11.1 تعارف

کیا آپ جانتے ہیں کہ زمین کا وزن کتنا ہے؟ یہ ہے

$5,970,000,000,000,000,000,000,000 kg$ !

کیا آپ یہ عدد پڑھ سکتے ہیں؟

یورینس کا وزن 86,800,000,000,000,000,000,000,000 کلوگرام ہے۔

زمین اور یورینس میں سے کس کا وزن زیادہ ہے؟

سورج اور زحل کے درمیان فاصلہ 1,433,500,000,000 میٹر ہے اور زحل اور یورینس کے درمیان فاصلہ $1,439,000,000,000 m$ ہے۔ کیا آپ یہ اعداد پڑھ سکتے ہیں؟ کون سا فاصلہ کم ہے؟

یہ بہت بڑے اعداد پڑھنے، سمجھنے اور موازنہ کرنے میں مشکل ہیں۔ ان اعداد کو آسان بنانے کے لیے، ہم اَس (exponents) کا استعمال کرتے ہیں۔ اس باب میں، ہم اَس کے بارے میں سیکھیں گے اور یہ بھی سیکھیں گے کہ انہیں کیسے استعمال کیا جاتا ہے۔

11.2 اَس

ہم بڑے اعداد کو اَس کا استعمال کرتے ہوئے مختصر شکل میں لکھ سکتے ہیں۔

$\quad 10,000=10 \times 10 \times 10 \times 10=10^{4}$ کو دیکھیں

مختصر علامت $10^{4}$ حاصل ضرب $10 \times 10 \times 10 \times 10$ کے لیے استعمال ہوتی ہے۔ یہاں ‘10’ کو اساس (base) کہتے ہیں اور ‘4’ کو اَس (exponent) کہتے ہیں۔ عدد $10^{4}$ کو 10 کی قوت 4 (10 raised to the power of 4) یا صرف 10 کی چوتھی قوت (fourth power of 10) پڑھا جاتا ہے۔ $\mathbf{1 0 . 1 0 ^ { 4 }}$ کو 10,000 کی اَسّی شکل (exponential form) کہتے ہیں۔

ہم اسی طرح 1,000 کو 10 کی قوت کے طور پر ظاہر کر سکتے ہیں۔ نوٹ کریں کہ

$ 1000=10 \times 10 \times 10=10^{3} $

یہاں پھر، $10^{3}$ 1,000 کی اَسّی شکل ہے۔

اسی طرح، $1,00,000=10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10=10^{5}$

$10^{5}$ $1,00,000$ کی اَسّی شکل ہے

ان دونوں مثالوں میں، اساس 10 ہے؛ $10^{3}$ کی صورت میں، اَس 3 ہے اور $10^{5}$ کی صورت میں اَس 5 ہے۔

ہم نے اعداد کو پھیلائی ہوئی شکل (expanded form) میں لکھتے وقت $10,100,1000$ جیسے اعداد استعمال کیے ہیں۔ مثال کے طور پر، $47561=4 \times 10000+7 \times 1000+5 \times 100+6 \times 10+1$

اسے $4 \times 10^{4}+7 \times 10^{3}+5 \times 10^{2}+6 \times 10+1$ کے طور پر لکھا جا سکتا ہے۔

ان اعداد کو اسی طرح لکھنے کی کوشش کریں $172,5642,6374$۔

اوپر دی گئی تمام مثالوں میں، ہم نے ایسے اعداد دیکھے ہیں جن کی اساس 10 ہے۔ تاہم اساس کوئی دوسرا عدد بھی ہو سکتا ہے۔ مثال کے طور پر:

$81=3 \times 3 \times 3 \times 3$ کو $81=3^{4}$ کے طور پر لکھا جا سکتا ہے، یہاں 3 اساس ہے اور 4 اَس ہے۔

کچھ قوتوں کے خاص نام ہیں۔ مثال کے طور پر،

$10^{2}$، جو 10 کی قوت 2 ہے، کو ‘10 مربع (10 squared)’ بھی پڑھا جاتا ہے اور

$10^{3}$، جو 10 کی قوت 3 ہے، کو ‘10 مکعب (10 cubed)’ بھی پڑھا جاتا ہے۔

کیا آپ بتا سکتے ہیں کہ $5^{3}$ (5 cubed) کا کیا مطلب ہے؟

$ 5^{3}=5 \times 5 \times 5=125 $

لہذا، ہم کہہ سکتے ہیں کہ 125، 5 کی تیسری قوت ہے۔

$5^{3}$ میں اَس اور اساس کیا ہے؟

اسی طرح، $2^{5}=2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2=32$، جو 2 کی پانچویں قوت ہے۔

$2^{5}, 2$ میں اساس ہے اور 5 اَس ہے۔

اسی طرح،

$ \begin{aligned} 243 & =3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3=3^{5} \\ 64 & =2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2=2^{6} \\ 625 & =5 \times 5 \times 5 \times 5=5^{4} \end{aligned} $

کوشش کریں

ایسی پانچ مزید مثالیں تلاش کریں، جہاں کسی عدد کو اَسّی شکل میں ظاہر کیا گیا ہو۔ نیز ہر صورت میں اساس اور اَس کی شناخت کریں۔

آپ اس طریقہ لکھائی کو اس وقت بھی بڑھا سکتے ہیں جب اساس ایک منفی عدد ہو۔

$(-2)^{3}$ کا کیا مطلب ہے؟

یہ ہے $\quad(-2)^{3}=(-2) \times(-2) \times(-2)=-8$

کیا $\quad(-2)^{4}=16$ ہے؟ اس کی جانچ کریں۔

ایک مقررہ عدد لینے کے بجائے، آئیے کوئی بھی عدد $a$ کو اساس کے طور پر لیں، اور اعداد کو اس طرح لکھیں،

$ \begin{aligned} a \times a & =a^{2}(\text{ ‘a مربع’ یا ‘a کی قوت 2’ پڑھیں }) \\ a \times a \times a & =a^{3}(\text{ ‘a مکعب’ یا ‘a کی قوت 3’ پڑھیں }) \\ a \times a \times a \times a & =a^{4}(\text{ a کی قوت 4 یا a کی چوتھی قوت پڑھیں }) \end{aligned} $

$a \times a \times a \times a \times a \times a \times a=a^{7}($ کو $a$ کی قوت 7 یا $.a)$ کی $7^{\text{th }}$ قوت پڑھا جاتا ہے، اور اسی طرح۔

$a \times a \times a \times b \times b$ کو $a^{3} b^{2}$ کے طور پر ظاہر کیا جا سکتا ہے ($a$ مکعب $b$ مربع پڑھیں)

کوشش کریں

ظاہر کریں:

(i) 729 کو 3 کی قوت کے طور پر

(ii) 128 کو 2 کی قوت کے طور پر

(iii) 343 کو 7 کی قوت کے طور پر $a \times a \times b \times b \times b \times b$ کو $a^{2} b^{4}$ کے طور پر ظاہر کیا جا سکتا ہے ($a$ مربع ضرب $b$ کی قوت 4 پڑھیں)۔

مثال 1 256 کو 2 کی قوت کے طور پر ظاہر کریں۔

حل

ہمارے پاس $256=2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2$ ہے۔

لہذا ہم کہہ سکتے ہیں کہ $256=2^{8}$

مثال 2 کون سا زیادہ ہے $2^{3}$ یا $3^{2}$؟

حل ہمارے پاس، $2^{3}=2 \times 2 \times 2=8$ اور $3^{2}=3 \times 3=9$ ہے۔

چونکہ $9>8$، لہذا، $3^{2}$ $2^{3}$ سے زیادہ ہے۔

مثال 3 کون سا زیادہ ہے $8^{2}$ یا $2^{8}$؟

حل

$\quad 8^{2}=8 \times 8=64$ $2^{8}=2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2=256$

واضح طور پر، $\quad 2^{8}>8^{2}$

مثال 4 $a^{3} b^{2}, a^{2} b^{3}, b^{2} a^{3}, b^{3} a^{2}$ کو پھیلائیں۔ کیا یہ سب ایک جیسے ہیں؟

حل

$a^{3} b^{2}=a^{3} \times b^{2}$

$ \begin{aligned} & =(a \times a \times a) \times(b \times b) \\ & =a \times a \times a \times b \times b \\ a^{2} b^{3} & =a^{2} \times b^{3} \\ & =a \times a \times b \times b \times b \\ b^{2} a^{3} & =b^{2} \times a^{3} \\ & =b \times b \times a \times a \times a \\ b^{3} a^{2} & =b^{3} \times a^{2} \\ & =b \times b \times b \times a \times a \end{aligned} $

نوٹ کریں کہ $a^{3} b^{2}$ اور $a^{2} b^{3}$ کی صورت میں $a$ اور $b$ کی قوتیں مختلف ہیں۔ اس طرح $a^{3} b^{2}$ اور $a^{2} b^{3}$ مختلف ہیں۔

دوسری طرف، $a^{3} b^{2}$ اور $b^{2} a^{3}$ ایک جیسے ہیں، کیونکہ ان دو اصطلاحات میں $a$ اور $b$ کی قوتیں ایک جیسی ہیں۔ عوامل کی ترتیب اہم نہیں ہے۔

اس طرح، $a^{3} b^{2}=a^{3} \times b^{2}=b^{2} \times a^{3}=b^{2} a^{3}$۔ اسی طرح، $a^{2} b^{3}$ اور $b^{3} a^{2}$ ایک جیسے ہیں۔

مثال 5 درج ذیل اعداد کو اولی عوامل کی قوتوں کے حاصل ضرب کے طور پر ظاہر کریں:

(i) 72

(ii) 432

(iii) 1000

(iv) 16000

حل

(i) $72=2 \times 36=2 \times 2 \times 18$

$ \begin{aligned} & =2 \times 2 \times 2 \times 9 \\ & =2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3=2^{3} \times 3^{2} \end{aligned} $

اس طرح، $72=2^{3} \times 3^{2} \quad$ (مطلوبہ اولی عامل حاصل ضرب شکل)

$\begin{array}{l|l} 2 & 72 \\ \hline 2 & 36 \\ \hline 2 & 18 \\ \hline 3 & 9 \\ \hline & 3 \end{array}$

(ii) $432=2 \times 216=2 \times 2 \times 108=2 \times 2 \times 2 \times 54$

$ \begin{aligned} & =2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 27=2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 9 \\ & =2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 \end{aligned} $

یا $\quad 432=2^{4} \times 3^{3}$

(مطلوبہ شکل)

(iii) $1000=2 \times 500=2 \times 2 \times 250=2 \times 2 \times 2 \times 125$

$ =2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 25=2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5 \times 5 $

یا

$ 1000=2^{3} \times 5^{3} $

اتل اس مثال کو دوسرے طریقے سے حل کرنا چاہتا ہے:

$ \begin{aligned} 1000 & =10 \times 100=10 \times 10 \times 10 \\ & =(2 \times 5) \times(2 \times 5) \times(2 \times 5) \quad(\text{ چونکہ } 10=2 \times 5) \\ & =2 \times 5 \times 2 \times 5 \times 2 \times 5=2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5 \times 5 \end{aligned} $

یا

$ 1000=2^{3} \times 5^{3} $

کیا اتل کا طریقہ درست ہے؟

$ \begin{aligned} & \text{ (iv) } .16,000=16 \times 1000=(2 \times 2 \times 2 \times 2) \times 1000=2^{4} \times 10^{3} \text{ (کیونکہ } 16=2 \times 2 \times 2 \times 2) \\ & =(2 \times 2 \times 2 \times 2) \times(2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5 \times 5)=2^{4} \times 2^{3} \times 5^{3} \\ & (\text{ چونکہ } 1000=2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5 \times 5) \\ & =(2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2) \times(5 \times 5 \times 5) \\ & \text{ یا، } \quad 16,000=2^{7} \times 5^{3} \end{aligned} $

مثال 6 $(1)^{5},(-1)^{3},(-1)^{4},(-10)^{3},(-5)^{4}$ کا حساب لگائیں۔

حل

(i) ہمارے پاس $(1)^{5}=1 \times 1 \times 1 \times 1 \times 1=1$ ہے۔

درحقیقت، آپ کو احساس ہوگا کہ 1 کی کسی بھی قوت 1 ہوتی ہے۔

(ii) $(-1)^{3}=(-1) \times(-1) \times(-1)=1 \times(-1)=-1$

(iii) $(-1)^{4}=(-1) \times(-1) \times(-1) \times(-1)=1 \times 1=1$

$\begin{array}{|ll|} \hline(-1)^{\text {طاق عدد }} & =-1 \\ (-1)^{\text {جفت عدد }} & =+1 \\ \hline \end{array}$

آپ چیک کر سکتے ہیں کہ $(-1)$ کی کسی بھی طاق قوت کا نتیجہ $(-1)$ ہوتا ہے،

اور $(-1)$ کی کسی بھی جفت قوت کا نتیجہ $(+1)$ ہوتا ہے۔

(iv) $(-10)^{3}=(-10) \times(-10) \times(-10)=100 \times(-10)=-1000$

(v) $(-5)^{4}=(-5) \times(-5) \times(-5) \times(-5)=25 \times 25=625$

مشق 11.1

1. قدر معلوم کریں:

(i) $2^{6}$

(ii) $9^{3}$

(iii) $11^{2}$

(iv) $5^{4}$

2. درج ذیل کو اَسّی شکل میں ظاہر کریں:

(i) $6 \times 6 \times 6 \times 6$

(ii) $t \times t$

(iii) $b \times b \times b \times b$

(iv) $5 \times 5 \times 7 \times 7 \times 7$

(v) $2 \times 2 \times a \times a$

(vi) $a \times a \times a \times c \times c \times c \times c \times d$

3. درج ذیل میں سے ہر عدد کو اَسّی علامت کے استعمال سے ظاہر کریں:

(i) 512

(ii) 343

(iii) 729

(iv) 3125

4. جہاں ممکن ہو، درج ذیل میں سے ہر ایک میں بڑا عدد شناخت کریں؟

(i) $4^{3}$ یا $3^{4}$

(ii) $5^{3}$ یا $3^{5}$

(iii) $2^{8}$ یا $8^{2}$

(iv) $100^{2}$ یا $2^{100}$

(v) $2^{10}$ یا $10^{2}$

5. درج ذیل میں سے ہر ایک کو ان کے اولی عوامل کی قوتوں کے حاصل ضرب کے طور پر ظاہر کریں:

(i) 648

(ii) 405

(iii) 540

(iv) 3,600

6. سادہ کریں:

(i) $2 \times 10^{3}$

(ii) $7^{2} \times 2^{2}$

(iii) $2^{3} \times 5$

(iv) $3 \times 4^{4}$

(v) $0 \times 10^{2}$

(vi) $5^{2} \times 3^{3}$

(vii) $2^{4} \times 3^{2}$

(viii) $3^{2} \times 10^{4}$

7. سادہ کریں:

(i) $(-4)^{3}$

(ii) $(-3) \times(-2)^{3}$

(iii) $(-3)^{2} \times(-5)^{2}$

(iv) $(-2)^{3} \times(-10)^{3}$

8. درج ذیل اعداد کا موازنہ کریں:

(i) $2.7 \times 10^{12} ; 1.5 \times 10^{8}$

(ii) $4 \times 10^{14} ; 3 \times 10^{17}$

11.3 اَس کے قوانین

11.3.1 ایک ہی اساس والی قوتوں کا ضرب

(i) آئیے $2^{2} \times 2^{3}$ کا حساب لگائیں

$ \begin{aligned} 2^{2} \times 2^{3} & =(2 \times 2) \times(2 \times 2 \times 2) \\ & =2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2=2^{5}=2^{2+3} \end{aligned} $

نوٹ کریں کہ $2^{2}$ اور $2^{3}$ میں اساس ایک جیسی ہے اور اَسوں کا مجموعہ، یعنی 2 اور 3، 5 ہے۔

(ii) $(-3)^{4} \times(-3)^{3}=[(-3) \times(-3) \times(-3) \times(-3)] \times[(-3) \times(-3) \times(-3)]$

$ \begin{aligned} & =(-3) \times(-3) \times(-3) \times(-3) \times(-3) \times(-3) \times(-3) \\ & =(-3)^{7} \\ & =(-3)^{4+3} \end{aligned} $

پھر، نوٹ کریں کہ اساس ایک جیسی ہے اور اَسوں کا مجموعہ، یعنی 4 اور 3، 7 ہے۔

(iii) $a^{2} \times a^{4}=(a \times a) \times(a \times a \times a \times a)$

$ =a \times a \times a \times a \times a \times a=a^{6} $

(نوٹ: اساس ایک جیسی ہے اور اَسوں کا مجموعہ $2+4=6$ ہے)

اسی طرح، تصدیق کریں:

$ \begin{aligned} & 4^{2} \times 4^{2}=4^{2+2} \\ & 3^{2} \times 3^{3}=3^{2+3} \end{aligned} $

کیا آپ خانے میں مناسب عدد لکھ سکتے ہیں؟

$ \begin{aligned} & (-11)^{2} \times(-11)^{6}=\quad(-11) \square \\ & b^{2} \times b^{3}=b \square \text{ (یاد رکھیں، اساس ایک جیسی ہے؛ b کوئی بھی عدد ہے) } \\ & c^{3} \times c^{4}=c \text{ (c کوئی بھی عدد ہے) } \\ & d^{10} \times d^{20}=d^{\square} \end{aligned} $

اس سے ہم عمومی نتیجہ اخذ کر سکتے ہیں کہ کسی بھی غیر صفر عدد $a$ کے لیے، جہاں $m$ اور $n$ مکمل اعداد ہیں،

$\begin{array}{|ll|} \hline a^{m} \times a^{n}=a^{m+n} \\ \hline \end{array}$

کوشش کریں

سادہ کریں اور اَسّی شکل میں لکھیں:

(i) $2^{5} \times 2^{3}$

(ii) $p^{3} \times p^{2}$

(iii) $4^{3} \times 4^{2}$

(iv) $a^{3} \times a^{2} \times a^{7}$

(v) $5^{3} \times 5^{7} \times 5^{12}$

(vi) $(-4)^{100} \times(-4)^{20}$

احتیاط!

$2^{3} \times 3^{2}$ پر غور کریں

کیا آپ اَسوں کو جمع کر سکتے ہیں؟ نہیں! کیا آپ دیکھتے ہیں ‘کیوں’؟ $2^{3}$ کی اساس 2 ہے اور $3^{2}$ کی اساس 3 ہے۔ اساس ایک جیسی نہیں ہیں۔

11.3.2 ایک ہی اساس والی قوتوں کا تقسیم

آئیے $3^{7} \div 3^{4}$ کو سادہ کریں؟

اس طرح

$ \begin{aligned} 3^{7} \div 3^{4} & =\frac{3^{7}}{3^{4}}=\frac{3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3}{3 \times 3 \times 3 \times 3} \\ & =3 \times 3 \times 3=3^{3}=3^{7-4} \end{aligned} $

(نوٹ، $3^{7}$ اور $3^{4}$ میں اساس ایک جیسی ہے اور $3^{7} \div 3^{4}$ $3^{7-4}$ بن جاتا ہے)

اسی طرح،

یا

$ \begin{aligned} 5^{6} \div 5^{2} & =\frac{5^{6}}{5^{2}}=\frac{5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5}{5 \times 5} \\ & =5 \times 5 \times 5 \times 5=5^{4}=5^{6-2} \end{aligned} $

$a$ کو ایک غیر صفر عدد ہونے دیں، پھر،

یا

$ \begin{aligned} & a^{4} \div a^{2}=\frac{a^{4}}{a^{2}}=\frac{a \times a \times a \times a}{a \times a}=a \times a=a^{2}=a^{4}{ }^{2} \\ & a^{4} \div a^{2}=a^{4-2} \end{aligned} $

اب کیا آپ فوری طور پر جواب دے سکتے ہیں؟

$ \begin{aligned} 10^{8} \div 10^{3} & =10^{8-3}=10^{5} \\ 7^{9} \div 7^{6} & =7 \\ a^{8} \div a^{5} & =a \end{aligned} $

غیر صفر اعداد $b$ اور $c$ کے لیے،

$ \begin{aligned} & b^{10} \div b^{5}=b^{\square} \\ & c^{100} \div c^{90}=c^{\square} \end{aligned} $

عمومی طور پر، کسی بھی غیر صفر عدد $a$ کے لیے،

$ a^{m} \div a^{n}=a^{m-n} $

جہاں $m$ اور $n$ مکمل اعداد ہیں اور $m>n$۔

کوشش کریں

سادہ کریں اور اَسّی شکل میں لکھیں: مثلاً،$11^6 \div 11^2=11^4$

(i) $2^9 \div 2^3\qquad$ (ii) $10^8 \div 10^4$

(iii) $9^{11}\div 9^7\qquad$ (iv) $20^{15} \div 20^{13}$

(v) $7^{13} \div 7^{10}$

11.3.3 قوت کی قوت لینا

درج ذیل پر غور کریں

$(2^{3})^{2} ;(3^{2})^{4}$ کو سادہ کریں

اب، $(2^{3})^{2}$ کا مطلب ہے کہ $2^{3}$ کو خود سے دو بار ضرب دیا جاتا ہے۔

اس طرح

$ \begin{aligned} (2^{3})^{2} & =2^{3} \times 2^{3} \\ & =2^{3+3}(\text{ چونکہ } a^{m} \times a^{n}=a^{m+n}) \\ & =2^{6}=2^{3 \times 2} \end{aligned} $

اس طرح

$(2^{3})^{2}=2^{3 \times 2}$

اسی طرح

$ \begin{aligned} (3^{2})^{4} & =3^{2} \times 3^{2} \times 3^{2} \times 3^{2} \\ & =3^{2+2+2+2} \\ & =3^{8}(\text{ نوٹ کریں 8، 2 اور 4 کا حاصل ضرب ہے }) . \\ & =3^{2 \times 4} \end{aligned} $

کیا آپ بتا سکتے ہیں کہ $(7^{2})^{10}$ کس کے برابر ہوگا؟

تو

$ \begin{aligned} (2^{3})^{2} & =2^{3 \times 2}=2^{6} \\ (3^{2})^{4} & =3^{2 \times 4}=3^{8} \\ & =7^{2 \times 10}=7^{20} \end{aligned} $

$ \begin{aligned} (a^{2})^{3} & =a^{2 \times 3}=a^{6} \\ & =a^{m \times 3}=a^{3 m} \end{aligned} $

اس سے ہم کسی بھی غیر صفر عدد ‘$a$’ کے لیے عمومی نتیجہ اخذ کر سکتے ہیں، جہاں ‘$m$’ اور ‘$n$’ مکمل اعداد ہیں،

$ (a^{m})^{n}=a^{m n} $

کوشش کریں

سادہ کریں اور جواب اَسّی شکل میں لکھیں:

(i) $(6^{2})^{4}\qquad$ (ii) $(2^{2})^{100}$

(iii) $(7^{50})^{2}\qquad$ (iv) $(5^{3})^{7}$

مثال 7 کیا آپ بتا سکتے ہیں کہ کون سا زیادہ ہے $(5^{2}) \times 3$ یا $(5^{2})^{3}$؟

حل

$(5^{2}) \times 3$ کا مطلب ہے کہ $5^{2}$ کو 3 سے ضرب دیا جاتا ہے یعنی $5 \times 5 \times 3=75$

لیکن $(5^{2})^{3}$ کا مطلب ہے کہ $5^{2}$ کو خود سے تین بار ضرب دیا جاتا ہے یعنی،

$ 5^{2} \times 5^{2} \times 5^{2}=5^{6}=15,625 $

لہذا

$ (5^{2})^{3}>(5^{2}) \times 3 $

11.3.4 ایک ہی اَس والی قوتوں کا ضرب

کیا آپ $2^{3} \times 3^{3}$ کو سادہ کر سکتے ہیں؟ نوٹ کریں کہ یہاں دو اصطلاحات $2^{3}$ اور $3^{3}$ کی اساس مختلف ہیں، لیکن اَس ایک جیسے ہیں۔

اب،

$ \begin{aligned} 2^{3} \times 3^{3} & =(2 \times 2 \times 2) \times(3 \times 3 \times 3) \\ & =(2 \times 3) \times(2 \times 3) \times(2 \times 3) \\ & =6 \times 6 \times 6 \\ & =6^{3} \quad(\text{ نوٹ کریں 6، اساسات 2 اور 3 کا حاصل ضرب ہے }) \\ & =(4 \times 4 \times 4 \times 4) \times(3 \times 3 \times 3 \times 3) \\ & =(4 \times 3) \times(4 \times 3) \times(4 \times 3) \times(4 \times 3) \\ & =12 \times 12 \times 12 \times 12 \end{aligned} $

$4^{4} \times 3^{4}$ پر غور کریں

$ =12^{4} $

$3^{2} \times a^{2}$ پر بھی غور کریں

$ \begin{aligned} & =(3 \times 3) \times(a \times a) \\ & =(3 \times a) \times(3 \times a) \\ & =(3 \times a)^{2} \\ & =(3 a)^{2} \quad(\text{ نوٹ: } 3 \times a=3 a) \\ & =(a \times a \times a \times a) \times(b \times b \times b \times b) \\ & =(a \times b) \times(a \times b) \times(a \times b) \times(a \times b) \\ & =(a \times b)^{4} \\ & =(a b)^{4} \quad(\text{ نوٹ } a \times b=a b) \end{aligned} $

$ \text{ اسی طرح، } a^{4} \times b^{4}=(a \times a \times a \times a) \times(b \times b \times b \times b) $

عمومی طور پر، کسی بھی غیر صفر عدد $a$ کے لیے

$ a^{m} \times b^{m}=(a b)^{m} \quad \text{ (جہاں m کوئی بھی مکمل عدد ہے) } $

کوشش کریں

$a^{m} \times b^{m}=(a b)^{m}$ کا استعمال کرتے ہوئے دوسری شکل میں لکھیں:

(i) $4^{3} \times 2^{3}$ (ii) $2^{5} \times b^{5}$

(iii) $a^{2} \times t^{2}$

(iv) $5^{6} \times(-2)^{6}$

(v) $(-2)^{4} \times(-3)^{4}$

مثال 8 درج ذیل اصطلاحات کو اَسّی شکل میں ظاہر کریں:

(i) $(2 \times 3)^{5}$

(ii) $(2 a)^{4}$

(iii) $(-4 m)^{3}$

حل

(i)

$ \begin{aligned} (2 \times 3)^{5} & =(2 \times 3) \times(2 \times 3) \times(2 \times 3) \times(2 \times 3) \times(2 \times 3) \\ & =(2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2) \times(3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3) \\ & =2^{5} \times 3^{5} \end{aligned} $

(ii)

$ \begin{aligned} (2 a)^{4} & =2 a \times 2 a \times 2 a \times 2 a \\ & =(2 \times 2 \times 2 \times 2) \times(a \times a \times a \times a) \\ & =2^{4} \times a^{4} \end{aligned} $

(iii) $(-4 m)^{3}=(-4 \times m)^{3}$

$=(-4 \times m) \times(-4 \times m) \times(-4 \times m)$

$=(-4) \times(-4) \times(-4) \times(m \times m \times m)=(-4)^{3} \times(m)^{3}$

11.3.5 ایک ہی اَس والی قوتوں کا تقسیم

درج ذیل سادہ کاریوں پر غور کریں:

(i) $\frac{2^{4}}{3^{4}}=\frac{2 \times 2 \times 2 \times 2}{3 \times 3 \times 3 \times 3}=\frac{2}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{2}{3}=(\frac{2}{3})^{4}$

(ii) $\frac{a^{3}}{b^{3}}=\frac{a \times a \times a}{b \times b \times b}=\frac{a}{b} \times \frac{a}{b} \times \frac{a}{b}=(\frac{a}{b})^{3}$

ان مثالوں سے ہم عمومی نتیجہ اخذ کر سکتے ہیں

$ a^{m} \div b^{m}=\frac{a^{m}}{b^{m}}=(\frac{a}{b})^{m} \text{ جہاں a اور b کوئی بھی غیر صفر اعداد ہیں } $

اور $m$ ایک مکمل عدد ہے۔

کوشش کریں

$a^{m} \div b^{m}=(\frac{a}{b})^{m}$ کا استعمال کرتے ہوئے دوسری شکل میں لکھیں:

(i) $4^{5} \div 3^{5}$

(ii) $2^{5} \div b^{5}$

(iii) $(-2)^{3} \div b^{3}$

(iv) $p^{4} \div q^{4}$

(v) $5^{6} \div(-2)^{6}$

مثال 9 پھیلائیں:

(i) $(\frac{3}{5})^{4}$

(ii) $(\frac{-4}{7})^{5}$

حل

(i) $(\frac{3}{5})^{4}=\frac{3^{4}}{5^{4}}=\frac{3 \times 3 \times 3 \times 3}{5 \times 5 \times 5 \times 5}$

(ii) $(\frac{-4}{7})^{5}=\frac{(-4)^{5}}{7^{5}}=\frac{(-4) \times(-4) \times(-4) \times(-4) \times(-4)}{7 \times 7 \times 7 \times 7 \times 7}$

$a^0$ کیا ہے؟

درج ذیل طرز (pattern) پر غور کریں:

$ \begin{aligned} 2^{6} & =64 \\ 2^{5} & =32 \\ 2^{4} & =16 \\ 2^{3} & =8 \\ 2^{2} & =? \\ 2^{1} & =? \\ 2^{0} & =? \end{aligned} $

آپ صرف طرز کا مطالعہ کر کے $2^{0}$ کی قدر کا اندازہ لگا سکتے ہیں!

آپ دیکھتے ہیں کہ $2^{0}=1$

اگر آپ $3^{6}=729$ سے شروع کریں، اور اوپر دکھائے گئے طریقے سے $3^{5}, 3^{4}, 3^{3}, \ldots$ وغیرہ تلاش کرتے جائیں، تو $3^{0}=$ کیا ہوگا؟

• صفر اَس والے اعداد

کیا آپ بتا سکتے ہیں کہ $\frac{3^{5}}{3^{5}}$ کس کے برابر ہے؟

$ \frac{3^{5}}{3^{5}}=\frac{3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3}{3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3}=1 $

اَس کے قوانین استعمال کرتے ہوئے

$ 3^{5} \div 3^{5}=3^{5-5}=3^{0} $

تو

$ 3^{0}=1 $

کیا آپ بتا سکتے ہیں کہ $7^{\circ}$ کس کے برابر ہے؟

اور

$ 7^{3} \div 7^{3}=7^{3-3}=7^{0} $

$ \frac{7^{3}}{7^{3}}=\frac{7 \times 7 \times 7}{7 \times 7 \times 7}=1 $

لہذا

$ 7^{0}=1 $

اسی طرح

$ a^{3} \div a^{3}=a^{3-3}=a^{0} $

اور

$ a^{3} \div a^{3}=\frac{a^{3}}{a^{3}}=\frac{a \times a \times a}{a \times a \times a}=1 $

اس طرح

$ a^{0}=1(\text{ کسی بھی غیر صفر عدد a کے لیے }) $

لہذا، ہم کہہ سکتے ہیں کہ کوئی بھی عدد (0 کے علاوہ) جب قوت (یا اَس) 0 تک بڑھایا جائے تو 1 ہوتا ہے۔

11.4 اَس کے قوانین استعمال کرتے ہوئے متفرق مثالیں

آئیے اَس کے قوانین استعمال کرتے ہوئے کچھ مثالیں حل کریں۔

مثال 10 $8 \times 8 \times 8 \times 8$ کے لیے اَسّی شکل لکھیں، اساس کے طور پر 2 لے کر۔

حل

ہمارے پاس، $8 \times 8 \times 8 \times 8=8^{4}$ ہے۔

لیکن ہم جانتے ہیں کہ

$ \begin{aligned} 8 & =2 \times 2 \times 2=2^{3} \\ 8^{4} & =(2^{3})^{4}=2^{3} \times 2^{3} \times 2^{3} \times 2^{3} \\ & .=2^{3 \times 4} \quad \quad \quad \quad \text{ آپ }(a^{m})^{n}=a^{m n} بھی استعمال کر سکتے ہیں] \\ & =2^{12} \quad \end{aligned} $

لہذا

مثال 11 سادہ کریں اور جواب اَسّی شکل میں لکھیں۔

(i) $(\frac{3^{7}}{3^{2}}) \times 3^{5}$

(ii) $2^{3} \times 2^{2} \times 5^{5}$

(iii) $(6^{2} \times 6^{4}) \div 6^{3}$

(iv) $[(2^{2})^{3} \times 3^{6}] \times 5^{6}$

(v) $8^{2} \div 2^{3}$

حل

(i) $(\frac{3^{7}}{3^{2}}) \times 3^{5}=(3^{7-2}) \times 3^{5}$

$ =3^{5} \times 3^{5}=3^{5+5}=3^{10} $

(ii) $2^{3} \times 2^{2} \times 5^{5}=2^{3+2} \times 5^{5}$

$ =2^{5} \times 5^{5}=(2 \times 5)^{5}=10^{5} $

(iii) $(6^{2} \times 6^{4}) \div 6^{3}=6^{2+4} \div 6^{3}$

$ =\frac{6^{6}}{6^{3}}=6^{6-3}=