1.1 ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ವ್ಯವಕಲನದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ನಾವು VIನೇ ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ ಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಕಲಿತಿದ್ದೇವೆ. ನಾವು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ವ್ಯವಕಲನದ ಬಗ್ಗೆಯೂ ಕಲಿತಿದ್ದೇವೆ.

1.1.1 ಸಂಕಲನದ ಅಂತರ್ಸಂವೃತತೆ (Closure under Addition)

ನಾವು ಕಲಿತಂತೆ, ಎರಡು ಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತವು ಮತ್ತೊಂದು ಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, $17+24=41$ ಇದು ಮತ್ತೊಂದು ಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣವು ಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಂಕಲನಕ್ಕೆ ಅಂತರ್ಸಂವೃತತಾ ಗುಣಲಕ್ಷಣ ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ.

ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣವು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಗೆ ಸಹ ನಿಜವೇ ಎಂದು ನೋಡೋಣ.

ಕೆಳಗೆ ಕೆಲವು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಜೋಡಿಗಳಿವೆ. ಕೆಳಗಿನ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಗಮನಿಸಿ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಿ.

ನೀವು ಏನು ಗಮನಿಸುತ್ತೀರಿ? ಎರಡು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಮೊತ್ತವು ಯಾವಾಗಲೂ ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕವೇ?

ಎರಡು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಮೊತ್ತವು ಪೂರ್ಣಾಂಕವಲ್ಲದ ಒಂದು ಜೋಡಿಯನ್ನು ನೀವು ಕಂಡುಕೊಂಡಿರಾ?

ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಸಂಕಲನವು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನೇ ನೀಡುವುದರಿಂದ, ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ಸಂಕಲನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅಂತರ್ಸಂವೃತ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ.

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು $a$ ಮತ್ತು $b, a+b$ ಗಾಗಿ, $a$ + $b, a+b$ ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

1.1.2 ವ್ಯವಕಲನದ ಅಂತರ್ಸಂವೃತತೆ (Closure under Subtraction)

ನಾವು ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕದಿಂದ ಇನ್ನೊಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕವನ್ನು ಕಳೆದಾಗ ಏನಾಗುತ್ತದೆ? ಅವುಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸವೂ ಸಹ ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕವೇ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳಬಹುದೇ?

ಕೆಳಗಿನ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಗಮನಿಸಿ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಿ:

ನೀವು ಏನು ಗಮನಿಸುತ್ತೀರಿ? ಯಾವುದೇ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಜೋಡಿಯಿದೆಯೇ ಅದರ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಪೂರ್ಣಾಂಕವಲ್ಲ? ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ವ್ಯವಕಲನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅಂತರ್ಸಂವೃತ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳಬಹುದೇ? ಹೌದು, ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ವ್ಯವಕಲನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅಂತರ್ಸಂವೃತ ಎಂದು ನಾವು ನೋಡಬಹುದು.

ಹೀಗಾಗಿ, $a$ ಮತ್ತು $b$ ಎಂಬ ಎರಡು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿದ್ದರೆ, $a-b$ ಕೂಡ ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತವೆಯೇ?

1.1.3 ಪರಿವರ್ತನೀಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣ (Commutative Property)

$3+5=5+3=8$ ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಯಾವುದೇ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಕೂಡಿಸಬಹುದು. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಸಂಕಲನವು ಪರಿವರ್ತನೀಯವಾಗಿದೆ.

ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಗೂ ಇದೇ ರೀತಿ ಹೇಳಬಹುದೇ?

ನಮಗೆ $5+(-6)=-1$ ಮತ್ತು $(-6)+5=-1$ ಇವೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, $5+(-6)=(-6)+5$.

ಕೆಳಗಿನವು ಸಮಾನವೇ?

(i) $(-8)+(-9)$ ಮತ್ತು $(-9)+(-8)$

(ii) $(-23)+32$ ಮತ್ತು $32+(-23)$

(iii) $(-45)+0$ ಮತ್ತು $0+(-45)$

ಇನ್ನೂ ಐದು ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಜೋಡಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಇದನ್ನು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ. ಕ್ರಮವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಿದಾಗ ಮೊತ್ತಗಳು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುವ ಯಾವುದೇ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಜೋಡಿಯನ್ನು ನೀವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೀರಾ? ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ಇಲ್ಲ. ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಗೆ ಸಂಕಲನವು ಪರಿವರ್ತನೀಯ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ.

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು $a$ ಮತ್ತು $b$ ಗಾಗಿ, ನಾವು ಹೀಗೆ ಹೇಳಬಹುದು

$ a+b=b+a $

• ಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ವ್ಯವಕಲನವು ಪರಿವರ್ತನೀಯವಲ್ಲ ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ. ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಗೆ ಇದು ಪರಿವರ್ತನೀಯವೇ?

ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು 5 ಮತ್ತು (-3) ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ.

$5-(-3)$ ಮತ್ತು $(-3)-5$ ಒಂದೇ ಆಗಿದೆಯೇ? ಇಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ $5-(-3)=5+3=8$, ಮತ್ತು $(-3)-5$

$=-3-5=-8$.

ಕನಿಷ್ಠ ಐದು ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಜೋಡಿಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಇದನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ.

ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಗೆ ವ್ಯವಕಲನವು ಪರಿವರ್ತನೀಯವಲ್ಲ ಎಂದು ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಿಸುತ್ತೇವೆ.

1.1.4 ಸಹವರ್ತಿತ್ವದ ಗುಣಲಕ್ಷಣ (Associative Property)

ಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಗಮನಿಸಿ:

ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು $-3,-2$ ಮತ್ತು -5 ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ.

$(-5)+[(-3)+(-2)]$ ಮತ್ತು $[(-5)+(-3)]+(-2)$ ಅನ್ನು ನೋಡಿ.

ಮೊದಲ ಮೊತ್ತದಲ್ಲಿ (-3) ಮತ್ತು (-2) ಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಗುಂಪು ಮಾಡಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದರಲ್ಲಿ (-5) ಮತ್ತು (-3) ಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಗುಂಪು ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ನಾವು ವಿಭಿನ್ನ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸುತ್ತೇವೆ.

$ (-5)+[(-3)+(-2)] $

$ [(-5)+(-3)]+(-2) $

ಎರಡೂ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ನಾವು -10 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಅಂದರೆ,

$ (-5)+[(-3)+(-2)]=[(-5)+(-2)]+(-3) $

ಇದೇ ರೀತಿ $-3,1$ ಮತ್ತು -7 ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ.

$ \begin{aligned} & (-3)+[1+(-7)]=-3+……=…… \\ & [(-3)+1]+(-7)=-2+……=…… \end{aligned} $

$(-3)+[1+(-7)]$ ಮತ್ತು $[(-3)+1]+(-7)$ ಒಂದೇ ಆಗಿದೆಯೇ?

ಇನ್ನೂ ಐದು ಅಂತಹ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ. ಮೊತ್ತಗಳು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುವ ಯಾವುದೇ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೀವು ಕಾಣುವುದಿಲ್ಲ. ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಗೆ ಸಂಕಲನವು ಸಹವರ್ತಿಯಾಗಿದೆ.

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಯಾವುದೇ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು $a, b$, $c$ ಮತ್ತು $(-8)+0=-8$ ಗಾಗಿ, ನಾವು ಹೀಗೆ ಹೇಳಬಹುದು

$ a+(b+c)=(a+b)+c $

1.1.5 ಸಂಕಲನಾತ್ಮಕ ತತ್ಸಮ (Additive Identity)

ನಾವು ಯಾವುದೇ ಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಕೂಡಿಸಿದಾಗ, ಅದೇ ಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಶೂನ್ಯವು ಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಸಂಕಲನಾತ್ಮಕ ತತ್ಸಮವಾಗಿದೆ. ಇದು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಗೂ ಸಹ ಸಂಕಲನಾತ್ಮಕ ತತ್ಸಮವೇ?

ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಗಮನಿಸಿ ಮತ್ತು ಖಾಲಿ ಜಾಗಗಳನ್ನು ತುಂಬಿಸಿ:

(i) $0+(-8)=-8$

(ii) $(-23)+0=……$

(iii) $0+(-37)=-37$

(iv) $0+(-59)=……$

(v) $0+……$

(vi) $=-43$ $-61+……$

(vii) $=-61$ $……-0=……$

(viii) $a$

ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಶೂನ್ಯವು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಗೆ ಸಂಕಲನಾತ್ಮಕ ತತ್ಸಮ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತವೆ.

ನೀವು ಇದನ್ನು ಯಾವುದೇ ಇತರ ಐದು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಗೆ ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಕೂಡಿಸಿ ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು.

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಪೂರ್ಣಾಂಕ $\qquad$ ಗಾಗಿ

$ a+0=a=0+a $

ಇದನ್ನು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ

1. ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ನೀಡುವ ಎರಡು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಜೋಡಿಯನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ

(ಅ) ಋಣ ಪೂರ್ಣಾಂಕ

(ಆ) ಶೂನ್ಯ

(ಇ) ಎರಡೂ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಗಿಂತ ಚಿಕ್ಕದಾದ ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕ.

(ಈ) ಎರಡರಲ್ಲಿ ಕೇವಲ ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕಕ್ಕಿಂತ ಮಾತ್ರ ಚಿಕ್ಕದಾದ ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕ.

(ಉ) ಎರಡೂ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಗಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾದ ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕ.

2. ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ನೀಡುವ ಎರಡು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಜೋಡಿಯನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ

(ಅ) ಋಣ ಪೂರ್ಣಾಂಕ.

(ಆ) ಶೂನ್ಯ.

(ಇ) ಎರಡೂ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಗಿಂತ ಚಿಕ್ಕದಾದ ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕ.

(ಈ) ಎರಡರಲ್ಲಿ ಕೇವಲ ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕಕ್ಕಿಂತ ಮಾತ್ರ ದೊಡ್ಡದಾದ ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕ.

(ಉ) ಎರಡೂ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಗಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾದ ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕ.

ಉದಾಹರಣೆ 1 ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ನೀಡುವ ಎರಡು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಜೋಡಿಯನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ

(ಅ) ಮೊತ್ತ -3 $\quad$ (ಆ) ವ್ಯತ್ಯಾಸ -5

(ಇ) ವ್ಯತ್ಯಾಸ 2 $(-1)+(-2)=-3$ (ಈ) ಮೊತ್ತ 0

ಪರಿಹಾರ

(ಅ) $(-5)+2=-3$ ಅಥವಾ $(-9)-(-4)=-5$

(ಆ) $(-2)-3=-5$ ಅಥವಾ $(-7)-(-9)=2$

(ಇ) $1-(-1)=2$ ಅಥವಾ $(-10)+10=0$

(ಈ) $5+(-5)=0$ ಅಥವಾ $\qquad$

ಈ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ನೀವು ಇನ್ನೂ ಹೆಚ್ಚಿನ ಜೋಡಿಗಳನ್ನು ಬರೆಯಬಹುದೇ?

ಅಭ್ಯಾಸ 1.1

1. ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ನೀಡುವ ಎರಡು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಜೋಡಿಯನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ:

(ಅ) ಮೊತ್ತ -7 $\qquad$ (ಆ) ವ್ಯತ್ಯಾಸ -10 $A$ (ಇ) ಮೊತ್ತ 0

2. (ಅ) 8 ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ನೀಡುವ ಎರಡು ಋಣ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಜೋಡಿಯನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

(ಆ) ಮೊತ್ತ -5 ಆಗುವ ಒಂದು ಋಣ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಮತ್ತು ಒಂದು ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

(ಇ) ವ್ಯತ್ಯಾಸ -3 ಆಗುವ ಒಂದು ಋಣ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಮತ್ತು ಒಂದು ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

3. ಒಂದು ಕ್ವಿಜ್ ನಲ್ಲಿ, ತಂಡ $B$ ಮೂರು ಸತತ ಸುತ್ತುಗಳಲ್ಲಿ - 40, 10, 0 ಅಂಕಗಳನ್ನು ಗಳಿಸಿತು ಮತ್ತು ತಂಡ $10,0,-40$ $(-5)+(-8)=(-8)+(\ldots \ldots \ldots \ldots)$ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಗಳಿಸಿತು. ಯಾವ ತಂಡವು ಹೆಚ್ಚು ಅಂಕಗಳನ್ನು ಗಳಿಸಿತು? ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಯಾವುದೇ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಕೂಡಿಸಬಹುದು ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳಬಹುದೇ?

4. ಕೆಳಗಿನ ಹೇಳಿಕೆಗಳನ್ನು ನಿಜವಾಗಿಸಲು ಖಾಲಿ ಜಾಗಗಳನ್ನು ತುಂಬಿಸಿ:

(i) $-53+\ldots \ldots \ldots \ldots .=-53$.

(ii) $17+\ldots \ldots \ldots \ldots=0$

(iii) $[13+(-12)]+(\ldots \ldots \ldots \ldots)=.13+[(-12)+(-7)]$

(iv) $(-4)+[15+(-3)]=[-4+15]+\ldots \ldots \ldots$

(v) $(-5)+(-5)+(-5)=-15$

1.2 ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಗುಣಾಕಾರ

ನಾವು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಕೂಡಿಸಲು ಮತ್ತು ಕಳೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಈಗ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಗುಣಿಸಬೇಕೆಂದು ಕಲಿಯೋಣ.

1.2.1 ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಮತ್ತು ಋಣ ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ಗುಣಾಕಾರ

ಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಾಕಾರವು ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಸಂಕಲನ ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ,

$ 5+5+5=3 \times 5=15 $

ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಸಂಕಲನವನ್ನು ನೀವು ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ನಿರೂಪಿಸಬಹುದೇ?

ಕೆಳಗಿನ ಸಂಖ್ಯಾ ರೇಖೆಯಿಂದ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, $3 \times(-5)$

ಆದರೆ ನಾವು ಇದನ್ನೂ ಬರೆಯಬಹುದು

$ \qquad(-5)+(-5)+(-5)=3 \times(-5) $

ಆದ್ದರಿಂದ, $ \qquad 3 \times(-5)=-15 $

ಇದನ್ನು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ

ಸಂಖ್ಯಾ ರೇಖೆಯನ್ನು ಬಳಸಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ:

$ \begin{aligned} & 4 \times(-8), \\ & 8 \times(-2), \\ & 3 \times(-7), \\ & 10 \times(-1) \end{aligned} $

ಇದೇ ರೀತಿ

$ (-4)+(-4)+(-4)+(-4)+(-4)=5 \times(-4)=-20 $

$ \text{ಮತ್ತು}\quad (-3)+(-3)+(-3)+(-3)=\ldots \ldots \ldots= \ldots \ldots \ldots $

$ \text{ಅಲ್ಲದೆ, }\qquad(-7)+(-7)+(-7)=\ldots \ldots \ldots =\ldots \ldots \ldots $

ಸಂಖ್ಯಾ ರೇಖೆಯನ್ನು ಬಳಸದೆ ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಮತ್ತು ಋಣ ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು ಎಂದು ನೋಡೋಣ.

$3 \times 5$ ಅನ್ನು ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ಮೊದಲು $-(3 \times 5)$ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದು ನಂತರ ಪಡೆದ ಗುಣಲಬ್ಧದ ಮುಂದೆ ಋಣ ಚಿಹ್ನೆ (-) ಇಡಿ. ನೀವು -15 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ. ಅಂದರೆ ನಾವು $6 \times(-19)$ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು -15 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಇದೇ ರೀತಿ, $ \qquad 5 \times(-4)=-(5 \times 4)=-20 . $

ಇದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ,

$ \begin{matrix} 4 \times(-8)= \ldots \ldots= \ldots \ldots , 3 \times(-7)=\ldots \ldots = \ldots \ldots \\ 6 \times(-5)=\ldots \ldots = \ldots \ldots , 2 \times(-9)= \ldots \ldots = \ldots \ldots \end{matrix} $

ಇದನ್ನು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ

ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ:

(i) $12 \times(-32)$

(ii) $7 \times(-22)$

(iii) $\times$

ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿ ನಾವು ಹೀಗೆ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ,

$ 10 \times(-43)=\ldots \ldots -(10 \times 43)=-430 $

ಇಲ್ಲಿಯವರೆಗೆ ನಾವು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು (ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕ) $\times$ (ಋಣ ಪೂರ್ಣಾಂಕ) ಎಂದು ಗುಣಿಸಿದ್ದೇವೆ.

ಈಗ ಅವುಗಳನ್ನು (ಋಣ ಪೂರ್ಣಾಂಕ) $-3 \times 5$ (ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕ) ಎಂದು ಗುಣಿಸೋಣ.

ನಾವು ಮೊದಲು $\qquad 3 \times(-5)=-15$ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುತ್ತೇವೆ.

ಇದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ಕೆಳಗಿನ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಗಮನಿಸಿ:

ನಮಗೆ ಇವೆ,

$ \begin{aligned} & 3 \times 5=15 \\ & 2 \times 5=10=15-5 \\ & 1 \times 5=5=10-5 \\ & 0 \times 5=0=5-5 \end{aligned} $

$ \begin{aligned} \text{ಆದ್ದರಿಂದ} \quad & -1 \times 5=0-5=-5 \\ & -2 \times 5=-5-5=10=-5 \\ & -3 \times 5=-10-5=-15 \\ \end{aligned} $

ನಮಗೆ ಈಗಾಗಲೇ $\qquad (-3) \times 5=-15=3 \times(-5)$ ಇದೆ

ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು $(-5) \times 4=-20=5 \times(-4)$ ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಇಂತಹ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ, ನಾವು $(-4) \times 8,(-3) \times 7,(-6) \times 5$ ಅನ್ನೂ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ, $(-2) \times 9$ ಮತ್ತು $(-4) \times 8=4 \times(-8),(-3) \times 7=3 \times(-7),(-6) \times 5=6 \times(-5)$ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ

$15 \times(-16)\qquad $ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ, ಮತ್ತು

$ (-2) \times 9=2 \times(-9) $

ಇದನ್ನು ಬಳಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ,

$ (-33) \times 5=33 \times(-5)=-165 $

ಆದ್ದರಿಂದ, ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಮತ್ತು ಋಣ ಪೂರ್ಣಾಂಕವನ್ನು ಗುಣಿಸುವಾಗ, ನಾವು ಅವುಗಳನ್ನು ಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಂತೆ ಗುಣಿಸಿ ಗುಣಲಬ್ಧದ ಮುಂದೆ ಋಣ ಚಿಹ್ನೆ (-) ಇಡುತ್ತೇವೆ ಎಂದು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಹೀಗೆ ನಾವು ಋಣ ಪೂರ್ಣಾಂಕವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಇದನ್ನು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ

1. ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ:

(ಅ) $21 \times(-32)$ (ಆ) $(-42) \times 12\qquad $

(ಇ) $-55 \times 15$ (ಈ) $25 \times(-21)=(-25) \times 21\qquad $

2. ಪರಿಶೀಲಿಸಿ

(ಅ) $(-23) \times 20=23 \times(-20)$ (ಆ) $a$

ಇನ್ನೂ ಐದು ಅಂತಹ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು $b$ ಮತ್ತು $(-3) \times(-2)$ ಗಾಗಿ ನಾವು ಹೀಗೆ ಹೇಳಬಹುದು

$ a \times(-b)=(-a) \times b=-(a \times b) $

1.2.2 ಎರಡು ಋಣ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಗುಣಾಕಾರ

ಗುಣಲಬ್ಧ $(-5) \times 4$ ಅನ್ನು ನೀವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದೇ?

ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಗಮನಿಸಿ:

$ \begin{aligned} & -3 \times 4=-12 \\ & -3 \times 3=-9=-12-(-3) \\ & -3 \times 2=-6=-9-(-3) \\ & -3 \times 1=-3=-6-(-3) \\ & -3 \times 0=0=-3-(-3) \\ & -3 \times-1=0-(-3)=0+3=3 \\ & -3 \times-2=3-(-3)=3+3=6 \end{aligned} $

ಯಾವುದೇ ಮಾದರಿಯನ್ನು ನೀವು ನೋಡುತ್ತೀರಾ? ಗುಣಲಬ್ಧಗಳು ಹೇಗೆ ಬದಲಾಗುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ.

ಈ ಗಮನದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಿ:

$ -3 \times-3=\ldots \ldots -3 \times-4=\ldots \ldots $

ಈಗ ಈ ಗುಣಲಬ್ಧಗಳನ್ನು ಗಮನಿಸಿ ಮತ್ತು ಖಾಲಿ ಜಾಗಗಳನ್ನು ತುಂಬಿಸಿ:

$ \begin{aligned} & -4 \times 4=-16 \\ & -4 \times 3=-12=-16+4 \\ & -4 \times 2= \ldots \ldots=-12+4 \\ & -4 \times 1=\ldots \ldots \\ & -4 \times 0=\ldots \ldots \\ & -4 \times(-1)=\ldots \ldots \\ & -4 \times(-2)= \ldots \ldots\\ & -4 \times(-3)=\ldots \ldots \end{aligned} $

ಇದನ್ನು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ

(i) $(-5) \times(-6)$ ನಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ, $(-6) \times 3$ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ

(ii) $(-6) \times(-7)$ ನಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ, $\quad(-10) \times(-12)=+120=120$ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ

ಈ ಮಾದರಿಗಳಿಂದ ನಾವು ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ,

$ \begin{aligned} & (-3) \times(-1)=3=3 \times 1 \\ & (-3) \times(-2)=6=3 \times 2 \\ & (-3) \times(-3)=9=3 \times 3 \\ & \text{ಮತ್ತು} \quad (-4) \times(-1)=4=4 \times 1 \\ & \text{ ಆದ್ದರಿಂದ, } \quad(-4) \times(-2)=4 \times 2=\ldots \ldots \\ & (-4) \times(-3)=\ldots \ldots=\ldots \ldots \end{aligned} $

ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಗುಣಲಬ್ಧಗಳನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ಎರಡು ಋಣ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವು ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳಬಹುದು. ನಾವು ಎರಡು ಋಣ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಂತೆ ಗುಣಿಸಿ ಗುಣಲಬ್ಧದ ಮುಂದೆ ಧನ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಇಡುತ್ತೇವೆ.

ಹೀಗಾಗಿ, ನಮಗೆ $\quad(-15) \times(-6)=+90=90$ ಇದೆ

ಇದೇ ರೀತಿ $a$

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು $b$ ಮತ್ತು $(-31) \times(-100),(-25) \times(-72),(-83) \times(-28)$ ಗಾಗಿ,

$ (-a) \times(-b)=a \times b $

ಇದನ್ನು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ

ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ: $(-20) \times(-5)=100$

ಆಟ 1

(i) ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ -104 ರಿಂದ 104 ರವರೆಗೆ ಗುರುತಿಸಲಾದ ಒಂದು ಫಲಕವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ.

(ii) ಎರಡು ನೀಲಿ ಮತ್ತು ಎರಡು ಕೆಂಪು ದಾಳಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಒಂದು ಚೀಲವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ. ನೀಲಿ ದಾಳಗಳ ಮೇಲಿನ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕೆಂಪು ದಾಳಗಳ ಮೇಲಿನ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಋಣ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

(iii) ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬ ಆಟಗಾರನೂ ತನ್ನ/ತನ್ನ ಗುರುತುಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಶೂನ್ಯದಲ್ಲಿ ಇಡುತ್ತಾರೆ.

(iv) ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬ ಆಟಗಾರನೂ ಒಂದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಚೀಲದಿಂದ ಎರಡು ದಾಳಗಳನ್ನು ತೆಗೆದು ಎಸೆಯುತ್ತಾರೆ.

(v) ಪ್ರತಿ ಎಸೆತದ ನಂತರ, ಆಟಗಾರನು ದಾಳಗಳ ಮೇಲೆ ಗುರುತಿಸಲಾದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಬೇಕು.

(vi) ಗುಣಲಬ್ಧವು ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದ್ದರೆ ಆಟಗಾರನು ತನ್ನ ಗು