৯.১ একটি জ্যা দ্বারা একটি বিন্দুতে উৎপন্ন কোণ

আপনি ইতিমধ্যে ষষ্ঠ শ্রেণীতে বৃত্ত ও তার অংশগুলি সম্পর্কে পড়েছেন। একটি রেখাংশ $P Q$ এবং একটি বিন্দু $R$ নিন যা PQ ধারণকারী রেখার উপর নেই। PR এবং QR যোগ করুন (চিত্র ৯.১ দেখুন)। তাহলে $\angle \mathrm{PRQ}$ কে রেখাংশ $\mathrm{PQ}$ দ্বারা বিন্দু $\mathrm{R}$ এ উৎপন্ন কোণ বলা হয়। চিত্র ৯.২-এ POQ, PRQ এবং PSQ কোণগুলিকে কী বলা হয়? $\angle$ POQ হল জ্যা $\mathrm{PQ}$ দ্বারা কেন্দ্র $\mathrm{O}, \angle \mathrm{PRQ}$ এ উৎপন্ন কোণ এবং $\angle \mathrm{PSQ}$ হল যথাক্রমে $\mathrm{PQ}$ দ্বারা বিন্দু $\mathrm{R}$ এবং $\mathrm{S}$ এ উৎপন্ন কোণ, যা বৃহত্তর ও ক্ষুদ্রতর বৃত্তচাপ $\mathrm{PQ}$ এর উপর অবস্থিত।

চিত্র ৯.১

চিত্র ৯.২

আসুন আমরা জ্যাটির দৈর্ঘ্য এবং কেন্দ্রে এটি দ্বারা উৎপন্ন কোণের মধ্যে সম্পর্ক পরীক্ষা করি। আপনি একটি বৃত্তের বিভিন্ন জ্যা আঁকতে পারেন এবং কেন্দ্রে সেগুলি দ্বারা উৎপন্ন কোণগুলি দেখতে পারেন যে, জ্যা যত দীর্ঘ হবে, কেন্দ্রে এটি দ্বারা উৎপন্ন কোণ তত বড় হবে। আপনি যদি একটি বৃত্তের দুটি সমান জ্যা নেন তাহলে কী হবে? কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণগুলি কি একই হবে নাকি হবে না?

একটি বৃত্তের দুই বা ততোধিক সমান জ্যা আঁকুন এবং কেন্দ্রে সেগুলি দ্বারা উৎপন্ন কোণগুলি পরিমাপ করুন (চিত্র ৯.৩ দেখুন)। আপনি দেখতে পাবেন যে কেন্দ্রে সেগুলি দ্বারা উৎপন্ন কোণগুলি সমান। আসুন আমরা এই সত্যটির একটি প্রমাণ দিই।

চিত্র ৯.৩

উপপাদ্য ৯.১ : একটি বৃত্তের সমান জ্যাগুলি কেন্দ্রে সমান কোণ উৎপন্ন করে।

প্রমাণ : আপনাকে O কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্তের দুটি সমান জ্যা AB এবং CD দেওয়া হয়েছে (চিত্র ৯.৪ দেখুন)। আপনি প্রমাণ করতে চান যে $\angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{COD}$

চিত্র ৯.৪

ত্রিভুজ $\mathrm{AOB}$ এবং $\mathrm{COD}$ এ,

$$ \begin{array}{ll} \mathrm{OA}=\mathrm{OC} & (\text { Radii of a circle }) \\ \mathrm{OB}=\mathrm{OD} & (\text { Radii of a circle }) \\ \mathrm{AB}=\mathrm{CD} & (\text { Given}) \end{array} $$

অতএব

$$ \Delta \mathrm{AOB} \cong \Delta \mathrm{COD} \quad(\mathrm{SSS} \text { rule }) $$

এটি দেয় $\angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{COD}$

(সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ অংশ)

মন্তব্য : সুবিধার জন্য, ‘সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ অংশ’-এর স্থলে সংক্ষেপণ CPCT ব্যবহার করা হবে, কারণ আপনি দেখতে পাবেন যে আমরা এটি খুব ঘন ঘন ব্যবহার করি।

এখন যদি একটি বৃত্তের দুটি জ্যা কেন্দ্রে সমান কোণ উৎপন্ন করে, তাহলে জ্যাগুলি সম্পর্কে আপনি কী বলতে পারেন? সেগুলি সমান নাকি সমান নয়? আসুন নিম্নলিখিত কার্যকলাপের মাধ্যমে এটি পরীক্ষা করি:

একটি ট্রেসিং পেপার নিন এবং তার উপর একটি বৃত্ত ট্রেস করুন। বৃত্ত বরাবর কেটে একটি ডিস্ক পান। এর কেন্দ্র $\mathrm{O}$ এ, একটি কোণ $\mathrm{AOB}$ আঁকুন যেখানে $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ বৃত্তের উপর অবস্থিত বিন্দু। কেন্দ্রে আরেকটি কোণ $\mathrm{POQ}$ আঁকুন যা $\angle A O B$ এর সমান। ডিস্কটি $A B$ এবং $P Q$ বরাবর কেটে নিন (চিত্র ৯.৫ দেখুন)। আপনি বৃত্তের দুটি খণ্ড ACB এবং PRQ পাবেন। আপনি যদি একটিকে অন্যটির উপর রাখেন, আপনি কী পর্যবেক্ষণ করেন? তারা একে অপরকে আবৃত করে, অর্থাৎ তারা সর্বসম। $\mathrm{So} \mathrm{AB}=\mathrm{PQ}$।

চিত্র ৯.৫

যদিও আপনি এই বিশেষ ক্ষেত্রে এটি দেখেছেন, অন্যান্য সমান কোণের জন্যও এটি চেষ্টা করে দেখুন। নিম্নলিখিত উপপাদ্যের কারণে সমস্ত জ্যা সমান হবে:

উপপাদ্য ৯.২ : যদি একটি বৃত্তের জ্যাগুলি কেন্দ্রে সমান কোণ উৎপন্ন করে, তাহলে জ্যাগুলি সমান।

উপরের উপপাদ্যটি উপপাদ্য ৯.১-এর বিপরীত। লক্ষ্য করুন যে চিত্র ৯.৪-এ, যদি আপনি $\angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{COD}$ নেন, তাহলে

$\triangle \mathrm{AOB} \cong \triangle \mathrm{COD}$ (কেন?)

আপনি কি এখন দেখতে পাচ্ছেন যে $\mathrm{AB}=\mathrm{CD}$?

৯.২ কেন্দ্র থেকে একটি জ্যায় লম্ব

কার্যকলাপ : একটি ট্রেসিং পেপারে একটি বৃত্ত আঁকুন। ধরি $\mathrm{O}$ তার কেন্দ্র। একটি জ্যা AB আঁকুন। কাগজটি $\mathrm{O}$ এর মধ্য দিয়ে একটি রেখা বরাবর ভাঁজ করুন যাতে জ্যাটির একটি অংশ অন্যটির উপর পড়ে। ধরি ভাঁজের রেখাটি $\mathrm{AB}$ কে বিন্দু $\mathrm{M}$ এ ছেদ করে। তাহলে, $\angle \mathrm{OMA}=\angle \mathrm{OMB}=90^{\circ}$ বা $\mathrm{OM}$ AB এর উপর লম্ব। B বিন্দুটি কি A এর সাথে মিলে যায় (চিত্র ৯.৬ দেখুন)?

হ্যাঁ, মিলে যাবে। সুতরাং MA = MB।

চিত্র ৯.৬

$\mathrm{OA}$ এবং $\mathrm{OB}$ যোগ করে এবং সমকোণী ত্রিভুজ OMA ও OMB কে সর্বসম প্রমাণ করে নিজেই একটি প্রমাণ দিন। এই উদাহরণটি নিম্নলিখিত ফলাফলের একটি বিশেষ দৃষ্টান্ত:

উপপাদ্য ৯.৩ : একটি বৃত্তের কেন্দ্র থেকে একটি জ্যায় লম্ব জ্যাটিকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।

এই উপপাদ্যটির বিপরীত কী? এটি লিখতে, প্রথমে আসুন আমরা পরিষ্কার করি উপপাদ্য ৯.৩-এ কী ধরে নেওয়া হয়েছে এবং কী প্রমাণিত হয়েছে। দেওয়া আছে যে একটি বৃত্তের কেন্দ্র থেকে একটি জ্যায় লম্ব আঁকা হয়েছে এবং প্রমাণ করতে হবে যে এটি জ্যাটিকে সমদ্বিখণ্ডিত করে। সুতরাং বিপরীতটিতে, প্রকল্পনা হল ‘যদি একটি বৃত্তের কেন্দ্র থেকে একটি রেখা একটি জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে’ এবং প্রমাণ করতে হবে ‘রেখাটি জ্যাটির উপর লম্ব’। সুতরাং বিপরীতটি হল:

উপপাদ্য ৯.৪ : একটি বৃত্তের কেন্দ্রের মধ্য দিয়ে আঁকা রেখা যদি একটি জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে, তবে তা জ্যাটির উপর লম্ব।

এটি কি সত্য? কয়েকটি ক্ষেত্রে চেষ্টা করে দেখুন। আপনি দেখবেন যে এই ক্ষেত্রগুলির জন্য এটি সত্য। নিম্নলিখিত অনুশীলনটি করে দেখুন এটি সাধারণভাবে সত্য কিনা। আমরা ধাপগুলি লিখব এবং আপনি কারণগুলি দেবেন।

ধরি $\mathrm{AB}$ হল কেন্দ্র $\mathrm{O}$ বিশিষ্ট একটি বৃত্তের একটি জ্যা এবং $\mathrm{O}$ কে $\mathrm{AB}$ এর মধ্যবিন্দু $\mathrm{M}$ এর সাথে যুক্ত করা হয়েছে। আপনাকে প্রমাণ করতে হবে যে $\mathrm{OM} \perp \mathrm{AB}$। $\mathrm{OA}$ এবং $\mathrm{OB}$ যোগ করুন (চিত্র ৯.৭ দেখুন)। ত্রিভুজ OAM এবং OBM এ,

$$ \begin{aligned} \mathrm{OA} & =\mathrm{OB}\quad \text{(Why ?)}\\ \mathrm{AM} & =\mathrm{BM}\quad \text{(Why ?)} \\ \mathrm{OM} & =\mathrm{OM}\quad \text{(Common)} \end{aligned} $$

চিত্র ৯.৭

অতএব, $\triangle \mathrm{OAM} \cong \triangle \mathrm{OBM}\quad \text{(How ?)}$

এটি দেয় $\angle \mathrm{OMA}=\angle \mathrm{OMB}=90^{\circ} \quad$ (কেন?)

৯.৩ সমান জ্যা এবং কেন্দ্র থেকে তাদের দূরত্ব

ধরি $\mathrm{AB}$ একটি রেখা এবং $\mathrm{P}$ একটি বিন্দু। যেহেতু একটি রেখায় অসংখ্য বিন্দু আছে, আপনি যদি এই বিন্দুগুলিকে $\mathrm{P}$ এর সাথে যুক্ত করেন, আপনি অসংখ্য রেখাংশ $\mathrm{PL_1}, \mathrm{PL_2}, \mathrm{PM}, \mathrm{PL_3}, \mathrm{PL_4}$ ইত্যাদি পাবেন। এগুলির মধ্যে কোনটি AB থেকে P এর দূরত্ব? আপনি কিছুক্ষণ ভেবে উত্তর পেতে পারেন। এই রেখাংশগুলির মধ্যে, $\mathrm{P}$ থেকে $\mathrm{AB}$ এর উপর লম্ব, অর্থাৎ চিত্র ৯.৮-এ $\mathrm{PM}$, হবে সবচেয়ে কম। গণিতে, আমরা এই ন্যূনতম দৈর্ঘ্য $P M$ কে $A B$ থেকে $P$ এর দূরত্ব হিসাবে সংজ্ঞায়িত করি। সুতরাং আপনি বলতে পারেন:

চিত্র ৯.৮

একটি বিন্দু থেকে একটি রেখায় লম্বের দৈর্ঘ্য হল রেখাটির বিন্দু থেকে দূরত্ব।

লক্ষ্য করুন যে যদি বিন্দুটি রেখার উপর অবস্থিত হয়, তবে রেখাটির বিন্দু থেকে দূরত্ব শূন্য।

একটি বৃত্তে অসংখ্য জ্যা থাকতে পারে। আপনি একটি বৃত্তের জ্যা আঁকতে গিয়ে পর্যবেক্ষণ করতে পারেন যে দীর্ঘতর জ্যা ক্ষুদ্রতর জ্যার চেয়ে কেন্দ্রের কাছাকাছি থাকে। আপনি বিভিন্ন দৈর্ঘ্যের একটি বৃত্তের কয়েকটি জ্যা আঁকে এবং কেন্দ্র থেকে তাদের দূরত্ব পরিমাপ করে এটি পর্যবেক্ষণ করতে পারেন। ব্যাস, যা দীর্ঘতম জ্যা, কেন্দ্র থেকে তার দূরত্ব কত? যেহেতু কেন্দ্রটি এর উপর অবস্থিত, দূরত্ব শূন্য। আপনি কি মনে করেন যে জ্যাগুলির দৈর্ঘ্য এবং কেন্দ্র থেকে তাদের দূরত্বের মধ্যে কিছু সম্পর্ক আছে? আসুন দেখি এটি সত্য কিনা।

চিত্র ৯.৯

কার্যকলাপ : একটি ট্রেসিং পেপারে যেকোনো ব্যাসার্ধের একটি বৃত্ত আঁকুন। এর দুটি সমান জ্যা $\mathrm{AB}$ এবং $\mathrm{CD}$ আঁকুন এবং কেন্দ্র O থেকে তাদের উপর লম্ব $\mathrm{OM}$ এবং $\mathrm{ON}$ আঁকুন। চিত্রটি এমনভাবে ভাঁজ করুন যাতে D, B এর উপর পড়ে এবং C, A এর উপর পড়ে [চিত্র ৯.৯ (i) দেখুন]। আপনি পর্যবেক্ষণ করতে পারেন যে $\mathrm{O}$ ভাঁজের রেখার উপর অবস্থিত এবং $\mathrm{N}$ $\mathrm{M}$ এর উপর পড়ে। অতএব, $\mathrm{OM}=\mathrm{ON}$। কেন্দ্র $\mathrm{O}$ এবং $\mathrm{O}^{\prime}$ বিশিষ্ট সর্বসম বৃত্ত আঁকে এবং প্রতিটিতে একটি করে সমান জ্যা $A B$ এবং $C D$ নিয়ে কার্যকলাপটি পুনরাবৃত্তি করুন। তাদের উপর লম্ব $O M$ এবং $O^{\prime} N$ আঁকুন [চিত্র ৯.৯(ii) দেখুন]। একটি বৃত্তাকার ডিস্ক কেটে নিন এবং অন্যটির উপর রাখুন যাতে $A B$ $\mathrm{CD}$ এর সাথে মিলে যায়। তাহলে আপনি দেখতে পাবেন যে $\mathrm{O}$ $\mathrm{O}^{\prime}$ এর সাথে মিলে যায় এবং $\mathrm{M}$ $\mathrm{N}$ এর সাথে মিলে যায়। এইভাবে আপনি নিম্নলিখিতটি যাচাই করেছেন:

উপপাদ্য ৯.৫ : একটি বৃত্তের (বা সর্বসম বৃত্তের) সমান জ্যাগুলি কেন্দ্র (বা কেন্দ্রগুলি) থেকে সমদূরবর্তী।

পরবর্তীতে, এই উপপাদ্যটির বিপরীতটি সত্য কিনা তা দেখা হবে। এর জন্য, O কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্ত আঁকুন। কেন্দ্র O থেকে, সমান দৈর্ঘ্যের এবং বৃত্তের ভিতরে অবস্থিত দুটি রেখাংশ OL এবং OM আঁকুন [চিত্র ৯.১০(i) দেখুন]। তারপর বৃত্তের জ্যা PQ এবং RS আঁকুন যা যথাক্রমে OL এবং OM এর উপর লম্ব [চিত্র ৯.১০(ii) দেখুন]। PQ এবং RS এর দৈর্ঘ্য পরিমাপ করুন। এগুলি কি ভিন্ন? না, উভয়ই সমান। আরও সমান রেখাংশের জন্য এবং তাদের উপর লম্ব জ্যা আঁকে কার্যকলাপটি পুনরাবৃত্তি করুন। এটি উপপাদ্য ৯.৫-এর বিপরীত যাচাই করে যা নিম্নরূপে বিবৃত:

চিত্র ৯.১০

উপপাদ্য ৯.৬ : একটি বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী জ্যাগুলি দৈর্ঘ্যে সমান। এখন আমরা উপরের ফলাফলগুলির ব্যবহার চিত্রিত করতে একটি উদাহরণ নিই:

উদাহরণ ১ : যদি একটি বৃত্তের দুটি ছেদকারী জ্যা তাদের ছেদবিন্দু দিয়ে যাওয়া ব্যাসের সাথে সমান কোণ তৈরি করে, তবে প্রমাণ করুন যে জ্যাগুলি সমান।

সমাধান : দেওয়া আছে যে $\mathrm{AB}$ এবং $\mathrm{CD}$ হল কেন্দ্র $\mathrm{O}$ বিশিষ্ট একটি বৃত্তের দুটি জ্যা, যা একটি বিন্দু $\mathrm{E}$ এ ছেদ করে। $\mathrm{PQ}$ হল $\mathrm{E}$ এর মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি ব্যাস, এমন যে $\angle \mathrm{AEQ}=\angle \mathrm{DEQ}$ (চিত্র ৯.১১ দেখুন)। আপনাকে প্রমাণ করতে হবে যে $\mathrm{AB}=\mathrm{CD}$। জ্যা $\mathrm{AB}$ এবং $\mathrm{CD}$ এর উপর যথাক্রমে OL এবং OM লম্ব আঁকুন। এখন

চিত্র ৯.১১

$$ \begin{aligned} \angle \mathrm{LOE}= & 180^{\circ}-90^{\circ}-\angle \mathrm{LEO}=90^{\circ}-\angle \mathrm{LEO} \\ & \quad(\text { Angle sum property of a triangle }) \\ = & 90^{\circ}-\angle \mathrm{AEQ}=90^{\circ}-\angle \mathrm{DEQ} \\ = & 90^{\circ}-\angle \mathrm{MEO}=\angle \mathrm{MOE} \end{aligned} $$

ত্রিভুজ OLE এবং OME এ,

$$ \begin{aligned} \angle \mathrm{LEO} & =\angle \mathrm{MEO}\quad \quad \text{(Why ?)} \\ \angle \mathrm{LOE} & =\angle \mathrm{MOE}\quad \quad \text{(Proved above)} \\ \mathrm{EO} & =\mathrm{EO}\quad \quad \text{(Common)} \\ \text{Therefore},\quad\Delta \mathrm{OLE} & \cong \Delta \mathrm{OME}\quad \quad \text{(Why ?)} \\ \text{This gives}\quad\mathrm{OL} & =\mathrm{OM}\quad \quad \text{(CPCT)} \\ \text{ So, }\quad\mathrm{AB} & =\mathrm{CD}\quad \quad \text{(Why?)} \end{aligned} $$

৯.৪ একটি বৃত্তচাপ দ্বারা উৎপন্ন কোণ

আপনি দেখেছেন যে একটি বৃত্তের ব্যাস ব্যতীত একটি জ্যার প্রান্তবিন্দুগুলি এটিকে দুটি চাপে বিভক্ত করে - একটি বৃহত্তর এবং অন্যটি ক্ষুদ্রতর। আপনি যদি দুটি সমান জ্যা নেন, তাহলে চাপগুলির আকার সম্পর্কে আপনি কী বলতে পারেন? প্রথম জ্যা দ্বারা তৈরি একটি চাপ কি অন্য জ্যা দ্বারা তৈরি সংশ্লিষ্ট চাপের সমান? বাস্তবে, তারা শুধু দৈর্ঘ্যে সমানের চেয়ে বেশি। তারা সর্বসম এই অর্থে যে যদি একটি চাপকে বাঁকানো বা পেঁচানো ছাড়া অন্যটির উপর রাখা হয়, তবে একটি সম্পূর্ণরূপে অন্যটিকে উপরিপাতিত করে।

আপনি জ্যা $\mathrm{CD}$ এর অনুরূপ চাপটিকে বৃত্ত থেকে $\mathrm{CD}$ বরাবর কেটে নিয়ে এবং সমান জ্যা AB দ্বারা তৈরি সংশ্লিষ্ট চাপের উপর রাখে এই সত্যটি যাচাই করতে পারেন। আপনি দেখতে পাবেন যে চাপ CD সম্পূর্ণরূপে চাপ AB কে উপরিপাতিত করে (চিত্র ৯.১৩ দেখুন)। এটি দেখায় যে সমান জ্যা সর্বসম চাপ তৈরি করে এবং বিপরীতক্রমে, সর্বসম চাপ একটি বৃত্তের সমান জ্যা তৈরি করে। আপনি এটি নিম্নরূপে বলতে পারেন:

চিত্র ৯.১৩

যদি একটি বৃত্তের দুটি জ্যা সমান হয়, তবে তাদের সংশ্লিষ্ট চাপগুলি সর্বসম এবং বিপরীতক্রমে, যদি দুটি চাপ সর্বসম হয়, তবে তাদের সংশ্লিষ্ট জ্যাগুলি সমান।

এছাড়াও, একটি চাপ দ্বারা কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণকে সংশ্লিষ্ট জ্যা দ্বারা কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় এই অর্থে যে ক্ষুদ্রতর চাপটি কোণ উৎপন্ন করে এবং বৃহত্তর চাপটি প্রতিফলিত কোণ উৎপন্ন করে। অতএব, চিত্র ৯.১৪-এ, ক্ষুদ্রতর চাপ $\mathrm{PQ}$ দ্বারা $\mathrm{O}$ এ উৎপন্ন কোণ হল $\angle \mathrm{POQ}$ এবং বৃহত্তর চাপ $\mathrm{PQ}$ দ্বারা $\mathrm{O}$ এ উৎপন্ন কোণ হল প্রতিফলিত কোণ POQ।

উপরের ধর্ম এবং উপপাদ্য ৯.১-এর আলোকে, নিম্নলিখিত ফলাফলটি সত্য:

চিত্র ৯.১৪

একটি বৃত্তের সর্বসম চাপ (বা সমান চাপ) কেন্দ্রে সমান কোণ উৎপন্ন করে।

অতএব, একটি বৃত্তের একটি জ্যা দ্বারা তার কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ সংশ্লিষ্ট (ক্ষুদ্রতর) চাপ দ্বারা কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণের সমান। নিম্নলিখিত উপপাদ্যটি একটি চাপ দ্বারা কেন্দ্রে এবং বৃত্তের উপর একটি বিন্দুতে উৎপন্ন কোণের মধ্যে সম্পর্ক দেয়।

উপপাদ্য ৯.৭ : একটি চাপ দ্বারা কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ বৃত্তের অবশিষ্ট অংশের উপর যেকোনো বিন্দুতে এটি দ্বারা উৎপন্ন কোণের দ্বিগুণ।

প্রমাণ : দেওয়া আছে একটি বৃত্তের একটি চাপ PQ কেন্দ্র $\mathrm{O}$ এ POQ কোণ এবং অবশিষ্ট অংশের উপর একটি বিন্দু $A$ এ PAQ কোণ উৎপন্ন করে। আমাদের প্রমাণ করতে হবে যে $\angle \mathrm{POQ}=2 \angle \mathrm{PAQ}$।

(i)

(ii)

(iii)

চিত্র ৯.১৫

চিত্র ৯.১৫-এ দেওয়া তিনটি ভিন্ন ক্ষেত্রে বিবেচনা করুন। (i) তে, চাপ PQ ক্ষুদ্রতর; (ii) তে, চাপ PQ একটি অর্ধবৃত্ত; এবং (iii) তে, চাপ PQ বৃহত্তর।

আসুন আমরা $\mathrm{AO}$ যোগ করে এবং এটিকে একটি বিন্দু $\mathrm{B}$ পর্যন্ত বর্ধিত করে শুরু করি।

সব ক্ষেত্রেই,

$$ \angle \mathrm{BOQ}=\angle \mathrm{OAQ}+\angle \mathrm{AQO} $$

কারণ একটি ত্রিভুজের বহিঃস্থ কোণ দুটি বিপরীত অন্তঃস্থ কোণের সমষ্টির সমান।

এছাড়াও $\triangle \mathrm{OAQ}$ এ,

$\quad \quad \quad \mathrm{OA}=\mathrm{OQ}\quad \text{(Radii of a circle)}$

অতএব, $\quad \angle \mathrm{OAQ}=\angle \mathrm{OQA} \quad \text{(Theorem 7.5)}$

এটি দেয় $\quad \angle \mathrm{BOQ}=2 \angle \mathrm{OAQ} \quad (1)$

একইভাবে, $ \quad \angle \mathrm{BOP}=2 \angle \mathrm{OAP} \quad (2)$

(1) এবং (2) থেকে, $\quad \angle \mathrm{BOP}+\angle \mathrm{BOQ}=2(\angle \mathrm{OAP}+\angle \mathrm{OAQ})$

এটি $\quad \angle \mathrm{POQ}=2 \angle \mathrm{PAQ}\quad (3)$ এর সমান

ক্ষেত্র (iii) এর জন্য, যেখানে $\mathrm{PQ}$ বৃহত্তর চাপ, (3) কে প্রতিস্থাপিত করে

$\text { reflex angle } \mathrm{POQ}=2 \angle \mathrm{PAQ}$

মন্তব্য : ধরি আমরা বিন্দু $\mathrm{P}$ এবং $\mathrm{Q}$ যোগ করে উপরের চিত্রগুলিতে একটি জ্যা PQ গঠন করি। তাহলে $\angle \mathrm{PAQ}$ কে খণ্ড PAQP-এ গঠিত কোণও বলা হয়।

উপপাদ্য ৯.৭-এ, A বৃত্তের অবশিষ্ট অংশের যেকোনো বিন্দু হতে পারে। সুতরাং আপনি যদি বৃত্তের অবশিষ্ট অংশে অন্য যেকোনো বিন্দু $\mathrm{C}$ নেন (চিত্র ৯.১৬ দেখুন), আপনার আছে

$\quad \quad \quad \angle \mathrm{POQ}=2 \angle \mathrm{PCQ}=2 \angle \mathrm{PAQ}$

অতএব, $\quad \angle \mathrm{PCQ}=2 \angle \mathrm{PAQ}$।

চিত্র ৯.১৬

এটি নিম্নলিখিতটি প্রমাণ করে:

উপপাদ্য ৯.৮ : একটি বৃত্তের একই খণ্ডের কোণগুলি সমান।

আবার আসুন আমরা উপপাদ্য ১০.৮-এর ক্ষেত্র (ii) আলাদাভাবে আলোচনা করি। এখানে $\angle \mathrm{PAQ}$ হল একটি খণ্ডের কোণ, যা একটি অর্ধবৃত্ত। এছাড়াও, $\angle \mathrm{PAQ}=\frac{1}{2} \angle \mathrm{POQ}=\frac{1}{2} \times 180^{\circ}=90^{\circ}$। আপনি যদি অর্ধবৃত্তের উপর অন্য যেকোনো বিন্দু $\mathrm{C}$ নেন, আবার আপনি পাবেন যে

$\angle \mathrm{PCQ}=90^{\circ}$

অতএব, আপনি বৃত্তের আরেকটি ধর্ম খুঁজে পান:

অর্ধবৃত্তে কোণ একটি সমকোণ।

উপপাদ্য ৯.৮-এর বিপরীতটিও সত্য। এটি নিম্নরূপে বলা যেতে পারে:

উপপাদ্য ৯.৯ : যদি একটি রেখাংশ যুক্তকারী দুটি বিন্দু রেখাংশ ধারণকারী রেখার একই পাশে অবস্থিত অন্য দুটি বিন্দুতে সমান কোণ উৎপন্ন করে, তবে চারটি বিন্দু একটি বৃত্তের উপর অবস্থিত (অর্থাৎ তারা সমবৃত্তীয়)।

আপনি এই ফলাফলের সত্যতা নিম্নরূপে দেখতে পারেন:

চিত্র ৯.১৭-এ, $\mathrm{AB}$ একটি রেখাংশ, যা দুটি বিন্দু $\mathrm{C}$ এবং $\mathrm{D}$ এ সমান কোণ উৎপন্ন করে। অর্থাৎ

চিত্র ৯.১৭

$$ \angle \mathrm{ACB}=\angle \mathrm{ADB} $$

বিন্দুগুলি $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ এবং $\mathrm{D}$ একটি বৃত্তের উপর অবস্থিত তা দেখাতে আসুন আমরা A, C এবং B বিন্দুগুলির মধ্য দিয়ে একটি বৃত্ত আঁকি। ধরি এটি বিন্দু $\mathrm{D}$ এর মধ্য দিয়ে যায় না। তাহলে এটি $\mathrm{AD}$ (বা বর্ধিত $\mathrm{AD}$) কে একটি বিন্দুতে, ধরি $\mathrm{E}$ (বা $\mathrm{E}^{\prime}$) ছেদ করবে।

যদি বিন্দুগুলি $\mathrm{A}, \mathrm{C}, \mathrm{E}$ এবং $\mathrm{B}$ একটি বৃত্তের উপর অবস্থিত হয়,

$$ \angle \mathrm{ACB}=\angle \mathrm{AEB} \quad \text{(Why?)} $$

কিন্তু দেওয়া আছে যে $\quad \angle \mathrm{ACB}=\angle \mathrm{ADB}$।

অতএব, $\quad \quad \angle \mathrm{AEB}=\angle \mathrm{ADB} .$

$\mathrm{E}$ $\mathrm{D}$ এর সাথে মিলে না যাওয়া পর্যন্ত এটি সম্ভব নয়। (কেন?)

একইভাবে, E’ ও D এর সাথে মিলে যাওয়া উচিত।

৯.৫ বৃত্তীয় চতুর্ভুজ

একটি চতুর্ভুজ $\mathrm{ABCD}$ কে বৃত্তীয় বলা হয় যদি এর চারটি শীর্ষবিন্দুই একটি বৃত্তের উপর অবস্থিত হয় (চিত্র ৯.১৮ দেখুন)। আপনি এমন চতুর্ভুজগুলিতে একটি বিশেষ ধর্ম খুঁজে পাবেন। বিভিন্ন বাহুবিশিষ্ট বেশ কয়েকটি বৃত্তীয় চতুর্ভুজ আঁকুন এবং প্রতিটিকে ABCD নাম দিন। (এটি বিভিন্ন ব্যাসার্ধের বেশ কয়েকটি বৃত্ত আঁকে এবং প্রতিটির উপর চারটি বিন্দু নিয়ে করা যেতে পারে।) বিপরীত কোণগুলি পরিমাপ করুন এবং আপনার পর্যবেক্ষণ নিম্নলিখিত সারণীতে লিখুন।

চিত্র ৯.১৮

সারণী থেকে আপনি কী অনুমান করেন?

আপনি দেখতে পাবেন যে $\angle \mathrm{A}+\angle \mathrm{C}=180^{\circ}$ এবং $\angle \mathrm{B}+\angle \mathrm{D}=180^{\circ}$, পরিমাপের ত্রুটি উপেক্ষা করে। এটি নিম্নলিখিতটি যাচাই করে:

উপপাদ্য ৯.১০ : একটি বৃত্তীয় চতুর্ভুজের যেকোনো একজোড়া বিপরীত কোণের সমষ্টি $180^{\circ}$।

বাস্তবে, এই উপপাদ্যটির বিপরীত, যা নিচে বিবৃত, সত্য।

উপপাদ্য ৯.১১ : যদি একটি চতুর্ভুজের একজোড়া বিপরীত কোণের সমষ্টি $180^{\circ}$ হয়, তবে চতুর্ভুজটি বৃত্তীয়।

আপনি উপপাদ্য ৯.৯-এর জন্য গৃহীত পদ্ধতির অনুরূপ একটি পদ্ধতি অনুসরণ করে এই উপপাদ্যটির সত্যতা দেখতে পারেন।

উদাহরণ ২ : চিত্র ৯.১৯-এ, $\mathrm{AB}$ হল বৃত্তের একটি ব্যাস, $\mathrm{CD}$ হল বৃত্তের ব্যাসার্ধের সমান একটি জ্যা। $\mathrm{AC}$ এবং $\mathrm{BD}$ বর্ধিত করলে একটি বিন্দু $\mathrm{E}$ এ ছেদ করে। প্রমাণ করুন যে $\angle \mathrm{AEB}=60^{\circ}$।

চিত্র ৯.১৯

সমাধান : OC, OD এবং BC যোগ করুন।

ত্রিভুজ ODC সমবাহু $\quad$ (কেন?)

অতএব, $\angle \mathrm{COD}=60^{\circ}$

এখন, $\quad \angle \mathrm{CBD}=\frac{1}{2} \angle \mathrm{COD} \quad$ (উপপাদ্য ৯.৭)

এটি দেয় $\quad \angle \mathrm{CBD}=30^{\circ}$

আবার, $\quad \angle \mathrm{ACB}=90^{\circ}\quad $ (কেন?)

সুতরাং, $\quad \angle \mathrm{BCE}=180^{\circ}-\angle \mathrm{ACB}=90^{\circ}$

যা দেয় $\angle \mathrm{CEB}=90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}$, অর্থাৎ $\angle \mathrm{AEB}=60^{\circ}$

উদাহরণ ৩ : চিত্র ৯.২০-এ, ABCD একটি বৃত্তীয় চতুর্ভুজ যার কর্ণগুলি হল $\mathrm{AC}$ এবং $\mathrm{BD}$। যদি $\angle \mathrm{DBC}=55^{\circ}$ এবং $\angle \mathrm{BAC}=45^{\circ}$ হয়, তবে $\angle \mathrm{BCD}$ নির্ণয় করুন।

চিত্র ৯.২০

সমাধান : $\quad \angle \mathrm{CAD}=\angle \mathrm{DBC}=55^{\circ}$ (একই খণ্ডের কোণ)

$$ \begin{aligned} \text{Therefore,}\quad \angle \mathrm{DAB} & =\angle \mathrm{CAD}+\angle \mathrm{BAC} \\ & =55^{\circ}+45^{\circ}=100^{\circ} \end{aligned} $$

কিন্তু $\quad \angle \mathrm{DAB}+\angle \mathrm{BCD}=180^{\circ}$

(একটি বৃত্তীয় চতুর্ভুজের বিপরীত কোণ)

সুতরাং, $\quad \angle \mathrm{BCD}=180^{\circ}-100^{\circ}=80^{\circ}$

উদাহরণ ৪ : দুটি বৃত্ত দুটি বিন্দু A এবং $\mathrm{B} . \mathrm{AD}$ এ ছেদ করে এবং $\mathrm{AC}$ দুটি বৃত্তের ব্যাস (চিত্র ৯.২১ দেখুন)। প্রমাণ করুন যে B রেখাংশ DC এর উপর অবস্থিত।

চিত্র ৯.২১

সমাধান : AB যোগ করুন।

$$ \begin{aligned} & \angle \mathrm{ABD}=90^{\circ} \quad(\text { Angle in a semicircle }) \\ & \angle \mathrm{ABC}=90^{\circ} \quad(\text { Angle in a semicircle }) \end{aligned} $$

সুতরাং, $\quad \angle \mathrm{ABD}+\angle \mathrm{ABC}=90^{\circ}+90^{\circ}=180^{\circ}$

অতএব, $\mathrm{DBC}$ একটি রেখা। অর্থাৎ $\mathrm{B}$ রেখাংশ $\mathrm{DC}$ এর উপর অবস্থিত।

উদাহরণ ৫ : প্রমাণ করুন যে যেকোনো চতুর্ভুজের অন্তঃস্থ কোণ দ্বিখণ্ডকগুলি দ্বারা গঠিত চতুর্ভুজটি (যদি সম্ভব হয়) বৃত্তীয়।

সমাধান : চিত্র ৯.২২-এ, ABCD একটি চতুর্ভুজ যার অন্তঃস্থ কোণ A, B, C এবং D এর কোণ দ্বিখণ্ডকগুলি যথাক্রমে $\mathrm{AH}, \mathrm{BF}, \mathrm{CF}$ এবং $\mathrm{DH}$ একটি চতুর্ভুজ $\mathrm{EFGH}$ গঠন করে।

চিত্র ৯.২২

$$ \begin{aligned} \text{Now,}\quad \angle \mathrm{FEH}=\angle \mathrm{AEB} & =180^{\circ}-\angle \mathrm{EAB}-\angle \mathrm{EBA}(\text { Why } ?) \\ & =180^{\circ}-\frac{1}{2}(\angle \mathrm{A}+\angle \mathrm{B}) \end{aligned} $$

এবং $\angle \mathrm{FGH}=\angle \mathrm{CGD}=180^{\circ}-\angle \mathrm{GCD}-\angle \mathrm{GDC} \quad$ (কেন?) $$ =180^{\circ}-\frac{1}{2}(\angle \mathrm{C}+\angle \mathrm{D}) $$

অতএব, $\angle \mathrm{FEH}+\angle \mathrm{FGH}=180^{\circ}-\frac{1}{2}(\angle \mathrm{A}+\angle \mathrm{B})+180^{\circ}-\frac{1}{2}(\angle \mathrm{C}+\angle \mathrm{D})$

$$ \begin{aligned} & =360^{\circ}-\frac{1}{2}(\angle \mathrm{A}+\angle \mathrm{B}+\angle \mathrm{C}+\angle \mathrm{D})=360^{\circ}-\frac{1}{2} \times 360^{\circ} \\ & =360^{\circ}-180^{\circ}=180^{\circ} \end{aligned} $$

অতএব, উপপাদ্য ৯.১১ অনুসারে, চতুর্ভুজ EFGH বৃত্তীয়।

৯.৬ সারাংশ

এই অধ্যায়ে, আপনি নিম্নলিখিত বিষয়গুলি অধ্যয়ন করেছেন:

১. একটি বৃত্ত হল একটি সমতলের সমস্ত বিন্দুর সমষ্টি, যা সমতলের একটি নির্দিষ্ট বিন্দু থেকে সমদূরবর্তী।

২. একটি বৃত্তের (বা সর্বসম বৃত্তের) সমান জ্যাগুলি কেন্দ্রে সমান কোণ উৎপন্ন করে।

৩. যদি একটি বৃত্তের (বা সর্বসম বৃত্তের) দুটি জ্যা কেন্দ্রে (অনুরূপ কেন্দ্রে) সমান কোণ উৎপন্ন করে, তবে জ্যাগুলি সমান।

৪. একটি বৃত্তের কেন্দ্র থেকে একটি জ্যায় লম্ব জ্যাটিকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।

৫. একটি বৃত্তের কেন্দ্রের মধ্য দিয়ে আঁকা রেখা যদি একটি জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে, তবে তা জ্যাটির উপর লম্ব।

৬. একটি বৃত্তের (বা সর্বসম বৃত্তের) সমান জ্যাগুলি কেন্দ্র (বা অনুরূপ কেন্দ্র) থেকে সমদূরবর্তী।

৭. একটি বৃত্তের (বা সর্বসম বৃত্তের) কেন্দ্র (বা অনুরূপ কেন্দ্র) থেকে সমদূরবর্তী জ্যাগুলি সমান।

৮. যদি একটি বৃত্তের দুটি চাপ সর্বসম হয়, তবে তাদের সংশ্লিষ্ট জ্যাগুলি সমান এবং বিপরীতক্রমে, যদি একটি বৃত্তের দুটি জ্যা সমান হয়, তবে তাদের সংশ্লিষ্ট চাপগুলি (ক্ষুদ্রতর, বৃহত্তর) সর্বসম।

৯. একটি বৃত্তের সর্বসম চাপগুলি কেন্দ্রে সমান কোণ উৎপন্ন করে।

১০. একটি চাপ দ্বারা কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ বৃত্তের অবশিষ্ট অংশের উপর যেকোনো বিন্দুতে এটি দ্বারা উৎপন্ন কোণের দ্বিগুণ।

১১. একটি বৃত্তের একই খণ্ডের কোণগুলি সমান।

১২. অর্ধবৃত্তে কোণ একটি সমকোণ।

১৩. যদি একটি রেখাংশ যুক্তকারী দুটি বিন্দু রেখাংশ ধারণকারী রেখার একই পাশে অবস্থিত অন্য দুটি বিন্দুতে সমান কোণ উৎপন্ন করে, তবে চারটি বিন্দু একটি বৃত্তের উপর অবস্থিত।

১৪. একটি বৃত্তীয় চতুর্ভুজের যেকোনো একজোড়া বিপরীত কোণের সমষ্টি $180^{\circ}$।

১৫. যদি একটি চতুর্ভুজের একজোড়া বিপরীত কোণের সমষ্টি $180^{\circ}$ হয়, তবে চতুর্ভুজটি বৃত্তীয়।