९.१ जीवेने एका बिंदूत आंतरित केलेला कोन

तुम्ही आठवीतच वर्तुळ आणि त्याचे भाग यांचा अभ्यास केला आहे. एक रेषाखंड $P Q$ घ्या आणि एक बिंदू $R$ घ्या जो PQ असलेल्या रेषेवर नाही. PR आणि QR जोडा (आकृती ९.१ पहा). तर $\angle \mathrm{PRQ}$ याला रेषाखंड $\mathrm{PQ}$ ने बिंदू $\mathrm{R}$ वर आंतरित केलेला कोन म्हणतात. आकृती ९.२ मध्ये POQ, PRQ आणि PSQ यांना काय म्हणतात? $\angle$ POQ हा केंद्र $\mathrm{O}, \angle \mathrm{PRQ}$ वर जीवा $\mathrm{PQ}$ ने आंतरित केलेला कोन आहे आणि $\angle \mathrm{PSQ}$ हे अनुक्रमे $\mathrm{PQ}$ ने बिंदू $\mathrm{R}$ आणि $\mathrm{S}$ वर (जे मुख्य आणि गौण कंस $\mathrm{PQ}$ वर आहेत) आंतरित केलेले कोन आहेत.

आकृती ९.१

आकृती ९.२

जीवेची लांबी आणि तिने केंद्रस्थानी आंतरित केलेला कोन यांच्यातील संबध पाहू या. वर्तुळाच्या वेगवेगळ्या जीवा काढून आणि त्यांनी केंद्रस्थानी आंतरित केलेले कोन मोजून तुम्ही पाहू शकता की, जीवा जितकी लांब तितका तिने केंद्रस्थानी आंतरित केलेला कोन मोठा असेल. वर्तुळाच्या दोन समान जीवा घेतल्यास काय होईल? केंद्रस्थानी आंतरित केलेले कोन समान असतील की नाहीत?

वर्तुळाच्या दोन किंवा अधिक समान जीवा काढा आणि त्यांनी केंद्रस्थानी आंतरित केलेले कोन मोजा (आकृती ९.३ पहा). तुम्हाला असे आढळेल की त्यांनी केंद्रस्थानी आंतरित केलेले कोन समान असतात. ही गोष्ट सिद्ध करू या.

आकृती ९.३

प्रमेय ९.१ : वर्तुळाच्या समान जीवा केंद्रस्थानी समान कोन आंतरित करतात.

सिद्धता : O केंद्र असलेल्या वर्तुळाच्या AB आणि CD अशा दोन समान जीवा दिल्या आहेत (आकृती ९.४ पहा). तुम्हाला हे सिद्ध करायचे आहे की $\angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{COD}$

आकृती ९.४

$\mathrm{AOB}$ आणि $\mathrm{COD}$ या त्रिकोणांमध्ये,

$$ \begin{array}{ll} \mathrm{OA}=\mathrm{OC} & (\text { Radii of a circle }) \\ \mathrm{OB}=\mathrm{OD} & (\text { Radii of a circle }) \\ \mathrm{AB}=\mathrm{CD} & (\text { Given}) \end{array} $$

म्हणून

$$ \Delta \mathrm{AOB} \cong \Delta \mathrm{COD} \quad(\mathrm{SSS} \text { rule }) $$

यावरून $\angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{COD}$ मिळते

(एकरूप त्रिकोणांचे संगत भाग)

टिपणी : सोयीसाठी, ‘एकरूप त्रिकोणांचे संगत भाग’ या ऐवजी CPCT हे संक्षेप वापरले जाईल, कारण आपण हे बऱ्याचदा वापरू, हे तुम्ही पाहाल.

आता जर वर्तुळाच्या दोन जीवांनी केंद्रस्थानी समान कोन आंतरित केले, तर त्या जीवांबद्दल तुम्ही काय म्हणाल? त्या समान आहेत की नाहीत? हे पुढील कृतीने तपासू या:

ट्रेसिंग पेपर घ्या आणि त्यावर एक वर्तुळ काढा. ते वर्तुळाच्या आकारात कापून एक डिस्क मिळवा. त्याच्या केंद्रस्थानी $\mathrm{O}$, एक कोन $\mathrm{AOB}$ काढा जिथे $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ हे वर्तुळावरील बिंदू आहेत. केंद्रस्थानी $\angle A O B$ च्या बरोबरीचा दुसरा कोन $\mathrm{POQ}$ काढा. डिस्कला $A B$ आणि $P Q$ बाजूने कापा (आकृती ९.५ पहा). तुम्हाला वर्तुळाचे ACB आणि PRQ असे दोन कंस विभाग मिळतील. जर तुम्ही एक दुसऱ्यावर ठेवले, तर तुम्हाला काय दिसते? ते एकमेकांना झाकतात, म्हणजेच ते एकरूप आहेत. $\mathrm{So} \mathrm{AB}=\mathrm{PQ}$.

आकृती ९.५

जरी तुम्ही हे या विशिष्ट प्रकारासाठी पाहिले असेल, तरी इतर समान कोनांसाठीही ते करून पहा. खालील प्रमेयामुळे सर्व जीवा समान असल्याचे दिसून येतील:

प्रमेय ९.२ : जर वर्तुळाच्या जीवांनी केंद्रस्थानी आंतरित केलेले कोन समान असतील, तर त्या जीवा समान असतात.

वरील प्रमेय हा प्रमेय ९.१ चा व्यत्यास (converse) आहे. लक्षात घ्या की, आकृती ९.४ मध्ये, जर तुम्ही $\angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{COD}$ घेतले, तर

$\triangle \mathrm{AOB} \cong \triangle \mathrm{COD}$ (का?)

आता तुम्ही पाहू शकता की $\mathrm{AB}=\mathrm{CD}$ आहे का?

९.२ केंद्रापासून जीवेवर टाकलेला लंब

कृती : ट्रेसिंग पेपरवर एक वर्तुळ काढा. त्याचे केंद्र $\mathrm{O}$ असू द्या. एक जीवा AB काढा. कागदाला $\mathrm{O}$ मधून जाणाऱ्या रेषेने दुमडा जेणेकरून जीवेचा एक भाग दुसऱ्यावर पडेल. दुमडणीने $\mathrm{AB}$ ला $\mathrm{M}$ या बिंदूत छेदले असे समजा. तर, $\angle \mathrm{OMA}=\angle \mathrm{OMB}=90^{\circ}$ किंवा $\mathrm{OM}$ हा AB ला लंब आहे. बिंदू B हा A शी जुळतो का (आकृती ९.६ पहा)?

होय, जुळेल. म्हणून MA=MB.

आकृती ९.६

$\mathrm{OA}$ आणि $\mathrm{OB}$ जोडून आणि काटकोन त्रिकोण OMA आणि OMB एकरूप आहेत हे सिद्ध करून तुम्ही स्वतः पुरावा द्या. हे उदाहरण खालील निकालाचे एक विशिष्ट उदाहरण आहे:

प्रमेय ९.३ : वर्तुळाच्या केंद्रापासून जीवेवर टाकलेला लंब त्या जीवेला दुभागतो.

या प्रमेयाचा व्यत्यास काय आहे? हे लिहिण्यासाठी, प्रथम प्रमेय ९.३ मध्ये काय गृहीत धरले आहे आणि काय सिद्ध केले आहे हे स्पष्ट करू या. वर्तुळाच्या केंद्रापासून जीवेवर लंब टाकला आहे आणि तो जीवेला दुभागतो हे सिद्ध करायचे आहे. अशाप्रकारे व्यत्यासात, ‘जर वर्तुळाच्या केंद्रापासून काढलेली रेषा वर्तुळाच्या जीवेला दुभागते’ हे गृहीत आहे आणि ‘ती रेषा जीवेला लंब आहे’ हे सिद्ध करायचे आहे. म्हणून व्यत्यास असा आहे:

प्रमेय ९.४ : वर्तुळाच्या केंद्रातून काढलेली आणि जीवेला दुभागणारी रेषा त्या जीवेला लंब असते.

हे खरे आहे का? काही प्रकरणांसाठी ते करून पहा. तुम्हाला असे दिसेल की ते या प्रकरणांसाठी खरे आहे. पुढील उदाहरण करून पहा की ते सर्वसाधारणपणे खरे आहे का. आम्ही टप्पे लिहू आणि तुम्ही कारणे द्या.

$\mathrm{AB}$ ही O केंद्र असलेल्या वर्तुळाची जीवा असू द्या आणि $\mathrm{O}$ हे $\mathrm{AB}$ च्या मध्यबिंदू $\mathrm{M}$ शी जोडले आहे. तुम्हाला हे सिद्ध करायचे आहे की $\mathrm{OM} \perp \mathrm{AB}$. $\mathrm{OA}$ आणि $\mathrm{OB}$ जोडा (आकृती ९.७ पहा). OAM आणि OBM या त्रिकोणांमध्ये,

$$ \begin{aligned} \mathrm{OA} & =\mathrm{OB}\quad \text{(Why ?)}\\ \mathrm{AM} & =\mathrm{BM}\quad \text{(Why ?)} \\ \mathrm{OM} & =\mathrm{OM}\quad \text{(Common)} \end{aligned} $$

आकृती ९.७

म्हणून, $\triangle \mathrm{OAM} \cong \triangle \mathrm{OBM}\quad \text{(How ?)}$

यावरून $\angle \mathrm{OMA}=\angle \mathrm{OMB}=90^{\circ} \quad$ मिळते (का?)

९.३ समान जीवा आणि त्यांचे केंद्रापासूनचे अंतर

$\mathrm{AB}$ ही एक रेषा असू द्या आणि $\mathrm{P}$ हा एक बिंदू असू द्या. रेषेवर अनंत संख्येने बिंदू असल्याने, जर तुम्ही हे बिंदू $\mathrm{P}$ शी जोडले, तर तुम्हाला $\mathrm{PL_1}, \mathrm{PL_2}, \mathrm{PM}, \mathrm{PL_3}, \mathrm{PL_4}$ इत्यादी अनंत रेषाखंड मिळतील. यापैकी कोणता रेषाखंड AB चे P पासूनचे अंतर आहे? तुम्ही थोडा विचार करून उत्तर काढू शकता. या रेषाखंडांपैकी, $\mathrm{P}$ पासून $\mathrm{AB}$ वर टाकलेला लंब, म्हणजेच आकृती ९.८ मधील $\mathrm{PM}$, हा सर्वात लहान असेल. गणितात, आपण हे किमान लांबीचे अंतर $P M$ हे $A B$ चे $P$ पासूनचे अंतर म्हणून परिभाषित करतो. म्हणून तुम्ही असे म्हणू शकता:

आकृती ९.८

एका बिंदूपासून रेषेवर टाकलेल्या लंबाची लांबी हे त्या रेषेचे त्या बिंदूपासूनचे अंतर असते.

लक्षात घ्या की, जर बिंदू रेषेवर असेल, तर रेषेचे त्या बिंदूपासूनचे अंतर शून्य असते.

एका वर्तुळाला अनंत जीवा असू शकतात. वर्तुळाच्या जीवा काढून तुम्ही पाहू शकता की, लांब जीवा ही लहान जीवेपेक्षा केंद्राजवळ असते. वेगवेगळ्या लांबीच्या अनेक जीवा काढून आणि त्यांचे केंद्रापासूनचे अंतर मोजून तुम्ही हे पाहू शकता. व्यास, जो सर्वात लांब जीवा आहे, त्याचे केंद्रापासून अंतर किती? केंद्र त्यावर असल्यामुळे, अंतर शून्य असते. तुम्हाला असे वाटते का की जीवांची लांबी आणि त्यांचे केंद्रापासूनचे अंतर यांच्यात काही संबंध आहे? ते पाहू या.

आकृती ९.९

कृती : ट्रेसिंग पेपरवर कोणत्याही त्रिज्येचे वर्तुळ काढा. त्याच्या दोन समान जीवा $\mathrm{AB}$ आणि $\mathrm{CD}$ काढा आणि केंद्र O पासून त्यांवर टाकलेले लंब $\mathrm{OM}$ आणि $\mathrm{ON}$ काढा. आकृती अशी दुमडा की D हा B वर पडेल आणि C हा A वर पडेल [आकृती ९.९ (i) पहा]. तुम्ही पाहू शकता की $\mathrm{O}$ हा दुमडणीवर असतो आणि $\mathrm{N}$ हा $\mathrm{M}$ वर पडतो. म्हणून, $\mathrm{OM}=\mathrm{ON}$. O₁ आणि O₂ केंद्र असलेली एकरूप वर्तुळे काढून आणि प्रत्येकावर एक एक समान जीवा $A B$ आणि $C D$ घेऊन ही कृती पुन्हा करा. त्यांवर लंब $O M$ आणि $O^{\prime} N$ काढा [आकृती ९.९(ii) पहा]. एक वर्तुळाकार डिस्क कापून ती दुसऱ्यावर ठेवा जेणेकरून $A B$ हा $\mathrm{CD}$ शी जुळेल. तर तुम्हाला असे आढळेल की $\mathrm{O}$ हा $\mathrm{O}^{\prime}$ शी जुळतो आणि $\mathrm{M}$ हा $\mathrm{N}$ शी जुळतो. या प्रकारे तुम्ही खालील गोष्ट सत्यापित केली:

प्रमेय ९.५ : वर्तुळाच्या (किंवा एकरूप वर्तुळांच्या) समान जीवा केंद्रापासून (किंवा केंद्रांपासून) समदूर असतात.

पुढे, या प्रमेयाचा व्यत्यास सत्य आहे की नाही हे पाहू या. यासाठी, O केंद्र असलेले वर्तुळ काढा. केंद्र O पासून, समान लांबीचे आणि वर्तुळाच्या आत असलेले दोन रेषाखंड OL आणि OM काढा [आकृती ९.१०(i) पहा]. नंतर अनुक्रमे OL आणि OM यांना लंब असलेल्या वर्तुळाच्या जीवा PQ आणि RS काढा [आकृती ९.१०(ii) पहा]. PQ आणि RS ची लांबी मोजा. त्या वेगवेगळ्या आहेत का? नाही, दोन्ही समान आहेत. अधिक समान रेषाखंडांसाठी आणि त्यांना लंब असलेल्या जीवा काढून ही कृती पुन्हा करा. यामुळे प्रमेय ९.५ चा व्यत्यास सत्यापित होतो, जो खालीलप्रमाणे मांडला आहे:

आकृती ९.१०

प्रमेय ९.६ : वर्तुळाच्या केंद्रापासून समदूर असलेल्या जीवा लांबीने समान असतात. आता वरील निकालांचा वापर स्पष्ट करण्यासाठी एक उदाहरण घेऊ या:

उदाहरण १ : जर वर्तुळाच्या दोन छेदणाऱ्या जीवा त्यांच्या छेदनबिंदूतून जाणाऱ्या व्यासाबरोबर समान कोन करत असतील, तर त्या जीवा समान आहेत हे सिद्ध करा.

उकल : दिले आहे की $\mathrm{AB}$ आणि $\mathrm{CD}$ ह्या O केंद्र असलेल्या वर्तुळाच्या दोन जीवा आहेत, ज्या E बिंदूत छेदतात. $\mathrm{PQ}$ हा E मधून जाणारा व्यास आहे, जसे की $\angle \mathrm{AEQ}=\angle \mathrm{DEQ}$ (आकृती ९.११ पहा). तुम्हाला हे सिद्ध करायचे आहे की $\mathrm{AB}=\mathrm{CD}$. जीवा $\mathrm{AB}$ आणि $\mathrm{CD}$ वर अनुक्रमे OL आणि OM हे लंब काढा. आता

आकृती ९.११

$$ \begin{aligned} \angle \mathrm{LOE}= & 180^{\circ}-90^{\circ}-\angle \mathrm{LEO}=90^{\circ}-\angle \mathrm{LEO} \\ & \quad(\text { Angle sum property of a triangle }) \\ = & 90^{\circ}-\angle \mathrm{AEQ}=90^{\circ}-\angle \mathrm{DEQ} \\ = & 90^{\circ}-\angle \mathrm{MEO}=\angle \mathrm{MOE} \end{aligned} $$

OLE आणि OME या त्रिकोणांमध्ये,

$$ \begin{aligned} \angle \mathrm{LEO} & =\angle \mathrm{MEO}\quad \quad \text{(Why ?)} \\ \angle \mathrm{LOE} & =\angle \mathrm{MOE}\quad \quad \text{(Proved above)} \\ \mathrm{EO} & =\mathrm{EO}\quad \quad \text{(Common)} \\ \text{Therefore},\quad\Delta \mathrm{OLE} & \cong \Delta \mathrm{OME}\quad \quad \text{(Why ?)} \\ \text{This gives}\quad\mathrm{OL} & =\mathrm{OM}\quad \quad \text{(CPCT)} \\ \text{ So, }\quad\mathrm{AB} & =\mathrm{CD}\quad \quad \text{(Why?)} \end{aligned} $$

९.४ वर्तुळाच्या कंसाने आंतरित केलेला कोन

तुम्ही पाहिले आहे की, व्यासाव्यतिरिक्त इतर जीवेचे टोक वर्तुळाला दोन कंसात विभागतात - एक मुख्य आणि दुसरा गौण. जर तुम्ही दोन समान जीवा घेतल्या, तर कंसांच्या आकाराबद्दल तुम्ही काय म्हणाल? पहिल्या जीवेने तयार केलेला कंस हा दुसञ्या जीवेने तयार केलेल्या संगत कंसाइतका असतो का? खरेतर, ते केवळ लांबीने समान नसून, अर्थाने एकरूप असतात, म्हणजे एक कंस वाकवल्याशिवाय किंवा पिळल्याशिवाय दुसऱ्यावर ठेवला, तर तो दुसऱ्यावर पूर्णपणे मिळतो.

$\mathrm{CD}$ बाजूने वर्तुळातून जीवा $\mathrm{CD}$ शी संबंधित कंस कापून तो समान जीवा AB ने तयार केलेल्या संगत कंसावर ठेवून तुम्ही ही गोष्ट सत्यापित करू शकता. तुम्हाला असे आढळेल की कंस CD हा कंस AB वर पूर्णपणे मिळतो (आकृती ९.१३ पहा). यावरून असे दिसून येते की समान जीवा एकरूप कंस तयार करतात आणि व्यत्यासाने, एकरूप कंस वर्तुळाच्या समान जीवा तयार करतात. तुम्ही ते खालीलप्रमाणे मांडू शकता:

आकृती ९.१३

जर वर्तुळाच्या दोन जीवा समान असतील, तर त्यांचे संगत कंस एकरूप असतात आणि व्यत्यासाने, जर दोन कंस एकरूप असतील, तर त्यांच्या संगत जीवा समान असतात.

तसेच, कंसाने केंद्रस्थानी आंतरित केलेला कोन हा संगत जीवेने केंद्रस्थानी आंतरित केलेल्या कोनाच्या अर्थाने परिभाषित केला जातो, म्हणजे गौण कंस कोन आंतरित करतो आणि मुख्य कंस प्रतिवर्ती कोन आंतरित करतो. म्हणून, आकृती ९.१४ मध्ये, गौण कंस $\mathrm{PQ}$ ने $\mathrm{O}$ वर आंतरित केलेला कोन $\angle \mathrm{POQ}$ आहे आणि मुख्य कंस $\mathrm{PQ}$ ने $\mathrm{O}$ वर आंतरित केलेला कोन हा प्रतिवर्ती कोन POQ आहे.

वरील गुणधर्म आणि प्रमेय ९.१ च्या आधारे, खालील निकाल सत्य आहे:

आकृती ९.१४

वर्तुळाचे एकरूप कंस (किंवा समान कंस) केंद्रस्थानी समान कोन आंतरित करतात.

म्हणून, वर्तुळाच्या जीवेने त्याच्या केंद्रस्थानी आंतरित केलेला कोन हा संगत (गौण) कंसाने केंद्रस्थानी आंतरित केलेल्या कोनाइतका असतो. खालील प्रमेय कंसाने केंद्रस्थानी आणि वर्तुळावरील एका बिंदूवर आंतरित केलेल्या कोनांमधील संबंध दर्शवितो.

प्रमेय ९.७ : कंसाने केंद्रस्थानी आंतरित केलेला कोन हा त्या कंसाने वर्तुळाच्या उर्वरित भागावरील कोणत्याही बिंदूवर आंतरित केलेल्या कोनाच्या दुप्पट असतो.

सिद्धता : वर्तुळाचा PQ कंस दिला आहे, जो केंद्र $\mathrm{O}$ वर POQ कोन आणि उर्वरित भागावरील बिंदू $A$ वर PAQ कोन आंतरित करतो. आपल्याला हे सिद्ध करायचे आहे की $\angle \mathrm{POQ}=2 \angle \mathrm{PAQ}$.

(i)

(ii)

(iii)

आकृती ९.१५

आकृती ९.१५ मध्ये दिलेल्या तीन वेगवेगळ्या प्रकरणांचा विचार करा. (i) मध्ये, कंस PQ गौण आहे; (ii) मध्ये, कंस PQ अर्धवर्तुळ आहे आणि (iii) मध्ये, कंस PQ मुख्य आहे.

$\mathrm{AO}$ जोडून आणि त्याला बिंदू $\mathrm{B}$ पर्यंत वाढवून सुरुवात करू या.

सर्व प्रकरणांमध्ये,

$$ \angle \mathrm{BOQ}=\angle \mathrm{OAQ}+\angle \mathrm{AQO} $$

कारण त्रिकोणाचा बाह्य कोन हा दोन विरुद्ध आंतरकोनांच्या बेरजेइतका असतो.

तसेच $\triangle \mathrm{OAQ}$ मध्ये,

$\quad \quad \quad \mathrm{OA}=\mathrm{OQ}\quad \text{(Radii of a circle)}$

म्हणून, $\quad \angle \mathrm{OAQ}=\angle \mathrm{OQA} \quad \text{(Theorem 7.5)}$

यावरून $\quad \angle \mathrm{BOQ}=2 \angle \mathrm{OAQ} \quad (1)$ मिळते

त्याचप्रमाणे, $ \quad \angle \mathrm{BOP}=2 \angle \mathrm{OAP} \quad (2)$

(१) आणि (२) वरून, $\quad \angle \mathrm{BOP}+\angle \mathrm{BOQ}=2(\angle \mathrm{OAP}+\angle \mathrm{OAQ})$

हेच $\quad \angle \mathrm{POQ}=2 \angle \mathrm{PAQ}\quad (3)$ असे आहे

प्रकरण (iii) साठी, जिथे $\mathrm{PQ}$ हा मुख्य कंस आहे, (३) च्या जागी

$\text { reflex angle } \mathrm{POQ}=2 \angle \mathrm{PAQ}$ असते

टिपणी : समजा आपण वरील आकृत्यांमध्ये बिंदू $\mathrm{P}$ आणि $\mathrm{Q}$ जोडून जीवा PQ तयार करतो. तर $\angle \mathrm{PAQ}$ याला PAQP या वर्तुळखंडात तयार झालेला कोन असेही म्हणतात.

प्रमेय ९.७ मध्ये, A हा उर्वरित भागावरील कोणताही बिंदू असू शकतो. म्हणून जर तुम्ही उर्वरित भागावर इतर कोणताही बिंदू $\mathrm{C}$ घेतला (आकृती ९.१६ पहा), तर तुमच्याकडे

$\quad \quad \quad \angle \mathrm{POQ}=2 \angle \mathrm{PCQ}=2 \angle \mathrm{PAQ}$ आहे

म्हणून, $\quad \angle \mathrm{PCQ}=2 \angle \mathrm{PAQ}$.

आकृती ९.१६

यावरून खालील गोष्ट सिद्ध होते:

प्रमेय ९.८ : एकाच वर्तुळखंडातील कोन समान असतात.

पुन्हा प्रमेय १०.८ चे प्रकरण (ii) स्वतंत्रपणे विचारात घेऊ या. इथे $\angle \mathrm{PAQ}$ हा अर्धवर्तुळात असलेल्या वर्तुळखंडातील कोन आहे. तसेच, $\angle \mathrm{PAQ}=\frac{1}{2} \angle \mathrm{POQ}=\frac{1}{2} \times 180^{\circ}=90^{\circ}$ आहे. जर तुम्ही अर्धवर्तुळावर इतर कोणताही बिंदू $\mathrm{C}$ घेतला, तर पुन्हा तुम्हाला असे मिळेल की

$\angle \mathrm{PCQ}=90^{\circ}$ आहे

म्हणून, तुम्हाला वर्तुळाचा आणखी एक गुणधर्म आढळतो:

अर्धवर्तुळातील कोन हा काटकोन असतो.

प्रमेय ९.८ चा व्यत्यासही सत्य आहे. तो खालीलप्रमाणे मांडता येईल:

प्रमेय ९.९ : जर दोन बिंदूंना जोडणारा रेषाखंड त्या रेषाखंड असलेल्या रेषेच्या एकाच बाजूस असलेल्या इतर दोन बिंदूंवर समान कोन आंतरित करत असेल, तर ते चारही बिंदू एका वर्तुळावर असतात (म्हणजे ते एकवर्तुळीय असतात).

तुम्ही या निकालाची सत्यता खालीलप्रमाणे पाहू शकता:

आकृती ९.१७ मध्ये, $\mathrm{AB}$ हा एक रेषाखंड आहे, जो दोन बिंदू $\mathrm{C}$ आणि $\mathrm{D}$ वर समान कोन आंतरित करतो. म्हणजे,

आकृती ९.१७

$$ \angle \mathrm{ACB}=\angle \mathrm{ADB} $$

बिंदू $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ आणि $\mathrm{D}$ एका वर्तुळावर आहेत हे दाखवण्यासाठी, A, C आणि B या बिंदूंतून एक वर्तुळ काढू या. समजा ते बिंदू $\mathrm{D}$ मधून जात नाही. तर ते $\mathrm{AD}$ (किंवा वाढवलेल्या $\mathrm{AD}$ ) ला एका बिंदूत, म्हणा $\mathrm{E}$ (किंवा $\mathrm{E}^{\prime}$ ) मध्ये छेदेल.

जर बिंदू $\mathrm{A}, \mathrm{C}, \mathrm{E}$ आणि $\mathrm{B}$ एका वर्तुळावर असतील, तर

$$ \angle \mathrm{ACB}=\angle \mathrm{AEB} \quad \text{(Why?)} $$

पण दिले आहे की $\quad \angle \mathrm{ACB}=\angle \mathrm{ADB}$.

म्हणून, $\quad \quad \angle \mathrm{AEB}=\angle \mathrm{ADB} .$

$\mathrm{E}$ हा $\mathrm{D}$ शी जुळत नाही तोपर्यंत हे शक्य नाही. (का?)

त्याचप्रमाणे, E’ हाही D शी जुळला पाहिजे.

९.५ चक्रीय चौकोन

चौकोन $\mathrm{ABCD}$ याला चक्रीय म्हणतात जर त्याचे सर्व चार शिरोबिंदू एका वर्तुळावर असतील (आकृती ९.१८ पहा). अशा चौकोनांमध्ये तुम्हाला एक विशिष्ट गुणधर्म आढळेल. वेगवेगळ्या बाजू असलेले अनेक चक्रीय चौकोन काढा आणि त्यांपैकी प्रत्येकाला ABCD असे नाव द्या. (हे वेगवेगळ्या त्रिज्या असलेली अनेक वर्तुळे काढून आणि प्रत्येकावर चार बिंदू घेऊन करता येईल.) विरुद्ध कोन मोजा आणि तुमची निरीक्षणे खालील सारणीत लिहा.

आकृती ९.१८

सारणीवरून तुम्ही काय अनुमान काढता?

मोजमापातील त्रुटी दुर्लक्षित केल्यास, तुम्हाला $\angle \mathrm{A}+\angle \mathrm{C}=180^{\circ}$ आणि $\angle \mathrm{B}+\angle \mathrm{D}=180^{\circ}$ असे आढळेल. यावरून खालील गोष्ट सत्यापित होते:

प्रमेय ९.१० : चक्रीय चौकोनाच्या कोणत्याही एका जोडीतील विरुद्ध कोनांची बेरीज $180^{\circ}$ असते.

खरेतर, या प्रमेयाचा व्यत्यास, जो खाली मांडला आहे, तोही सत्य आहे.

प्रमेय ९.११ : जर चौकोनाच्या एका जोडीतील विरुद्ध कोनांची बेरीज $180^{\circ}$ असेल, तर तो चौकोन चक्रीय असतो.

प्रमेय ९.९ साठी स्वीकारलेल्या पद्धतीसारखीच पद्धत अवलंबून तुम्ही या प्रमेयाची सत्यता पाहू शकता.

उदाहरण २ : आकृती ९.१९ मध्ये, $\mathrm{AB}$ हा वर्तुळाचा व्यास आहे, $\mathrm{CD}$ ही जीवा वर्तुळाच्या त्रिज्येइतकी आहे. $\mathrm{AC}$ आणि