১১.১ ভূমিকা

আপনি কি জানেন পৃথিবীর ভর কত? এটি

$5,970,000,000,000,000,000,000,000 kg$ !

আপনি কি এই সংখ্যাটি পড়তে পারেন?

ইউরেনাসের ভর হল 86,800,000,000,000,000,000,000,000 kg.

পৃথিবী এবং ইউরেনাসের মধ্যে কোনটির ভর বেশি?

সূর্য এবং শনির মধ্যে দূরত্ব হল 1,433,500,000,000 m এবং শনি ও ইউরেনাসের মধ্যে দূরত্ব হল $1,439,000,000,000 m$। আপনি কি এই সংখ্যাগুলো পড়তে পারেন? কোন দূরত্বটি কম?

এই অত্যন্ত বড় সংখ্যাগুলি পড়া, বোঝা এবং তুলনা করা কঠিন। এই সংখ্যাগুলিকে সহজে পড়া, বোঝা এবং তুলনা করার জন্য, আমরা সূচক ব্যবহার করি। এই অধ্যায়ে, আমরা সূচক সম্পর্কে শিখব এবং কীভাবে সেগুলো ব্যবহার করতে হয় তাও শিখব।

১১.২ সূচক

আমরা সূচক ব্যবহার করে বড় সংখ্যাগুলি সংক্ষিপ্ত আকারে লিখতে পারি।

$\quad 10,000=10 \times 10 \times 10 \times 10=10^{4}$ লক্ষ্য করুন

সংক্ষিপ্ত সংকেত $10^{4}$ গুণফল $10 \times 10 \times 10 \times 10$ কে নির্দেশ করে। এখানে ‘10’ কে বলা হয় ভিত্তি এবং ‘4’ কে সূচক। সংখ্যাটি $10^{4}$ কে পড়া হয় 10 এর ঘাত 4 বা সহজভাবে 10 এর চতুর্থ ঘাত হিসেবে। $\mathbf{1 0 . 1 0 ^ { 4 }}$ কে 10,000 এর সূচকীয় রূপ বলা হয়।

আমরা একইভাবে 1,000 কে 10 এর ঘাত হিসেবে প্রকাশ করতে পারি। লক্ষ্য করুন

$ 1000=10 \times 10 \times 10=10^{3} $

এখানে আবার, $10^{3}$ হল 1,000 এর সূচকীয় রূপ।

একইভাবে, $1,00,000=10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10=10^{5}$

$10^{5}$ হল $1,00,000$ এর সূচকীয় রূপ

এই দুটি উদাহরণেই, ভিত্তি হল 10; $10^{3}$ এর ক্ষেত্রে, সূচক হল 3 এবং $10^{5}$ এর ক্ষেত্রে সূচক হল 5।

আমরা সংখ্যাগুলোকে বিস্তৃত আকারে লেখার সময় $10,100,1000$ ইত্যাদি সংখ্যা ব্যবহার করেছি। উদাহরণস্বরূপ, $47561=4 \times 10000+7 \times 1000+5 \times 100+6 \times 10+1$

এটি লেখা যেতে পারে $4 \times 10^{4}+7 \times 10^{3}+5 \times 10^{2}+6 \times 10+1$ হিসেবে।

এই সংখ্যাগুলো একইভাবে লেখার চেষ্টা করুন $172,5642,6374$।

উপরের সমস্ত উদাহরণে, আমরা এমন সংখ্যা দেখেছি যাদের ভিত্তি হল 10। তবে ভিত্তি অন্য যেকোনো সংখ্যাও হতে পারে। উদাহরণস্বরূপ:

$81=3 \times 3 \times 3 \times 3$ কে লেখা যেতে পারে $81=3^{4}$ হিসেবে, এখানে 3 হল ভিত্তি এবং 4 হল সূচক।

কিছু ঘাতের বিশেষ নাম আছে। উদাহরণস্বরূপ,

$10^{2}$, যা হল 10 এর ঘাত 2, এটিকে ‘10 বর্গ’ও পড়া হয় এবং

$10^{3}$, যা হল 10 এর ঘাত 3, এটিকে ‘10 ঘন’ও পড়া হয়।

আপনি বলতে পারেন কি $5^{3}$ (5 ঘন) এর অর্থ?

$ 5^{3}=5 \times 5 \times 5=125 $

সুতরাং, আমরা বলতে পারি 125 হল 5 এর তৃতীয় ঘাত।

$5^{3}$ এ সূচক এবং ভিত্তি কি?

একইভাবে, $2^{5}=2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2=32$, যা হল 2 এর পঞ্চম ঘাত।

$2^{5}, 2$ এ ভিত্তি হল 2 এবং সূচক হল 5।

একইভাবে,

$ \begin{aligned} 243 & =3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3=3^{5} \\ 64 & =2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2=2^{6} \\ 625 & =5 \times 5 \times 5 \times 5=5^{4} \end{aligned} $

চেষ্টা করুন

এরকম আরও পাঁচটি উদাহরণ খুঁজে বের করুন, যেখানে একটি সংখ্যাকে সূচকীয় আকারে প্রকাশ করা হয়েছে। প্রতিটি ক্ষেত্রে ভিত্তি এবং সূচকও চিহ্নিত করুন।

যখন ভিত্তি একটি ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা হয় তখনও আপনি লেখার এই পদ্ধতিটি বাড়াতে পারেন।

$(-2)^{3}$ এর অর্থ কি?

এটি হল $\quad(-2)^{3}=(-2) \times(-2) \times(-2)=-8$

$\quad(-2)^{4}=16$ কি? এটি পরীক্ষা করুন।

একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা নেওয়ার পরিবর্তে, আসুন যেকোনো পূর্ণসংখ্যা $a$ কে ভিত্তি হিসেবে নিই, এবং সংখ্যাগুলো এভাবে লিখি,

$ \begin{aligned} a \times a & =a^{2}(\text{ পড়ুন ’ } a \text{ বর্গ’ বা ’ } a \text{ এর ঘাত 2’ }) \\ a \times a \times a & =a^{3}(\text{ পড়ুন ’ } a \text{ ঘন’ বা ’ } a \text{ এর ঘাত 3’ }) \\ a \times a \times a \times a & =a^{4}(\text{ পড়ুন } a \text{ এর ঘাত 4 বা } a \text{ এর চতুর্থ ঘাত}) \end{aligned} $

$a \times a \times a \times a \times a \times a \times a=a^{7}($ পড়ুন $a$ এর ঘাত 7 বা $.a)$ এর $7^{\text{th }}$ তম ঘাত ইত্যাদি।

$a \times a \times a \times b \times b$ কে প্রকাশ করা যেতে পারে $a^{3} b^{2}$ হিসেবে (পড়ুন $a$ ঘন $b$ বর্গ)

চেষ্টা করুন

প্রকাশ করুন:

(i) 729 কে 3 এর ঘাত হিসেবে

(ii) 128 কে 2 এর ঘাত হিসেবে

(iii) 343 কে 7 এর ঘাত হিসেবে $a \times a \times b \times b \times b \times b$ কে প্রকাশ করা যেতে পারে $a^{2} b^{4}$ হিসেবে (পড়ুন $a$ বর্গ গুণ $b$ এর ঘাত 4)।

উদাহরণ 1 256 কে 2 এর ঘাত হিসেবে প্রকাশ করুন।

সমাধান

আমাদের আছে $256=2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2$।

সুতরাং আমরা বলতে পারি যে $256=2^{8}$

উদাহরণ 2 কোনটি বড় $2^{3}$ নাকি $3^{2}$?

সমাধান আমাদের আছে, $2^{3}=2 \times 2 \times 2=8$ এবং $3^{2}=3 \times 3=9$।

যেহেতু $9>8$, তাই, $3^{2}$ $2^{3}$ এর চেয়ে বড়।

উদাহরণ 3 কোনটি বড় $8^{2}$ নাকি $2^{8}$?

সমাধান

$\quad 8^{2}=8 \times 8=64$ $2^{8}=2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2=256$

স্পষ্টতই, $\quad 2^{8}>8^{2}$

উদাহরণ 4 $a^{3} b^{2}, a^{2} b^{3}, b^{2} a^{3}, b^{3} a^{2}$ কে বিস্তৃত করুন। এরা কি সব একই?

সমাধান

$a^{3} b^{2}=a^{3} \times b^{2}$

$ \begin{aligned} & =(a \times a \times a) \times(b \times b) \\ & =a \times a \times a \times b \times b \\ a^{2} b^{3} & =a^{2} \times b^{3} \\ & =a \times a \times b \times b \times b \\ b^{2} a^{3} & =b^{2} \times a^{3} \\ & =b \times b \times a \times a \times a \\ b^{3} a^{2} & =b^{3} \times a^{2} \\ & =b \times b \times b \times a \times a \end{aligned} $

লক্ষ্য করুন যে পদ $a^{3} b^{2}$ এবং $a^{2} b^{3}$ এর ক্ষেত্রে $a$ এবং $b$ এর ঘাত ভিন্ন। সুতরাং $a^{3} b^{2}$ এবং $a^{2} b^{3}$ ভিন্ন।

অন্যদিকে, $a^{3} b^{2}$ এবং $b^{2} a^{3}$ একই, যেহেতু এই দুটি পদে $a$ এবং $b$ এর ঘাত একই। উৎপাদকগুলোর ক্রম গুরুত্বপূর্ণ নয়।

সুতরাং, $a^{3} b^{2}=a^{3} \times b^{2}=b^{2} \times a^{3}=b^{2} a^{3}$। একইভাবে, $a^{2} b^{3}$ এবং $b^{3} a^{2}$ একই।

উদাহরণ 5 নিম্নলিখিত সংখ্যাগুলোকে মৌলিক উৎপাদকের ঘাতের গুণফল হিসেবে প্রকাশ করুন:

(i) 72

(ii) 432

(iii) 1000

(iv) 16000

সমাধান

(i) $72=2 \times 36=2 \times 2 \times 18$

$ \begin{aligned} & =2 \times 2 \times 2 \times 9 \\ & =2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3=2^{3} \times 3^{2} \end{aligned} $

সুতরাং, $72=2^{3} \times 3^{2} \quad$ (প্রয়োজনীয় মৌলিক উৎপাদক গুণফল আকার)

$\begin{array}{l|l} 2 & 72 \\ \hline 2 & 36 \\ \hline 2 & 18 \\ \hline 3 & 9 \\ \hline & 3 \end{array}$

(ii) $432=2 \times 216=2 \times 2 \times 108=2 \times 2 \times 2 \times 54$

$ \begin{aligned} & =2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 27=2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 9 \\ & =2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 \end{aligned} $

বা $\quad 432=2^{4} \times 3^{3}$

(প্রয়োজনীয় আকার)

(iii) $1000=2 \times 500=2 \times 2 \times 250=2 \times 2 \times 2 \times 125$

$ =2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 25=2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5 \times 5 $

বা

$ 1000=2^{3} \times 5^{3} $

অতুল এই উদাহরণটি অন্য উপায়ে সমাধান করতে চায়:

$ \begin{aligned} 1000 & =10 \times 100=10 \times 10 \times 10 \\ & =(2 \times 5) \times(2 \times 5) \times(2 \times 5) \quad(\text{ যেহেতু } 10=2 \times 5) \\ & =2 \times 5 \times 2 \times 5 \times 2 \times 5=2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5 \times 5 \end{aligned} $

বা

$ 1000=2^{3} \times 5^{3} $

অতুলের পদ্ধতিটি কি সঠিক?

$ \begin{aligned} & \text{ (iv) } .16,000=16 \times 1000=(2 \times 2 \times 2 \times 2) \times 1000=2^{4} \times 10^{3} \text{ (যেহেতু } 16=2 \times 2 \times 2 \times 2) \\ & =(2 \times 2 \times 2 \times 2) \times(2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5 \times 5)=2^{4} \times 2^{3} \times 5^{3} \\ & (\text{ যেহেতু } 1000=2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5 \times 5) \\ & =(2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2) \times(5 \times 5 \times 5) \\ & \text{ বা, } \quad 16,000=2^{7} \times 5^{3} \end{aligned} $

উদাহরণ 6 $(1)^{5},(-1)^{3},(-1)^{4},(-10)^{3},(-5)^{4}$ এর মান নির্ণয় করুন।

সমাধান

(i) আমাদের আছে $(1)^{5}=1 \times 1 \times 1 \times 1 \times 1=1$

আসলে, আপনি বুঝতে পারবেন যে 1 এর যেকোনো ঘাত হল 1।

(ii) $(-1)^{3}=(-1) \times(-1) \times(-1)=1 \times(-1)=-1$

(iii) $(-1)^{4}=(-1) \times(-1) \times(-1) \times(-1)=1 \times 1=1$

$\begin{array}{|ll|} \hline(-1)^{\text{বিজোড় সংখ্যা }} & =-1 \\ (-1)^{\text{জোড় সংখ্যা }} & =+1 \\ \hline \end{array}$

আপনি পরীক্ষা করে দেখতে পারেন যে $(-1)$ এর যেকোনো বিজোড় ঘাত হল $(-1)$,

এবং $(-1)$ এর যেকোনো জোড় ঘাত হল $(+1)$।

(iv) $(-10)^{3}=(-10) \times(-10) \times(-10)=100 \times(-10)=-1000$

(v) $(-5)^{4}=(-5) \times(-5) \times(-5) \times(-5)=25 \times 25=625$

অনুশীলনী ১১.১

1. মান নির্ণয় করুন:

(i) $2^{6}$

(ii) $9^{3}$

(iii) $11^{2}$

(iv) $5^{4}$

2. নিম্নলিখিতগুলিকে সূচকীয় আকারে প্রকাশ করুন:

(i) $6 \times 6 \times 6 \times 6$

(ii) $t \times t$

(iii) $b \times b \times b \times b$

(iv) $5 \times 5 \times 7 \times 7 \times 7$

(v) $2 \times 2 \times a \times a$

(vi) $a \times a \times a \times c \times c \times c \times c \times d$

3. নিম্নলিখিত প্রতিটি সংখ্যাকে সূচকীয় সংকেত ব্যবহার করে প্রকাশ করুন:

(i) 512

(ii) 343

(iii) 729

(iv) 3125

4. নিম্নলিখিত প্রতিটিতে, যেখানে সম্ভব, বৃহত্তর সংখ্যাটি চিহ্নিত করুন?

(i) $4^{3}$ বা $3^{4}$

(ii) $5^{3}$ বা $3^{5}$

(iii) $2^{8}$ বা $8^{2}$

(iv) $100^{2}$ বা $2^{100}$

(v) $2^{10}$ বা $10^{2}$

5. নিম্নলিখিত প্রতিটিকে তাদের মৌলিক উৎপাদকের ঘাতের গুণফল হিসেবে প্রকাশ করুন:

(i) 648

(ii) 405

(iii) 540

(iv) 3,600

6. সরলীকরণ করুন:

(i) $2 \times 10^{3}$

(ii) $7^{2} \times 2^{2}$

(iii) $2^{3} \times 5$

(iv) $3 \times 4^{4}$

(v) $0 \times 10^{2}$

(vi) $5^{2} \times 3^{3}$

(vii) $2^{4} \times 3^{2}$

(viii) $3^{2} \times 10^{4}$

7. সরলীকরণ করুন:

(i) $(-4)^{3}$

(ii) $(-3) \times(-2)^{3}$

(iii) $(-3)^{2} \times(-5)^{2}$

(iv) $(-2)^{3} \times(-10)^{3}$

8. নিম্নলিখিত সংখ্যাগুলোর তুলনা করুন:

(i) $2.7 \times 10^{12} ; 1.5 \times 10^{8}$

(ii) $4 \times 10^{14} ; 3 \times 10^{17}$

১১.৩ সূচকের সূত্রাবলী

১১.৩.১ একই ভিত্তি বিশিষ্ট ঘাতের গুণ

(i) আসুন $2^{2} \times 2^{3}$ এর মান নির্ণয় করি

$ \begin{aligned} 2^{2} \times 2^{3} & =(2 \times 2) \times(2 \times 2 \times 2) \\ & =2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2=2^{5}=2^{2+3} \end{aligned} $

লক্ষ্য করুন যে $2^{2}$ এবং $2^{3}$ এ ভিত্তি একই এবং সূচকগুলোর যোগফল, অর্থাৎ 2 এবং 3 হল 5

(ii) $(-3)^{4} \times(-3)^{3}=[(-3) \times(-3) \times(-3) \times(-3)] \times[(-3) \times(-3) \times(-3)]$

$ \begin{aligned} & =(-3) \times(-3) \times(-3) \times(-3) \times(-3) \times(-3) \times(-3) \\ & =(-3)^{7} \\ & =(-3)^{4+3} \end{aligned} $

আবার, লক্ষ্য করুন যে ভিত্তি একই এবং সূচকগুলোর যোগফল, অর্থাৎ 4 এবং 3, হল 7

(iii) $a^{2} \times a^{4}=(a \times a) \times(a \times a \times a \times a)$

$ =a \times a \times a \times a \times a \times a=a^{6} $

(লক্ষ্য করুন: ভিত্তি একই এবং সূচকগুলোর যোগফল হল $2+4=6$)

একইভাবে, যাচাই করুন:

$ \begin{aligned} & 4^{2} \times 4^{2}=4^{2+2} \\ & 3^{2} \times 3^{3}=3^{2+3} \end{aligned} $

আপনি কি বাক্সে উপযুক্ত সংখ্যা লিখতে পারেন?

$ \begin{aligned} & (-11)^{2} \times(-11)^{6}=\quad(-11) \square \\ & b^{2} \times b^{3}=b \square \text{ (মনে রাখবেন, ভিত্তি একই; } b \text{ যেকোনো পূর্ণসংখ্যা)। } \\ & c^{3} \times c^{4}=c \text{ (c যেকোনো পূর্ণসংখ্যা) } \\ & d^{10} \times d^{20}=d^{\square} \end{aligned} $

এ থেকে আমরা সাধারণীকরণ করতে পারি যে যেকোনো অশূন্য পূর্ণসংখ্যা $a$ এর জন্য, যেখানে $m$ এবং $n$ পূর্ণসংখ্যা,

$\begin{array}{|ll|} \hline a^{m} \times a^{n}=a^{m+n} \\ \hline \end{array}$

চেষ্টা করুন

সরলীকরণ করুন এবং সূচকীয় আকারে লিখুন:

(i) $2^{5} \times 2^{3}$

(ii) $p^{3} \times p^{2}$

(iii) $4^{3} \times 4^{2}$

(iv) $a^{3} \times a^{2} \times a^{7}$

(v) $5^{3} \times 5^{7} \times 5^{12}$

(vi) $(-4)^{100} \times(-4)^{20}$

সতর্কতা!

$2^{3} \times 3^{2}$ বিবেচনা করুন

আপনি কি সূচকগুলো যোগ করতে পারেন? না! আপনি কি বুঝতে পারছেন ‘কেন’? $2^{3}$ এর ভিত্তি হল 2 এবং $3^{2}$ এর ভিত্তি হল 3। ভিত্তিগুলো একই নয়।

১১.৩.২ একই ভিত্তি বিশিষ্ট ঘাতের ভাগ

আসুন $3^{7} \div 3^{4}$ কে সরলীকরণ করি?

সুতরাং

$ \begin{aligned} 3^{7} \div 3^{4} & =\frac{3^{7}}{3^{4}}=\frac{3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3}{3 \times 3 \times 3 \times 3} \\ & =3 \times 3 \times 3=3^{3}=3^{7-4} \end{aligned} $

(লক্ষ্য করুন, $3^{7}$ এবং $3^{4}$ এ ভিত্তি একই এবং $3^{7} \div 3^{4}$ হয়ে যায় $3^{7-4}$)

একইভাবে,

বা

$ \begin{aligned} 5^{6} \div 5^{2} & =\frac{5^{6}}{5^{2}}=\frac{5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5}{5 \times 5} \\ & =5 \times 5 \times 5 \times 5=5^{4}=5^{6-2} \end{aligned} $

ধরি $a$ একটি অশূন্য পূর্ণসংখ্যা, তাহলে,

বা

$ \begin{aligned} & a^{4} \div a^{2}=\frac{a^{4}}{a^{2}}=\frac{a \times a \times a \times a}{a \times a}=a \times a=a^{2}=a^{4}{ }^{2} \\ & a^{4} \div a^{2}=a^{4-2} \end{aligned} $

এখন আপনি কি দ্রুত উত্তর দিতে পারেন?

$ \begin{aligned} 10^{8} \div 10^{3} & =10^{8-3}=10^{5} \\ 7^{9} \div 7^{6} & =7 \\ a^{8} \div a^{5} & =a \end{aligned} $

অশূন্য পূর্ণসংখ্যা $b$ এবং $c$ এর জন্য,

$ \begin{aligned} & b^{10} \div b^{5}=b^{\square} \\ & c^{100} \div c^{90}=c^{\square} \end{aligned} $

সাধারণভাবে, যেকোনো অশূন্য পূর্ণসংখ্যা $a$ এর জন্য,

$ a^{m} \div a^{n}=a^{m-n} $

যেখানে $m$ এবং $n$ পূর্ণসংখ্যা এবং $m>n$।

চেষ্টা করুন

সরলীকরণ করুন এবং সূচকীয় আকারে লিখুন: যেমন, $11^6 \div 11^2=11^4$

(i) $2^9 \div 2^3\qquad$ (ii) $10^8 \div 10^4$

(iii) $9^{11}\div 9^7\qquad$ (iv) $20^{15} \div 20^{13}$

(v) $7^{13} \div 7^{10}$

১১.৩.৩ ঘাতের ঘাত

নিম্নলিখিতটি বিবেচনা করুন

$(2^{3})^{2} ;(3^{2})^{4}$ সরলীকরণ করুন

এখন, $(2^{3})^{2}$ এর অর্থ হল $2^{3}$ কে নিজের সাথে দুইবার গুণ করা হয়েছে।

সুতরাং

$ \begin{aligned} (2^{3})^{2} & =2^{3} \times 2^{3} \\ & =2^{3+3}(\text{ যেহেতু } a^{m} \times a^{n}=a^{m+n}) \\ & =2^{6}=2^{3 \times 2} \end{aligned} $

সুতরাং

$(2^{3})^{2}=2^{3 \times 2}$

একইভাবে

$ \begin{aligned} (3^{2})^{4} & =3^{2} \times 3^{2} \times 3^{2} \times 3^{2} \\ & =3^{2+2+2+2} \\ & =3^{8}(\text{ লক্ষ্য করুন } 8 \text{ হল } 2 \text{ এবং } 4 \text{ এর গুণফল})। \\ & =3^{2 \times 4} \end{aligned} $

আপনি কি বলতে পারেন $(7^{2})^{10}$ কিসের সমান হবে?

সুতরাং

$ \begin{aligned} (2^{3})^{2} & =2^{3 \times 2}=2^{6} \\ (3^{2})^{4} & =3^{2 \times 4}=3^{8} \\ & =7^{2 \times 10}=7^{20} \end{aligned} $

$ \begin{aligned} (a^{2})^{3} & =a^{2 \times 3}=a^{6} \\ & =a^{m \times 3}=a^{3 m} \end{aligned} $

এ থেকে আমরা যেকোনো অশূন্য পূর্ণসংখ্যা ‘$a$’ এর জন্য সাধারণীকরণ করতে পারি, যেখানে ‘$m$’ এবং ‘$n$’ পূর্ণসংখ্যা,

$ (a^{m})^{n}=a^{m n} $

চেষ্টা করুন

সরলীকরণ করুন এবং সূচকীয় আকারে উত্তর লিখুন:

(i) $(6^{2})^{4}\qquad$ (ii) $(2^{2})^{100}$

(iii) $(7^{50})^{2}\qquad$ (iv) $(5^{3})^{7}$

উদাহরণ 7 আপনি কি বলতে পারেন কোনটি বড় $(5^{2}) \times 3$ নাকি $(5^{2})^{3}$?

সমাধান

$(5^{2}) \times 3$ এর অর্থ হল $5^{2}$ কে 3 দ্বারা গুণ করা হয়েছে অর্থাৎ $5 \times 5 \times 3=75$

কিন্তু $(5^{2})^{3}$ এর অর্থ হল $5^{2}$ কে নিজের সাথে তিনবার গুণ করা হয়েছে অর্থাৎ,

$ 5^{2} \times 5^{2} \times 5^{2}=5^{6}=15,625 $

সুতরাং

$ (5^{2})^{3}>(5^{2}) \times 3 $

১১.৩.৪ একই সূচক বিশিষ্ট ঘাতের গুণ

আপনি কি $2^{3} \times 3^{3}$ কে সরলীকরণ করতে পারেন? লক্ষ্য করুন যে এখানে দুটি পদ $2^{3}$ এবং $3^{3}$ এর ভিত্তি ভিন্ন, কিন্তু সূচক একই।

এখন,

$ \begin{aligned} 2^{3} \times 3^{3} & =(2 \times 2 \times 2) \times(3 \times 3 \times 3) \\ & =(2 \times 3) \times(2 \times 3) \times(2 \times 3) \\ & =6 \times 6 \times 6 \\ & =6^{3} \quad(\text{ লক্ষ্য করুন } 6 \text{ হল ভিত্তি } 2 \text{ এবং } 3 \text{ এর গুণফল}) \\ & =(4 \times 4 \times 4 \times 4) \times(3 \times 3 \times 3 \times 3) \\ & =(4 \times 3) \times(4 \times 3) \times(4 \times 3) \times(4 \times 3) \\ & =12 \times 12 \times 12 \times 12 \end{aligned} $

$4^{4} \times 3^{4}$ বিবেচনা করুন

$ =12^{4} $

$3^{2} \times a^{2}$ ও বিবেচনা করুন

$ \begin{aligned} & =(3 \times 3) \times(a \times a) \\ & =(3 \times a) \times(3 \times a) \\ & =(3 \times a)^{2} \\ & =(3 a)^{2} \quad(\text{ লক্ষ্য করুন: } 3 \times a=3 a) \\ & =(a \times a \times a \times a) \times(b \times b \times b \times b) \\ & =(a \times b) \times(a \times b) \times(a \times b) \times(a \times b) \\ & =(a \times b)^{4} \\ & =(a b)^{4} \quad(\text{ লক্ষ্য করুন } a \times b=a b) \end{aligned} $

$ \text{ একইভাবে, } a^{4} \times b^{4}=(a \times a \times a \times a) \times(b \times b \times b \times b) $

সাধারণভাবে, যেকোনো অশূন্য পূর্ণসংখ্যা $a$ এর জন্য

$ a^{m} \times b^{m}=(a b)^{m} \quad \text{ (যেখানে } m \text{ যেকোনো পূর্ণসংখ্যা) } $

চেষ্টা করুন

$a^{m} \times b^{m}=(a b)^{m}$ ব্যবহার করে অন্য আকারে প্রকাশ করুন:

(i) $4^{3} \times 2^{3}$ (ii) $2^{5} \times b^{5}$

(iii) $a^{2} \times t^{2}$

(iv) $5^{6} \times(-2)^{6}$

(v) $(-2)^{4} \times(-3)^{4}$

উদাহরণ 8 নিম্নলিখিত পদগুলিকে সূচকীয় আকারে প্রকাশ করুন:

(i) $(2 \times 3)^{5}$

(ii) $(2 a)^{4}$

(iii) $(-4 m)^{3}$

সমাধান

(i)

$ \begin{aligned} (2 \times 3)^{5} & =(2 \times 3) \times(2 \times 3) \times(2 \times 3) \times(2 \times 3) \times(2 \times 3) \\ & =(2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2) \times(3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3) \\ & =2^{5} \times 3^{5} \end{aligned} $

(ii)

$ \begin{aligned} (2 a)^{4} & =2 a \times 2 a \times 2 a \times 2 a \\ & =(2 \times 2 \times 2 \times 2) \times(a \times a \times a \times a) \\ & =2^{4} \times a^{4} \end{aligned} $

(iii) $(-4 m)^{3}=(-4 \times m)^{3}$

$=(-4 \times m) \times(-4 \times m) \times(-4 \times m)$

$=(-4) \times(-4) \times(-4) \times(m \times m \times m)=(-4)^{3} \times(m)^{3}$

১১.৩.৫ একই সূচক বিশিষ্ট ঘাতের ভাগ

নিম্নলিখিত সরলীকরণগুলো লক্ষ্য করুন:

(i) $\frac{2^{4}}{3^{4}}=\frac{2 \times 2 \times 2 \times 2}{3 \times 3 \times 3 \times 3}=\frac{2}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{2}{3}=(\frac{2}{3})^{4}$

(ii) $\frac{a^{3}}{b^{3}}=\frac{a \times a \times a}{b \times b \times b}=\frac{a}{b} \times \frac{a}{b} \times \frac{a}{b}=(\frac{a}{b})^{3}$

এই উদাহরণগুলো থেকে আমরা সাধারণীকরণ করতে পারি

$ a^{m} \div b^{m}=\frac{a^{m}}{b^{m}}=(\frac{a}{b})^{m} \text{ যেখানে } a \text{ এবং } b \text{ যেকোনো অশূন্য পূর্ণসংখ্যা } $

এবং $m$ একটি পূর্ণসংখ্যা।

চেষ্টা করুন

$a^{m} \div b^{m}=(\frac{a}{b})^{m}$ ব্যবহার করে অন্য আকারে প্রকাশ করুন:

(i) $4^{5} \div 3^{5}$

(ii) $2^{5} \div b^{5}$

(iii) $(-2)^{3} \div b^{3}$

(iv) $p^{4} \div q^{4}$

(v) $5^{6} \div(-2)^{6}$

উদাহরণ 9 বিস্তৃত করুন:

(i) $(\frac{3}{5})^{4}$

(ii) $(\frac{-4}{7})^{5}$

সমাধান

(i) $(\frac{3}{5})^{4}=\frac{3^{4}}{5^{4}}=\frac{3 \times 3 \times 3 \times 3}{5 \times 5 \times 5 \times 5}$

(ii) $(\frac{-4}{7})^{5}=\frac{(-4)^{5}}{7^{5}}=\frac{(-4) \times(-4) \times(-4) \times(-4) \times(-4)}{7 \times 7 \times 7 \times 7 \times 7}$

$a^0$ কি?

নিম্নলিখিত ধাঁচটি লক্ষ্য করুন:

$ \begin{aligned} 2^{6} & =64 \\ 2^{5} & =32 \\ 2^{4} & =16 \\ 2^{3} & =8 \\ 2^{2} & =? \\ 2^{1} & =? \\ 2^{0} & =? \end{aligned} $

আপনি শুধু ধাঁচটি অধ্যয়ন করে $2^{0}$ এর মান অনুমান করতে পারেন!

আপনি দেখতে পাবেন যে $2^{0}=1$

আপনি যদি $3^{6}=729$ থেকে শুরু করেন, এবং উপরে দেখানো মতো করে $3^{5}, 3^{4}, 3^{3}, \ldots$ ইত্যাদি বের করতে থাকেন, তাহলে $3^{0}=$ কি হবে?

• শূন্য সূচক বিশিষ্ট সংখ্যা

আপনি কি বলতে পারেন $\frac{3^{5}}{3^{5}}$ কিসের সমান?

$ \frac{3^{5}}{3^{5}}=\frac{3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3}{3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3}=1 $

সূচকের সূত্র ব্যবহার করে

$ 3^{5} \div 3^{5}=3^{5-5}=3^{0} $

সুতরাং

$ 3^{0}=1 $

আপনি কি বলতে পারেন $7^{\circ}$ কিসের সমান?

এবং

$ 7^{3} \div 7^{3}=7^{3-3}=7^{0} $

$ \frac{7^{3}}{7^{3}}=\frac{7 \times 7 \times 7}{7 \times 7 \times 7}=1 $

সুতরাং

$ 7^{0}=1 $

একইভাবে

$ a^{3} \div a^{3}=a^{3-3}=a^{0} $

এবং

$ a^{3} \div a^{3}=\frac{a^{3}}{a^{3}}=\frac{a \times a \times a}{a \times a \times a}=1 $

সুতরাং

$ a^{0}=1(\text{ যেকোনো অশূন্য পূর্ণসংখ্যা } a \text{ এর জন্য}) $

সুতরাং, আমরা বলতে পারি যে যেকোনো সংখ্যা (0 ছাড়া) এর ঘাত 0 হলে মান 1 হয়।

১১.৪ সূচকের সূত্র ব্যবহার করে বিবিধ উদাহরণ

আসুন সূচকের নিয়ম ব্যবহার করে কিছু উদাহরণ সমাধান করি।

উদাহরণ 10 $8 \times 8 \times 8 \times 8$ কে সূচকীয় আকারে লিখুন, ভিত্তি হিসেবে 2 নিয়ে।

সমাধান

আমাদের আছে, $8 \times 8 \times 8 \times 8=8^{4}$

কিন্তু আমরা জানি যে

$ \begin{aligned} 8 & =2 \times 2 \times 2=2^{3} \\ 8^{4} & =(2^{3})^{4}=2^{3} \times 2^{3} \times 2^{3} \times 2^{3} \\ & .=2^{3 \times 4} \quad \quad \quad \quad \text{ আপনি }(a^{m})^{n}=a^{m n} \text{ ও ব্যবহার করতে পারেন}] \\ & =2^{12} \quad \end{aligned} $

সুতরাং

উদাহরণ 11 সরলীকরণ করুন এবং সূচকীয় আকারে উত্তর লিখুন।

(i) $(\frac{3^{7}}{3^{2}}) \times 3^{5}$

(ii) $2^{3} \times 2^{2} \times 5^{5}$

(iii) $(6^{2} \times 6^{4}) \div 6^{3}$

(iv) $[(2^{2})^{3} \times 3^{6}] \times 5^{6}$

(v) $8^{2} \div 2^{3}$

সমাধান

(i) $(\frac{3^{7}}{3^{2}}) \times 3^{5}=(3^{7-2}) \times 3^{5}$

$ =3^{5} \times 3^{5}=3^{5+5}=3^{10} $

(ii) $2^{3} \times 2^{2} \times 5^{5}=2^{3+2} \times 5^{5}$

$ =2^{5} \times 5^{5}=(2 \times 5)^{5}=10^{5} $

(iii) $(6^{2} \times 6^{4}) \div 6^{3}=6^{2+4} \div 6^{3}$

$ =\frac{6^{6}}{6^{3}}=6^{6-3}=6^{3} $

(iv) $[(2^{2})^{3} \times 3^{6}] \times 5^{6}=[2^{6} \times 3^{6}] \times 5^{6}$

$ \begin{aligned} & =(2 \times 3)^{6} \times 5^{6} \\ & =(2 \times 3 \times 5)^{6}=30^{6} \end{aligned} $

(v) $8=2 \times 2 \times 2=2^{3}$

সুতরাং $8^{2} \div 2^{3}=(2^{3})^{2} \div 2^{3}$

$ =2^{6} \div 2^{3}=2^{6-3}=2^{3} $

উদাহরণ 12 সরলীকরণ করুন:

(i) $\frac{12^{4} \times 9^{3} \times 4}{6^{3} \times 8^{2} \times 27}$

(ii) $2^{3} \times a^{3} \times 5 a^{4}$

(iii) $\frac{2 \times 3^{4} \times 2^{5}}{9 \times 4^{2}}$

সমাধান

(i) আমাদের আছে

$ \begin{aligned} \frac{12^{4} \times 9^{3} \times 4}{6^{3} \times 8^{2} \times 27} & =\frac{(2^{2} \times 3)^{4} \times(3^{2})^{3} \times 2^{2}}{(2 \times 3)^{3} \times(2^{3})^{2} \times 3^{3}} \\ & =\frac{(2^{2})^{4} \times(3)^{4} \times 3^{2 \times 3} \times 2^{2}}{2^{3} \times 3^{3} \times 2^{2 \times 3} \times 3^{3}}=\frac{2^{8} \times 2^{2} \times 3^{4} \times 3^{6}}{2^{3} \times 2^{6} \times 3^{3} \times 3^{3}} \\ & =\frac{2^{8+2} \times 3^{4+6}}{2^{3+6} \times 3^{3+3}}=\frac{2^{10} \times 3^{10}}{2^{9} \times 3^{6}} \\ & =2^{10-9} \times 3^{10-6