB}=90^{\circ}$ یا $\mathrm{OM}$ AB پر عمود ہے۔ کیا نقطہ B، نقطہ A کے ساتھ منطبق ہوتا ہے (شکل 9.6 دیکھیں)؟

ہاں، ہوگا۔ لہٰذا MA=MB۔

شکل 9.6

خود ثبوت دیں $\mathrm{OA}$ اور $\mathrm{OB}$ کو جوڑ کر اور قائم الزاویہ مثلثوں OMA اور OMB کو مطابق ثابت کر کے۔ یہ مثال مندرجہ ذیل نتیجہ کی ایک خاص صورت ہے:

قضیہ 9.3 : دائرے کے مرکز سے وتر پر ڈالا گیا عمود وتر کو تنصیف کرتا ہے۔

اس قضیہ کا معکوس کیا ہے؟ اسے لکھنے کے لیے، پہلے ہم واضح کریں کہ قضیہ 9.3 میں کیا مفروضہ ہے اور کیا ثابت کیا گیا ہے۔ دیا گیا ہے کہ دائرے کے مرکز سے وتر پر عمود کھینچا گیا ہے اور ثابت کرنا ہے کہ یہ وتر کو تنصیف کرتا ہے۔ لہٰذا معکوس میں، مفروضہ یہ ہے کہ ‘اگر مرکز سے کھینچی گئی ایک خط دائرے کے ایک وتر کو تنصیف کرتی ہے’ اور ثابت کرنا یہ ہے کہ ‘خط وتر پر عمود ہے’۔ لہٰذا معکوس یہ ہے:

قضیہ 9.4 : دائرے کے مرکز سے کھینچی گئی وتر کو تنصیف کرنے والی خط وتر پر عمود ہوتی ہے۔

کیا یہ سچ ہے؟ چند صورتوں کے لیے آزما کر دیکھیں۔ آپ دیکھیں گے کہ ان صورتوں کے لیے یہ سچ ہے۔ دیکھیں کہ کیا یہ عمومی طور پر سچ ہے، مندرجہ ذیل مشق کر کے۔ ہم مراحل لکھیں گے اور آپ وجوہات دیں۔

فرض کریں $\mathrm{AB}$ مرکز $\mathrm{O}$ والے دائرے کا ایک وتر ہے اور $\mathrm{O}$ کو وتر $\mathrm{AB}$ کے وسط نقطہ $\mathrm{M}$ سے جوڑا گیا ہے۔ آپ کو ثابت کرنا ہے کہ $\mathrm{OM} \perp \mathrm{AB}$۔ $\mathrm{OA}$ اور $\mathrm{OB}$ کو جوڑیں (شکل 9.7 دیکھیں)۔ مثلثوں OAM اور OBM میں،

$$ \begin{aligned} \mathrm{OA} & =\mathrm{OB}\quad \text{(Why ?)}\\ \mathrm{AM} & =\mathrm{BM}\quad \text{(Why ?)} \\ \mathrm{OM} & =\mathrm{OM}\quad \text{(Common)} \end{aligned} $$

شکل 9.7

لہٰذا، $\triangle \mathrm{OAM} \cong \triangle \mathrm{OBM}\quad \text{(How ?)}$

اس سے ملتا ہے $\angle \mathrm{OMA}=\angle \mathrm{OMB}=90^{\circ} \quad$ (کیوں؟)

9.3 برابر وتر اور مرکز سے ان کے فاصلے

فرض کریں $\mathrm{AB}$ ایک خط ہے اور $\mathrm{P}$ ایک نقطہ ہے۔ چونکہ ایک خط پر لامتناہی نقاط ہوتے ہیں، اگر آپ ان نقاط کو $\mathrm{P}$ سے جوڑیں، تو آپ کو لامتناہی خط قطعے $\mathrm{PL_1}, \mathrm{PL_2}, \mathrm{PM}, \mathrm{PL_3}, \mathrm{PL_4}$، وغیرہ ملیں گے۔ ان میں سے کون سا AB کا P سے فاصلہ ہے؟ آپ تھوڑی دیر سوچیں اور جواب پا سکتے ہیں۔ ان خط قطعوں میں سے، $\mathrm{P}$ سے $\mathrm{AB}$ پر عمود، یعنی شکل 9.8 میں $\mathrm{PM}$، سب سے کم ہوگا۔ ریاضی میں، ہم اس کم سے کم لمبائی $P M$ کو $A B$ کا $P$ سے فاصلہ قرار دیتے ہیں۔ لہٰذا آپ کہہ سکتے ہیں کہ:

شکل 9.8

کسی نقطہ سے کسی خط پر عمود کی لمبائی اس خط کا اس نقطہ سے فاصلہ ہوتی ہے۔

نوٹ کریں کہ اگر نقطہ خط پر واقع ہو، تو خط کا نقطہ سے فاصلہ صفر ہوتا ہے۔

ایک دائرے کے لامتناہی وتر ہو سکتے ہیں۔ آپ دائرے کے وتر کھینچ کر مشاہدہ کر سکتے ہیں کہ لمبا وتر چھوٹے وتر کے مقابلے میں مرکز کے قریب تر ہوتا ہے۔ آپ مختلف لمبائیوں کے کئی وتر کھینچ کر اور مرکز سے ان کے فاصلے ناپ کر اس کا مشاہدہ کر سکتے ہیں۔ قطر، جو سب سے لمبا وتر ہے، کا مرکز سے فاصلہ کیا ہے؟ چونکہ مرکز اس پر واقع ہوتا ہے، فاصلہ صفر ہے۔ کیا آپ کے خیال میں وتروں کی لمبائی اور مرکز سے ان کے فاصلے کے درمیان کوئی تعلق ہے؟ آئیے دیکھتے ہیں کہ آیا ایسا ہے۔

شکل 9.9

سرگرمی : ٹریسنگ پیپر پر کسی بھی رداس کا ایک دائرہ کھینچیں۔ اس کے دو برابر وتر $\mathrm{AB}$ اور $\mathrm{CD}$ کھینچیں اور مرکز O سے ان پر عمود $\mathrm{OM}$ اور $\mathrm{ON}$ بھی کھینچیں۔ شکل کو موڑیں تاکہ D، B پر گرے اور C، A پر گرے [شکل 9.9 (i) دیکھیں]۔ آپ مشاہدہ کر سکتے ہیں کہ $\mathrm{O}$ موڑ پر واقع ہوتا ہے اور $\mathrm{N}$، $\mathrm{M}$ پر گرتا ہے۔ لہٰذا، $\mathrm{OM}=\mathrm{ON}$۔ اس سرگرمی کو مراکز $\mathrm{O}$ اور $\mathrm{O}^{\prime}$ والے مطابق دائرے کھینچ کر اور ہر ایک پر ایک ایک برابر وتر $A B$ اور $C D$ لے کر دہرائیں۔ ان پر عمود $O M$ اور $O^{\prime} N$ کھینچیں [شکل 9.9(ii) دیکھیں]۔ ایک دائرہ نما ڈسک کاٹیں اور دوسری پر اس طرح رکھیں کہ $A B$، $\mathrm{CD}$ کے ساتھ منطبق ہو جائے۔ پھر آپ دیکھیں گے کہ $\mathrm{O}$، $\mathrm{O}^{\prime}$ کے ساتھ منطبق ہو جاتا ہے اور $\mathrm{M}$، $\mathrm{N}$ کے ساتھ منطبق ہو جاتا ہے۔ اس طرح آپ نے مندرجہ ذیل کی تصدیق کی:

قضیہ 9.5 : دائرے (یا مطابق دائرے) کے برابر وتر مرکز (یا مراکز) سے مساوی فاصلے پر ہوتے ہیں۔

اگلا، یہ دیکھا جائے گا کہ آیا اس قضیہ کا معکوس سچ ہے یا نہیں۔ اس کے لیے، مرکز O والا ایک دائرہ کھینچیں۔ مرکز O سے، برابر لمبائی کے دو خط قطعے OL اور OM کھینچیں جو دائرے کے اندر واقع ہوں [شکل 9.10(i) دیکھیں]۔ پھر دائرے کے وتر PQ اور RS کھینچیں جو بالتربط OL اور OM پر عمود ہوں [شکل 9.10(ii) دیکھیں]۔ PQ اور RS کی لمبائیاں ناپیں۔ کیا یہ مختلف ہیں؟ نہیں، دونوں برابر ہیں۔ مزید برابر خط قطعوں کے لیے اور ان پر عمود وتر کھینچ کر سرگرمی دہرائیں۔ اس سے قضیہ 9.5 کے معکوس کی تصدیق ہوتی ہے جو مندرجہ ذیل طور پر بیان کیا جاتا ہے:

شکل 9.10

قضیہ 9.6 : دائرے کے مرکز سے مساوی فاصلے پر واقع وتر لمبائی میں برابر ہوتے ہیں۔ اب ہم مذکورہ بالا نتائج کے استعمال کو واضح کرنے کے لیے ایک مثال لیتے ہیں:

مثال 1 : اگر دائرے کے دو متقاطع وتر اپنے تقاطع نقطے سے گزرنے والے قطر کے ساتھ برابر زاویے بناتے ہیں، تو ثابت کریں کہ وتر برابر ہیں۔

حل : دیا گیا ہے کہ $\mathrm{AB}$ اور $\mathrm{CD}$ مرکز $\mathrm{O}$ والے دائرے کے دو وتر ہیں جو نقطہ $\mathrm{E}$ پر قطع کرتے ہیں۔ $\mathrm{PQ}$ نقطہ $\mathrm{E}$ سے گزرنے والا قطر ہے، ایسا کہ $\angle \mathrm{AEQ}=\angle \mathrm{DEQ}$ (شکل 9.11 دیکھیں)۔ آپ کو ثابت کرنا ہے کہ $\mathrm{AB}=\mathrm{CD}$۔ وتروں $\mathrm{AB}$ اور $\mathrm{CD}$ پر بالترتیب عمود OL اور OM کھینچیں۔ اب

شکل 9.11

$$ \begin{aligned} \angle \mathrm{LOE}= & 180^{\circ}-90^{\circ}-\angle \mathrm{LEO}=90^{\circ}-\angle \mathrm{LEO} \\ & \quad(\text { Angle sum property of a triangle }) \\ = & 90^{\circ}-\angle \mathrm{AEQ}=90^{\circ}-\angle \mathrm{DEQ} \\ = & 90^{\circ}-\angle \mathrm{MEO}=\angle \mathrm{MOE} \end{aligned} $$

مثلثوں OLE اور OME میں،

$$ \begin{aligned} \angle \mathrm{LEO} & =\angle \mathrm{MEO}\quad \quad \text{(Why ?)} \\ \angle \mathrm{LOE} & =\angle \mathrm{MOE}\quad \quad \text{(Proved above)} \\ \mathrm{EO} & =\mathrm{EO}\quad \quad \text{(Common)} \\ \text{Therefore},\quad\Delta \mathrm{OLE} & \cong \Delta \mathrm{OME}\quad \quad \text{(Why ?)} \\ \text{This gives}\quad\mathrm{OL} & =\mathrm{OM}\quad \quad \text{(CPCT)} \\ \text{ So, }\quad\mathrm{AB} & =\mathrm{CD}\quad \quad \text{(Why?)} \end{aligned} $$

9.4 دائرے کے قوس کے ذریعے بننے والا زاویہ

آپ نے دیکھا ہے کہ قطر کے علاوہ کسی وتر کے سرے دائرے کو دو قوسوں میں تقسیم کرتے ہیں - ایک بڑا اور دوسرا چھوٹا۔ اگر آپ دو برابر وتر لیں، تو آپ قوسوں کے سائز کے بارے میں کیا کہہ سکتے ہیں؟ کیا پہلے وتر کے بنائے گئے قوس کی لمبائی دوسرے وتر کے بنائے گئے متناظر قوس کے برابر ہے؟ درحقیقت، وہ صرف لمبائی میں برابر سے زیادہ ہیں۔ وہ اس لحاظ سے مطابق ہیں کہ اگر ایک قوس کو بغیر موڑے یا مروڑے دوسرے پر رکھا جائے، تو وہ دوسرے کو مکمل طور پر ڈھانپ لیتی ہے۔

آپ اس حقیقت کی تصدیق وتر $\mathrm{CD}$ کے متناظر قوس کو دائرے سے کاٹ کر اور برابر وتر AB کے بنائے گئے متناظر قوس پر رکھ کر کر سکتے ہیں۔ آپ دیکھیں گے کہ قوس CD، قوس AB کو مکمل طور پر ڈھانپ لیتی ہے (شکل 9.13 دیکھیں)۔ یہ دکھاتا ہے کہ برابر وتر مطابق قوس بناتے ہیں اور اس کے برعکس مطابق قوس دائرے کے برابر وتر بناتے ہیں۔ آپ اسے مندرجہ ذیل طور پر بیان کر سکتے ہیں:

شکل 9.13

اگر دائرے کے دو وتر برابر ہوں، تو ان کے متناظر قوس مطابق ہوتے ہیں اور اس کے برعکس، اگر دو قوس مطابق ہوں، تو ان کے متناظر وتر برابر ہوتے ہیں۔

نیز، قوس کے ذریعے مرکز پر بننے والے زاویے کو اس طرح تعریف کیا جاتا ہے کہ متناظر وتر کے ذریعے مرکز پر بننے والا زاویہ، اس معنی میں کہ چھوٹا قوس زاویہ بناتا ہے اور بڑا قوس انعکاسی زاویہ بناتا ہے۔ لہٰذا، شکل 9.14 میں، چھوٹے قوس $\mathrm{PQ}$ کے ذریعے $\mathrm{O}$ پر بننے والا زاویہ $\angle \mathrm{POQ}$ ہے اور بڑے قوس $\mathrm{PQ}$ کے ذریعے $\mathrm{O}$ پر بننے والا زاویہ انعکاسی زاویہ POQ ہے۔

مذکورہ بالا خاصیت اور قضیہ 9.1 کے پیش نظر، مندرجہ ذیل نتیجہ درست ہے:

شکل 9.14

دائرے کے مطابق قوس (یا برابر قوس) مرکز پر برابر زاویے بناتے ہیں۔

لہٰذا، دائرے کے کسی وتر کے ذریعے اس کے مرکز پر بننے والا زاویہ، متناظر (چھوٹے) قوس کے ذریعے مرکز پر بننے والے زاویہ کے برابر ہوتا ہے۔ مندرجہ ذیل قضیہ قوس کے ذریعے مرکز پر اور دائرے کے کسی نقطہ پر بننے والے زاویوں کے درمیان تعلق دیتا ہے۔

قضیہ 9.7 : قوس کے ذریعے مرکز پر بننے والا زاویہ، دائرے کے باقی ماندہ حصے پر کسی بھی نقطہ پر اس کے ذریعے بننے والے زاویہ سے دگنا ہوتا ہے۔

ثبوت : دیا گیا ہے کہ دائرے کا ایک قوس PQ مرکز $\mathrm{O}$ پر زاویہ POQ اور باقی ماندہ حصے پر نقطہ $A$ پر زاویہ PAQ بناتا ہے۔ ہمیں ثابت کرنا ہے کہ $\angle \mathrm{POQ}=2 \angle \mathrm{PAQ}$۔

(i)

(ii)

(iii)

شکل 9.15

شکل 9.15 میں دی گئی تین مختلف صورتوں پر غور کریں۔ (i) میں، قوس PQ چھوٹا ہے؛ (ii) میں، قوس PQ نیم دائرہ ہے اور (iii) میں، قوس PQ بڑا ہے۔

آئیے $\mathrm{AO}$ کو جوڑ کر اور اسے نقطہ $\mathrm{B}$ تک بڑھا کر شروع کریں۔

تمام صورتوں میں،

$$ \angle \mathrm{BOQ}=\angle \mathrm{OAQ}+\angle \mathrm{AQO} $$

کیونکہ مثلث کا بیرونی زاویہ دو غیر متصل اندرونی زاویوں کے مجموعے کے برابر ہوتا ہے۔

نیز $\triangle \mathrm{OAQ}$ میں،

$\quad \quad \quad \mathrm{OA}=\mathrm{OQ}\quad \text{(Radii of a circle)}$

لہٰذا، $\quad \angle \mathrm{OAQ}=\angle \mathrm{OQA} \quad \text{(Theorem 7.5)}$

اس سے ملتا ہے $\quad \angle \mathrm{BOQ}=2 \angle \mathrm{OAQ} \quad (1)$

اسی طرح، $ \quad \angle \mathrm{BOP}=2 \angle \mathrm{OAP} \quad (2)$

(1) اور (2) سے، $\quad \angle \mathrm{BOP}+\angle \mathrm{BOQ}=2(\angle \mathrm{OAP}+\angle \mathrm{OAQ})$

یہ وہی ہے جو $\quad \angle \mathrm{POQ}=2 \angle \mathrm{PAQ}\quad (3)$

صورت (iii) کے لیے، جہاں $\mathrm{PQ}$ بڑا قوس ہے، (3) کی جگہ پر

$\text { reflex angle } \mathrm{POQ}=2 \angle \mathrm{PAQ}$

ملاحظہ : فرض کریں ہم نقاط $\mathrm{P}$ اور $\mathrm{Q}$ کو جوڑ کر اور مذکورہ بالا اشکال میں وتر PQ بناتے ہیں۔ پھر $\angle \mathrm{PAQ}$ کو قطعہ PAQP میں بننے والا زاویہ بھی کہا جاتا ہے۔

قضیہ 9.7 میں، A دائرے کے باقی ماندہ حصے پر کوئی بھی نقطہ ہو سکتا ہے۔ لہٰذا اگر آپ دائرے کے باقی ماندہ حصے پر کوئی دوسرا نقطہ $\mathrm{C}$ لیں (شکل 9.16 دیکھیں)، تو آپ کے پاس ہے

$\quad \quad \quad \angle \mathrm{POQ}=2 \angle \mathrm{PCQ}=2 \angle \mathrm{PAQ}$

لہٰذا، $\quad \angle \mathrm{PCQ}=2 \angle \mathrm{PAQ}$۔

شکل 9.16

اس سے مندرجہ ذیل ثابت ہوتا ہے:

قضیہ 9.8 : دائرے کے ایک ہی قطعہ میں واقع زاویے برابر ہوتے ہیں۔

آئیے ہم قضیہ 10.8 کی صورت (ii) پر الگ سے بحث کریں۔ یہاں $\angle \mathrm{PAQ}$ قطعہ میں واقع ایک زاویہ ہے، جو ایک نیم دائرہ ہے۔ نیز، $\angle \mathrm{PAQ}=\frac{1}{2} \angle \mathrm{POQ}=\frac{1}{2} \times 180^{\circ}=90^{\circ}$۔ اگر آپ نیم دائرے پر کوئی دوسرا نقطہ $\mathrm{C}$ لیں، پھر آپ کو ملے گا کہ

$\angle \mathrm{PCQ}=90^{\circ}$

لہٰذا، آپ دائرے کی ایک اور خاصیت پاتے ہیں:

نیم دائرے میں زاویہ قائمہ ہوتا ہے۔

قضیہ 9.8 کا معکوس بھی سچ ہے۔ اسے مندرجہ ذیل طور پر بیان کیا جا سکتا ہے:

قضیہ 9.9 : اگر دو نقاط کو ملانے والا خط قطعہ خط قطعہ پر مشتمل خط کے ایک ہی طرف واقع دو دیگر نقاط پر برابر زاویے بناتا ہے، تو چاروں نقاط ایک دائرے پر واقع ہوتے ہیں (یعنی وہ ہم دائرہ ہوتے ہیں)۔

آپ اس نتیجہ کی سچائی مندرجہ ذیل طور پر دیکھ سکتے ہیں:

شکل 9.17 میں، $\mathrm{AB}$ ایک خط قطعہ ہے، جو دو نقاط $\mathrm{C}$ اور $\mathrm{D}$ پر برابر زاویے بناتا ہے۔ یعنی

شکل 9.17

$$ \angle \mathrm{ACB}=\angle \mathrm{ADB} $$

یہ دکھانے کے لیے کہ نقاط $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ اور $\mathrm{D}$ ایک دائرے پر واقع ہیں، آئیے ہم نقاط A، C اور B سے گزرنے والا ایک دائرہ کھینچیں۔ فرض کریں یہ نقطہ $\mathrm{D}$ سے نہیں گزرتا۔ پھر یہ $\mathrm{AD}$ (یا بڑھائی گئی $\mathrm{AD}$) کو ایک نقطہ پر قطع کرے گا، فرض کریں $\mathrm{E}$ (یا $\mathrm{E}^{\prime}$)۔

اگر نقاط $\mathrm{A}, \mathrm{C}, \mathrm{E}$ اور $\mathrm{B}$ ایک دائرے پر واقع ہوں،

$$ \angle \mathrm{ACB}=\angle \mathrm{AEB} \quad \text{(Why?)} $$

لیکن دیا گیا ہے کہ $\quad \angle \mathrm{ACB}=\angle \mathrm{ADB}$۔

لہٰذا، $\quad \quad \angle \mathrm{AEB}=\angle \mathrm{ADB} .$

یہ تب تک ممکن نہیں جب تک کہ $\mathrm{E}$، $\mathrm{D}$ کے ساتھ منطبق نہ ہو جائے۔ (کیوں؟)

اسی طرح، E’ بھی D کے ساتھ منطبق ہونا چاہیے۔

9.5 ہم دائرہ چوکور

ایک چوکور $\mathrm{ABCD}$ ہم دائرہ کہلاتا ہے اگر اس کے چاروں راس ایک دائرے پر واقع ہوں (شکل 9.18 دیکھیں)۔ آپ ایسے چوکوروں میں ایک عجیب خاصیت پائیں گے۔ مختلف اطراف کے کئی ہم دائرہ چوکور کھینچیں اور ہر ایک کو ABCD نام دیں۔ (یہ مختلف رداس کے کئی دائرے کھینچ کر اور ہر ایک پر چار نقاط لے کر کیا جا سکتا ہے۔ مخالف زاویے ناپیں اور اپنے مشاہدات مندرجہ ذیل جدول میں لکھیں۔

شکل 9.18

آپ جدول سے کیا نتیجہ اخذ کرتے ہیں؟

آپ پاتے ہیں کہ $\angle \mathrm{A}+\angle \mathrm{C}=180^{\circ}$ اور $\angle \mathrm{B}+\angle \mathrm{D}=180^{\circ}$، ناپنے میں ہونے والی غلطی کو نظر انداز کرتے ہوئے۔ اس سے مندرجہ ذیل کی تصدیق ہوتی ہے:

قضیہ 9.10 : ہم دائرہ چوکور کے مخالف زاویوں کے کسی بھی جوڑے کا مجموعہ $180^{\circ}$ ہوتا ہے۔

درحقیقت، اس قضیہ کا معکوس، جو نیچے بیان کیا گیا ہے، بھی سچ ہے۔

قضیہ 9.11 : اگر کسی چوکور کے مخالف زاویوں کے ایک جوڑے کا مجموعہ $180^{\circ}$ ہو، تو چوکور ہم دائرہ ہوتا ہے۔

آپ قضیہ 9.9 کے لیے اپنائی گئی طریقہ کے مشابہ طریقہ اپنا کر اس قضیہ کی سچائی دیکھ سکتے ہیں۔

مثال 2 : شکل 9.19 میں، $\mathrm{AB}$ دائرے کا قطر ہے، $\mathrm{CD}$ دائرے کے رداس کے برابر ایک وتر ہے۔ $\mathrm{AC}$ اور $\mathrm{BD}$ جب بڑھائے جاتے ہیں تو نقطہ $\mathrm{E}$ پر قطع کرتے ہیں۔ ثابت کریں کہ $\angle \mathrm{AEB}=60^{\circ}$۔

شکل 9.19

حل : OC، OD اور BC کو جوڑیں۔

مثلث ODC متساوی الاضلاع ہے $\quad$ (کیوں؟)

لہٰذا، $\angle \mathrm{COD}=60^{\circ}$

اب، $\quad \angle \mathrm{CBD}=\frac{1}{2} \angle \mathrm{COD} \quad$ (قضیہ 9.7)

اس سے ملتا ہے $\quad \angle \mathrm{CBD}=30^{\circ}$

پھر، $\quad \angle \mathrm{ACB}=90^{\circ}\quad $ (کیوں؟)

لہٰذا، $\quad \angle \mathrm{BCE}=180^{\circ}-\angle \mathrm{ACB}=90^{\circ}$

جس سے ملتا ہے $\angle \mathrm{CEB}=90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}$، یعنی $\angle \mathrm{AEB}=60^{\circ}$

مثال 3 : شکل 9.20 میں، ABCD ایک ہم دائرہ چوکور ہے جس میں $\mathrm{AC}$ اور $\mathrm{BD}$ اس کے قطر ہیں۔ اگر $\angle \mathrm{DBC}=55^{\circ}$ اور $\angle \mathrm{BAC}=45^{\circ}$، تو $\angle \mathrm{BCD}$ معلوم کریں۔

شکل 9.20

حل : $\quad \angle \mathrm{CAD}=\angle \mathrm{DBC}=55^{\circ}$ (ایک ہی قطعہ میں زاویے)

$$ \begin{aligned} \text{Therefore,}\quad \angle \mathrm{DAB} & =\angle \mathrm{CAD}+\angle \mathrm{BAC} \\ & =55^{\circ}+45^{\circ}=100^{\circ} \end{aligned} $$

لیکن $\quad \angle \mathrm{DAB}+\angle \mathrm{BCD}=180^{\circ}$

(ہم دائرہ چوکور کے مخالف زاویے)

لہٰذا،$\quad \angle \mathrm{BCD}=180^{\circ}-100^{\circ}=80^{\circ}$

مثال 4 : دو دائرے دو نقاط A اور $\mathrm{B} . \mathrm{AD}$ پر قطع کرتے ہیں اور $\mathrm{AC}$ دو دائرے کے قطر ہیں (شکل 9.21 دیکھیں)۔ ثابت کریں کہ B خط قطعہ DC پر واقع ہے۔

شکل 9.21

حل : AB کو جوڑیں۔

$$ \begin{aligned} & \angle \mathrm{ABD}=90^{\circ} \quad(\text { Angle in a semicircle }) \\ & \angle \mathrm{ABC}=90^{\circ} \quad(\text { Angle in a semicircle }) \end{aligned} $$

لہٰذا، $\quad \angle \mathrm{ABD}+\angle \mathrm{ABC}=90^{\circ}+90^{\circ}=180^{\circ}$

لہٰذا، $\mathrm{DBC}$ ایک خط ہے۔ یعنی $\mathrm{B}$ خط قطعہ $\mathrm{DC}$ پر واقع ہے۔

مثال 5 : ثابت کریں کہ کسی بھی چوکور کے اندرونی زاویوں کے ناصفوں سے بننے والا چوکور (اگر ممکن ہو) ہم دائرہ ہوتا ہے۔

حل : شکل 9.22 میں، ABCD ایک چوکور ہے جس میں اندرونی زاویوں A، B، C اور D کے ناصف بالتربط $\mathrm{AH}, \mathrm{BF}, \mathrm{CF}$ اور $\mathrm{DH}$ ایک چوکور $\mathrm{EFGH}$ بناتے ہیں۔

شکل 9.22

$$ \begin{aligned} \text{Now,}\quad \angle \mathrm{FEH}=\angle \mathrm{AEB} & =180^{\circ}-\angle \mathrm{EAB}-\angle \mathrm{EBA}(\text { Why } ?) \\ & =180^{\circ}-\frac{1}{2}(\angle \mathrm{A}+\angle \mathrm{B}) \end{aligned} $$

اور $\angle \mathrm{FGH}=\angle \mathrm{CGD}=180^{\circ}-\angle \mathrm{GCD}-\angle \mathrm{GDC} \quad$ (کیوں؟) $$ =180^{\circ}-\frac{1}{2}(\angle \mathrm{C}+\angle \mathrm{D}) $$

لہٰذا، $\angle \mathrm{FEH}+\angle \mathrm{FGH}=180^{\circ}-\frac{1}{2}(\angle \mathrm{A}+\angle \mathrm{B})+180^{\circ}-\frac{1}{2}(\angle \mathrm{C}+\angle \mathrm{D})$

$$ \begin{aligned} & =360^{\circ}-\frac{1}{2}(\angle \mathrm{A}+\angle \mathrm{B}+\angle \mathrm{C}+\angle \mathrm{D})=360^{\circ}-\frac{1}{2} \times 360^{\circ} \\ & =360^{\circ}-180^{\circ}=180^{\circ} \end{aligned} $$

لہٰذا، قضیہ 9.11 کے مطابق، چوکور EFGH ہم دائرہ ہے۔

9.6 خلاصہ

اس باب میں، آپ نے مندرجہ ذیل نکات کا مطالعہ کیا ہے:

1. دائرہ ایک مستوی میں تمام نقاط کا مجموعہ ہے جو مستوی میں ایک مقررہ نقطہ سے مساوی فاصلے پر ہوتے ہیں۔

2. دائرے (یا مطابق دائرے) کے برابر وتر مرکز پر برابر زاویے بناتے ہیں۔

3. اگر دائرے (یا مطابق دائرے) کے دو وتروں کے ذریعے مرکز (متناظر مراکز) پر بننے والے زاویے برابر ہوں، تو وتر برابر ہوتے ہیں۔

4. دائرے کے مرکز سے وتر پر ڈالا گیا عمود وتر کو تنصیف کرتا ہے۔

5. دائرے کے مرکز سے کھینچی گئی وتر کو تنصیف کرنے والی خط وتر پر عمود ہوتی ہے۔

6. دائرے (یا مطابق دائرے) کے برابر وتر مرکز (یا متناظر مراکز) سے مساوی فاصلے پر ہوتے ہیں۔

7. دائرے (یا مطابق دائرے) کے مرکز (یا متناظر مراکز) سے مساوی فاصلے پر واقع وتر برابر ہوتے ہیں۔

8. اگر دائرے کے دو قوس مطابق ہوں، تو ان کے متناظر وتر برابر ہوتے ہیں اور اس کے برعکس اگر دائرے کے دو وتر برابر ہوں، تو ان کے متناظر قوس (چھوٹے، بڑے) مطابق ہوتے ہیں۔

9. دائرے کے مطابق قوس مرکز