11.1 ਜਾਣ-ਪਛਾਣ

ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹੋ ਕਿ ਧਰਤੀ ਦਾ ਪੁੰਜ ਕਿੰਨਾ ਹੈ? ਇਹ ਹੈ

$5,970,000,000,000,000,000,000,000 kg$ !

ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਨੰਬਰ ਪੜ੍ਹ ਸਕਦੇ ਹੋ?

ਯੂਰੇਨਸ ਦਾ ਪੁੰਜ 86,800,000,000,000,000,000,000,000 ਕਿਲੋਗ੍ਰਾਮ ਹੈ।

ਕਿਸਦਾ ਪੁੰਜ ਵੱਧ ਹੈ, ਧਰਤੀ ਦਾ ਜਾਂ ਯੂਰੇਨਸ ਦਾ?

ਸੂਰਜ ਅਤੇ ਸ਼ਨੀ ਵਿਚਕਾਰ ਦੂਰੀ 1,433,500,000,000 ਮੀਟਰ ਹੈ ਅਤੇ ਸ਼ਨੀ ਅਤੇ ਯੂਰੇਨਸ ਵਿਚਕਾਰ ਦੂਰੀ $1,439,000,000,000 m$ ਹੈ। ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਨੰਬਰਾਂ ਨੂੰ ਪੜ੍ਹ ਸਕਦੇ ਹੋ? ਕਿਹੜੀ ਦੂਰੀ ਘੱਟ ਹੈ?

ਇਹ ਬਹੁਤ ਵੱਡੇ ਨੰਬਰ ਪੜ੍ਹਨਾ, ਸਮਝਣਾ ਅਤੇ ਤੁਲਨਾ ਕਰਨਾ ਮੁਸ਼ਕਲ ਹਨ। ਇਹਨਾਂ ਨੰਬਰਾਂ ਨੂੰ ਆਸਾਨੀ ਨਾਲ ਪੜ੍ਹਨ, ਸਮਝਣ ਅਤੇ ਤੁਲਨਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਘਾਤਾਂਕ (exponents) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਘਾਤਾਂਕ ਬਾਰੇ ਸਿੱਖਾਂਗੇ ਅਤੇ ਇਹ ਵੀ ਸਿੱਖਾਂਗੇ ਕਿ ਉਹਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਿਵੇਂ ਕਰਨੀ ਹੈ।

11.2 ਘਾਤਾਂਕ (EXPONENTS)

ਅਸੀਂ ਵੱਡੇ ਨੰਬਰਾਂ ਨੂੰ ਘਾਤਾਂਕ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਛੋਟੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।

$\quad 10,000=10 \times 10 \times 10 \times 10=10^{4}$ ਨੂੰ ਵੇਖੋ

ਛੋਟਾ ਨੋਟੇਸ਼ਨ $10^{4}$ ਗੁਣਨਫਲ $10 \times 10 \times 10 \times 10$ ਲਈ ਖੜ੍ਹਾ ਹੈ। ਇੱਥੇ ‘10’ ਨੂੰ ਆਧਾਰ (base) ਅਤੇ ‘4’ ਨੂੰ ਘਾਤਾਂਕ (exponent) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਨੰਬਰ $10^{4}$ ਨੂੰ 10 ਦੀ ਘਾਤ 4 ਵਜੋਂ ਪੜ੍ਹਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜਾਂ ਸਿਰਫ਼ 10,000 ਦੀ ਚੌਥੀ ਘਾਤ ਵਜੋਂ ਪੜ੍ਹਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। $\mathbf{1 0 . 1 0 ^ { 4 }}$ ਨੂੰ 10,000 ਦਾ ਘਾਤੀ ਰੂਪ (exponential form) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਅਸੀਂ ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ 1,000 ਨੂੰ 10 ਦੀ ਘਾਤ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ

$ 1000=10 \times 10 \times 10=10^{3} $

ਇੱਥੇ ਫਿਰ, $10^{3}$ 1,000 ਦਾ ਘਾਤੀ ਰੂਪ ਹੈ।

ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, $1,00,000=10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10=10^{5}$

$10^{5}$ $1,00,000$ ਦਾ ਘਾਤੀ ਰੂਪ ਹੈ

ਇਹਨਾਂ ਦੋਵਾਂ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਵਿੱਚ, ਆਧਾਰ 10 ਹੈ; $10^{3}$ ਦੇ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ਘਾਤਾਂਕ 3 ਹੈ ਅਤੇ $10^{5}$ ਦੇ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ ਘਾਤਾਂਕ 5 ਹੈ।

ਅਸੀਂ ਨੰਬਰਾਂ ਨੂੰ ਵਿਸਤ੍ਰਿਤ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਣ ਸਮੇਂ $10,100,1000$ ਵਰਗੇ ਨੰਬਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, $47561=4 \times 10000+7 \times 1000+5 \times 100+6 \times 10+1$

ਇਸਨੂੰ $4 \times 10^{4}+7 \times 10^{3}+5 \times 10^{2}+6 \times 10+1$ ਵਜੋਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।

ਇਹਨਾਂ ਨੰਬਰਾਂ ਨੂੰ ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਲਿਖਣ ਦੀ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ $172,5642,6374$।

ਉੱਪਰ ਦਿੱਤੀਆਂ ਸਾਰੀਆਂ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਉਹਨਾਂ ਨੰਬਰਾਂ ਨੂੰ ਵੇਖਿਆ ਹੈ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਆਧਾਰ 10 ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਆਧਾਰ ਕੋਈ ਹੋਰ ਨੰਬਰ ਵੀ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ:

$81=3 \times 3 \times 3 \times 3$ ਨੂੰ $81=3^{4}$ ਵਜੋਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਇੱਥੇ 3 ਆਧਾਰ ਹੈ ਅਤੇ 4 ਘਾਤਾਂਕ ਹੈ।

ਕੁਝ ਘਾਤਾਂ ਦੇ ਖਾਸ ਨਾਮ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ,

$10^{2}$, ਜੋ 10 ਦੀ ਘਾਤ 2 ਹੈ, ਨੂੰ ‘10 ਵਰਗ’ (10 squared) ਵੀ ਪੜ੍ਹਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ

$10^{3}$, ਜੋ 10 ਦੀ ਘਾਤ 3 ਹੈ, ਨੂੰ ‘10 ਘਣ’ (10 cubed) ਵੀ ਪੜ੍ਹਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਦੱਸ ਸਕਦੇ ਹੋ ਕਿ $5^{3}$ (5 cubed) ਦਾ ਕੀ ਅਰਥ ਹੈ?

$ 5^{3}=5 \times 5 \times 5=125 $

ਇਸ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਕਹਿ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ 125, 5 ਦੀ ਤੀਜੀ ਘਾਤ ਹੈ।

$5^{3}$ ਵਿੱਚ ਘਾਤਾਂਕ ਅਤੇ ਆਧਾਰ ਕੀ ਹੈ?

ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, $2^{5}=2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2=32$, ਜੋ 2 ਦੀ ਪੰਜਵੀਂ ਘਾਤ ਹੈ।

$2^{5}, 2$ ਵਿੱਚ ਆਧਾਰ ਹੈ ਅਤੇ 5 ਘਾਤਾਂਕ ਹੈ।

ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ,

$ \begin{aligned} 243 & =3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3=3^{5} \\ 64 & =2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2=2^{6} \\ 625 & =5 \times 5 \times 5 \times 5=5^{4} \end{aligned} $

ਇਹ ਕਰਕੇ ਵੇਖੋ

ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦੀਆਂ ਪੰਜ ਹੋਰ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਲੱਭੋ, ਜਿੱਥੇ ਇੱਕ ਨੰਬਰ ਨੂੰ ਘਾਤੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਹਰੇਕ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ ਆਧਾਰ ਅਤੇ ਘਾਤਾਂਕ ਦੀ ਪਛਾਣ ਵੀ ਕਰੋ।

ਤੁਸੀਂ ਇਸ ਲਿਖਣ ਦੇ ਤਰੀਕੇ ਨੂੰ ਉਦੋਂ ਵੀ ਵਧਾ ਸਕਦੇ ਹੋ ਜਦੋਂ ਆਧਾਰ ਇੱਕ ਰਿਣਾਤਮਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੋਵੇ।

$(-2)^{3}$ ਦਾ ਕੀ ਅਰਥ ਹੈ?

ਇਹ $\quad(-2)^{3}=(-2) \times(-2) \times(-2)=-8$ ਹੈ

ਕੀ $\quad(-2)^{4}=16$ ਹੈ? ਇਸਨੂੰ ਜਾਂਚੋ।

ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਨੰਬਰ ਲੈਣ ਦੀ ਬਜਾਏ, ਆਓ ਕੋਈ ਵੀ ਪੂਰਨ ਅੰਕ $a$ ਨੂੰ ਆਧਾਰ ਵਜੋਂ ਲੈਂਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਨੰਬਰਾਂ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ,

$ \begin{aligned} a \times a & =a^{2}(\text{ ‘a ਵਰਗ’ ਜਾਂ ‘a ਦੀ ਘਾਤ 2’ ਵਜੋਂ ਪੜ੍ਹੋ }) \\ a \times a \times a & =a^{3}(\text{ ‘a ਘਣ’ ਜਾਂ ‘a ਦੀ ਘਾਤ 3’ ਵਜੋਂ ਪੜ੍ਹੋ }) \\ a \times a \times a \times a & =a^{4}(\text{ a ਦੀ ਘਾਤ 4 ਜਾਂ a ਦੀ ਚੌਥੀ ਘਾਤ ਵਜੋਂ ਪੜ੍ਹੋ }) \end{aligned} $

$a \times a \times a \times a \times a \times a \times a=a^{7}($ ਨੂੰ $a$ ਦੀ ਘਾਤ 7 ਜਾਂ $.a)$ ਦੀ $7^{\text{th }}$ ਘਾਤ ਵਜੋਂ ਪੜ੍ਹਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ।

$a \times a \times a \times b \times b$ ਨੂੰ $a^{3} b^{2}$ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ($a$ ਘਣ $b$ ਵਰਗ ਵਜੋਂ ਪੜ੍ਹੋ)

ਇਹ ਕਰਕੇ ਵੇਖੋ

ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ:

(i) 729 ਨੂੰ 3 ਦੀ ਘਾਤ ਵਜੋਂ

(ii) 128 ਨੂੰ 2 ਦੀ ਘਾਤ ਵਜੋਂ

(iii) 343 ਨੂੰ 7 ਦੀ ਘਾਤ ਵਜੋਂ $a \times a \times b \times b \times b \times b$ ਨੂੰ $a^{2} b^{4}$ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ($a$ ਵਰਗ ਗੁਣਾ $b$ ਦੀ ਘਾਤ 4 ਵਜੋਂ ਪੜ੍ਹੋ)।

ਉਦਾਹਰਨ 1 256 ਨੂੰ 2 ਦੀ ਘਾਤ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ।

ਹੱਲ

ਸਾਡੇ ਕੋਲ $256=2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2$ ਹੈ।

ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਕਹਿ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ $256=2^{8}$

ਉਦਾਹਰਨ 2 ਕਿਹੜਾ ਵੱਧ ਹੈ $2^{3}$ ਜਾਂ $3^{2}$ ?

ਹੱਲ ਸਾਡੇ ਕੋਲ, $2^{3}=2 \times 2 \times 2=8$ ਅਤੇ $3^{2}=3 \times 3=9$ ਹੈ।

ਕਿਉਂਕਿ $9>8$, ਇਸ ਲਈ, $3^{2}$ $2^{3}$ ਤੋਂ ਵੱਧ ਹੈ

ਉਦਾਹਰਨ 3 ਕਿਹੜਾ ਵੱਧ ਹੈ $8^{2}$ ਜਾਂ $2^{8}$ ?

ਹੱਲ

$\quad 8^{2}=8 \times 8=64$ $2^{8}=2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2=256$

ਸਪੱਸ਼ਟ ਤੌਰ ‘ਤੇ, $\quad 2^{8}>8^{2}$

ਉਦਾਹਰਨ 4 $a^{3} b^{2}, a^{2} b^{3}, b^{2} a^{3}, b^{3} a^{2}$ ਨੂੰ ਵਿਸਤਾਰਿਤ ਕਰੋ। ਕੀ ਉਹ ਸਾਰੇ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਹਨ?

ਹੱਲ

$a^{3} b^{2}=a^{3} \times b^{2}$

$ \begin{aligned} & =(a \times a \times a) \times(b \times b) \\ & =a \times a \times a \times b \times b \\ a^{2} b^{3} & =a^{2} \times b^{3} \\ & =a \times a \times b \times b \times b \\ b^{2} a^{3} & =b^{2} \times a^{3} \\ & =b \times b \times a \times a \times a \\ b^{3} a^{2} & =b^{3} \times a^{2} \\ & =b \times b \times b \times a \times a \end{aligned} $

ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਪਦਾਂ $a^{3} b^{2}$ ਅਤੇ $a^{2} b^{3}$ ਦੇ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ $a$ ਅਤੇ $b$ ਦੀਆਂ ਘਾਤਾਂ ਵੱਖਰੀਆਂ ਹਨ। ਇਸ ਲਈ $a^{3} b^{2}$ ਅਤੇ $a^{2} b^{3}$ ਵੱਖਰੇ ਹਨ।

ਦੂਜੇ ਪਾਸੇ, $a^{3} b^{2}$ ਅਤੇ $b^{2} a^{3}$ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਹਨ, ਕਿਉਂਕਿ ਇਹਨਾਂ ਦੋਵਾਂ ਪਦਾਂ ਵਿੱਚ $a$ ਅਤੇ $b$ ਦੀਆਂ ਘਾਤਾਂ ਇੱਕੋ ਜਿਹੀਆਂ ਹਨ। ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਦੇ ਕ੍ਰਮ ਦਾ ਕੋਈ ਫਰਕ ਨਹੀਂ ਪੈਂਦਾ।

ਇਸ ਲਈ, $a^{3} b^{2}=a^{3} \times b^{2}=b^{2} \times a^{3}=b^{2} a^{3}$. ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, $a^{2} b^{3}$ ਅਤੇ $b^{3} a^{2}$ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਹਨ।

ਉਦਾਹਰਨ 5 ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਨੰਬਰਾਂ ਨੂੰ ਅਭਾਜ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਦੀਆਂ ਘਾਤਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ:

(i) 72

(ii) 432

(iii) 1000

(iv) 16000

ਹੱਲ

(i) $72=2 \times 36=2 \times 2 \times 18$

$ \begin{aligned} & =2 \times 2 \times 2 \times 9 \\ & =2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3=2^{3} \times 3^{2} \end{aligned} $

ਇਸ ਲਈ, $72=2^{3} \times 3^{2} \quad$ (ਲੋੜੀਂਦਾ ਅਭਾਜ ਗੁਣਨਖੰਡ ਗੁਣਨਫਲ ਰੂਪ)

$\begin{array}{l|l} 2 & 72 \\ \hline 2 & 36 \\ \hline 2 & 18 \\ \hline 3 & 9 \\ \hline & 3 \end{array}$

(ii) $432=2 \times 216=2 \times 2 \times 108=2 \times 2 \times 2 \times 54$

$ \begin{aligned} & =2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 27=2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 9 \\ & =2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 \end{aligned} $

ਜਾਂ $\quad 432=2^{4} \times 3^{3}$

(ਲੋੜੀਂਦਾ ਰੂਪ)

(iii) $1000=2 \times 500=2 \times 2 \times 250=2 \times 2 \times 2 \times 125$

$ =2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 25=2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5 \times 5 $

ਜਾਂ

$ 1000=2^{3} \times 5^{3} $

ਅਤੁਲ ਇਸ ਉਦਾਹਰਨ ਨੂੰ ਇੱਕ ਹੋਰ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਹੱਲ ਕਰਨਾ ਚਾਹੁੰਦਾ ਹੈ:

$ \begin{aligned} 1000 & =10 \times 100=10 \times 10 \times 10 \\ & =(2 \times 5) \times(2 \times 5) \times(2 \times 5) \quad(\text{ ਕਿਉਂਕਿ } 10=2 \times 5) \\ & =2 \times 5 \times 2 \times 5 \times 2 \times 5=2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5 \times 5 \end{aligned} $

ਜਾਂ

$ 1000=2^{3} \times 5^{3} $

ਕੀ ਅਤੁਲ ਦੀ ਵਿਧੀ ਸਹੀ ਹੈ?

$ \begin{aligned} & \text{ (iv) } .16,000=16 \times 1000=(2 \times 2 \times 2 \times 2) \times 1000=2^{4} \times 10^{3} \text{ (ਕਿਉਂਕਿ } 16=2 \times 2 \times 2 \times 2) \\ & =(2 \times 2 \times 2 \times 2) \times(2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5 \times 5)=2^{4} \times 2^{3} \times 5^{3} \\ & (\text{ ਕਿਉਂਕਿ } 1000=2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5 \times 5) \\ & =(2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2) \times(5 \times 5 \times 5) \\ & \text{ ਜਾਂ, } \quad 16,000=2^{7} \times 5^{3} \end{aligned} $

ਉਦਾਹਰਨ 6 $(1)^{5},(-1)^{3},(-1)^{4},(-10)^{3},(-5)^{4}$ ਦਾ ਹਿਸਾਬ ਲਗਾਓ।

ਹੱਲ

(i) ਸਾਡੇ ਕੋਲ $(1)^{5}=1 \times 1 \times 1 \times 1 \times 1=1$ ਹੈ

ਅਸਲ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ ਅਹਿਸਾਸ ਕਰੋਗੇ ਕਿ 1 ਨੂੰ ਕਿਸੇ ਵੀ ਘਾਤ ਤੱਕ ਉਠਾਇਆ ਜਾਵੇ ਤਾਂ 1 ਹੀ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ।

(ii) $(-1)^{3}=(-1) \times(-1) \times(-1)=1 \times(-1)=-1$

(iii) $(-1)^{4}=(-1) \times(-1) \times(-1) \times(-1)=1 \times 1=1$

$\begin{array}{|ll|} \hline(-1)^{\text{ਟਾਂਕ ਸੰਖਿਆ }} & =-1 \\ (-1)^{\text{ਜਿਸਤ ਸੰਖਿਆ }} & =+1 \\ \hline \end{array}$

ਤੁਸੀਂ ਜਾਂਚ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ ਕਿ $(-1)$ ਨੂੰ ਕਿਸੇ ਵੀ ਟਾਂਕ ਘਾਤ ਤੱਕ ਉਠਾਇਆ ਜਾਵੇ ਤਾਂ $(-1)$ ਹੁੰਦਾ ਹੈ,

ਅਤੇ $(-1)$ ਨੂੰ ਕਿਸੇ ਵੀ ਜਿਸਤ ਘਾਤ ਤੱਕ ਉਠਾਇਆ ਜਾਵੇ ਤਾਂ $(+1)$ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

(iv) $(-10)^{3}=(-10) \times(-10) \times(-10)=100 \times(-10)=-1000$

(v) $(-5)^{4}=(-5) \times(-5) \times(-5) \times(-5)=25 \times 25=625$

ਕਸਰਤ 11.1

1. ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ:

(i) $2^{6}$

(ii) $9^{3}$

(iii) $11^{2}$

(iv) $5^{4}$

2. ਹੇਠ ਲਿਖਿਆਂ ਨੂੰ ਘਾਤੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ:

(i) $6 \times 6 \times 6 \times 6$

(ii) $t \times t$

(iii) $b \times b \times b \times b$

(iv) $5 \times 5 \times 7 \times 7 \times 7$

(v) $2 \times 2 \times a \times a$

(vi) $a \times a \times a \times c \times c \times c \times c \times d$

3. ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਨੰਬਰਾਂ ਨੂੰ ਘਾਤੀ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ:

(i) 512

(ii) 343

(iii) 729

(iv) 3125

4. ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਹਰੇਕ ਵਿੱਚ, ਜਿੱਥੇ ਵੀ ਸੰਭਵ ਹੋਵੇ, ਵੱਡੀ ਸੰਖਿਆ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ?

(i) $4^{3}$ ਜਾਂ $3^{4}$

(ii) $5^{3}$ ਜਾਂ $3^{5}$

(iii) $2^{8}$ ਜਾਂ $8^{2}$

(iv) $100^{2}$ ਜਾਂ $2^{100}$

(v) $2^{10}$ ਜਾਂ $10^{2}$

5. ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਹਰੇਕ ਨੂੰ ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਅਭਾਜ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਦੀਆਂ ਘਾਤਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ:

(i) 648

(ii) 405

(iii) 540

(iv) 3,600

6. ਸਰਲ ਕਰੋ:

(i) $2 \times 10^{3}$

(ii) $7^{2} \times 2^{2}$

(iii) $2^{3} \times 5$

(iv) $3 \times 4^{4}$

(v) $0 \times 10^{2}$

(vi) $5^{2} \times 3^{3}$

(vii) $2^{4} \times 3^{2}$

(viii) $3^{2} \times 10^{4}$

7. ਸਰਲ ਕਰੋ:

(i) $(-4)^{3}$

(ii) $(-3) \times(-2)^{3}$

(iii) $(-3)^{2} \times(-5)^{2}$

(iv) $(-2)^{3} \times(-10)^{3}$

8. ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਨੰਬਰਾਂ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਕਰੋ:

(i) $2.7 \times 10^{12} ; 1.5 \times 10^{8}$

(ii) $4 \times 10^{14} ; 3 \times 10^{17}$

11.3 ਘਾਤਾਂਕ ਦੇ ਨਿਯਮ

11.3.1 ਇੱਕੋ ਆਧਾਰ ਵਾਲੀਆਂ ਘਾਤਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਨਾ

(i) ਆਓ $2^{2} \times 2^{3}$ ਦਾ ਹਿਸਾਬ ਲਗਾਈਏ

$ \begin{aligned} 2^{2} \times 2^{3} & =(2 \times 2) \times(2 \times 2 \times 2) \\ & =2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2=2^{5}=2^{2+3} \end{aligned} $

ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ $2^{2}$ ਅਤੇ $2^{3}$ ਵਿੱਚ ਆਧਾਰ ਇੱਕੋ ਹੈ ਅਤੇ ਘਾਤਾਂਕਾਂ ਦਾ ਜੋੜ, ਯਾਨੀ 2 ਅਤੇ 3, 5 ਹੈ

(ii) $(-3)^{4} \times(-3)^{3}=[(-3) \times(-3) \times(-3) \times(-3)] \times[(-3) \times(-3) \times(-3)]$

$ \begin{aligned} & =(-3) \times(-3) \times(-3) \times(-3) \times(-3) \times(-3) \times(-3) \\ & =(-3)^{7} \\ & =(-3)^{4+3} \end{aligned} $

ਫਿਰ, ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਆਧਾਰ ਇੱਕੋ ਹੈ ਅਤੇ ਘਾਤਾਂਕਾਂ ਦਾ ਜੋੜ, ਯਾਨੀ 4 ਅਤੇ 3, 7 ਹੈ

(iii) $a^{2} \times a^{4}=(a \times a) \times(a \times a \times a \times a)$

$ =a \times a \times a \times a \times a \times a=a^{6} $

(ਨੋਟ: ਆਧਾਰ ਇੱਕੋ ਹੈ ਅਤੇ ਘਾਤਾਂਕਾਂ ਦਾ ਜੋੜ $2+4=6$ ਹੈ)

ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰੋ:

$ \begin{aligned} & 4^{2} \times 4^{2}=4^{2+2} \\ & 3^{2} \times 3^{3}=3^{2+3} \end{aligned} $

ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਬਕਸੇ ਵਿੱਚ ਢੁਕਵਾਂ ਨੰਬਰ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹੋ?

$ \begin{aligned} & (-11)^{2} \times(-11)^{6}=\quad(-11) \square \\ & b^{2} \times b^{3}=b \square \text{ (ਯਾਦ ਰੱਖੋ, ਆਧਾਰ ਇੱਕੋ ਹੈ; } b \text{ ਕੋਈ ਵੀ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੈ)। } \\ & c^{3} \times c^{4}=c \text{ (c ਕੋਈ ਵੀ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੈ) } \\ & d^{10} \times d^{20}=d^{\square} \end{aligned} $

ਇਸ ਤੋਂ ਅਸੀਂ ਸਾਧਾਰਨੀਕਰਨ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਕਿਸੇ ਵੀ ਗੈਰ-ਸਿਫ਼ਰ ਪੂਰਨ ਅੰਕ $a$ ਲਈ, ਜਿੱਥੇ $m$ ਅਤੇ $n$ ਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ,

$\begin{array}{|ll|} \hline a^{m} \times a^{n}=a^{m+n} \\ \hline \end{array}$

ਇਹ ਕਰਕੇ ਵੇਖੋ

ਸਰਲ ਕਰੋ ਅਤੇ ਘਾਤੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ:

(i) $2^{5} \times 2^{3}$

(ii) $p^{3} \times p^{2}$

(iii) $4^{3} \times 4^{2}$

(iv) $a^{3} \times a^{2} \times a^{7}$

(v) $5^{3} \times 5^{7} \times 5^{12}$

(vi) $(-4)^{100} \times(-4)^{20}$

ਸਾਵਧਾਨੀ!

$2^{3} \times 3^{2}$ ‘ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ

ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਘਾਤਾਂਕ ਜੋੜ ਸਕਦੇ ਹੋ? ਨਹੀਂ! ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹੋ ‘ਕਿਉਂ’? $2^{3}$ ਦਾ ਆਧਾਰ 2 ਹੈ ਅਤੇ $3^{2}$ ਦਾ ਆਧਾਰ 3 ਹੈ। ਆਧਾਰ ਇੱਕੋ ਨਹੀਂ ਹਨ।

11.3.2 ਇੱਕੋ ਆਧਾਰ ਵਾਲੀਆਂ ਘਾਤਾਂ ਨੂੰ ਵੰਡਣਾ

ਆਓ $3^{7} \div 3^{4}$ ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰੀਏ?

ਇਸ ਲਈ

$ \begin{aligned} 3^{7} \div 3^{4} & =\frac{3^{7}}{3^{4}}=\frac{3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3}{3 \times 3 \times 3 \times 3} \\ & =3 \times 3 \times 3=3^{3}=3^{7-4} \end{aligned} $

(ਨੋਟ, $3^{7}$ ਅਤੇ $3^{4}$ ਵਿੱਚ ਆਧਾਰ ਇੱਕੋ ਹੈ ਅਤੇ $3^{7} \div 3^{4}$ $3^{7-4}$ ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ)

ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ,

ਜਾਂ

$ \begin{aligned} 5^{6} \div 5^{2} & =\frac{5^{6}}{5^{2}}=\frac{5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5}{5 \times 5} \\ & =5 \times 5 \times 5 \times 5=5^{4}=5^{6-2} \end{aligned} $

ਮੰਨ ਲਓ $a$ ਇੱਕ ਗੈਰ-ਸਿਫ਼ਰ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੈ, ਤਾਂ,

ਜਾਂ

$ \begin{aligned} & a^{4} \div a^{2}=\frac{a^{4}}{a^{2}}=\frac{a \times a \times a \times a}{a \times a}=a \times a=a^{2}=a^{4}{ }^{2} \\ & a^{4} \div a^{2}=a^{4-2} \end{aligned} $

ਹੁਣ ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਤੇਜ਼ੀ ਨਾਲ ਜਵਾਬ ਦੇ ਸਕਦੇ ਹੋ?

$ \begin{aligned} 10^{8} \div 10^{3} & =10^{8-3}=10^{5} \\ 7^{9} \div 7^{6} & =7 \\ a^{8} \div a^{5} & =a \end{aligned} $

ਗੈਰ-ਸਿਫ਼ਰ ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ $b$ ਅਤੇ $c$ ਲਈ,

$ \begin{aligned} & b^{10} \div b^{5}=b^{\square} \\ & c^{100} \div c^{90}=c^{\square} \end{aligned} $

ਸਾਧਾਰਨ ਤੌਰ ‘ਤੇ, ਕਿਸੇ ਵੀ ਗੈਰ-ਸਿਫ਼ਰ ਪੂਰਨ ਅੰਕ $a$ ਲਈ,

$ a^{m} \div a^{n}=a^{m-n} $

ਜਿੱਥੇ $m$ ਅਤੇ $n$ ਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ ਅਤੇ $m>n$।

ਇਹ ਕਰਕੇ ਵੇਖੋ

ਸਰਲ ਕਰੋ ਅਤੇ ਘਾਤੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ: ਜਿਵੇਂ, $11^6 \div 11^2=11^4$

(i) $2^9 \div 2^3\qquad$ (ii) $10^8 \div 10^4$

(iii) $9^{11}\div 9^7\qquad$ (iv) $20^{15} \div 20^{13}$

(v) $7^{13} \div 7^{10}$

11.3.3 ਘਾਤ ਦੀ ਘਾਤ ਲੈਣਾ

ਹੇਠ ਲਿਖਿਆਂ ‘ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ

$(2^{3})^{2} ;(3^{2})^{4}$ ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰੋ

ਹੁਣ, $(2^{3})^{2}$ ਦਾ ਅਰਥ ਹੈ ਕਿ $2^{3}$ ਨੂੰ ਆਪਣੇ ਆਪ ਨਾਲ ਦੋ ਵਾਰ ਗੁਣਾ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਇਸ ਲਈ

$ \begin{aligned} (2^{3})^{2} & =2^{3} \times 2^{3} \\ & =2^{3+3}(\text{ ਕਿਉਂਕਿ } a^{m} \times a^{n}=a^{m+n}) \\ & =2^{6}=2^{3 \times 2} \end{aligned} $

ਇਸ ਲਈ

$(2^{3})^{2}=2^{3 \times 2}$

ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ

$ \begin{aligned} (3^{2})^{4} & =3^{2} \times 3^{2} \times 3^{2} \times 3^{2} \\ & =3^{2+2+2+2} \\ & =3^{8}(\text{ ਵੇਖੋ 8, 2 ਅਤੇ 4 ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਹੈ }) . \\ & =3^{2 \times 4} \end{aligned} $

ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਦੱਸ ਸਕਦੇ ਹੋ ਕਿ $(7^{2})^{10}$ ਕਿਸਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੋਵੇਗਾ?

ਇਸ ਲਈ

$ \begin{aligned} (2^{3})^{2} & =2^{3 \times 2}=2^{6} \\ (3^{2})^{4} & =3^{2 \times 4}=3^{8} \\ & =7^{2 \times 10}=7^{20} \end{aligned} $

$ \begin{aligned} (a^{2})^{3} & =a^{2 \times 3}=a^{6} \\ & =a^{m \times 3}=a^{3 m} \end{aligned} $

ਇਸ ਤੋਂ ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਵੀ ਗੈਰ-ਸਿਫ਼ਰ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ‘$a$’ ਲਈ ਸਾਧਾਰਨੀਕਰਨ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਜਿੱਥੇ ‘$m$’ ਅਤੇ ‘$n$’ ਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ,

$ (a^{m})^{n}=a^{m n} $

ਇਹ ਕਰਕੇ ਵੇਖੋ

ਸਰਲ ਕਰੋ ਅਤੇ ਉੱਤਰ ਨੂੰ ਘਾਤੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ:

(i) $(6^{2})^{4}\qquad$ (ii) $(2^{2})^{100}$

(iii) $(7^{50})^{2}\qquad$ (iv) $(5^{3})^{7}$

ਉਦਾਹਰਨ 7 ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਦੱਸ ਸਕਦੇ ਹੋ ਕਿ ਕਿਹੜਾ ਵੱਧ ਹੈ $(5^{2}) \times 3$ ਜਾਂ $(5^{2})^{3}$ ?

ਹੱਲ

$(5^{2}) \times 3$ ਦਾ ਅਰਥ ਹੈ ਕਿ $5^{2}$ ਨੂੰ 3 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਯਾਨੀ $5 \times 5 \times 3=75$

ਪਰ $(5^{2})^{3}$ ਦਾ ਅਰਥ ਹੈ ਕਿ $5^{2}$ ਨੂੰ ਆਪਣੇ ਆਪ ਨਾਲ ਤਿੰਨ ਵਾਰ ਗੁਣਾ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਯਾਨੀ,

$ 5^{2} \times 5^{2} \times 5^{2}=5^{6}=15,625 $

ਇਸ ਲਈ

$ (5^{2})^{3}>(5^{2}) \times 3 $

11.3.4 ਇੱਕੋ ਘਾਤਾਂਕ ਵਾਲੀਆਂ ਘਾਤਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਨਾ

ਕੀ ਤੁਸੀਂ