11.1 పరిచయం

భూమి ద్రవ్యరాశి ఎంతో మీకు తెలుసా? అది

$5,970,000,000,000,000,000,000,000 kg$ !

మీరు ఈ సంఖ్యను చదవగలరా?

యురేనస్ యొక్క ద్రవ్యరాశి 86,800,000,000,000,000,000,000,000 kg.

భూమి మరియు యురేనస్లో ఏది ఎక్కువ ద్రవ్యరాశిని కలిగి ఉంది?

సూర్యుడు మరియు శని మధ్య దూరం 1,433,500,000,000 m మరియు శని మరియు యురేనస్ మధ్య దూరం $1,439,000,000,000 m$. మీరు ఈ సంఖ్యలను చదవగలరా? ఏ దూరం తక్కువ?

ఈ చాలా పెద్ద సంఖ్యలను చదవడం, అర్థం చేసుకోవడం మరియు పోల్చడం కష్టం. ఈ సంఖ్యలను సులభంగా చదవడానికి, అర్థం చేసుకోవడానికి మరియు పోల్చడానికి, మనం ఘాతాంకాలను ఉపయోగిస్తాము. ఈ అధ్యాయంలో, మనం ఘాతాంకాల గురించి తెలుసుకుంటాము మరియు వాటిని ఎలా ఉపయోగించాలో కూడా నేర్చుకుంటాము.

11.2 ఘాతాంకాలు

ఘాతాంకాలను ఉపయోగించి పెద్ద సంఖ్యలను చిన్న రూపంలో రాయవచ్చు.

$\quad 10,000=10 \times 10 \times 10 \times 10=10^{4}$ గమనించండి

సంక్షిప్త సంజ్ఞ $10^{4}$ లబ్ధం $10 \times 10 \times 10 \times 10$ని సూచిస్తుంది. ఇక్కడ ‘10’ని ఆధారం అని మరియు ‘4’ని ఘాతాంకం అని పిలుస్తారు. సంఖ్య $10^{4}$ని 10ని 4 ఘాతానికి పెంచబడింది అని లేదా కేవలం 10 యొక్క నాల్గవ ఘాతం అని చదువుతారు. $\mathbf{1 0 . 1 0 ^ { 4 }}$ని 10,000 యొక్క ఘాతీయ రూపం అంటారు.

అదేవిధంగా, 1,000ని 10 యొక్క ఘాతంగా వ్యక్తపరచవచ్చు. గమనించండి

$ 1000=10 \times 10 \times 10=10^{3} $

ఇక్కడ మళ్ళీ, $10^{3}$ అనేది 1,000 యొక్క ఘాతీయ రూపం.

అదేవిధంగా, $1,00,000=10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10=10^{5}$

$10^{5}$ అనేది $1,00,000$ యొక్క ఘాతీయ రూపం

ఈ రెండు ఉదాహరణలలో, ఆధారం 10; $10^{3}$ విషయంలో, ఘాతాంకం 3 మరియు $10^{5}$ విషయంలో ఘాతాంకం 5.

సంఖ్యలను విస్తరించిన రూపంలో రాసేటప్పుడు మనం $10,100,1000$ వంటి సంఖ్యలను ఉపయోగించాము. ఉదాహరణకు, $47561=4 \times 10000+7 \times 1000+5 \times 100+6 \times 10+1$

దీనిని $4 \times 10^{4}+7 \times 10^{3}+5 \times 10^{2}+6 \times 10+1$గా రాయవచ్చు.

ఈ సంఖ్యలను అదే విధంగా రాయడానికి ప్రయత్నించండి $172,5642,6374$.

పైన ఇచ్చిన అన్ని ఉదాహరణలలో, ఆధారం 10 అయిన సంఖ్యలను మనం చూశాము. అయితే ఆధారం ఏదైనా ఇతర సంఖ్య కూడా కావచ్చు. ఉదాహరణకు:

$81=3 \times 3 \times 3 \times 3$ని $81=3^{4}$గా రాయవచ్చు, ఇక్కడ 3 ఆధారం మరియు 4 ఘాతాంకం.

కొన్ని ఘాతాలకు ప్రత్యేక పేర్లు ఉన్నాయి. ఉదాహరణకు,

$10^{2}$, ఇది 10ని 2 ఘాతానికి పెంచబడింది, ‘10 స్క్వేర్డ్’ అని కూడా చదువుతారు మరియు

$10^{3}$, ఇది 10ని 3 ఘాతానికి పెంచబడింది, ‘10 క్యూబ్డ్’ అని కూడా చదువుతారు.

$5^{3}$ (5 క్యూబ్డ్) అంటే ఏమిటో మీరు చెప్పగలరా?

$ 5^{3}=5 \times 5 \times 5=125 $

కాబట్టి, 125 అనేది 5 యొక్క మూడవ ఘాతం అని మనం చెప్పవచ్చు.

$5^{3}$లో ఘాతాంకం మరియు ఆధారం ఏమిటి?

అదేవిధంగా, $2^{5}=2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2=32$, ఇది 2 యొక్క ఐదవ ఘాతం.

$2^{5}, 2$లో ఆధారం మరియు 5 ఘాతాంకం.

అదే విధంగా,

$ \begin{aligned} 243 & =3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3=3^{5} \\ 64 & =2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2=2^{6} \\ 625 & =5 \times 5 \times 5 \times 5=5^{4} \end{aligned} $

ప్రయత్నించండి

ఇలాంటి ఐదు ఉదాహరణలను కనుగొనండి, ఇక్కడ ఒక సంఖ్యను ఘాతీయ రూపంలో వ్యక్తపరచబడింది. ప్రతి సందర్భంలో ఆధారం మరియు ఘాతాంకాన్ని కూడా గుర్తించండి.

ఆధారం ఒక ఋణ పూర్ణాంకం అయినప్పుడు కూడా మీరు ఈ రీతిలో రాయడాన్ని విస్తరించవచ్చు.

$(-2)^{3}$ అంటే ఏమిటి?

అది $\quad(-2)^{3}=(-2) \times(-2) \times(-2)=-8$

$\quad(-2)^{4}=16$ ఉందా? దాన్ని తనిఖీ చేయండి.

ఒక స్థిర సంఖ్యను తీసుకోకుండా, ఏదైనా పూర్ణాంకం $a$ని ఆధారంగా తీసుకొని, సంఖ్యలను ఈ విధంగా రాద్దాం,

$ \begin{aligned} a \times a & =a^{2}(\text{ ‘a స్క్వేర్డ్’ లేదా ‘a ని 2 ఘాతానికి పెంచబడింది’ అని చదువుతారు }) \\ a \times a \times a & =a^{3}(\text{ ‘a క్యూబ్డ్’ లేదా ‘a ని 3 ఘాతానికి పెంచబడింది’ అని చదువుతారు }) \\ a \times a \times a \times a & =a^{4}(\text{ a ని 4 ఘాతానికి పెంచబడింది లేదా a యొక్క 4వ ఘాతం అని చదువుతారు }) \end{aligned} $

$a \times a \times a \times a \times a \times a \times a=a^{7}($ని $a$ని 7 ఘాతానికి పెంచబడింది లేదా $.a)$ యొక్క $7^{\text{th }}$ ఘాతం అని చదువుతారు మరియు మొదలగునవి.

$a \times a \times a \times b \times b$ని $a^{3} b^{2}$గా వ్యక్తపరచవచ్చు ($a$ క్యూబ్డ్ $b$ స్క్వేర్డ్ అని చదువుతారు)

ప్రయత్నించండి

వ్యక్తపరచండి:

(i) 729ని 3 యొక్క ఘాతంగా

(ii) 128ని 2 యొక్క ఘాతంగా

(iii) 343ని 7 యొక్క ఘాతంగా $a \times a \times b \times b \times b \times b$ని $a^{2} b^{4}$గా వ్యక్తపరచవచ్చు ($a$ స్క్వేర్డ్ మరియు $b$ని 4 ఘాతానికి పెంచబడింది అని చదువుతారు).

ఉదాహరణ 1 256ని 2 యొక్క ఘాతంగా వ్యక్తపరచండి.

సాధన

మనకు $256=2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2$ ఉంది.

కాబట్టి $256=2^{8}$ అని మనం చెప్పవచ్చు

ఉదాహరణ 2 ఏది ఎక్కువ $2^{3}$ లేదా $3^{2}$ ?

సాధన మనకు, $2^{3}=2 \times 2 \times 2=8$ మరియు $3^{2}=3 \times 3=9$ ఉన్నాయి.

$9>8$ కాబట్టి, $3^{2}$ అనేది $2^{3}$ కంటే ఎక్కువ

ఉదాహరణ 3 ఏది ఎక్కువ $8^{2}$ లేదా $2^{8}$ ?

సాధన

$\quad 8^{2}=8 \times 8=64$ $2^{8}=2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2=256$

స్పష్టంగా, $\quad 2^{8}>8^{2}$

ఉదాహరణ 4 $a^{3} b^{2}, a^{2} b^{3}, b^{2} a^{3}, b^{3} a^{2}$ని విస్తరించండి. అవన్నీ ఒకేలా ఉన్నాయా?

సాధన

$a^{3} b^{2}=a^{3} \times b^{2}$

$ \begin{aligned} & =(a \times a \times a) \times(b \times b) \\ & =a \times a \times a \times b \times b \\ a^{2} b^{3} & =a^{2} \times b^{3} \\ & =a \times a \times b \times b \times b \\ b^{2} a^{3} & =b^{2} \times a^{3} \\ & =b \times b \times a \times a \times a \\ b^{3} a^{2} & =b^{3} \times a^{2} \\ & =b \times b \times b \times a \times a \end{aligned} $

$a^{3} b^{2}$ మరియు $a^{2} b^{3}$ పదాల విషయంలో $a$ మరియు $b$ యొక్క ఘాతాలు వేర్వేరుగా ఉన్నాయని గమనించండి. అందువల్ల $a^{3} b^{2}$ మరియు $a^{2} b^{3}$ వేర్వేరు.

మరోవైపు, $a^{3} b^{2}$ మరియు $b^{2} a^{3}$ ఒకేలా ఉన్నాయి, ఎందుకంటే ఈ రెండు పదాలలో $a$ మరియు $b$ యొక్క ఘాతాలు ఒకేలా ఉన్నాయి. కారణాంకాల క్రమం పట్టింపు లేదు.

అందువల్ల, $a^{3} b^{2}=a^{3} \times b^{2}=b^{2} \times a^{3}=b^{2} a^{3}$. అదేవిధంగా, $a^{2} b^{3}$ మరియు $b^{3} a^{2}$ ఒకేలా ఉన్నాయి.

ఉదాహరణ 5 కింది సంఖ్యలను ప్రధాన కారణాంకాల ఘాతాల లబ్ధంగా వ్యక్తపరచండి:

(i) 72

(ii) 432

(iii) 1000

(iv) 16000

సాధన

(i) $72=2 \times 36=2 \times 2 \times 18$

$ \begin{aligned} & =2 \times 2 \times 2 \times 9 \\ & =2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3=2^{3} \times 3^{2} \end{aligned} $

అందువల్ల, $72=2^{3} \times 3^{2} \quad$ (అవసరమైన ప్రధాన కారణాంక లబ్ధ రూపం)

$\begin{array}{l|l} 2 & 72 \\ \hline 2 & 36 \\ \hline 2 & 18 \\ \hline 3 & 9 \\ \hline & 3 \end{array}$

(ii) $432=2 \times 216=2 \times 2 \times 108=2 \times 2 \times 2 \times 54$

$ \begin{aligned} & =2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 27=2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 9 \\ & =2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 \end{aligned} $

లేదా $\quad 432=2^{4} \times 3^{3}$

(అవసరమైన రూపం)

(iii) $1000=2 \times 500=2 \times 2 \times 250=2 \times 2 \times 2 \times 125$

$ =2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 25=2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5 \times 5 $

లేదా

$ 1000=2^{3} \times 5^{3} $

అతుల్ ఈ ఉదాహరణను మరొక విధంగా సాధించాలనుకుంటున్నాడు:

$ \begin{aligned} 1000 & =10 \times 100=10 \times 10 \times 10 \\ & =(2 \times 5) \times(2 \times 5) \times(2 \times 5) \quad(\text{ ఎందుకంటే } 10=2 \times 5) \\ & =2 \times 5 \times 2 \times 5 \times 2 \times 5=2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5 \times 5 \end{aligned} $

లేదా

$ 1000=2^{3} \times 5^{3} $

అతుల్ పద్ధతి సరైనదేనా?

$ \begin{aligned} & \text{ (iv) } .16,000=16 \times 1000=(2 \times 2 \times 2 \times 2) \times 1000=2^{4} \times 10^{3} \text{ (ఎందుకంటే } 16=2 \times 2 \times 2 \times 2) \\ & =(2 \times 2 \times 2 \times 2) \times(2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5 \times 5)=2^{4} \times 2^{3} \times 5^{3} \\ & (\text{ ఎందుకంటే } 1000=2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5 \times 5) \\ & =(2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2) \times(5 \times 5 \times 5) \\ & \text{ లేదా, } \quad 16,000=2^{7} \times 5^{3} \end{aligned} $

ఉదాహరణ 6 $(1)^{5},(-1)^{3},(-1)^{4},(-10)^{3},(-5)^{4}$ని కనుగొనండి.

సాధన

(i) మనకు $(1)^{5}=1 \times 1 \times 1 \times 1 \times 1=1$ ఉంది

నిజానికి, 1ని ఏ ఘాతానికి పెంచినా 1 అవుతుందని మీరు గ్రహిస్తారు.

(ii) $(-1)^{3}=(-1) \times(-1) \times(-1)=1 \times(-1)=-1$

(iii) $(-1)^{4}=(-1) \times(-1) \times(-1) \times(-1)=1 \times 1=1$

$\begin{array}{|ll|} \hline(-1)^{\text{బేసి సంఖ్య }} & =-1 \\ (-1)^{\text{సరి సంఖ్య }} & =+1 \\ \hline \end{array}$

$(-1)$ని ఏదైనా బేసి ఘాతానికి పెంచినా $(-1)$ అవుతుంది,

మరియు $(-1)$ని ఏదైనా సరి ఘాతానికి పెంచినా $(+1)$ అవుతుందని మీరు తనిఖీ చేయవచ్చు.

(iv) $(-10)^{3}=(-10) \times(-10) \times(-10)=100 \times(-10)=-1000$

(v) $(-5)^{4}=(-5) \times(-5) \times(-5) \times(-5)=25 \times 25=625$

అభ్యాసం 11.1

1. విలువ కనుగొనండి:

(i) $2^{6}$

(ii) $9^{3}$

(iii) $11^{2}$

(iv) $5^{4}$

2. కింది వాటిని ఘాతీయ రూపంలో వ్యక్తపరచండి:

(i) $6 \times 6 \times 6 \times 6$

(ii) $t \times t$

(iii) $b \times b \times b \times b$

(iv) $5 \times 5 \times 7 \times 7 \times 7$

(v) $2 \times 2 \times a \times a$

(vi) $a \times a \times a \times c \times c \times c \times c \times d$

3. కింది సంఖ్యలను ఘాతీయ సంజ్ఞలను ఉపయోగించి వ్యక్తపరచండి:

(i) 512

(ii) 343

(iii) 729

(iv) 3125

4. కింది వాటిలో ప్రతిదానిలో, సాధ్యమైనచోట, ఏది ఎక్కువ సంఖ్యను గుర్తించండి?

(i) $4^{3}$ లేదా $3^{4}$

(ii) $5^{3}$ లేదా $3^{5}$

(iii) $2^{8}$ లేదా $8^{2}$

(iv) $100^{2}$ లేదా $2^{100}$

(v) $2^{10}$ లేదా $10^{2}$

5. కింది ప్రతి సంఖ్యను వాటి ప్రధాన కారణాంకాల ఘాతాల లబ్ధంగా వ్యక్తపరచండి:

(i) 648

(ii) 405

(iii) 540

(iv) 3,600

6. సూక్ష్మీకరించండి:

(i) $2 \times 10^{3}$

(ii) $7^{2} \times 2^{2}$

(iii) $2^{3} \times 5$

(iv) $3 \times 4^{4}$

(v) $0 \times 10^{2}$

(vi) $5^{2} \times 3^{3}$

(vii) $2^{4} \times 3^{2}$

(viii) $3^{2} \times 10^{4}$

7. సూక్ష్మీకరించండి:

(i) $(-4)^{3}$

(ii) $(-3) \times(-2)^{3}$

(iii) $(-3)^{2} \times(-5)^{2}$

(iv) $(-2)^{3} \times(-10)^{3}$

8. కింది సంఖ్యలను పోల్చండి:

(i) $2.7 \times 10^{12} ; 1.5 \times 10^{8}$

(ii) $4 \times 10^{14} ; 3 \times 10^{17}$

11.3 ఘాతాంకాల నియమాలు

11.3.1 ఒకే ఆధారం కలిగిన ఘాతాలను గుణించడం

(i) $2^{2} \times 2^{3}$ని లెక్కిద్దాం

$ \begin{aligned} 2^{2} \times 2^{3} & =(2 \times 2) \times(2 \times 2 \times 2) \\ & =2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2=2^{5}=2^{2+3} \end{aligned} $

$2^{2}$ మరియు $2^{3}$లో ఆధారం ఒకేలా ఉందని మరియు ఘాతాంకాల మొత్తం, అంటే 2 మరియు 3 5 అని గమనించండి

(ii) $(-3)^{4} \times(-3)^{3}=[(-3) \times(-3) \times(-3) \times(-3)] \times[(-3) \times(-3) \times(-3)]$

$ \begin{aligned} & =(-3) \times(-3) \times(-3) \times(-3) \times(-3) \times(-3) \times(-3) \\ & =(-3)^{7} \\ & =(-3)^{4+3} \end{aligned} $

మళ్ళీ, ఆధారం ఒకేలా ఉందని మరియు ఘాతాంకాల మొత్తం, అంటే 4 మరియు 3, 7 అని గమనించండి

(iii) $a^{2} \times a^{4}=(a \times a) \times(a \times a \times a \times a)$

$ =a \times a \times a \times a \times a \times a=a^{6} $

(గమనిక: ఆధారం ఒకేలా ఉంది మరియు ఘాతాంకాల మొత్తం $2+4=6$)

అదేవిధంగా, ధృవీకరించండి:

$ \begin{aligned} & 4^{2} \times 4^{2}=4^{2+2} \\ & 3^{2} \times 3^{3}=3^{2+3} \end{aligned} $

మీరు బాక్స్లో తగిన సంఖ్యను రాయగలరా.

$ \begin{aligned} & (-11)^{2} \times(-11)^{6}=\quad(-11) \square \\ & b^{2} \times b^{3}=b \square \text{ (గుర్తుంచుకోండి, ఆధారం ఒకేలా; } b \text{ ఏదైనా పూర్ణాంకం). } \\ & c^{3} \times c^{4}=c \text{ (c ఏదైనా పూర్ణాంకం) } \\ & d^{10} \times d^{20}=d^{\square} \end{aligned} $

దీని నుండి మనం ఏదైనా శూన్యేతర పూర్ణాంకం $a$ కోసం సాధారణీకరించవచ్చు, ఇక్కడ $m$ మరియు $n$ పూర్ణ సంఖ్యలు,

$\begin{array}{|ll|} \hline a^{m} \times a^{n}=a^{m+n} \\ \hline \end{array}$

ప్రయత్నించండి

సూక్ష్మీకరించి ఘాతీయ రూపంలో రాయండి:

(i) $2^{5} \times 2^{3}$

(ii) $p^{3} \times p^{2}$

(iii) $4^{3} \times 4^{2}$

(iv) $a^{3} \times a^{2} \times a^{7}$

(v) $5^{3} \times 5^{7} \times 5^{12}$

(vi) $(-4)^{100} \times(-4)^{20}$

జాగ్రత్త!

$2^{3} \times 3^{2}$ని పరిగణించండి

మీరు ఘాతాంకాలను కూడగలరా? లేదు! ‘ఎందుకు’ అని మీరు చూస్తున్నారా? $2^{3}$ యొక్క ఆధారం 2 మరియు $3^{2}$ యొక్క ఆధారం 3. ఆధారాలు ఒకేలా లేవు.

11.3.2 ఒకే ఆధారం కలిగిన ఘాతాలను భాగించడం

$3^{7} \div 3^{4}$ని సూక్ష్మీకరించడానికి ప్రయత్నిద్దాం?

అందువల్ల

$ \begin{aligned} 3^{7} \div 3^{4} & =\frac{3^{7}}{3^{4}}=\frac{3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3}{3 \times 3 \times 3 \times 3} \\ & =3 \times 3 \times 3=3^{3}=3^{7-4} \end{aligned} $

(గమనిక, $3^{7}$ మరియు $3^{4}$లో ఆధారం ఒకేలా ఉంది మరియు $3^{7} \div 3^{4}$ అనేది $3^{7-4}$ అవుతుంది)

అదేవిధంగా,

లేదా

$ \begin{aligned} 5^{6} \div 5^{2} & =\frac{5^{6}}{5^{2}}=\frac{5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5}{5 \times 5} \\ & =5 \times 5 \times 5 \times 5=5^{4}=5^{6-2} \end{aligned} $

$a$ ఒక శూన్యేతర పూర్ణాంకం అనుకుందాం, అప్పుడు,

లేదా

$ \begin{aligned} & a^{4} \div a^{2}=\frac{a^{4}}{a^{2}}=\frac{a \times a \times a \times a}{a \times a}=a \times a=a^{2}=a^{4}{ }^{2} \\ & a^{4} \div a^{2}=a^{4-2} \end{aligned} $

ఇప్పుడు మీరు త్వరగా సమాధానం చెప్పగలరా?

$ \begin{aligned} 10^{8} \div 10^{3} & =10^{8-3}=10^{5} \\ 7^{9} \div 7^{6} & =7 \\ a^{8} \div a^{5} & =a \end{aligned} $

శూన్యేతర పూర్ణాంకాలు $b$ మరియు $c$ కోసం,

$ \begin{aligned} & b^{10} \div b^{5}=b^{\square} \\ & c^{100} \div c^{90}=c^{\square} \end{aligned} $

సాధారణంగా, ఏదైనా శూన్యేతర పూర్ణాంకం $a$ కోసం,

$ a^{m} \div a^{n}=a^{m-n} $

ఇక్కడ $m$ మరియు $n$ పూర్ణ సంఖ్యలు మరియు $m>n$.

ప్రయత్నించండి

సూక్ష్మీకరించి ఘాతీయ రూపంలో రాయండి: ఉదా.,$11^6 \div 11^2=11^4$

(i) $2^9 \div 2^3\qquad$ (ii) $10^8 \div 10^4$

(iii) $9^{11}\div 9^7\qquad$ (iv) $20^{15} \div 20^{13}$

(v) $7^{13} \div 7^{10}$

11.3.3 ఒక ఘాతం యొక్క ఘాతాన్ని తీసుకోవడం

కింది వాటిని పరిగణించండి

$(2^{3})^{2} ;(3^{2})^{4}$ని సూక్ష్మీకరించండి

ఇప్పుడు, $(2^{3})^{2}$ అంటే $2^{3}$ని రెండుసార్లు దానితో గుణించడం.

అందువల్ల

$ \begin{aligned} (2^{3})^{2} & =2^{3} \times 2^{3} \\ & =2^{3+3}(\text{ ఎందుకంటే } a^{m} \times a^{n}=a^{m+n}) \\ & =2^{6}=2^{3 \times 2} \end{aligned} $

అందువల్ల

$(2^{3})^{2}=2^{3 \times 2}$

అదేవిధంగా

$ \begin{aligned} (3^{2})^{4} & =3^{2} \times 3^{2} \times 3^{2} \times 3^{2} \\ & =3^{2+2+2+2} \\ & =3^{8}(\text{ గమనించండి } 8 \text{ అనేది } 2 \text{ మరియు } 4 \text{ ల లబ్ధం }) . \\ & =3^{2 \times 4} \end{aligned} $

$(7^{2})^{10}$ దేనికి సమానంగా ఉంటుందో మీరు చెప్పగలరా?

కాబట్టి

$ \begin{aligned} (2^{3})^{2} & =2^{3 \times 2}=2^{6} \\ (3^{2})^{4} & =3^{2 \times 4}=3^{8} \\ & =7^{2 \times 10}=7^{20} \end{aligned} $

$ \begin{aligned} (a^{2})^{3} & =a^{2 \times 3}=a^{6} \\ & =a^{m \times 3}=a^{3 m} \end{aligned} $

దీని నుండి మనం ఏదైనా శూన్యేతర పూర్ణాంకం ‘$a$’ కోసం సాధారణీకరించవచ్చు, ఇక్కడ ‘$m$’ మరియు ‘$n$’ పూర్ణ సంఖ్యలు,

$ (a^{m})^{n}=a^{m n} $

ప్రయత్నించండి

సూక్ష్మీకరించి సమాధానాన్ని ఘాతీయ రూపంలో రాయండి:

(i) $(6^{2})^{4}\qquad$ (ii) $(2^{2})^{100}$

(iii) $(7^{50})^{2}\qquad$ (iv) $(5^{3})^{7}$

ఉదాహరణ 7 ఏది ఎక్కువ $(5^{2}) \times 3$ లేదా $(5^{2})^{3}$ అని మీరు చెప్పగలరా?

సాధన

$(5^{2}) \times 3$ అంటే $5^{2}$ని 3తో గుణించడం అంటే $5 \times 5 \times 3=75$

కానీ $(5^{2})^{3}$ అంటే $5^{2}$ని దానితో మూడుసార్లు గుణించడం అంటే,

$ 5^{2} \times 5^{2} \times 5^{2}=5^{6}=15,625 $

అందువల్ల

$ (5^{2})^{3}>(5^{2}) \times 3 $

11.3.4 ఒకే ఘాతాంకాలు కలిగిన ఘాతాలను గుణించడం

మీరు $2^{3} \times 3^{3}$ని సూక్ష్మీకరించగలరా? ఇక్కడ రెండు పదాలు $2^{3}$ మరియు $3^{3}$ వేర్వేరు ఆధారాలను కలిగి ఉన్నాయి, కానీ ఘాతాంకాలు ఒకేలా ఉన్నాయని గమనించండి.

ఇప్పుడు,

$ \begin{aligned} 2^{3} \times 3^{3} & =(2 \times 2 \times 2) \times(3 \times 3 \times 3) \\ & =(2 \times 3) \times(2 \times 3) \times(2 \times 3) \\ & =6 \times 6 \times 6 \\ & =6^{3} \quad(\text{ గమనించండి } 6 \text{ అనేది ఆధారాలు } 2 \text{ మరియు } 3 \text{ ల లబ్ధం }) \\ & =(4 \times 4 \times 4 \times 4) \times(3 \times 3 \times 3 \times 3) \\ & =(4 \times 3) \times(4 \times 3) \times(4 \times 3) \times(4 \times 3) \\ & =12 \times 12 \times 12 \times 12 \end{aligned} $

$4^{4} \times 3^{4}$ని పరిగణించండి

$ =12^{4} $

$3^{2} \times a^{2}$ని కూడా పరిగణించండి

$ \begin{aligned} & =(3 \times 3) \times(a \times a) \\ & =(3 \times a) \times(3 \times a