9.1 ഒരു ഞാണിന് ഒരു ബിന്ദുവിൽ ഉള്ള കോൺ

നിങ്ങൾ ആറാം ക്ലാസ്സിൽ വൃത്തങ്ങളും അതിന്റെ ഭാഗങ്ങളും പഠിച്ചിട്ടുണ്ട്. ഒരു രേഖാഖണ്ഡം $P Q$ എടുക്കുക, അതിന്റെ രേഖയിൽ ഇല്ലാത്ത ഒരു ബിന്ദു $R$ എടുക്കുക. PR, QR എന്നിവ ചേർക്കുക (ചിത്രം 9.1 കാണുക). അപ്പോൾ $\angle \mathrm{PRQ}$ എന്നതിനെ രേഖാഖണ്ഡം $\mathrm{PQ}$ ബിന്ദു $\mathrm{R}$-ൽ ഉൾക്കൊള്ളിക്കുന്ന കോൺ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ചിത്രം 9.2-ൽ POQ, PRQ, PSQ എന്നിവ എന്താണ് വിളിക്കപ്പെടുന്നത്? $\angle$ POQ എന്നത് ഞാൺ $\mathrm{PQ}$ കേന്ദ്രം $\mathrm{O}, \angle \mathrm{PRQ}$-ൽ ഉൾക്കൊള്ളിക്കുന്ന കോണാണ്, $\angle \mathrm{PSQ}$ എന്നിവ യഥാക്രമം $\mathrm{PQ}$ എന്നത് പ്രധാന ചാപത്തിലും ഗുണ ചാപത്തിലുമുള്ള ബിന്ദുക്കൾ $\mathrm{R}$, $\mathrm{S}$ എന്നിവയിൽ ഉൾക്കൊള്ളിക്കുന്ന കോണുകളാണ്.

ചിത്രം 9.1

ചിത്രം 9.2

ഞാണിന്റെ നീളവും അത് കേന്ദ്രത്തിൽ ഉൾക്കൊള്ളിക്കുന്ന കോണും തമ്മിലുള്ള ബന്ധം നോക്കാം. വൃത്തത്തിന്റെ വിവിധ ഞാണുകൾ വരച്ച് അവ കേന്ദ്രത്തിൽ ഉൾക്കൊള്ളിക്കുന്ന കോണുകൾ നോക്കുമ്പോൾ, ഞാണ് കൂടുതൽ നീളമുള്ളതാണെങ്കിൽ, അത് കേന്ദ്രത്തിൽ ഉൾക്കൊള്ളിക്കുന്ന കോൺ കൂടുതലായിരിക്കും എന്ന് കാണാം. ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ രണ്ട് തുല്യ ഞാണുകൾ എടുത്താൽ എന്ത് സംഭവിക്കും? കേന്ദ്രത്തിൽ ഉൾക്കൊള്ളിക്കുന്ന കോണുകൾ തുല്യമായിരിക്കുമോ അല്ലയോ?

ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ രണ്ടോ അതിലധികമോ തുല്യ ഞാണുകൾ വരച്ച് അവ കേന്ദ്രത്തിൽ ഉൾക്കൊള്ളിക്കുന്ന കോണുകൾ അളക്കുക (ചിത്രം 9.3 കാണുക). അവ കേന്ദ്രത്തിൽ ഉൾക്കൊള്ളിക്കുന്ന കോണുകൾ തുല്യമാണെന്ന് കാണാം. ഈ വസ്തുതയുടെ ഒരു തെളിവ് നൽകാം.

ചിത്രം 9.3

സിദ്ധാന്തം 9.1 : ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ തുല്യ ഞാണുകൾ കേന്ദ്രത്തിൽ തുല്യ കോണുകൾ ഉൾക്കൊള്ളിക്കുന്നു.

തെളിവ് : O കേന്ദ്രമുള്ള ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ AB, CD എന്നീ രണ്ട് തുല്യ ഞാണുകൾ നൽകിയിരിക്കുന്നു (ചിത്രം 9.4 കാണുക). $\angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{COD}$ എന്ന് തെളിയിക്കണം.

ചിത്രം 9.4

ത്രികോണങ്ങൾ $\mathrm{AOB}$, $\mathrm{COD}$ എന്നിവയിൽ,

$$ \begin{array}{ll} \mathrm{OA}=\mathrm{OC} & (\text { Radii of a circle }) \\ \mathrm{OB}=\mathrm{OD} & (\text { Radii of a circle }) \\ \mathrm{AB}=\mathrm{CD} & (\text { Given}) \end{array} $$

അതിനാൽ

$$ \Delta \mathrm{AOB} \cong \Delta \mathrm{COD} \quad(\mathrm{SSS} \text { rule }) $$

ഇത് $\angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{COD}$ എന്ന് നൽകുന്നു.

(സർവ്വസമ ത്രികോണങ്ങളുടെ അനുരൂപ ഭാഗങ്ങൾ)

ശ്രദ്ധിക്കുക : സൗകര്യത്തിനായി, ‘സർവ്വസമ ത്രികോണങ്ങളുടെ അനുരൂപ ഭാഗങ്ങൾ’ എന്നതിന് പകരം CPCT എന്ന ചുരുക്കെഴുത്ത് ഉപയോഗിക്കും, കാരണം ഇത് വളരെ പതിവായി ഉപയോഗിക്കുന്നതായി നിങ്ങൾ കാണും.

ഇപ്പോൾ, ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ രണ്ട് ഞാണുകൾ കേന്ദ്രത്തിൽ തുല്യ കോണുകൾ ഉൾക്കൊള്ളിക്കുന്നുവെങ്കിൽ, ഞാണുകളെക്കുറിച്ച് എന്ത് പറയാം? അവ തുല്യമാണോ അല്ലയോ? ഇനിപ്പറയുന്ന പ്രവർത്തനത്തിലൂടെ ഇത് പരിശോധിക്കാം:

ഒരു ട്രേസിംഗ് പേപ്പർ എടുത്ത് അതിൽ ഒരു വൃത്തം വരയ്ക്കുക. വൃത്തത്തിൽ ചുറ്റും മുറിച്ച് ഒരു ഡിസ്ക് എടുക്കുക. അതിന്റെ കേന്ദ്രം $\mathrm{O}$-ൽ, ഒരു കോൺ $\mathrm{AOB}$ വരയ്ക്കുക, ഇവിടെ $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ എന്നിവ വൃത്തത്തിലെ ബിന്ദുക്കളാണ്. കേന്ദ്രത്തിൽ $\angle A O B$-ന് തുല്യമായ മറ്റൊരു കോൺ $\mathrm{POQ}$ ഉണ്ടാക്കുക. ഡിസ്ക് $A B$, $P Q$ എന്നിവയിൽ മുറിക്കുക (ചിത്രം 9.5 കാണുക). നിങ്ങൾക്ക് വൃത്തത്തിന്റെ ACB, PRQ എന്നീ രണ്ട് ഖണ്ഡങ്ങൾ ലഭിക്കും. ഒന്ന് മറ്റൊന്നിന് മുകളിൽ വെച്ചാൽ എന്താണ് നിരീക്ഷിക്കുന്നത്? അവ പരസ്പരം മറയ്ക്കുന്നു, അതായത്, അവ സർവ്വസമമാണ്. $\mathrm{So} \mathrm{AB}=\mathrm{PQ}$.

ചിത്രം 9.5

ഈ പ്രത്യേക കേസിൽ നിങ്ങൾ ഇത് കണ്ടെങ്കിലും, മറ്റ് തുല്യ കോണുകൾക്കും ഇത് പരീക്ഷിക്കുക. ഇനിപ്പറയുന്ന സിദ്ധാന്തം കാരണം എല്ലാ ഞാണുകളും തുല്യമായിരിക്കും:

സിദ്ധാന്തം 9.2 : ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ ഞാണുകൾ കേന്ദ്രത്തിൽ ഉൾക്കൊള്ളിക്കുന്ന കോണുകൾ തുല്യമാണെങ്കിൽ, ഞാണുകൾ തുല്യമാണ്.

മുകളിലുള്ള സിദ്ധാന്തം സിദ്ധാന്തം 9.1-ന്റെ വിപരീതമാണ്. ചിത്രം 9.4-ൽ, $\angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{COD}$ എടുത്താൽ,

$\triangle \mathrm{AOB} \cong \triangle \mathrm{COD}$ (എന്തുകൊണ്ട്?)

ഇപ്പോൾ $\mathrm{AB}=\mathrm{CD}$ എന്ന് കാണാമോ?

9.2 കേന്ദ്രത്തിൽ നിന്ന് ഒരു ഞാണിലേക്കുള്ള ലംബം

പ്രവർത്തനം : ഒരു ട്രേസിംഗ് പേപ്പറിൽ ഒരു വൃത്തം വരയ്ക്കുക. അതിന്റെ കേന്ദ്രം $\mathrm{O}$ ആയിരിക്കട്ടെ. ഒരു ഞാൺ AB വരയ്ക്കുക. $\mathrm{O}$ വഴി ഒരു രേഖയിൽ പേപ്പർ മടക്കുക, അങ്ങനെ ഞാണിന്റെ ഒരു ഭാഗം മറ്റേതിൽ വീഴും. മടക്ക് രേഖ $\mathrm{AB}$-നെ ബിന്ദു $\mathrm{M}$-ൽ മുറിക്കട്ടെ. അപ്പോൾ, $\angle \mathrm{OMA}=\angle \mathrm{OMB}=90^{\circ}$ അല്ലെങ്കിൽ $\mathrm{OM}$ AB-യ്ക്ക് ലംബമാണ്. B ബിന്ദു A-യുമായി യോജിക്കുന്നുണ്ടോ (ചിത്രം 9.6 കാണുക)?

അതെ, യോജിക്കും. അതിനാൽ MA=MB.

ചിത്രം 9.6

$\mathrm{OA}$, $\mathrm{OB}$ എന്നിവ ചേർത്ത് OMA, OMB എന്നീ ലംബ ത്രികോണങ്ങൾ സർവ്വസമമാണെന്ന് തെളിയിച്ച് നിങ്ങൾ തന്നെ ഒരു തെളിവ് നൽകുക. ഈ ഉദാഹരണം ഇനിപ്പറയുന്ന ഫലത്തിന്റെ ഒരു പ്രത്യേക സാഹചര്യമാണ്:

സിദ്ധാന്തം 9.3 : ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ കേന്ദ്രത്തിൽ നിന്ന് ഒരു ഞാണിലേക്കുള്ള ലംബം ആ ഞാണിനെ സമഭാഗം ചെയ്യുന്നു.

ഈ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ വിപരീതം എന്താണ്? ഇത് എഴുതാൻ, ആദ്യം സിദ്ധാന്തം 9.3-ൽ എന്താണ് അനുമാനിക്കപ്പെട്ടതെന്നും എന്താണ് തെളിയിക്കപ്പെട്ടതെന്നും വ്യക്തമാക്കാം. ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ കേന്ദ്രത്തിൽ നിന്ന് ഒരു ഞാണിലേക്കുള്ള ലംബം വരച്ചിരിക്കുന്നു, അത് ഞാണിനെ സമഭാഗം ചെയ്യുന്നു എന്ന് തെളിയിക്കണം. അതിനാൽ വിപരീതത്തിൽ, ‘ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ ഒരു ഞാണിനെ കേന്ദ്രത്തിൽ നിന്നുള്ള ഒരു രേഖ സമഭാഗം ചെയ്യുന്നുവെങ്കിൽ’ എന്നതാണ് അനുമാനം, ‘ആ രേഖ ഞാണിന് ലംബമാണ്’ എന്നതാണ് തെളിയിക്കേണ്ടത്. അതിനാൽ വിപരീതം ഇതാണ്:

സിദ്ധാന്തം 9.4 : ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ കേന്ദ്രത്തിലൂടെ വരച്ച് ഒരു ഞാണിനെ സമഭാഗം ചെയ്യുന്ന രേഖ ആ ഞാണിന് ലംബമാണ്.

ഇത് ശരിയാണോ? കുറച്ച് കേസുകൾക്കായി പരീക്ഷിച്ച് നോക്കുക. ഈ കേസുകളിൽ ഇത് ശരിയാണെന്ന് കാണാം. ഇനിപ്പറയുന്ന വ്യായാമം ചെയ്ത് ഇത് പൊതുവെ ശരിയാണോ എന്ന് നോക്കാം. ഘട്ടങ്ങൾ ഞങ്ങൾ എഴുതും, നിങ്ങൾ കാരണങ്ങൾ നൽകുക.

$\mathrm{AB}$ എന്നത് $\mathrm{O}$ കേന്ദ്രമുള്ള ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ ഒരു ഞാണായിരിക്കട്ടെ, $\mathrm{O}$ എന്നത് $\mathrm{AB}$-ന്റെ മധ്യബിന്ദു $\mathrm{M}$-വുമായി ചേർക്കുന്നു. $\mathrm{OM} \perp \mathrm{AB}$ എന്ന് തെളിയിക്കണം. $\mathrm{OA}$, $\mathrm{OB}$ എന്നിവ ചേർക്കുക (ചിത്രം 9.7 കാണുക). OAM, OBM എന്നീ ത്രികോണങ്ങളിൽ,

$$ \begin{aligned} \mathrm{OA} & =\mathrm{OB}\quad \text{(Why ?)}\\ \mathrm{AM} & =\mathrm{BM}\quad \text{(Why ?)} \\ \mathrm{OM} & =\mathrm{OM}\quad \text{(Common)} \end{aligned} $$

ചിത്രം 9.7

അതിനാൽ, $\triangle \mathrm{OAM} \cong \triangle \mathrm{OBM}\quad \text{(How ?)}$

ഇത് $\angle \mathrm{OMA}=\angle \mathrm{OMB}=90^{\circ} \quad$ എന്ന് നൽകുന്നു (എന്തുകൊണ്ട്?)

9.3 തുല്യ ഞാണുകളും കേന്ദ്രത്തിൽ നിന്നുള്ള അവയുടെ ദൂരവും

$\mathrm{AB}$ ഒരു രേഖയായിരിക്കട്ടെ, $\mathrm{P}$ ഒരു ബിന്ദുവായിരിക്കട്ടെ. ഒരു രേഖയിൽ അനന്തമായ ബിന്ദുക്കൾ ഉള്ളതിനാൽ, ഈ ബിന്ദുക്കൾ $\mathrm{P}$-വുമായി ചേർത്താൽ, നിങ്ങൾക്ക് അനന്തമായ നിരവധി രേഖാഖണ്ഡങ്ങൾ $\mathrm{PL_1}, \mathrm{PL_2}, \mathrm{PM}, \mathrm{PL_3}, \mathrm{PL_4}$ മുതലായവ ലഭിക്കും. ഇവയിൽ ഏതാണ് AB-യുടെ P-യിൽ നിന്നുള്ള ദൂരം? നിങ്ങൾക്ക് കുറച്ച് നേരം ചിന്തിച്ച് ഉത്തരം ലഭിക്കും. ഈ രേഖാഖണ്ഡങ്ങളിൽ, $\mathrm{P}$-ൽ നിന്ന് $\mathrm{AB}$-ലേക്കുള്ള ലംബം, അതായത് ചിത്രം 9.8-ലെ $\mathrm{PM}$, ഏറ്റവും ചെറുതായിരിക്കും. ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ, ഈ ഏറ്റവും ചെറിയ നീളം $P M$-ആണ് $A B$-ന്റെ $P$-ൽ നിന്നുള്ള ദൂരം എന്ന് നിർവചിക്കുന്നു. അതിനാൽ നിങ്ങൾക്ക് ഇങ്ങനെ പറയാം:

ചിത്രം 9.8

ഒരു ബിന്ദുവിൽ നിന്ന് ഒരു രേഖയിലേക്കുള്ള ലംബത്തിന്റെ നീളമാണ് ആ രേഖയുടെ ബിന്ദുവിൽ നിന്നുള്ള ദൂരം.

ബിന്ദു രേഖയിൽ കിടക്കുന്നുവെങ്കിൽ, രേഖയുടെ ബിന്ദുവിൽ നിന്നുള്ള ദൂരം പൂജ്യമാണെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുക.

ഒരു വൃത്തത്തിന് അനന്തമായ നിരവധി ഞാണുകൾ ഉണ്ടാകാം. ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ ഞാണുകൾ വരച്ച് നിരീക്ഷിക്കുമ്പോൾ, നീളമുള്ള ഞാൺ ചെറിയ ഞാണിനേക്കാൾ കേന്ദ്രത്തോട് അടുത്താണെന്ന് കാണാം. വ്യത്യസ്ത നീളമുള്ള ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ നിരവധി ഞാണുകൾ വരച്ച് കേന്ദ്രത്തിൽ നിന്നുള്ള അവയുടെ ദൂരം അളക്കുന്നതിലൂടെ ഇത് നിരീക്ഷിക്കാം. വ്യാസത്തിന്റെ, അതായത് ഏറ്റവും നീളമുള്ള ഞാണിന്റെ, കേന്ദ്രത്തിൽ നിന്നുള്ള ദൂരം എന്താണ്? കേന്ദ്രം അതിൽ കിടക്കുന്നതിനാൽ, ദൂരം പൂജ്യമാണ്. ഞാണുകളുടെ നീളവും കേന്ദ്രത്തിൽ നിന്നുള്ള അവയുടെ ദൂരവും തമ്മിൽ എന്തെങ്കിലും ബന്ധമുണ്ടെന്ന് നിങ്ങൾ കരുതുന്നുണ്ടോ? ഇത് അങ്ങനെയാണോ എന്ന് നോക്കാം.

ചിത്രം 9.9

പ്രവർത്തനം : ഏതെങ്കിലും ആരമുള്ള ഒരു വൃത്തം ഒരു ട്രേസിംഗ് പേപ്പറിൽ വരയ്ക്കുക. അതിന്റെ രണ്ട് തുല്യ ഞാണുകൾ $\mathrm{AB}$, $\mathrm{CD}$ വരയ്ക്കുക, കേന്ദ്രം O-യിൽ നിന്ന് അവയിലേക്കുള്ള ലംബങ്ങൾ $\mathrm{OM}$, $\mathrm{ON}$ വരയ്ക്കുക. D എന്നത് B-യിലും C എന്നത് A-യിലും വീഴുന്ന വിധം ചിത്രം മടക്കുക [ചിത്രം 9.9 (i) കാണുക]. $\mathrm{O}$ മടക്ക് രേഖയിലും $\mathrm{N}$ $\mathrm{M}$-ലും വീഴുന്നതായി നിങ്ങൾ നിരീക്ഷിക്കാം. അതിനാൽ, $\mathrm{OM}=\mathrm{ON}$. $\mathrm{O}$, $\mathrm{O}^{\prime}$ എന്നീ കേന്ദ്രങ്ങളുള്ള സർവ്വസമ വൃത്തങ്ങൾ വരച്ച് ഓരോന്നിലും ഒരു തുല്യ ഞാൺ $A B$, $C D$ എടുത്ത് ഈ പ്രവർത്തനം ആവർത്തിക്കുക. അവയിലേക്കുള്ള ലംബങ്ങൾ $O M$, $O^{\prime} N$ വരയ്ക്കുക [ചിത്രം 9.9(ii) കാണുക]. ഒരു വൃത്താകൃതിയിലുള്ള ഡിസ്ക് മുറിച്ച് മറ്റേതിന് മുകളിൽ വയ്ക്കുക, അങ്ങനെ $A B$ $\mathrm{CD}$-വുമായി യോജിക്കും. അപ്പോൾ $\mathrm{O}$ $\mathrm{O}^{\prime}$-വുമായും $\mathrm{M}$ $\mathrm{N}$-വുമായും യോജിക്കുന്നതായി കാണാം. ഈ രീതിയിൽ നിങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്നവ സ്ഥിരീകരിച്ചു:

സിദ്ധാന്തം 9.5 : ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ (അല്ലെങ്കിൽ സർവ്വസമ വൃത്തങ്ങളുടെ) തുല്യ ഞാണുകൾ കേന്ദ്രത്തിൽ നിന്ന് (അല്ലെങ്കിൽ കേന്ദ്രങ്ങളിൽ നിന്ന്) സമദൂരത്തിലാണ്.

അടുത്തതായി, ഈ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ വിപരീതം ശരിയാണോ അല്ലയോ എന്ന് കാണാം. ഇതിനായി, O കേന്ദ്രമുള്ള ഒരു വൃത്തം വരയ്ക്കുക. കേന്ദ്രം O-യിൽ നിന്ന്, തുല്യ നീളമുള്ള രണ്ട് രേഖാഖണ്ഡങ്ങൾ OL, OM വരയ്ക്കുക, അവ വൃത്തത്തിനുള്ളിൽ കിടക്കുന്നു [ചിത്രം 9.10(i) കാണുക]. അതിനുശേഷം വൃത്തത്തിന്റെ ഞാണുകൾ PQ, RS എന്നിവ യഥാക്രമം OL, OM എന്നിവയ്ക്ക് ലംബമായി വരയ്ക്കുക [ചിത്രം 9.10(ii) കാണുക]. PQ, RS എന്നിവയുടെ നീളം അളക്കുക. ഇവ വ്യത്യസ്തമാണോ? അല്ല, രണ്ടും തുല്യമാണ്. കൂടുതൽ തുല്യ രേഖാഖണ്ഡങ്ങൾക്കായി ഈ പ്രവർത്തനം ആവർത്തിക്കുക, അവയ്ക്ക് ലംബമായി ഞാണുകൾ വരയ്ക്കുക. ഇത് സിദ്ധാന്തം 9.5-ന്റെ വിപരീതം സ്ഥിരീകരിക്കുന്നു, അത് ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ പറയപ്പെടുന്നു:

ചിത്രം 9.10

സിദ്ധാന്തം 9.6 : ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ കേന്ദ്രത്തിൽ നിന്ന് സമദൂരത്തിലുള്ള ഞാണുകൾ നീളത്തിൽ തുല്യമാണ്. മുകളിലെ ഫലങ്ങളുടെ ഉപയോഗം വിവരിക്കാൻ ഇപ്പോൾ ഒരു ഉദാഹരണം എടുക്കാം:

ഉദാഹരണം 1 : ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ രണ്ട് വിഭജിക്കുന്ന ഞാണുകൾ അവയുടെ വിഭജന ബിന്ദുവിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന വ്യാസവുമായി തുല്യ കോണുകൾ ഉണ്ടാക്കുന്നുവെങ്കിൽ, ഞാണുകൾ തുല്യമാണെന്ന് തെളിയിക്കുക.

പരിഹാരം : $\mathrm{AB}$, $\mathrm{CD}$ എന്നിവ $\mathrm{O}$ കേന്ദ്രമുള്ള ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ രണ്ട് ഞാണുകളാണ്, അവ ഒരു ബിന്ദു $\mathrm{E}$-ൽ വിഭജിക്കുന്നു. $\mathrm{PQ}$ എന്നത് $\mathrm{E}$-ലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു വ്യാസമാണ്, അതായത് $\angle \mathrm{AEQ}=\angle \mathrm{DEQ}$ (ചിത്രം 9.11 കാണുക). $\mathrm{AB}=\mathrm{CD}$ എന്ന് തെളിയിക്കണം. ഞാണുകൾ $\mathrm{AB}$, $\mathrm{CD}$ എന്നിവയിലേക്ക് യഥാക്രമം OL, OM എന്നീ ലംബങ്ങൾ വരയ്ക്കുക. ഇപ്പോൾ,

ചിത്രം 9.11

$$ \begin{aligned} \angle \mathrm{LOE}= & 180^{\circ}-90^{\circ}-\angle \mathrm{LEO}=90^{\circ}-\angle \mathrm{LEO} \\ & \quad(\text { Angle sum property of a triangle }) \\ = & 90^{\circ}-\angle \mathrm{AEQ}=90^{\circ}-\angle \mathrm{DEQ} \\ = & 90^{\circ}-\angle \mathrm{MEO}=\angle \mathrm{MOE} \end{aligned} $$

OLE, OME എന്നീ ത്രികോണങ്ങളിൽ,

$$ \begin{aligned} \angle \mathrm{LEO} & =\angle \mathrm{MEO}\quad \quad \text{(Why ?)} \\ \angle \mathrm{LOE} & =\angle \mathrm{MOE}\quad \quad \text{(Proved above)} \\ \mathrm{EO} & =\mathrm{EO}\quad \quad \text{(Common)} \\ \text{Therefore},\quad\Delta \mathrm{OLE} & \cong \Delta \mathrm{OME}\quad \quad \text{(Why ?)} \\ \text{This gives}\quad\mathrm{OL} & =\mathrm{OM}\quad \quad \text{(CPCT)} \\ \text{ So, }\quad\mathrm{AB} & =\mathrm{CD}\quad \quad \text{(Why?)} \end{aligned} $$

9.4 ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ ചാപത്താൽ ഉൾക്കൊള്ളിക്കപ്പെടുന്ന കോൺ

ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ വ്യാസമല്ലാത്ത ഒരു ഞാണിന്റെ അന്ത്യബിന്ദുക്കൾ അതിനെ രണ്ട് ചാപങ്ങളായി മുറിക്കുന്നു എന്ന് നിങ്ങൾ കണ്ടിട്ടുണ്ട് - ഒന്ന് പ്രധാന ചാപവും മറ്റൊന്ന് ഗുണ ചാപവും. നിങ്ങൾ രണ്ട് തുല്യ ഞാണുകൾ എടുത്താൽ, ചാപങ്ങളുടെ വലുപ്പത്തെക്കുറിച്ച് എന്ത് പറയാം? ആദ്യത്തെ ഞാണിനാൽ ഉണ്ടാക്കപ്പെട്ട ചാപം മറ്റൊരു ഞാണിനാൽ ഉണ്ടാക്കപ്പെട്ട അനുബന്ധ ചാപത്തിന് തുല്യമാണോ? വാസ്തവത്തിൽ, അവ നീളത്തിൽ തുല്യമായതിനേക്കാൾ കൂടുതലാണ്. ഒരു ചാപം വളയ്ക്കാതെയോ തിരിക്കാതെയോ മറ്റൊന്നിന് മുകളിൽ വെച്ചാൽ, അത് മറ്റേതിനെ പൂർണ്ണമായും മറയ്ക്കുന്നു എന്ന അർത്ഥത്തിൽ അവ സർവ്വസമമാണ്.

ചാപം $\mathrm{CD}$ വൃത്തത്തിൽ നിന്ന് $\mathrm{CD}$ ഉപയോഗിച്ച് മുറിച്ച് തുല്യ ഞാൺ AB ഉപയോഗിച്ച് ഉണ്ടാക്കിയ അനുബന്ധ ചാപത്തിന് മുകളിൽ വെച്ച് നിങ്ങൾക്ക് ഈ വസ്തുത സ്ഥിരീകരിക്കാം. ചാപം CD ചാപം AB-യെ പൂർണ്ണമായും മറയ്ക്കുന്നതായി നിങ്ങൾ കാണും (ചിത്രം 9.13 കാണുക). ഇത് തുല്യ ഞാണുകൾ സർവ്വസമ ചാപങ്ങൾ ഉണ്ടാക്കുന്നുവെന്നും വിപരീതമായി, സർവ്വസമ ചാപങ്ങൾ ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ തുല്യ ഞാണുകൾ ഉണ്ടാക്കുന്നുവെന്നും കാണിക്കുന്നു. നിങ്ങൾക്ക് ഇത് ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ പറയാം:

ചിത്രം 9.13

ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ രണ്ട് ഞാണുകൾ തുല്യമാണെങ്കിൽ, അവയുടെ അനുബന്ധ ചാപങ്ങൾ സർവ്വസമമാണ്, വിപരീതമായി, രണ്ട് ചാപങ്ങൾ സർവ്വസമമാണെങ്കിൽ, അവയുടെ അനുബന്ധ ഞാണുകൾ തുല്യമാണ്.

കൂടാതെ, ഒരു ചാപം കേന്ദ്രത്തിൽ ഉൾക്കൊള്ളിക്കുന്ന കോൺ എന്നത് അനുബന്ധ ഞാൺ കേന്ദ്രത്തിൽ ഉൾക്കൊള്ളിക്കുന്ന കോണാണ് എന്ന അർത്ഥത്തിൽ നിർവചിക്കപ്പെടുന്നു, അതായത് ഗുണ ചാപം കോണും പ്രധാന ചാപം പ്രതിഫലന കോണും ഉൾക്കൊള്ളിക്കുന്നു. അതിനാൽ, ചിത്രം 9.14-ൽ, ഗുണ ചാപം $\mathrm{PQ}$ $\mathrm{O}$-ൽ ഉൾക്കൊള്ളിക്കുന്ന കോൺ $\angle \mathrm{POQ}$ ആണ്, പ്രധാന ചാപം $\mathrm{PQ}$ $\mathrm{O}$-ൽ ഉൾക്കൊള്ളിക്കുന്ന കോൺ പ്രതിഫലന കോൺ POQ ആണ്.

മുകളിലെ സ്വഭാവവും സിദ്ധാന്തം 9.1-ഉം കണക്കിലെടുക്കുമ്പോൾ, ഇനിപ്പറയുന്ന ഫലം ശരിയാണ്:

ചിത്രം 9.14

ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ സർവ്വസമ ചാപങ്ങൾ (അല്ലെങ്കിൽ തുല്യ ചാപങ്ങൾ) കേന്ദ്രത്തിൽ തുല്യ കോണുകൾ ഉൾക്കൊള്ളിക്കുന്നു.

അതിനാൽ, ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ ഒരു ഞാൺ അതിന്റെ കേന്ദ്രത്തിൽ ഉൾക്കൊള്ളിക്കുന്ന കോൺ, അനുബന്ധ (ഗുണ) ചാപം കേന്ദ്രത്തിൽ ഉൾക്കൊള്ളിക്കുന്ന കോണിന് തുല്യമാണ്. ഒരു ചാപം കേന്ദ്രത്തിലും വൃത്തത്തിലെ ഒരു ബിന്ദുവിലും ഉൾക്കൊള്ളിക്കുന്ന കോണുകൾ തമ്മില