11.1 પરિચય

શું તમે જાણો છો કે પૃથ્વીનું દળ કેટલું છે? તે છે

$5,970,000,000,000,000,000,000,000 kg$ !

શું તમે આ સંખ્યા વાંચી શકો છો?

યુરેનસનું દળ 86,800,000,000,000,000,000,000,000 kg છે.

પૃથ્વી અને યુરેનસમાંથી કોનું દળ વધારે છે?

સૂર્ય અને શનિ વચ્ચેનું અંતર 1,433,500,000,000 m છે અને શનિ અને યુરેનસ વચ્ચેનું અંતર $1,439,000,000,000 m$ છે. શું તમે આ સંખ્યાઓ વાંચી શકો છો? કયું અંતર ઓછું છે?

આ ખૂબ જ મોટી સંખ્યાઓ વાંચવી, સમજવી અને તુલના કરવી મુશ્કેલ છે. આ સંખ્યાઓને સરળતાથી વાંચવા, સમજવા અને તુલના કરવા માટે, આપણે ઘાતાંકનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. આ પ્રકરણમાં, આપણે ઘાતાંક વિશે શીખીશું અને તેમનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરવો તે પણ શીખીશું.

11.2 ઘાતાંક

આપણે મોટી સંખ્યાઓને ઘાતાંકનો ઉપયોગ કરીને ટૂંકા સ્વરૂપમાં લખી શકીએ છીએ.

$\quad 10,000=10 \times 10 \times 10 \times 10=10^{4}$ નો અવલોકન કરો

ટૂંકી સંકેત $10^{4}$ ગુણાકાર $10 \times 10 \times 10 \times 10$ માટે ઊભી રહે છે. અહીં ‘10’ ને આધાર કહેવામાં આવે છે અને ‘4’ ને ઘાતાંક કહેવામાં આવે છે. સંખ્યા $10^{4}$ ને 10 ની ઘાત 4 તરીકે વાંચવામાં આવે છે અથવા ફક્ત 10,000 ની ચોથી ઘાત તરીકે વાંચવામાં આવે છે. $\mathbf{1 0 . 1 0 ^ { 4 }}$ ને 10,000 નું ઘાતાંકીય સ્વરૂપ કહેવામાં આવે છે.

આપણે તે જ રીતે 1,000 ને 10 ની ઘાત તરીકે દર્શાવી શકીએ છીએ. નોંધ લો કે

$ 1000=10 \times 10 \times 10=10^{3} $

અહીં ફરીથી, $10^{3}$ એ 1,000 નું ઘાતાંકીય સ્વરૂપ છે.

તે જ રીતે, $1,00,000=10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10=10^{5}$

$10^{5}$ એ $1,00,000$ નું ઘાતાંકીય સ્વરૂપ છે

આ બંને ઉદાહરણોમાં, આધાર 10 છે; $10^{3}$ ના કિસ્સામાં, ઘાતાંક 3 છે અને $10^{5}$ ના કિસ્સામાં ઘાતાંક 5 છે.

વિસ્તૃત સ્વરૂપમાં સંખ્યાઓ લખતી વખતે આપણે $10,100,1000$ જેવી સંખ્યાઓનો ઉપયોગ કર્યો છે. ઉદાહરણ તરીકે, $47561=4 \times 10000+7 \times 1000+5 \times 100+6 \times 10+1$

આને $4 \times 10^{4}+7 \times 10^{3}+5 \times 10^{2}+6 \times 10+1$ તરીકે લખી શકાય છે.

આ જ રીતે આ સંખ્યાઓ લખવાનો પ્રયાસ કરો $172,5642,6374$.

ઉપર આપેલા તમામ ઉદાહરણોમાં, આપણે એવી સંખ્યાઓ જોઈ છે જેનો આધાર 10 છે. જો કે આધાર કોઈપણ અન્ય સંખ્યા પણ હોઈ શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે:

$81=3 \times 3 \times 3 \times 3$ ને $81=3^{4}$ તરીકે લખી શકાય છે, અહીં 3 આધાર છે અને 4 ઘાતાંક છે.

કેટલીક ઘાતોના ખાસ નામો છે. ઉદાહરણ તરીકે,

$10^{2}$, જે 10 ની ઘાત 2 છે, તેને ‘10 નો વર્ગ’ પણ વાંચવામાં આવે છે અને

$10^{3}$, જે 10 ની ઘાત 3 છે, તેને ‘10 નો ઘન’ પણ વાંચવામાં આવે છે.

શું તમે કહી શકો છો કે $5^{3}$ (5 નો ઘન) નો અર્થ શું છે?

$ 5^{3}=5 \times 5 \times 5=125 $

તેથી, આપણે કહી શકીએ કે 125 એ 5 ની ત્રીજી ઘાત છે.

$5^{3}$ માં ઘાતાંક અને આધાર શું છે?

તે જ રીતે, $2^{5}=2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2=32$, જે 2 ની પાંચમી ઘાત છે.

$2^{5}, 2$ માં આધાર છે અને 5 ઘાતાંક છે.

એ જ રીતે,

$ \begin{aligned} 243 & =3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3=3^{5} \\ 64 & =2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2=2^{6} \\ 625 & =5 \times 5 \times 5 \times 5=5^{4} \end{aligned} $

પ્રયાસ કરો

આવા પાંચ વધુ ઉદાહરણો શોધો, જ્યાં સંખ્યાને ઘાતાંકીય સ્વરૂપમાં દર્શાવવામાં આવી છે. દરેક કિસ્સામાં આધાર અને ઘાતાંકને પણ ઓળખો.

જ્યારે આધાર ઋણ પૂર્ણાંક હોય ત્યારે પણ તમે લખવાની આ રીતને વિસ્તૃત કરી શકો છો.

$(-2)^{3}$ નો અર્થ શું છે?

તે $\quad(-2)^{3}=(-2) \times(-2) \times(-2)=-8$ છે

શું $\quad(-2)^{4}=16$ છે? તે તપાસો.

ચાલો એક નિશ્ચિત સંખ્યા લેવાને બદલે કોઈપણ પૂર્ણાંક $a$ ને આધાર તરીકે લઈએ, અને સંખ્યાઓ આ રીતે લખીએ,

$ \begin{aligned} a \times a & =a^{2}(\text{ ‘a નો વર્ગ’ અથવા ‘a ની ઘાત 2’ તરીકે વાંચો }) \\ a \times a \times a & =a^{3}(\text{ ‘a નો ઘન’ અથવા ‘a ની ઘાત 3’ તરીકે વાંચો }) \\ a \times a \times a \times a & =a^{4}(\text{ a ની ઘાત 4 અથવા a ની 4 ઘાત તરીકે વાંચો }) \end{aligned} $

$a \times a \times a \times a \times a \times a \times a=a^{7}($ ને $a$ ની ઘાત 7 અથવા $.a)$ ની $7^{\text{th }}$ ઘાત તરીકે વાંચવામાં આવે છે અને તેથી આગળ.

$a \times a \times a \times b \times b$ ને $a^{3} b^{2}$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે ($a$ નો ઘન $b$ નો વર્ગ તરીકે વાંચો)

પ્રયાસ કરો

દર્શાવો:

(i) 729 ને 3 ની ઘાત તરીકે

(ii) 128 ને 2 ની ઘાત તરીકે

(iii) 343 ને 7 ની ઘાત તરીકે $a \times a \times b \times b \times b \times b$ ને $a^{2} b^{4}$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે ($a$ નો વર્ગ ગુણ્યા $b$ ની ઘાત 4 તરીકે વાંચો).

ઉદાહરણ 1 256 ને 2 ની ઘાત તરીકે દર્શાવો.

ઉકેલ

આપણી પાસે $256=2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2$ છે.

તેથી આપણે કહી શકીએ કે $256=2^{8}$

ઉદાહરણ 2 કઈ સંખ્યા મોટી છે $2^{3}$ અથવા $3^{2}$ ?

ઉકેલ આપણી પાસે, $2^{3}=2 \times 2 \times 2=8$ અને $3^{2}=3 \times 3=9$ છે.

$9>8$ હોવાથી, તેથી, $3^{2}$ એ $2^{3}$ કરતાં મોટી છે

ઉદાહરણ 3 કઈ સંખ્યા મોટી છે $8^{2}$ અથવા $2^{8}$ ?

ઉકેલ

$\quad 8^{2}=8 \times 8=64$ $2^{8}=2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2=256$

સ્પષ્ટ છે, $\quad 2^{8}>8^{2}$

ઉદાહરણ 4 $a^{3} b^{2}, a^{2} b^{3}, b^{2} a^{3}, b^{3} a^{2}$ નો વિસ્તાર કરો. શું તે બધા સમાન છે?

ઉકેલ

$a^{3} b^{2}=a^{3} \times b^{2}$

$ \begin{aligned} & =(a \times a \times a) \times(b \times b) \\ & =a \times a \times a \times b \times b \\ a^{2} b^{3} & =a^{2} \times b^{3} \\ & =a \times a \times b \times b \times b \\ b^{2} a^{3} & =b^{2} \times a^{3} \\ & =b \times b \times a \times a \times a \\ b^{3} a^{2} & =b^{3} \times a^{2} \\ & =b \times b \times b \times a \times a \end{aligned} $

નોંધ લો કે પદો $a^{3} b^{2}$ અને $a^{2} b^{3}$ ના કિસ્સામાં $a$ અને $b$ ની ઘાતો જુદી જુદી છે. આમ $a^{3} b^{2}$ અને $a^{2} b^{3}$ જુદા જુદા છે.

બીજી બાજુ, $a^{3} b^{2}$ અને $b^{2} a^{3}$ સમાન છે, કારણ કે આ બંને પદોમાં $a$ અને $b$ ની ઘાતો સમાન છે. અવયવોનો ક્રમ મહત્વનો નથી.

આમ, $a^{3} b^{2}=a^{3} \times b^{2}=b^{2} \times a^{3}=b^{2} a^{3}$. તે જ રીતે, $a^{2} b^{3}$ અને $b^{3} a^{2}$ સમાન છે.

ઉદાહરણ 5 નીચેની સંખ્યાઓને અવિભાજ્ય અવયવોની ઘાતોના ગુણાકાર તરીકે દર્શાવો:

(i) 72

(ii) 432

(iii) 1000

(iv) 16000

ઉકેલ

(i) $72=2 \times 36=2 \times 2 \times 18$

$ \begin{aligned} & =2 \times 2 \times 2 \times 9 \\ & =2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3=2^{3} \times 3^{2} \end{aligned} $

આમ, $72=2^{3} \times 3^{2} \quad$ (જરૂરી અવિભાજ્ય અવયવ ગુણાકાર સ્વરૂપ)

$\begin{array}{l|l} 2 & 72 \\ \hline 2 & 36 \\ \hline 2 & 18 \\ \hline 3 & 9 \\ \hline & 3 \end{array}$

(ii) $432=2 \times 216=2 \times 2 \times 108=2 \times 2 \times 2 \times 54$

$ \begin{aligned} & =2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 27=2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 9 \\ & =2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 \end{aligned} $

અથવા $\quad 432=2^{4} \times 3^{3}$

(જરૂરી સ્વરૂપ)

(iii) $1000=2 \times 500=2 \times 2 \times 250=2 \times 2 \times 2 \times 125$

$ =2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 25=2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5 \times 5 $

અથવા

$ 1000=2^{3} \times 5^{3} $

અતુલ આ ઉદાહરણ બીજી રીતે ઉકેલવા માંગે છે:

$ \begin{aligned} 1000 & =10 \times 100=10 \times 10 \times 10 \\ & =(2 \times 5) \times(2 \times 5) \times(2 \times 5) \quad(\text{ કારણ કે } 10=2 \times 5) \\ & =2 \times 5 \times 2 \times 5 \times 2 \times 5=2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5 \times 5 \end{aligned} $

અથવા

$ 1000=2^{3} \times 5^{3} $

શું અતુલની રીત સાચી છે?

$ \begin{aligned} & \text{ (iv) } .16,000=16 \times 1000=(2 \times 2 \times 2 \times 2) \times 1000=2^{4} \times 10^{3} \text{ (કારણ કે } 16=2 \times 2 \times 2 \times 2) \\ & =(2 \times 2 \times 2 \times 2) \times(2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5 \times 5)=2^{4} \times 2^{3} \times 5^{3} \\ & (\text{ કારણ કે } 1000=2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5 \times 5) \\ & =(2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2) \times(5 \times 5 \times 5) \\ & \text{ અથવા, } \quad 16,000=2^{7} \times 5^{3} \end{aligned} $

ઉદાહરણ 6 $(1)^{5},(-1)^{3},(-1)^{4},(-10)^{3},(-5)^{4}$ ની ગણતરી કરો.

ઉકેલ

(i) આપણી પાસે $(1)^{5}=1 \times 1 \times 1 \times 1 \times 1=1$ છે

હકીકતમાં, તમને સમજાશે કે 1 ની કોઈપણ ઘાત 1 છે.

(ii) $(-1)^{3}=(-1) \times(-1) \times(-1)=1 \times(-1)=-1$

(iii) $(-1)^{4}=(-1) \times(-1) \times(-1) \times(-1)=1 \times 1=1$

$\begin{array}{|ll|} \hline(-1)^{\text{યુગ્મ સંખ્યા }} & =-1 \\ (-1)^{\text{યુગ્મ સંખ્યા }} & =+1 \\ \hline \end{array}$

તમે તપાસી શકો છો કે $(-1)$ ની કોઈપણ અયુગ્મ ઘાત $(-1)$ છે,

અને $(-1)$ ની કોઈપણ યુગ્મ ઘાત $(+1)$ છે.

(iv) $(-10)^{3}=(-10) \times(-10) \times(-10)=100 \times(-10)=-1000$

(v) $(-5)^{4}=(-5) \times(-5) \times(-5) \times(-5)=25 \times 25=625$

કસરત 11.1

1. ની કિંમત શોધો:

(i) $2^{6}$

(ii) $9^{3}$

(iii) $11^{2}$

(iv) $5^{4}$

2. નીચેનાને ઘાતાંકીય સ્વરૂપમાં દર્શાવો:

(i) $6 \times 6 \times 6 \times 6$

(ii) $t \times t$

(iii) $b \times b \times b \times b$

(iv) $5 \times 5 \times 7 \times 7 \times 7$

(v) $2 \times 2 \times a \times a$

(vi) $a \times a \times a \times c \times c \times c \times c \times d$

3. નીચેની દરેક સંખ્યાઓને ઘાતાંકીય સંકેતનો ઉપયોગ કરીને દર્શાવો:

(i) 512

(ii) 343

(iii) 729

(iv) 3125

4. નીચેનામાંથી દરેકમાં, જ્યાં શક્ય હોય ત્યાં, મોટી સંખ્યા ઓળખો:

(i) $4^{3}$ અથવા $3^{4}$

(ii) $5^{3}$ અથવા $3^{5}$

(iii) $2^{8}$ અથવા $8^{2}$

(iv) $100^{2}$ અથવા $2^{100}$

(v) $2^{10}$ અથવા $10^{2}$

5. નીચેની દરેકને તેમના અવિભાજ્ય અવયવોની ઘાતોના ગુણાકાર તરીકે દર્શાવો:

(i) 648

(ii) 405

(iii) 540

(iv) 3,600

6. સાદું રૂપ આપો:

(i) $2 \times 10^{3}$

(ii) $7^{2} \times 2^{2}$

(iii) $2^{3} \times 5$

(iv) $3 \times 4^{4}$

(v) $0 \times 10^{2}$

(vi) $5^{2} \times 3^{3}$

(vii) $2^{4} \times 3^{2}$

(viii) $3^{2} \times 10^{4}$

7. સાદું રૂપ આપો:

(i) $(-4)^{3}$

(ii) $(-3) \times(-2)^{3}$

(iii) $(-3)^{2} \times(-5)^{2}$

(iv) $(-2)^{3} \times(-10)^{3}$

8. નીચેની સંખ્યાઓની તુલના કરો:

(i) $2.7 \times 10^{12} ; 1.5 \times 10^{8}$

(ii) $4 \times 10^{14} ; 3 \times 10^{17}$

11.3 ઘાતાંકના નિયમો

11.3.1 સમાન આધારવાળી ઘાતોનો ગુણાકાર

(i) ચાલો $2^{2} \times 2^{3}$ ની ગણતરી કરીએ

$ \begin{aligned} 2^{2} \times 2^{3} & =(2 \times 2) \times(2 \times 2 \times 2) \\ & =2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2=2^{5}=2^{2+3} \end{aligned} $

નોંધ લો કે $2^{2}$ અને $2^{3}$ માં આધાર સમાન છે અને ઘાતાંકોનો સરવાળો, એટલે કે, 2 અને 3 એ 5 છે

(ii) $(-3)^{4} \times(-3)^{3}=[(-3) \times(-3) \times(-3) \times(-3)] \times[(-3) \times(-3) \times(-3)]$

$ \begin{aligned} & =(-3) \times(-3) \times(-3) \times(-3) \times(-3) \times(-3) \times(-3) \\ & =(-3)^{7} \\ & =(-3)^{4+3} \end{aligned} $

ફરીથી, નોંધ લો કે આધાર સમાન છે અને ઘાતાંકોનો સરવાળો, એટલે કે, 4 અને 3 , 7 છે

(iii) $a^{2} \times a^{4}=(a \times a) \times(a \times a \times a \times a)$

$ =a \times a \times a \times a \times a \times a=a^{6} $

(નોંધ: આધાર સમાન છે અને ઘાતાંકોનો સરવાળો $2+4=6$ છે)

તે જ રીતે, ચકાસો:

$ \begin{aligned} & 4^{2} \times 4^{2}=4^{2+2} \\ & 3^{2} \times 3^{3}=3^{2+3} \end{aligned} $

શું તમે ખાનામાં યોગ્ય સંખ્યા લખી શકો છો?

$ \begin{aligned} & (-11)^{2} \times(-11)^{6}=\quad(-11) \square \\ & b^{2} \times b^{3}=b \square \text{ (યાદ રાખો, આધાર સમાન છે; } b \text{ કોઈપણ પૂર્ણાંક છે). } \\ & c^{3} \times c^{4}=c \text{ (c કોઈપણ પૂર્ણાંક છે) } \\ & d^{10} \times d^{20}=d^{\square} \end{aligned} $

આમાંથી આપણે સામાન્યીકરણ કરી શકીએ કે કોઈપણ શૂન્યેતર પૂર્ણાંક $a$ માટે, જ્યાં $m$ અને $n$ પૂર્ણ સંખ્યાઓ છે,

$\begin{array}{|ll|} \hline a^{m} \times a^{n}=a^{m+n} \\ \hline \end{array}$

પ્રયાસ કરો

સાદું રૂપ આપો અને ઘાતાંકીય સ્વરૂપમાં લખો:

(i) $2^{5} \times 2^{3}$

(ii) $p^{3} \times p^{2}$

(iii) $4^{3} \times 4^{2}$

(iv) $a^{3} \times a^{2} \times a^{7}$

(v) $5^{3} \times 5^{7} \times 5^{12}$

(vi) $(-4)^{100} \times(-4)^{20}$

સાવધાન!

$2^{3} \times 3^{2}$ નો વિચાર કરો

શું તમે ઘાતાંકો ઉમેરી શકો છો? ના! તમે જોઈ શકો છો ‘શા માટે’? $2^{3}$ નો આધાર 2 છે અને $3^{2}$ નો આધાર 3 છે. આધારો સમાન નથી.

11.3.2 સમાન આધારવાળી ઘાતોનો ભાગાકાર

ચાલો $3^{7} \div 3^{4}$ ને સાદું રૂપ આપીએ?

આમ

$ \begin{aligned} 3^{7} \div 3^{4} & =\frac{3^{7}}{3^{4}}=\frac{3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3}{3 \times 3 \times 3 \times 3} \\ & =3 \times 3 \times 3=3^{3}=3^{7-4} \end{aligned} $

(નોંધ, $3^{7}$ અને $3^{4}$ માં આધાર સમાન છે અને $3^{7} \div 3^{4}$ એ $3^{7-4}$ બને છે)

તે જ રીતે,

અથવા

$ \begin{aligned} 5^{6} \div 5^{2} & =\frac{5^{6}}{5^{2}}=\frac{5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5}{5 \times 5} \\ & =5 \times 5 \times 5 \times 5=5^{4}=5^{6-2} \end{aligned} $

$a$ ને શૂન્યેતર પૂર્ણાંક થવા દો, તો,

અથવા

$ \begin{aligned} & a^{4} \div a^{2}=\frac{a^{4}}{a^{2}}=\frac{a \times a \times a \times a}{a \times a}=a \times a=a^{2}=a^{4}{ }^{2} \\ & a^{4} \div a^{2}=a^{4-2} \end{aligned} $

હવે શું તમે ઝડપથી જવાબ આપી શકો છો?

$ \begin{aligned} 10^{8} \div 10^{3} & =10^{8-3}=10^{5} \\ 7^{9} \div 7^{6} & =7 \\ a^{8} \div a^{5} & =a \end{aligned} $

શૂન્યેતર પૂર્ણાંકો $b$ અને $c$ માટે,

$ \begin{aligned} & b^{10} \div b^{5}=b^{\square} \\ & c^{100} \div c^{90}=c^{\square} \end{aligned} $

સામાન્ય રીતે, કોઈપણ શૂન્યેતર પૂર્ણાંક $a$ માટે,

$ a^{m} \div a^{n}=a^{m-n} $

જ્યાં $m$ અને $n$ પૂર્ણ સંખ્યાઓ છે અને $m>n$.

પ્રયાસ કરો

સાદું રૂપ આપો અને ઘાતાંકીય સ્વરૂપમાં લખો: દા.ત.,$11^6 \div 11^2=11^4$

(i) $2^9 \div 2^3\qquad$ (ii) $10^8 \div 10^4$

(iii) $9^{11}\div 9^7\qquad$ (iv) $20^{15} \div 20^{13}$

(v) $7^{13} \div 7^{10}$

11.3.3 ઘાતની ઘાત

નીચેનાનો વિચાર કરો

$(2^{3})^{2} ;(3^{2})^{4}$ ને સાદું રૂપ આપો

હવે, $(2^{3})^{2}$ નો અર્થ છે કે $2^{3}$ બે વખત પોતાના સાથે ગુણાકાર થાય છે.

આમ

$ \begin{aligned} (2^{3})^{2} & =2^{3} \times 2^{3} \\ & =2^{3+3}(\text{ કારણ કે } a^{m} \times a^{n}=a^{m+n}) \\ & =2^{6}=2^{3 \times 2} \end{aligned} $

આમ

$(2^{3})^{2}=2^{3 \times 2}$

તે જ રીતે

$ \begin{aligned} (3^{2})^{4} & =3^{2} \times 3^{2} \times 3^{2} \times 3^{2} \\ & =3^{2+2+2+2} \\ & =3^{8}(\text{ નિરીક્ષણ કરો 8 એ 2 અને 4 નો ગુણાકાર છે }) . \\ & =3^{2 \times 4} \end{aligned} $

શું તમે કહી શકો છો કે $(7^{2})^{10}$ કેટલા બરાબર હશે?

તેથી

$ \begin{aligned} (2^{3})^{2} & =2^{3 \times 2}=2^{6} \\ (3^{2})^{4} & =3^{2 \times 4}=3^{8} \\ & =7^{2 \times 10}=7^{20} \end{aligned} $

$ \begin{aligned} (a^{2})^{3} & =a^{2 \times 3}=a^{6} \\ & =a^{m \times 3}=a^{3 m} \end{aligned} $

આમાંથી આપણે કોઈપણ શૂન્યેતર પૂર્ણાંક ‘$a$’ માટે સામાન્યીકરણ કરી શકીએ, જ્યાં ‘$m$’ અને ‘$n$’ પૂર્ણ સંખ્યાઓ છે,

$ (a^{m})^{n}=a^{m n} $

પ્રયાસ કરો

સાદું રૂપ આપો અને જવાબ ઘાતાંકીય સ્વરૂપમાં લખો:

(i) $(6^{2})^{4}\qquad$ (ii) $(2^{2})^{100}$

(iii) $(7^{50})^{2}\qquad$ (iv) $(5^{3})^{7}$

ઉદાહરણ 7 શું તમે કહી શકો છો કે કઈ સંખ્યા મોટી છે $(5^{2}) \times 3$ અથવા $(5^{2})^{3}$ ?

ઉકેલ

$(5^{2}) \times 3$ નો અર્થ છે કે $5^{2}$ ને 3 વડે ગુણાકાર કરવામાં આવે છે એટલે કે, $5 \times 5 \times 3=75$

પરંતુ $(5^{2})^{3}$ નો અર્થ છે કે $5^{2}$ પોતાના સાથે ત્રણ વખત ગુણાકાર થાય છે એટલે કે,

$ 5^{2} \times 5^{2} \times 5^{2}=5^{6}=15,625 $

તેથી

$ (5^{2})^{3}>(5^{2}) \times 3 $

11.3.4 સમાન ઘાતાંકવાળી ઘાતોનો ગુણાકાર

શું તમે $2^{3} \times 3^{3}$ ને સાદું રૂપ આપી શકો છો? નોંધ લો કે અહીં બે પદો $2^{3}$ અને $3^{3}$ ના આધાર જુદા જુદા છે, પરંતુ ઘાતાંક સમાન છે.

હવે,

$ \begin{aligned} 2^{3} \times 3^{3} & =(2 \times 2 \times 2) \times(3 \times 3 \times 3) \\ & =(2 \times 3) \times(2 \times 3) \times(2 \times 3) \\ & =6 \times 6 \times 6 \\ & =6^{3} \quad(\text{ નિરીક્ષણ કરો 6 એ આધારો 2 અને 3 નો ગુણાકાર છે }) \\ & =(4 \times 4 \times 4 \times 4) \times(3 \times 3 \times 3 \times 3) \\ & =(4 \times 3) \times(4 \times 3) \times(4 \times 3) \times(4 \times 3) \\ & =12 \times 12 \times 12 \times 12 \end{aligned} $

$4^{4} \times 3^{4}$ નો વિચાર કરો

$ =12^{4} $

$3^{2} \times a^{2}$ નો પણ વિચાર કરો

$ \begin{aligned} & =(3 \times 3) \times(a \times a) \\ & =(3 \times a) \times(3 \times a) \\ & =(3 \times a)^{2} \\ & =(3 a)^{2} \quad(\text{ નોંધ: } 3 \times a=3 a) \\ & =(a \times a \times a \times a) \times(b \times b \times b \times b) \\ & =(a \times b) \times(a \times b) \times(a \times b) \times(a \times b) \\ & =(a \times b)^{4} \\ & =(a b)^{4} \quad(\text{ નોંધ } a \times b=a b) \end{aligned} $

$ \text{ તે જ રીતે, } a^{4} \times b^{4}=(a \times a \times a \times a) \times(b \times b \times b \times b) $

સામાન્ય રીતે, કોઈપણ શૂન્યેતર પૂર્ણાંક $a$ માટે

$