11.1 ପରିଚୟ

ତୁମେ ଜାଣିଛ କି ପୃଥିବୀର ବସ୍ତୁତ୍ଵ କେତେ? ଏହା

$5,970,000,000,000,000,000,000,000 kg$ !

ତୁମେ ଏହି ସଂଖ୍ୟାଟିକୁ ପଢ଼ିପାରୁଛ କି?

ୟୁରେନସ୍ ଗ୍ରହର ବସ୍ତୁତ୍ଵ 86,800,000,000,000,000,000,000,000 kg.

କେଉଁଟିର ବସ୍ତୁତ୍ଵ ଅଧିକ, ପୃଥିବୀ ନା ୟୁରେନସ୍?

ସୂର୍ଯ୍ୟ ଓ ଶନି ମଧ୍ୟରେ ଦୂରତା 1,433,500,000,000 m ଏବଂ ଶନି ଓ ୟୁରେନସ୍ ମଧ୍ୟରେ ଦୂରତା $1,439,000,000,000 m$. ତୁମେ ଏହି ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ ପଢ଼ିପାରୁଛ କି? କେଉଁ ଦୂରତା କମ୍?

ଏହି ଅତି ବଡ଼ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ପଢ଼ିବା, ବୁଝିବା ଏବଂ ତୁଳନା କରିବା କଷ୍ଟକର। ଏହି ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ ସହଜରେ ପଢ଼ିବା, ବୁଝିବା ଏବଂ ତୁଳନା କରିବା ପାଇଁ, ଆମେ ଘାତାଙ୍କ ବ୍ୟବହାର କରୁ। ଏହି ଅଧ୍ୟାୟରେ, ଆମେ ଘାତାଙ୍କ ବିଷୟରେ ଶିଖିବା ଏବଂ ସେଗୁଡ଼ିକୁ କିପରି ବ୍ୟବହାର କରାଯାଏ ତାହା ମଧ୍ୟ ଶିଖିବା।

11.2 ଘାତାଙ୍କ

ଆମେ ବଡ଼ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ ଘାତାଙ୍କ ବ୍ୟବହାର କରି ଏକ ସଂକ୍ଷିପ୍ତ ରୂପରେ ଲେଖିପାରିବା।

$\quad 10,000=10 \times 10 \times 10 \times 10=10^{4}$ ଲକ୍ଷ୍ୟ କର

ସଂକ୍ଷିପ୍ତ ସଙ୍କେତ $10^{4}$ ଗୁଣଫଳ $10 \times 10 \times 10 \times 10$ ପାଇଁ ଠିଆ ହୋଇଛି। ଏଠାରେ ‘10’କୁ ଆଧାର ଏବଂ ‘4’କୁ ଘାତାଙ୍କ କୁହାଯାଏ। ସଂଖ୍ୟା $10^{4}$କୁ 10ର ଚତୁର୍ଥ ଘାତ ଭାବରେ ପଢ଼ାଯାଏ କିମ୍ବା ସରଳ ଭାବରେ 10ର ଚତୁର୍ଥ ଘାତ କୁହାଯାଏ। $\mathbf{1 0 . 1 0 ^ { 4 }}$କୁ 10,000ର ଘାତାଙ୍କୀୟ ରୂପ କୁହାଯାଏ।

ସେହିପରି ଆମେ 1,000କୁ 10ର ଏକ ଘାତ ଭାବରେ ପ୍ରକାଶ କରିପାରିବା। ଧ୍ୟାନ ଦିଅ

$ 1000=10 \times 10 \times 10=10^{3} $

ଏଠାରେ ପୁଣି, $10^{3}$ ହେଉଛି 1,000ର ଘାତାଙ୍କୀୟ ରୂପ।

ସେହିପରି, $1,00,000=10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10=10^{5}$

$10^{5}$ ହେଉଛି $1,00,000$ର ଘାତାଙ୍କୀୟ ରୂପ

ଉଭୟ ଉଦାହରଣରେ, ଆଧାର ହେଉଛି 10; $10^{3}$ କ୍ଷେତ୍ରରେ, ଘାତାଙ୍କ ହେଉଛି 3 ଏବଂ $10^{5}$ କ୍ଷେତ୍ରରେ ଘାତାଙ୍କ ହେଉଛି 5।

ଆମେ $10,100,1000$ ଆଦି ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ ବିସ୍ତୃତ ରୂପରେ ଲେଖିବା ସମୟରେ ବ୍ୟବହାର କରିଛୁ। ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ, $47561=4 \times 10000+7 \times 1000+5 \times 100+6 \times 10+1$

ଏହାକୁ $4 \times 10^{4}+7 \times 10^{3}+5 \times 10^{2}+6 \times 10+1$ ଭାବରେ ଲେଖାଯାଇପାରିବ।

ଏହି ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ ସେହିପରି ଭାବରେ ଲେଖିବାକୁ ଚେଷ୍ଟା କର $172,5642,6374$।

ଉପରୋକ୍ତ ସମସ୍ତ ଉଦାହରଣରେ, ଆମେ ସେହି ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ ଦେଖିଛୁ ଯାହାର ଆଧାର 10। ତଥାପି ଆଧାର ଅନ୍ୟ କୌଣସି ସଂଖ୍ୟା ମଧ୍ୟ ହୋଇପାରେ। ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ:

$81=3 \times 3 \times 3 \times 3$କୁ $81=3^{4}$ ଭାବରେ ଲେଖାଯାଇପାରେ, ଏଠାରେ 3 ହେଉଛି ଆଧାର ଏବଂ 4 ହେଉଛି ଘାତାଙ୍କ।

କେତେକ ଘାତର ବିଶେଷ ନାମ ଅଛି। ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ,

$10^{2}$, ଯାହା 10ର ଦ୍ୱିତୀୟ ଘାତ, ଏହାକୁ ‘10 ବର୍ଗ’ ମଧ୍ୟ ପଢ଼ାଯାଏ ଏବଂ

$10^{3}$, ଯାହା 10ର ତୃତୀୟ ଘାତ, ଏହାକୁ ‘10 ଘନ’ ମଧ୍ୟ ପଢ଼ାଯାଏ।

ତୁମେ କହିପାରିବ କି $5^{3}$ (5 ଘନ) ର ଅର୍ଥ କ’ଣ?

$ 5^{3}=5 \times 5 \times 5=125 $

ତେଣୁ, ଆମେ କହିପାରିବା 125 ହେଉଛି 5ର ତୃତୀୟ ଘାତ।

$5^{3}$ରେ ଘାତାଙ୍କ ଏବଂ ଆଧାର କ’ଣ?

ସେହିପରି, $2^{5}=2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2=32$, ଯାହା 2ର ପଞ୍ଚମ ଘାତ।

$2^{5}, 2$ରେ ଆଧାର ଏବଂ 5 ହେଉଛି ଘାତାଙ୍କ।

ସେହିପରି ଭାବରେ,

$ \begin{aligned} 243 & =3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3=3^{5} \\ 64 & =2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2=2^{6} \\ 625 & =5 \times 5 \times 5 \times 5=5^{4} \end{aligned} $

ଚେଷ୍ଟା କର ଏଗୁଡ଼ିକ

ଆଉ ପାଞ୍ଚଟି ଏହିପରି ଉଦାହରଣ ଖୋଜ, ଯେଉଁଠାରେ ଏକ ସଂଖ୍ୟାକୁ ଘାତାଙ୍କୀୟ ରୂପରେ ପ୍ରକାଶ କରାଯାଇଛି। ପ୍ରତ୍ୟେକ କ୍ଷେତ୍ରରେ ଆଧାର ଏବଂ ଘାତାଙ୍କକୁ ମଧ୍ୟ ଚିହ୍ନିତ କର।

ଯେତେବେଳେ ଆଧାର ଏକ ଋଣାତ୍ମକ ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟା, ସେତେବେଳେ ତୁମେ ଲେଖିବାର ଏହି ପଦ୍ଧତିକୁ ମଧ୍ୟ ବିସ୍ତାର କରିପାରିବ।

$(-2)^{3}$ ର ଅର୍ଥ କ’ଣ?

ଏହା ହେଉଛି $\quad(-2)^{3}=(-2) \times(-2) \times(-2)=-8$

$\quad(-2)^{4}=16$ କି? ଏହାକୁ ଯାଞ୍ଚ କର।

ଏକ ସ୍ଥିର ସଂଖ୍ୟା ନେବା ପରିବର୍ତ୍ତେ ଆମେ ଯେକୌଣସି ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟା $a$କୁ ଆଧାର ଭାବରେ ନେଇ, ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ ଏହିପରି ଲେଖିବା,

$ \begin{aligned} a \times a & =a^{2}(\text{ ‘a ବର୍ଗ’ କିମ୍ବା ‘a ର ଦ୍ୱିତୀୟ ଘାତ’ ଭାବରେ ପଢ଼}) \\ a \times a \times a & =a^{3}(\text{ ‘a ଘନ’ କିମ୍ବା ‘a ର ତୃତୀୟ ଘାତ’ ଭାବରେ ପଢ଼}) \\ a \times a \times a \times a & =a^{4}(\text{ a ର ଚତୁର୍ଥ ଘାତ କିମ୍ବା a ର ଚତୁର୍ଥ ଘାତ ଭାବରେ ପଢ଼}) \end{aligned} $

$a \times a \times a \times a \times a \times a \times a=a^{7}($କୁ $a$ର ସପ୍ତମ ଘାତ କିମ୍ବା $.a)$ର $7^{\text{th }}$ ଘାତ ଭାବରେ ପଢ଼ାଯାଏ ଏବଂ ଏହିପରି ଅନ୍ୟାନ୍ୟ।

$a \times a \times a \times b \times b$କୁ $a^{3} b^{2}$ ଭାବରେ ପ୍ରକାଶ କରାଯାଇପାରେ ($a$ ଘନ $b$ ବର୍ଗ ଭାବରେ ପଢ଼)

ଚେଷ୍ଟା କର ଏଗୁଡ଼ିକ

ପ୍ରକାଶ କର:

(i) 729କୁ 3ର ଏକ ଘାତ ଭାବରେ

(ii) 128କୁ 2ର ଏକ ଘାତ ଭାବରେ

(iii) 343କୁ 7ର ଏକ ଘାତ ଭାବରେ $a \times a \times b \times b \times b \times b$କୁ $a^{2} b^{4}$ ଭାବରେ ପ୍ରକାଶ କରାଯାଇପାରେ ($a$ ବର୍ଗ ଗୁଣିତ $b$ର ଚତୁର୍ଥ ଘାତ ଭାବରେ ପଢ଼)।

ଉଦାହରଣ 1 256କୁ 2ର ଏକ ଘାତ ଭାବରେ ପ୍ରକାଶ କର।

ସମାଧାନ

ଆମର ଅଛି $256=2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2$।

ତେଣୁ ଆମେ କହିପାରିବା ଯେ $256=2^{8}$

ଉଦାହରଣ 2 କେଉଁଟି ବଡ଼ $2^{3}$ କି $3^{2}$?

ସମାଧାନ ଆମର ଅଛି, $2^{3}=2 \times 2 \times 2=8$ ଏବଂ $3^{2}=3 \times 3=9$।

ଯେହେତୁ $9>8$, ତେଣୁ, $3^{2}$ ହେଉଛି $2^{3}$ଠାରୁ ବଡ଼।

ଉଦାହରଣ 3 କେଉଁଟି ବଡ଼ $8^{2}$ କି $2^{8}$?

ସମାଧାନ

$\quad 8^{2}=8 \times 8=64$ $2^{8}=2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2=256$

ସ୍ପଷ୍ଟ ଭାବରେ, $\quad 2^{8}>8^{2}$

ଉଦାହରଣ 4 $a^{3} b^{2}, a^{2} b^{3}, b^{2} a^{3}, b^{3} a^{2}$କୁ ବିସ୍ତାର କର। ସେମାନେ ସମସ୍ତେ ସମାନ କି?

ସମାଧାନ

$a^{3} b^{2}=a^{3} \times b^{2}$

$ \begin{aligned} & =(a \times a \times a) \times(b \times b) \\ & =a \times a \times a \times b \times b \\ a^{2} b^{3} & =a^{2} \times b^{3} \\ & =a \times a \times b \times b \times b \\ b^{2} a^{3} & =b^{2} \times a^{3} \\ & =b \times b \times a \times a \times a \\ b^{3} a^{2} & =b^{3} \times a^{2} \\ & =b \times b \times b \times a \times a \end{aligned} $

ଧ୍ୟାନ ଦିଅ ଯେ ପଦ $a^{3} b^{2}$ ଏବଂ $a^{2} b^{3}$ କ୍ଷେତ୍ରରେ $a$ ଏବଂ $b$ର ଘାତଗୁଡ଼ିକ ଭିନ୍ନ। ତେଣୁ $a^{3} b^{2}$ ଏବଂ $a^{2} b^{3}$ ଭିନ୍ନ।

ଅନ୍ୟ ପକ୍ଷରେ, $a^{3} b^{2}$ ଏବଂ $b^{2} a^{3}$ ସମାନ, କାରଣ ଏହି ଦୁଇଟି ପଦରେ $a$ ଏବଂ $b$ର ଘାତଗୁଡ଼ିକ ସମାନ। ଉତ୍ପାଦକଗୁଡ଼ିକର କ୍ରମ ମହତ୍ତ୍ୱପୂର୍ଣ୍ଣ ନୁହେଁ।

ତେଣୁ, $a^{3} b^{2}=a^{3} \times b^{2}=b^{2} \times a^{3}=b^{2} a^{3}$। ସେହିପରି, $a^{2} b^{3}$ ଏବଂ $b^{3} a^{2}$ ସମାନ।

ଉଦାହରଣ 5 ନିମ୍ନଲିଖିତ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ ମୌଳିକ ଉତ୍ପାଦକଗୁଡ଼ିକର ଘାତର ଗୁଣଫଳ ଭାବରେ ପ୍ରକାଶ କର:

(i) 72

(ii) 432

(iii) 1000

(iv) 16000

ସମାଧାନ

(i) $72=2 \times 36=2 \times 2 \times 18$

$ \begin{aligned} & =2 \times 2 \times 2 \times 9 \\ & =2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3=2^{3} \times 3^{2} \end{aligned} $

ତେଣୁ, $72=2^{3} \times 3^{2} \quad$ (ଆବଶ୍ୟକ ମୌଳିକ ଉତ୍ପାଦକ ଗୁଣଫଳ ରୂପ)

$\begin{array}{l|l} 2 & 72 \\ \hline 2 & 36 \\ \hline 2 & 18 \\ \hline 3 & 9 \\ \hline & 3 \end{array}$

(ii) $432=2 \times 216=2 \times 2 \times 108=2 \times 2 \times 2 \times 54$

$ \begin{aligned} & =2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 27=2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 9 \\ & =2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 \end{aligned} $

କିମ୍ବା $\quad 432=2^{4} \times 3^{3}$

(ଆବଶ୍ୟକ ରୂପ)

(iii) $1000=2 \times 500=2 \times 2 \times 250=2 \times 2 \times 2 \times 125$

$ =2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 25=2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5 \times 5 $

କିମ୍ବା

$ 1000=2^{3} \times 5^{3} $

ଅତୁଲ୍ ଏହି ଉଦାହରଣକୁ ଅନ୍ୟ ଏକ ଉପାୟରେ ସମାଧାନ କରିବାକୁ ଚାହୁଁଛି:

$ \begin{aligned} 1000 & =10 \times 100=10 \times 10 \times 10 \\ & =(2 \times 5) \times(2 \times 5) \times(2 \times 5) \quad(\text{ ଯେହେତୁ } 10=2 \times 5) \\ & =2 \times 5 \times 2 \times 5 \times 2 \times 5=2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5 \times 5 \end{aligned} $

କିମ୍ବା

$ 1000=2^{3} \times 5^{3} $

ଅତୁଲ୍ର ପଦ୍ଧତି ଠିକ୍ ଅଛି କି?

$ \begin{aligned} & \text{ (iv) } .16,000=16 \times 1000=(2 \times 2 \times 2 \times 2) \times 1000=2^{4} \times 10^{3} \text{ (କାରଣ } 16=2 \times 2 \times 2 \times 2) \\ & =(2 \times 2 \times 2 \times 2) \times(2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5 \times 5)=2^{4} \times 2^{3} \times 5^{3} \\ & (\text{ ଯେହେତୁ } 1000=2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5 \times 5) \\ & =(2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2) \times(5 \times 5 \times 5) \\ & \text{ କିମ୍ବା, } \quad 16,000=2^{7} \times 5^{3} \end{aligned} $

ଉଦାହରଣ 6 $(1)^{5},(-1)^{3},(-1)^{4},(-10)^{3},(-5)^{4}$ କାମ କର।

ସମାଧାନ

(i) ଆମର ଅଛି $(1)^{5}=1 \times 1 \times 1 \times 1 \times 1=1$

ପ୍ରକୃତରେ, ତୁମେ ଅନୁଭବ କରିବ ଯେ 1କୁ ଯେକୌଣସି ଘାତକୁ ଉତ୍ତୋଳନ କଲେ 1 ହୁଏ।

(ii) $(-1)^{3}=(-1) \times(-1) \times(-1)=1 \times(-1)=-1$

(iii) $(-1)^{4}=(-1) \times(-1) \times(-1) \times(-1)=1 \times 1=1$

$\begin{array}{|ll|} \hline(-1)^{\text {ବିଷମ ସଂଖ୍ୟା }} & =-1 \\ (-1)^{\text {ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା }} & =+1 \\ \hline \end{array}$

ତୁମେ ଯାଞ୍ଚ କରିପାରିବ ଯେ $(-1)$କୁ ଯେକୌଣସି ବିଷମ ଘାତକୁ ଉତ୍ତୋଳନ କଲେ $(-1)$ ହୁଏ,

ଏବଂ $(-1)$କୁ ଯେକୌଣସି ଯୁଗ୍ମ ଘାତକୁ ଉତ୍ତୋଳନ କଲେ $(+1)$ ହୁଏ।

(iv) $(-10)^{3}=(-10) \times(-10) \times(-10)=100 \times(-10)=-1000$

(v) $(-5)^{4}=(-5) \times(-5) \times(-5) \times(-5)=25 \times 25=625$

ଅଭ୍ୟାସ 11.1

1. ମୂଲ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର:

(i) $2^{6}$

(ii) $9^{3}$

(iii) $11^{2}$

(iv) $5^{4}$

2. ନିମ୍ନଲିଖିତଗୁଡ଼ିକୁ ଘାତାଙ୍କୀୟ ରୂପରେ ପ୍ରକାଶ କର:

(i) $6 \times 6 \times 6 \times 6$

(ii) $t \times t$

(iii) $b \times b \times b \times b$

(iv) $5 \times 5 \times 7 \times 7 \times 7$

(v) $2 \times 2 \times a \times a$

(vi) $a \times a \times a \times c \times c \times c \times c \times d$

3. ନିମ୍ନଲିଖିତ ପ୍ରତ୍ୟେକ ସଂଖ୍ୟାକୁ ଘାତାଙ୍କୀୟ ସଙ୍କେତ ବ୍ୟବହାର କରି ପ୍ରକାଶ କର:

(i) 512

(ii) 343

(iii) 729

(iv) 3125

4. ନିମ୍ନଲିଖିତ ପ୍ରତ୍ୟେକରେ ଯେଉଁଠାରେ ସମ୍ଭବ, ବଡ଼ ସଂଖ୍ୟାଟିକୁ ଚିହ୍ନିତ କର?

(i) $4^{3}$ କି $3^{4}$

(ii) $5^{3}$ କି $3^{5}$

(iii) $2^{8}$ କି $8^{2}$

(iv) $100^{2}$ କି $2^{100}$

(v) $2^{10}$ କି $10^{2}$

5. ନିମ୍ନଲିଖିତ ପ୍ରତ୍ୟେକକୁ ସେମାନଙ୍କର ମୌଳିକ ଉତ୍ପାଦକଗୁଡ଼ିକର ଘାତର ଗୁଣଫଳ ଭାବରେ ପ୍ରକାଶ କର:

(i) 648

(ii) 405

(iii) 540

(iv) 3,600

6. ସରଳୀକରଣ କର:

(i) $2 \times 10^{3}$

(ii) $7^{2} \times 2^{2}$

(iii) $2^{3} \times 5$

(iv) $3 \times 4^{4}$

(v) $0 \times 10^{2}$

(vi) $5^{2} \times 3^{3}$

(vii) $2^{4} \times 3^{2}$

(viii) $3^{2} \times 10^{4}$

7. ସରଳୀକରଣ କର:

(i) $(-4)^{3}$

(ii) $(-3) \times(-2)^{3}$

(iii) $(-3)^{2} \times(-5)^{2}$

(iv) $(-2)^{3} \times(-10)^{3}$

8. ନିମ୍ନଲିଖିତ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ ତୁଳନା କର:

(i) $2.7 \times 10^{12} ; 1.5 \times 10^{8}$

(ii) $4 \times 10^{14} ; 3 \times 10^{17}$

11.3 ଘାତାଙ୍କର ନିୟମ

11.3.1 ସମାନ ଆଧାର ବିଶିଷ୍ଟ ଘାତଗୁଡ଼ିକୁ ଗୁଣନ କରିବା

(i) ଆସ $2^{2} \times 2^{3}$ ଗଣନା କରିବା

$ \begin{aligned} 2^{2} \times 2^{3} & =(2 \times 2) \times(2 \times 2 \times 2) \\ & =2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2=2^{5}=2^{2+3} \end{aligned} $

ଧ୍ୟାନ ଦିଅ ଯେ $2^{2}$ ଏବଂ $2^{3}$ରେ ଆଧାର ସମାନ ଏବଂ ଘାତାଙ୍କଗୁଡ଼ିକର ଯୋଗଫଳ, ଅର୍ଥାତ୍ 2 ଏବଂ 3 ହେଉଛି 5

(ii) $(-3)^{4} \times(-3)^{3}=[(-3) \times(-3) \times(-3) \times(-3)] \times[(-3) \times(-3) \times(-3)]$

$ \begin{aligned} & =(-3) \times(-3) \times(-3) \times(-3) \times(-3) \times(-3) \times(-3) \\ & =(-3)^{7} \\ & =(-3)^{4+3} \end{aligned} $

ପୁଣି ଧ୍ୟାନ ଦିଅ ଯେ ଆଧାର ସମାନ ଏବଂ ଘାତାଙ୍କଗୁଡ଼ିକର ଯୋଗଫଳ, ଅର୍ଥାତ୍ 4 ଏବଂ 3, ହେଉଛି 7

(iii) $a^{2} \times a^{4}=(a \times a) \times(a \times a \times a \times a)$

$ =a \times a \times a \times a \times a \times a=a^{6} $

(ଧ୍ୟାନ ଦିଅ: ଆଧାର ସମାନ ଏବଂ ଘାତାଙ୍କଗୁଡ଼ିକର ଯୋଗଫଳ ହେଉଛି $2+4=6$)

ସେହିପରି, ଯାଞ୍ଚ କର:

$ \begin{aligned} & 4^{2} \times 4^{2}=4^{2+2} \\ & 3^{2} \times 3^{3}=3^{2+3} \end{aligned} $

ତୁମେ ବାକ୍ସରେ ଉପଯୁକ୍ତ ସଂଖ୍ୟା ଲେଖିପାରିବ କି?

$ \begin{aligned} & (-11)^{2} \times(-11)^{6}=\quad(-11) \square \\ & b^{2} \times b^{3}=b \square \text{ (ମନେରଖ, ଆଧାର ସମାନ; } b \text{ ଯେକୌଣସି ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟା)। } \\ & c^{3} \times c^{4}=c \text{ (c ଯେକୌଣସି ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟା) } \\ & d^{10} \times d^{20}=d^{\square} \end{aligned} $

ଏଥିରୁ ଆମେ ସାଧାରଣ କରିପାରିବା ଯେ ଯେକୌଣସି ଅଣ-ଶୂନ୍ୟ ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟା $a$ ପାଇଁ, ଯେଉଁଠାରେ $m$ ଏବଂ $n$ ହେଉଛନ୍ତି ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ସଂଖ୍ୟା,

$\begin{array}{|ll|} \hline a^{m} \times a^{n}=a^{m+n} \\ \hline \end{array}$

ଚେଷ୍ଟା କର ଏଗୁଡ଼ିକ

ସରଳୀକରଣ କର ଏବଂ ଘାତାଙ୍କୀୟ ରୂପରେ ଲେଖ:

(i) $2^{5} \times 2^{3}$

(ii) $p^{3} \times p^{2}$

(iii) $4^{3} \times 4^{2}$

(iv) $a^{3} \times a^{2} \times a^{7}$

(v) $5^{3} \times 5^{7} \times 5^{12}$

(vi) $(-4)^{100} \times(-4)^{20}$

ସତର୍କତା!

$2^{3} \times 3^{2}$ ବିଚାର କର

ତୁମେ ଘାତାଙ୍କଗୁଡ଼ିକୁ ଯୋଗ କରିପାରିବ କି? ନା! ତୁମେ ଦେଖୁଛ ‘କାହିଁକି’? $2^{3}$ର ଆଧାର ହେଉଛି 2 ଏବଂ $3^{2}$ର ଆଧାର ହେଉଛି 3। ଆଧାରଗୁଡ଼ିକ ସମାନ ନୁହଁନ୍ତି।

11.3.2 ସମାନ ଆଧାର ବିଶିଷ୍ଟ ଘାତଗୁଡ଼ିକୁ ଭାଗ କରିବା

ଆସ $3^{7} \div 3^{4}$ ସରଳୀକରଣ କରିବା?

ତେଣୁ

$ \begin{aligned} 3^{7} \div 3^{4} & =\frac{3^{7}}{3^{4}}=\frac{3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3}{3 \times 3 \times 3 \times 3} \\ & =3 \times 3 \times 3=3^{3}=3^{7-4} \end{aligned} $

(ଧ୍ୟାନ ଦିଅ, $3^{7}$ ଏବଂ $3^{4}$ରେ ଆଧାର ସମାନ ଏବଂ $3^{7} \div 3^{4}$ ହୁଏ $3^{7-4}$)

ସେହିପରି,

କିମ୍ବା

$ \begin{aligned} 5^{6} \div 5^{2} & =\frac{5^{6}}{5^{2}}=\frac{5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5}{5 \times 5} \\ & =5 \times 5 \times 5 \times 5=5^{4}=5^{6-2} \end{aligned} $

ମାନିଲେ $a$ ଏକ ଅଣ-ଶୂନ୍ୟ ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟା, ତେବେ,

କିମ୍ବା

$ \begin{aligned} & a^{4} \div a^{2}=\frac{a^{4}}{a^{2}}=\frac{a \times a \times a \times a}{a \times a}=a \times a=a^{2}=a^{4}{ }^{2} \\ & a^{4} \div a^{2}=a^{4-2} \end{aligned} $

ବର୍ତ୍ତମାନ ତୁମେ ଶୀଘ୍ର ଉତ୍ତର ଦେଇପାରିବ କି?

$ \begin{aligned} 10^{8} \div 10^{3} & =10^{8-3}=10^{5} \\ 7^{9} \div 7^{6} & =7 \\ a^{8} \div a^{5} & =a \end{aligned} $

ଅଣ-ଶୂନ୍ୟ ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟା $b$ ଏବଂ $c$ ପାଇଁ,

$ \begin{aligned} & b^{10} \div b^{5}=b^{\square} \\ & c^{100} \div c^{90}=c^{\square} \end{aligned} $

ସାଧାରଣ ଭାବରେ, ଯେକୌଣସି ଅଣ-ଶୂନ୍ୟ ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟା $a$ ପାଇଁ,

$ a^{m} \div a^{n}=a^{m-n} $

ଯେଉଁଠାରେ $m$ ଏବଂ $n$ ହେଉଛନ୍ତି ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ସ