११.१ परिचय

तुम्हाला पृथ्वीचे वस्तुमान किती आहे हे माहिती आहे का? ते

$5,970,000,000,000,000,000,000,000 kg$ आहे!

तुम्ही ही संख्या वाचू शकता का?

युरेनसचे वस्तुमान ८६,८००,०००,०००,०००,०००,०००,०००,००० किलो आहे.

पृथ्वी आणि युरेनस यात कोणाचे वस्तुमान जास्त आहे?

सूर्य आणि शनि यामधील अंतर १,४३३,५००,०००,००० मीटर आहे आणि शनि आणि युरेनस यामधील अंतर $1,439,000,000,000 m$ आहे. तुम्ही या संख्या वाचू शकता का? कोणते अंतर कमी आहे?

या अतिशय मोठ्या संख्या वाचणे, समजून घेणे आणि तुलना करणे कठीण आहे. या संख्या सहज वाचता येण्याजोग्या, समजण्याजोग्या आणि तुलना करण्याजोग्या करण्यासाठी, आपण घातांक वापरतो. या प्रकरणात, आपण घातांकांबद्दल शिकू आणि ते कसे वापरायचे हे देखील शिकू.

११.२ घातांक

आपण घातांक वापरून मोठ्या संख्या लहान स्वरूपात लिहू शकतो.

$\quad 10,000=10 \times 10 \times 10 \times 10=10^{4}$ लक्षात घ्या

संक्षिप्त संकेत $10^{4}$ हा गुणाकार $10 \times 10 \times 10 \times 10$ साठी वापरला जातो. येथे ‘१०’ ला पाया आणि ‘४’ ला घातांक म्हणतात. संख्या $10^{4}$ ही १० ची ४ घात म्हणून वाचली जाते किंवा फक्त १० ची चौथी घात म्हणून वाचली जाते. $\mathbf{1 0 . 1 0 ^ { 4 }}$ ला १०,००० चे घातांकीय रूप म्हणतात.

आपण त्याचप्रमाणे १,००० ला १० ची घात म्हणून व्यक्त करू शकतो. लक्षात घ्या की

$ १०००=१० \times १० \times १०=१०^{३} $

येथे पुन्हा, $10^{3}$ हे १,००० चे घातांकीय रूप आहे.

त्याचप्रमाणे, $1,00,000=10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10=10^{5}$

$10^{5}$ हे $1,00,000$ चे घातांकीय रूप आहे

या दोन्ही उदाहरणांमध्ये, पाया १० आहे; $10^{3}$ च्या बाबतीत, घातांक ३ आहे आणि $10^{5}$ च्या बाबतीत घातांक ५ आहे.

आपण संख्यांचा विस्तारित स्वरूपात लेखन करताना $10,100,1000$ अशा संख्या वापरल्या आहेत. उदाहरणार्थ, $47561=4 \times 10000+7 \times 1000+5 \times 100+6 \times 10+1$

हे $4 \times 10^{4}+7 \times 10^{3}+5 \times 10^{2}+6 \times 10+1$ असे लिहिता येते.

$172,5642,6374$ अशाच प्रकारे या संख्या लिहिण्याचा प्रयत्न करा.

वरील सर्व उदाहरणांमध्ये, आपण अशा संख्या पाहिल्या आहेत ज्यांचा पाया १० आहे. तथापि, पाया कोणतीही अन्य संख्या देखील असू शकतो. उदाहरणार्थ:

$81=3 \times 3 \times 3 \times 3$ ला $81=3^{4}$ असे लिहिता येते, येथे ३ हा पाया आहे आणि ४ हा घातांक आहे.

काही घातांकांना विशेष नावे आहेत. उदाहरणार्थ,

$10^{2}$, जी १० ची २ घात आहे, तिला ‘१० चा वर्ग’ असेही वाचतात आणि

$10^{3}$, जी १० ची ३ घात आहे, तिला ‘१० चा घन’ असेही वाचतात.

$5^{3}$ (५ चा घन) म्हणजे काय तुम्ही सांगू शकता?

$ ५^{३}=५ \times ५ \times ५=१२५ $

म्हणून, आपण असे म्हणू शकतो की १२५ ही ५ ची तिसरी घात आहे.

$5^{3}$ मध्ये घातांक आणि पाया काय आहे?

त्याचप्रमाणे, $2^{5}=2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2=32$, जी २ ची पाचवी घात आहे.

$2^{5}, 2$ मध्ये पाया आहे आणि ५ हा घातांक आहे.

त्याच प्रकारे,

$ \begin{aligned} २४३ & =३ \times ३ \times ३ \times ३ \times ३=३^{५} \\ ६४ & =२ \times २ \times २ \times २ \times २ \times २=२^{६} \\ ६२५ & =५ \times ५ \times ५ \times ५=५^{४} \end{aligned} $

प्रयत्न करा

अशी आणखी पाच उदाहरणे शोधा, जिथे एखादी संख्या घातांकीय स्वरूपात व्यक्त केली आहे. तसेच प्रत्येक बाबतीत पाया आणि घातांक ओळखा.

जेव्हा पाया ऋण पूर्णांक असतो तेव्हा देखील तुम्ही लेखनाचा हा मार्ग वाढवू शकता.

$(-2)^{3}$ म्हणजे काय?

ते $\quad(-2)^{3}=(-2) \times(-2) \times(-2)=-8$ आहे

$\quad(-2)^{4}=16$ आहे का? ते तपासा.

एक निश्चित संख्या घेण्याऐवजी आपण कोणताही पूर्णांक $a$ पाया म्हणून घेऊ आणि संख्या अशाप्रकारे लिहू,

$ \begin{aligned} a \times a & =a^{2}(\text{ ‘a चा वर्ग’ किंवा ‘a ची २ घात’ असे वाचा }) \\ a \times a \times a & =a^{3}(\text{ ‘a चा घन’ किंवा ‘a ची ३ घात’ असे वाचा }) \\ a \times a \times a \times a & =a^{4}(\text{ a ची ४ घात किंवा a ची चौथी घात असे वाचा }) \end{aligned} $

$a \times a \times a \times a \times a \times a \times a=a^{7}($ ला $a$ ची ७ घात किंवा $.a)$ ची $7^{\text{th }}$ घात असे वाचा आणि असेच पुढे.

$a \times a \times a \times b \times b$ ला $a^{3} b^{2}$ असे व्यक्त करता येते ($a$ चा घन $b$ चा वर्ग असे वाचा)

प्रयत्न करा

व्यक्त करा:

(i) ७२९ ला ३ ची घात म्हणून

(ii) १२८ ला २ ची घात म्हणून

(iii) ३४३ ला ७ ची घात म्हणून $a \times a \times b \times b \times b \times b$ ला $a^{2} b^{4}$ असे व्यक्त करता येते ($a$ चा वर्ग गुणिले $b$ ची ४ घात असे वाचा).

उदाहरण १ २५६ ला २ ची घात म्हणून व्यक्त करा.

उकल

आपल्याकडे $256=2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2$ आहे.

म्हणून आपण असे म्हणू शकतो की $256=2^{8}$

उदाहरण २ $2^{3}$ आणि $3^{2}$ यात कोणती संख्या मोठी आहे?

उकल आपल्याकडे, $2^{3}=2 \times 2 \times 2=8$ आणि $3^{2}=3 \times 3=9$ आहे.

$9>8$ पासून, म्हणून, $3^{2}$ ही $2^{3}$ पेक्षा मोठी आहे

उदाहरण ३ $8^{2}$ आणि $2^{8}$ यात कोणती संख्या मोठी आहे?

उकल

$\quad 8^{2}=8 \times 8=64$ $2^{8}=2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2=256$

स्पष्टपणे, $\quad 2^{8}>8^{2}$

उदाहरण ४ $a^{3} b^{2}, a^{2} b^{3}, b^{2} a^{3}, b^{3} a^{2}$ चा विस्तार करा. त्या सर्व समान आहेत का?

उकल

$a^{3} b^{2}=a^{3} \times b^{2}$

$ \begin{aligned} & =(a \times a \times a) \times(b \times b) \\ & =a \times a \times a \times b \times b \\ a^{2} b^{3} & =a^{2} \times b^{3} \\ & =a \times a \times b \times b \times b \\ b^{2} a^{3} & =b^{2} \times a^{3} \\ & =b \times b \times a \times a \times a \\ b^{3} a^{2} & =b^{3} \times a^{2} \\ & =b \times b \times b \times a \times a \end{aligned} $

लक्षात घ्या की $a^{3} b^{2}$ आणि $a^{2} b^{3}$ या पदांमध्ये $a$ आणि $b$ च्या घातांक वेगवेगळे आहेत. अशाप्रकारे $a^{3} b^{2}$ आणि $a^{2} b^{3}$ वेगवेगळे आहेत.

दुसरीकडे, $a^{3} b^{2}$ आणि $b^{2} a^{3}$ समान आहेत, कारण या दोन पदांमध्ये $a$ आणि $b$ चे घातांक समान आहेत. घटकांचा क्रम महत्त्वाचा नाही.

अशाप्रकारे, $a^{3} b^{2}=a^{3} \times b^{2}=b^{2} \times a^{3}=b^{2} a^{3}$. त्याचप्रमाणे, $a^{2} b^{3}$ आणि $b^{3} a^{2}$ समान आहेत.

उदाहरण ५ खालील संख्यांना मूळ अवयवांच्या घातांचा गुणाकार म्हणून व्यक्त करा:

(i) ७२

(ii) ४३२

(iii) १०००

(iv) १६०००

उकल

(i) $72=2 \times 36=2 \times 2 \times 18$

$ \begin{aligned} & =२ \times २ \times २ \times ९ \\ & =२ \times २ \times २ \times ३ \times ३=२^{३} \times ३^{२} \end{aligned} $

अशाप्रकारे, $72=2^{3} \times 3^{2} \quad$ (आवश्यक मूळ अवयव गुणाकार रूप)

$\begin{array}{l|l} २ & ७२ \\ \hline २ & ३६ \\ \hline २ & १८ \\ \hline ३ & ९ \\ \hline & ३ \end{array}$

(ii) $432=2 \times 216=2 \times 2 \times 108=2 \times 2 \times 2 \times 54$

$ \begin{aligned} & =२ \times २ \times २ \times २ \times २७=२ \times २ \times २ \times २ \times ३ \times ९ \\ & =२ \times २ \times २ \times २ \times ३ \times ३ \times ३ \end{aligned} $

किंवा $\quad 432=2^{4} \times 3^{3}$

(आवश्यक रूप)

(iii) $1000=2 \times 500=2 \times 2 \times 250=2 \times 2 \times 2 \times 125$

$ =२ \times २ \times २ \times ५ \times २५=२ \times २ \times २ \times ५ \times ५ \times ५ $

किंवा

$ १०००=२^{३} \times ५^{३} $

अतुल हे उदाहरण दुसर्या मार्गाने सोडवू इच्छितो:

$ \begin{aligned} १००० & =१० \times १००=१० \times १० \times १० \\ & =(२ \times ५) \times(२ \times ५) \times(२ \times ५) \quad(\text{ कारण } १०=२ \times ५) \\ & =२ \times ५ \times २ \times ५ \times २ \times ५=२ \times २ \times २ \times ५ \times ५ \times ५ \end{aligned} $

किंवा

$ १०००=२^{३} \times ५^{३} $

अतुलची पद्धत बरोबर आहे का?

$ \begin{aligned} & \text{ (iv) } १६,०००=१६ \times १०००=(२ \times २ \times २ \times २) \times १०००=२^{४} \times १०^{३} \text{ (कारण } १६=२ \times २ \times २ \times २) \\ & =(२ \times २ \times २ \times २) \times(२ \times २ \times २ \times ५ \times ५ \times ५)=२^{४} \times २^{३} \times ५^{३} \\ & (\text{ कारण } १०००=२ \times २ \times २ \times ५ \times ५ \times ५) \\ & =(२ \times २ \times २ \times २ \times २ \times २ \times २) \times(५ \times ५ \times ५) \\ & \text{ किंवा, } \quad १६,०००=२^{७} \times ५^{३} \end{aligned} $

उदाहरण ६ $(1)^{5},(-1)^{3},(-1)^{4},(-10)^{3},(-5)^{4}$ ची गणना करा.

उकल

(i) आपल्याकडे $(1)^{5}=1 \times 1 \times 1 \times 1 \times 1=1$ आहे

खरेतर, तुम्हाला हे जाणवेल की १ ची कोणतीही घात १ असते.

(ii) $(-1)^{3}=(-1) \times(-1) \times(-1)=1 \times(-1)=-1$

(iii) $(-1)^{4}=(-1) \times(-1) \times(-1) \times(-1)=1 \times 1=1$

$\begin{array}{|ll|} \hline(-१)^{\text{विषम संख्या }} & =-१ \\ (-१)^{\text{सम संख्या }} & =+१ \\ \hline \end{array}$

तुम्ही तपासू शकता की $(-1)$ ची कोणतीही विषम घात $(-1)$ असते,

आणि $(-1)$ ची कोणतीही सम घात $(+1)$ असते.

(iv) $(-10)^{3}=(-10) \times(-10) \times(-10)=100 \times(-10)=-1000$

(v) $(-5)^{4}=(-5) \times(-5) \times(-5) \times(-5)=25 \times 25=625$

क्रियाकलाप ११.१

१. ची किंमत शोधा:

(i) $2^{6}$

(ii) $9^{3}$

(iii) $11^{2}$

(iv) $5^{4}$

२. खालील घातांकीय स्वरूपात व्यक्त करा:

(i) $6 \times 6 \times 6 \times 6$

(ii) $t \times t$

(iii) $b \times b \times b \times b$

(iv) $5 \times 5 \times 7 \times 7 \times 7$

(v) $2 \times 2 \times a \times a$

(vi) $a \times a \times a \times c \times c \times c \times c \times d$

३. खालील प्रत्येक संख्या घातांकीय संकेतन वापरून व्यक्त करा:

(i) ५१२

(ii) ३४३

(iii) ७२९

(iv) ३१२५

४. खालील प्रत्येकामध्ये, जिथे शक्य असेल तिथे मोठी संख्या ओळखा?

(i) $4^{3}$ किंवा $3^{4}$

(ii) $5^{3}$ किंवा $3^{5}$

(iii) $2^{8}$ किंवा $8^{2}$

(iv) $100^{2}$ किंवा $2^{100}$

(v) $2^{10}$ किंवा $10^{2}$

५. खालील प्रत्येक संख्येचे त्यांच्या मूळ अवयवांच्या घातांचा गुणाकार म्हणून व्यक्त करा:

(i) ६४८

(ii) ४०५

(iii) ५४०

(iv) ३,६००

६. सरळरूप द्या:

(i) $2 \times 10^{3}$

(ii) $7^{2} \times 2^{2}$

(iii) $2^{3} \times 5$

(iv) $3 \times 4^{4}$

(v) $0 \times 10^{2}$

(vi) $5^{2} \times 3^{3}$

(vii) $2^{4} \times 3^{2}$

(viii) $3^{2} \times 10^{4}$

७. सरळरूप द्या:

(i) $(-4)^{3}$

(ii) $(-3) \times(-2)^{3}$

(iii) $(-3)^{2} \times(-5)^{2}$

(iv) $(-2)^{3} \times(-10)^{3}$

८. खालील संख्यांची तुलना करा:

(i) $2.7 \times 10^{12} ; 1.5 \times 10^{8}$

(ii) $4 \times 10^{14} ; 3 \times 10^{17}$

११.३ घातांकांचे नियम

११.३.१ समान पाया असलेल्या घातांचा गुणाकार

(i) $2^{2} \times 2^{3}$ ची गणना करूया

$ \begin{aligned} २^{२} \times २^{३} & =(२ \times २) \times(२ \times २ \times २) \\ & =२ \times २ \times २ \times २ \times २=२^{५}=२^{२+३} \end{aligned} $

लक्षात घ्या की $2^{2}$ आणि $2^{3}$ मधील पाया समान आहे आणि घातांकांची बेरीज, म्हणजे २ आणि ३ ही ५ आहे

(ii) $(-3)^{4} \times(-3)^{3}=[(-3) \times(-3) \times(-3) \times(-3)] \times[(-3) \times(-3) \times(-3)]$

$ \begin{aligned} & =(-३) \times(-३) \times(-३) \times(-३) \times(-३) \times(-३) \times(-३) \\ & =(-३)^{७} \\ & =(-३)^{४+३} \end{aligned} $

पुन्हा, लक्षात घ्या की पाया समान आहे आणि घातांकांची बेरीज, म्हणजे ४ आणि ३, ही ७ आहे

(iii) $a^{2} \times a^{4}=(a \times a) \times(a \times a \times a \times a)$

$ =a \times a \times a \times a \times a \times a=a^{६} $

(टीप: पाया समान आहे आणि घातांकांची बेरीज $2+4=6$ आहे)

त्याचप्रमाणे, सत्यापित करा:

$ \begin{aligned} & ४^{२} \times ४^{२}=४^{२+२} \\ & ३^{२} \times ३^{३}=३^{२+३} \end{aligned} $

तुम्ही योग्य संख्या चौकटीत लिहू शकता का.

$ \begin{aligned} & (-११)^{२} \times(-११)^{६}=\quad(-११) \square \\ & b^{२} \times b^{३}=b \square \text{ (लक्षात ठेवा, पाया समान आहे; } b \text{ कोणताही पूर्णांक आहे). } \\ & c^{३} \times c^{४}=c \text{ (c कोणताही पूर्णांक आहे) } \\ & d^{१०} \times d^{२०}=d^{\square} \end{aligned} $

यावरून आपण सामान्यीकरण करू शकतो की कोणत्याही शून्येतर पूर्णांक $a$ साठी, जिथे $m$ आणि $n$ हे पूर्ण संख्या आहेत,

$\begin{array}{|ll|} \hline a^{m} \times a^{n}=a^{m+n} \\ \hline \end{array}$

प्रयत्न करा

सरळरूप द्या आणि घातांकीय स्वरूपात लिहा:

(i) $2^{5} \times 2^{3}$

(ii) $p^{3} \times p^{2}$

(iii) $4^{3} \times 4^{2}$

(iv) $a^{3} \times a^{2} \times a^{7}$

(v) $5^{3} \times 5^{7} \times 5^{12}$

(vi) $(-4)^{100} \times(-4)^{20}$

सावधान!

$2^{3} \times 3^{2}$ विचारात घ्या

तुम्ही घातांक जोडू शकता का? नाही! तुम्हाला ‘का’ समजते का? $2^{3}$ चा पाया २ आहे आणि $3^{2}$ चा पाया ३ आहे. पाया समान नाहीत.

११.३.२ समान पाया असलेल्या घातांचा भागाकार

$3^{7} \div 3^{4}$ सरळ करूया?

अशाप्रकारे

$ \begin{aligned} ३^{७} \div ३^{४} & =\frac{३^{७}}{३^{४}}=\frac{३ \times ३ \times ३ \times ३ \times ३ \times ३ \times ३}{३ \times ३ \times ३ \times ३} \\ & =३ \times ३ \times ३=३^{३}=३^{७-४} \end{aligned} $

(टीप, $3^{7}$ आणि $3^{4}$ मध्ये पाया समान आहे आणि $3^{7} \div 3^{4}$ हे $3^{7-4}$ होते)

त्याचप्रमाणे,

किंवा

$ \begin{aligned} ५^{६} \div ५^{२} & =\frac{५^{६}}{५^{२}}=\frac{५ \times ५ \times ५ \times ५ \times ५ \times ५}{५ \times ५} \\ & =५ \times ५ \times ५ \times ५=५^{४}=५^{६-२} \end{aligned} $

$a$ हा शून्येतर पूर्णांक असू द्या, तर,

किंवा

$ \begin{aligned} & a^{४} \div a^{२}=\frac{a^{४}}{a^{२}}=\frac{a \times a \times a \times a}{a \times a}=a \times a=a^{२}=a^{४}{ }^{२} \\ & a^{४} \div a^{२}=a^{४-२} \end{aligned} $

आता तुम्ही पटकन उत्तर देऊ शकता?

$ \begin{aligned} १०^{८} \div १०^{३} & =१०^{८-३}=१०^{५} \\ ७^{९} \div ७^{६} & =७ \\ a^{८} \div a^{५} & =a \end{aligned} $

शून्येतर पूर्णांक $b$ आणि $c$ साठी,

$ \begin{aligned} & b^{१०} \div b^{५}=b^{\square} \\ & c^{१००} \div c^{९०}=c^{\square} \end{aligned} $

सामान्यतः, कोणत्याही शून्येतर पूर्णांक $a$ साठी,

$ a^{m} \div a^{n}=a^{m-n} $

जिथे $m$ आणि $n$ हे पूर्ण संख्या आहेत आणि $m>n$.

प्रयत्न करा

सरळरूप द्या आणि घातांकीय स्वरूपात लिहा: उदा.,$11^6 \div 11^2=11^4$

(i) $2^9 \div 2^3\qquad$ (ii) $10^8 \div 10^4$

(iii) $9^{11}\div 9^7\qquad$ (iv) $20^{15} \div 20^{13}$

(v) $7^{13} \div 7^{10}$

११.३.३ घाताची घात

खालील गोष्टी विचारात घ्या

$(2^{3})^{2} ;(3^{2})^{4}$ सरळ करा

आता, $(2^{3})^{2}$ म्हणजे $2^{3}$ ही स्वतःशी दोन वेळा गुणली जाते.

अशाप्रकारे

$ \begin{aligned} (२^{३})^{२} & =२^{३} \times २^{३} \\ & =२^{३+३}(\text{ कारण } a^{m} \times a^{n}=a^{m+n}) \\ & =२^{६}=२^{३ \times २} \end{aligned} $

अशाप्रकारे

$(2^{3})^{2}=2^{3 \times 2}$

त्याचप्रमाणे

$ \begin{aligned} (३^{२})^{४} & =३^{२} \times ३^{२} \times ३^{२} \times ३^{२} \\ & =३^{२+२+२+२} \\ & =३^{८}(\text{ लक्षात घ्या ८ हा २ आणि ४ चा गुणाकार आहे }) . \\ & =३^{२ \times ४} \end{aligned} $

$(7^{2})^{10}$ कशाच्या समान असेल हे तुम्ही सांगू शकता का?

म्हणून

$ \begin{aligned} (२^{३})^{२} & =२^{३ \times २}=२^{६} \\ (३^{२})^{४} & =३^{२ \times ४}=३^{८} \\ & =७^{२ \times १०}=७^{२०} \end{aligned} $

$ \begin{aligned} (a^{२})^{३} & =a^{२ \times ३}=a^{६} \\ & =a^{m \times ३}=a^{३ m} \end{aligned} $

यावरून आपण कोणत्याही शून्येतर पूर्णांक ‘$a$’ साठी सामान्यीकरण करू शकतो, जिथे ‘$m$’ आणि ‘$n$’ हे पूर्ण संख्या आहेत,

$ (a^{m})^{n}=a^{m n} $

प्रयत्न करा

सरळरूप द्या आणि उत्तर घातांकीय स्वरूपात लिहा:

(i) $(6^{2})^{4}\qquad$ (ii) $(2^{2})^{100}$

(iii) $(7^{50})^{2}\qquad$ (iv) $(5^{3})^{7}$

उदाहरण ७ $(5^{2}) \times 3$ आणि $(5^{2})^{3}$ यात कोणती संख्या मोठी आहे हे तुम्ही सांगू शकता का?

उकल

$(5^{2}) \times 3$ म्हणजे $5^{2}$ ही ३ ने गुणली जाते म्हणजेच $5 \times 5 \times 3=75$

परंतु $(5^{2})^{3}$ म्हणजे $5^{2}$ ही स्वतःशी तीन वेळा गुणली जाते म्हणजे,

$ ५^{२} \times ५^{२} \times ५^{२}=५^{६}=१५,६२५ $

म्हणून

$ (५^{२})^{३}>(५^{२}) \times ३ $

११.३.४ समान घातांक असलेल्या घातांचा गुणाकार

तुम्ही $2^{3} \times 3^{3}$ सरळ करू शकता का? लक्षात घ्या की येथे दोन पदे $2^{3}$ आणि $3^{3}$ चे पाया वेगवेगळे आहेत, परंतु घातांक समान आहेत.

आता,

$ \begin{aligned} २^{३} \times ३^{३} & =(२ \times २ \times २) \times(३ \times ३ \times ३) \\ & =(२ \times ३) \times(२ \times ३) \times(२ \times ३) \\ & =६ \times ६ \times ६ \\ & =६^{३} \quad(\text{ लक्षात घ्या ६ हा पाया २ आणि ३ चा गुणाकार आहे }) \\ & =(४ \times ४ \times ४ \times ४) \times(३ \times ३ \times ३ \times ३) \\ & =(४ \times ३) \times(४ \times ३) \times(४ \times ३) \times(४ \times ३) \\ & =१२ \times १२ \times १२ \times १२ \end{aligned} $

$4^{4} \times 3^{4}$ विचारात घ्या

$ =१२^{४} $

$3^{2} \times a^{2}$ देखील विचारात घ्या

$ \begin{aligned} & =(३ \times ३) \times(a \times a) \\ & =(३ \times a) \times(३ \times a) \\ & =(३ \times a)^{२} \\ & =(३ a)^{२} \quad(\text{ टीप: } ३ \times a=३ a) \\ & =(a \times a \times a \times a) \times(b \times b \times b \times b) \\ & =(a \times b) \times(a \times b) \times(a \times b) \times(a \times b) \\ & =(a \times b)^{४} \\ & =(a b)^{४} \quad(\text{ टीप } a \times b=a b) \end{aligned} $

$ \text{ त्याचप्रमाणे, } a^{४} \times b^{४}=(a \times a \times a \times a) \times(b \times b \times b \times b) $

सामान्यतः, कोणत्याही शून्येतर पूर्णांक $a$ साठी

$ a^{m} \times b^{m}=(a b)^{m} \quad \text{ (जिथे } m \text{ कोणतीही पूर्ण संख्या आहे) } $

प्रयत्न करा

$a^{m} \times b^{m}=(a b)^{m}$ वापरून दुसर्या स्वरूपात लिहा:

(i) $4^{3} \times 2^{3}$ (ii) $2^{5} \times b^{5}$

(iii) $a^{2} \times t^{2}$

(iv) $5^{6} \times(-2)^{6}$

(v) $(-2)^{4} \times(-3)^{4}$

उदाहरण ८ खालील पदे घातांकीय स्वरूपात व्यक्त करा:

(i) $(2 \times 3)^{5}$

(ii) $(2 a)^{4}$

(iii) $(-4 m)^{3}$

उकल

(i)

$ \begin{aligned} (२ \times ३)^{५} & =(२ \times ३) \times(२ \times ३) \times(२ \times ३) \times(२ \times ३) \times(२ \times ३) \\ & =(२ \times २ \times २ \times २ \times २) \times(३ \times ३ \times ३ \times ३ \times ३) \\ & =२^{५} \times ३^{५} \end{aligned} $

(ii)

$ \begin{aligned} (२ a)^{४} & =२ a \times २ a \times २ a \times २ a \\ & =(२ \times २ \times २ \times २) \times(a \times a \times a \times a) \\ & =२^{४} \times a^{४} \end{aligned} $

(iii) $(-4 m)^{3}=(-4 \times m)^{3}$

$=(-4 \times m) \times(-4 \times m) \times(-4 \times m)$

$=(-4) \times(-4) \times(-4) \times(m \times m \times m)=(-4)^{3} \times(m)^{3}$

११.३.५ समान घातांक असलेल्या घातांचा भागाकार

खालील सरलीकरणे पाहा:

(i) $\frac{2^{4}}{3^{4}}=\frac{2 \times 2 \times 2 \times 2}{3 \times 3 \times 3 \times 3}=\frac{2}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{2}{3}=(\frac{2}{3})^{4}$

(ii) $\frac{a^{3}}{b^{3}}=\frac{a \times a \times a}{b \times b \times b}=\frac{a}{b} \times \frac{a}{b} \times \frac{a}{b}=(\frac{a}{b})^{3}$

या उदाहरणांवरून आपण सामान्यीकरण करू शकतो

$ a^{m} \div b^{m}=\frac{a^{m}}{b^{m}}=(\frac{a}{b})^{m} \text{ जिथे } a \text{ आणि } b \text{ कोणतेही शून्येतर पूर्णांक आहेत } $

आणि $m$ ही पूर्ण संख्या आहे.

प्रयत्न करा

$a^{m} \div b^{m}=(\frac{a}{b})^{m}$ वापरून दुसर्या स्वरूपात लिहा:

(i) $4^{5} \div 3^{5}$

(ii) $2^{5} \div b^{5}$

(iii) $(-2)^{3} \div b^{3}$

(iv) $p^{4} \div q^{4}$

(v) $5^{6} \div(-2)^{6}$

उदाहरण ९ विस्तार करा:

(i) $(\frac{3}{5})^{4}$

(ii) $(\frac{-4}{7})^{5}$

उकल

(i) $(\frac{3}{5})^{4}=\frac{3^{4}}{5^{4}}=\frac{3 \times 3 \times 3 \times 3}{5 \times 5 \times 5 \times 5}$

(ii) $(\frac{-4}{7})^{5}=\frac{(-4)^{5}}{7^{5}}=\frac{(-4) \times(-4) \times(-4) \times(-4) \times(-4)}{7 \times 7 \times 7 \times 7 \times 7}$

$a^0$ म्हणजे काय?

खालील नमुना पाहा:

$ \begin{aligned} २^{६} & =६४ \\ २^{५} & =३२ \\ २^{४} & =१६ \\ २^{३} & =८ \\ २^{२} & =? \\ २^{१} & =? \\ २^{०} & =? \end{aligned} $

तुम्ही फक्त नमुना अभ्यासून $2^{0}$ ची किंमत अंदाज लावू शकता!

तुम्हाला आढळेल की $2^{0}=1$

जर तुम्ही $3^{6}=729$ पासून सुरुवात करून वर दर्शविल्याप्रमाणे $3^{5}, 3^{4}, 3^{3}, \ldots$ इत्यादी शोधत गेलात, तर $3^{0}=$ काय असेल?

• शून्य घातांक असलेल्या संख्या

$\frac{3^{5}}{3^{5}}$ कशाच्या समान आहे हे तुम्ही सांगू शकता