1.1 పూర్ణ సంఖ్యల సంకలనం మరియు వ్యవకలనం యొక్క లక్షణాలు

మేము తరగతి VI లో పూర్ణ సంఖ్యలు మరియు పూర్ణాంకాల గురించి నేర్చుకున్నాము. మేము పూర్ణాంకాల సంకలనం మరియు వ్యవకలనం గురించి కూడా నేర్చుకున్నాము.

1.1.1 సంకలనం క్రింద సంవృతత్వం

రెండు పూర్ణ సంఖ్యల మొత్తం మళ్లీ ఒక పూర్ణ సంఖ్య అని మనం నేర్చుకున్నాము. ఉదాహరణకు, $17+24=41$ ఇది మళ్లీ ఒక పూర్ణ సంఖ్య. ఈ లక్షణం పూర్ణ సంఖ్యల సంకలనం కోసం సంవృత ధర్మం అని మనకు తెలుసు.

ఈ లక్షణం పూర్ణాంకాలకు కూడా సత్యమేనా అని చూద్దాం.

కింద పూర్ణాంకాల యొక్క కొన్ని జతలు ఉన్నాయి. కింది పట్టికను గమనించండి మరియు దాన్ని పూర్తి చేయండి.

మీరు ఏమి గమనించారు? రెండు పూర్ణాంకాల మొత్తం ఎల్లప్పుడూ ఒక పూర్ణాంకమేనా?

మీరు వాటి మొత్తం పూర్ణాంకం కాని పూర్ణాంకాల జతను కనుగొన్నారా?

పూర్ణాంకాల సంకలనం పూర్ణాంకాలను ఇస్తుంది కాబట్టి, పూర్ణాంకాలు సంకలనం క్రింద సంవృతంగా ఉంటాయి అని చెప్పవచ్చు.

సాధారణంగా, ఏవైనా రెండు పూర్ణాంకాలు $a$ మరియు $b, a+b$ కోసం, $a$ + $b, a+b$ ఒక పూర్ణాంకం.

1.1.2 వ్యవకలనం క్రింద సంవృతత్వం

మనం ఒక పూర్ణాంకం నుండి మరొక పూర్ణాంకాన్ని తీసివేసినప్పుడు ఏమి జరుగుతుంది? వాటి భేదం కూడా ఒక పూర్ణాంకమేనా అని చెప్పగలమా?

కింది పట్టికను గమనించండి మరియు దాన్ని పూర్తి చేయండి:

మీరు ఏమి గమనించారు? ఏదైనా పూర్ణాంకాల జత ఉందా, దీని భేదం పూర్ణాంకం కాదు? పూర్ణాంకాలు వ్యవకలనం క్రింద సంవృతంగా ఉంటాయి అని చెప్పగలమా? అవును, పూర్ణాంకాలు వ్యవకలనం క్రింద సంవృతంగా ఉన్నాయని మనం చూడగలం.

అందువలన, $a$ మరియు $b$ రెండు పూర్ణాంకాలు అయితే $a$ - $b$ కూడా ఒక పూర్ణాంకం. పూర్ణ సంఖ్యలు ఈ లక్షణాన్ని సంతృప్తిపరుస్తాయా?

1.1.3 వినిమయ ధర్మం (కమ్యుటేటివిటీ)

$3+5=5+3=8$ అని మనకు తెలుసు, అంటే పూర్ణ సంఖ్యలను ఏ క్రమంలోనైనా కూడవచ్చు. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, పూర్ణ సంఖ్యలకు సంకలనం వినిమయ ధర్మాన్ని పాటిస్తుంది.

పూర్ణాంకాలకు కూడా ఇదే చెప్పగలమా?

మనకు $5+(-6)=-1$ మరియు $(-6)+5=-1$ ఉన్నాయి

కాబట్టి, $5+(-6)=(-6)+5$

కింది వాటి విలువలు సమానమేనా?

(i) $(-8)+(-9)$ మరియు $(-9)+(-8)$

(ii) $(-23)+32$ మరియు $32+(-23)$

(iii) $(-45)+0$ మరియు $0+(-45)$

పూర్ణాంకాల యొక్క ఐదు ఇతర జతలతో దీన్ని ప్రయత్నించండి. క్రమం మారినప్పుడు మొత్తాలు వేరుగా ఉన్న పూర్ణాంకాల జతను మీరు కనుగొన్నారా? ఖచ్చితంగా లేదు. పూర్ణాంకాలకు సంకలనం వినిమయ ధర్మాన్ని పాటిస్తుంది అని చెప్పవచ్చు.

సాధారణంగా, ఏవైనా రెండు పూర్ణాంకాలు $a$ మరియు $b$ కోసం, మనం చెప్పగలం

$ a+b=b+a $

• పూర్ణ సంఖ్యలకు వ్యవకలనం వినిమయ ధర్మాన్ని పాటించదని మనకు తెలుసు. పూర్ణాంకాలకు ఇది వినిమయ ధర్మాన్ని పాటిస్తుందా?

పూర్ణాంకాలు 5 మరియు (-3)ని పరిగణించండి.

$5-(-3)$ అనేది $(-3)-5$ తో సమానమేనా? కాదు, ఎందుకంటే $5-(-3)=5+3=8$, మరియు $(-3)-5$

$=-3-5=-8$.

కనీసం ఐదు వేర్వేరు పూర్ణాంకాల జతలతో దీన్ని తనిఖీ చేయండి.

పూర్ణాంకాలకు వ్యవకలనం వినిమయ ధర్మాన్ని పాటించదని మేము నిర్ధారించాము.

1.1.4 సహచర ధర్మం (అసోసియేటివిటీ)

కింది ఉదాహరణలను గమనించండి:

పూర్ణాంకాలు $-3,-2$ మరియు -5 ను పరిగణించండి.

$(-5)+[(-3)+(-2)]$ మరియు $[(-5)+(-3)]+(-2)$ని చూడండి.

మొదటి మొత్తంలో (-3) మరియు (-2) కలిసి సమూహం చేయబడ్డాయి మరియు రెండవదిలో (-5) మరియు (-3) కలిసి సమూహం చేయబడ్డాయి. మనకు వేర్వేరు ఫలితాలు వస్తాయో లేదో తనిఖీ చేస్తాము.

$ (-5)+[(-3)+(-2)] $

$ [(-5)+(-3)]+(-2) $

రెండు సందర్భాల్లోనూ, మనకు -10 వస్తుంది.

అనగా,

$ (-5)+[(-3)+(-2)]=[(-5)+(-2)]+(-3) $

అదేవిధంగా $-3,1$ మరియు -7 ను పరిగణించండి.

$ \begin{aligned} & (-3)+[1+(-7)]=-3+……=…… \\ & [(-3)+1]+(-7)=-2+……=…… \end{aligned} $

$(-3)+[1+(-7)]$ అనేది $[(-3)+1]+(-7)$ తో సమానమేనా?

ఇలాంటి ఐదు ఉదాహరణలు తీసుకోండి. మొత్తాలు వేరుగా ఉన్న ఏ ఉదాహరణను కూడా మీరు కనుగొనలేరు. పూర్ణాంకాలకు సంకలనం సహచర ధర్మాన్ని పాటిస్తుంది.

సాధారణంగా ఏవైనా పూర్ణాంకాలు $a, b$, $c$ మరియు $(-8)+0=-8$ కోసం, మనం చెప్పగలం

$ a+(b+c)=(a+b)+c $

1.1.5 సంకలన తత్సమాంకం (ఆడిటివ్ ఐడెంటిటీ)

మనం ఏదైనా పూర్ణ సంఖ్యకు సున్నాను కలిపినప్పుడు, అదే పూర్ణ సంఖ్య వస్తుంది. పూర్ణ సంఖ్యలకు సున్నా సంకలన తత్సమాంకం. ఇది పూర్ణాంకాలకు కూడా సంకలన తత్సమాంకమేనా?

కింది వాటిని గమనించండి మరియు ఖాళీలను పూరించండి:

(i) $(-8)+0=-8$

(ii) $0+(-8)=-8$

(iii) $(-23)+0=……$

(iv) $0+(-37)=-37$

(v) $0+(-59)=……$

(vi) $0+……$ $=-43$

(vii) $-61+……$ $=-61$

(viii) $……-0=……$

పై ఉదాహరణలు పూర్ణాంకాలకు సున్నా సంకలన తత్సమాంకం అని చూపిస్తాయి.

మీరు దీన్ని ఏదైనా ఇతర ఐదు పూర్ణాంకాలకు సున్నాను కలిపి ధృవీకరించవచ్చు.

సాధారణంగా, ఏదైనా పూర్ణాంకం $a$ కోసం

$ a+0=a=0+a $

మీరే చేసి చూడండి

1. వాటి మొత్తం ఇచ్చే పూర్ణాంకాల జతను రాయండి

(a) ఒక ఋణ పూర్ణాంకం

(b) సున్నా

(c) రెండు పూర్ణాంకాల కంటే చిన్నదైన పూర్ణాంకం

(d) ఒక పూర్ణాంకం కంటే మాత్రమే చిన్నదైన పూర్ణాంకం

(e) రెండు పూర్ణాంకాల కంటే పెద్దదైన పూర్ణాంకం

2. వాటి భేదం ఇచ్చే పూర్ణాంకాల జతను రాయండి

(a) ఒక ఋణ పూర్ణాంకం

(b) సున్నా

(c) రెండు పూర్ణాంకాల కంటే చిన్నదైన పూర్ణాంకం

(d) ఒక పూర్ణాంకం కంటే మాత్రమే పెద్దదైన పూర్ణాంకం

(e) రెండు పూర్ణాంకాల కంటే పెద్దదైన పూర్ణాంకం

ఉదాహరణ 1 వాటి మొత్తం -3 అయ్యే పూర్ణాంకాల జతను రాయండి $\qquad$ (b) భేదం -5 అయ్యేది

(c) భేదం 2 అయ్యేది $\quad$ (d) మొత్తం 0 అయ్యేది

సాధన

(a) $(-1)+(-2)=-3$ లేదా $(-5)+2=-3$

(b) $(-9)-(-4)=-5$ లేదా $(-2)-3=-5$

(c) $(-7)-(-9)=2$ లేదా $1-(-1)=2$

(d) $(-10)+10=0$ లేదా $5+(-5)=0$

ఈ ఉదాహరణలలో మీరు మరిన్ని జతలను రాయగలరా?

అభ్యాసం 1.1

1. వాటి మొత్తం -7 అయ్యే పూర్ణాంకాల జతను రాయండి: $\qquad$ (b) భేదం -10 అయ్యేది $\qquad$ (c) మొత్తం 0 అయ్యేది

2. (a) భేదం 8 ఇచ్చే రెండు ఋణ పూర్ణాంకాల జతను రాయండి.

(b) మొత్తం -5 అయ్యే ఒక ఋణ పూర్ణాంకం మరియు ఒక ధన పూర్ణాంకం రాయండి.

(c) భేదం -3 అయ్యే ఒక ఋణ పూర్ణాంకం మరియు ఒక ధన పూర్ణాంకం రాయండి.

3. ఒక క్విజ్లో, $A$ జట్టు మూడు వరుస రౌండ్లలో - 40, 10, 0 స్కోర్ చేసింది మరియు $B$ జట్టు $10,0,-40$ స్కోర్ చేసింది. ఏ జట్టు ఎక్కువ స్కోర్ చేసింది? పూర్ణాంకాలను ఏ క్రమంలోనైనా కూడవచ్చు అని చెప్పగలమా?

4. కింది ప్రకటనలను నిజమయ్యేలా ఖాళీలను పూరించండి:

(i) $(-5)+(-8)=(-8)+(\ldots \ldots \ldots \ldots)$.

(ii) $-53+\ldots \ldots \ldots \ldots .=-53$

(iii) $17+\ldots \ldots \ldots \ldots=0$

(iv) $[13+(-12)]+(\ldots \ldots \ldots \ldots)=.13+[(-12)+(-7)]$

(v) $(-4)+[15+(-3)]=[-4+15]+\ldots \ldots \ldots$

1.2 పూర్ణాంకాల గుణకారం

మనం పూర్ణాంకాలను కూడగలము మరియు తీసివేయగలము. ఇప్పుడు పూర్ణాంకాలను ఎలా గుణించాలో నేర్చుకుందాం.

1.2.1 ధన పూర్ణాంకం మరియు ఋణ పూర్ణాంకం యొక్క గుణకారం

పూర్ణ సంఖ్యల గుణకారం పునరావృత సంకలనం అని మనకు తెలుసు. ఉదాహరణకు,

$ 5+5+5=3 \times 5=15 $

పూర్ణాంకాల సంకలనాన్ని కూడా అదే విధంగా సూచించగలరా?

కింది సంఖ్యా రేఖ నుండి మనకు ఉంది, $(-5)+(-5)+(-5)=-15$

కానీ మనం ఇలా కూడా రాయవచ్చు

$ \qquad(-5)+(-5)+(-5)=3 \times(-5) $

అందువలన, $ \qquad 3 \times(-5)=-15 $

మీరే చేసి చూడండి

కనుగొనండి:

$ \begin{aligned} & 4 \times(-8), \\ & 8 \times(-2), \\ & 3 \times(-7), \\ & 10 \times(-1) \end{aligned} $

సంఖ్యా రేఖను ఉపయోగించి.

అదేవిధంగా

$ (-4)+(-4)+(-4)+(-4)+(-4)=5 \times(-4)=-20 $

$ \text{మరియు}\quad (-3)+(-3)+(-3)+(-3)=\ldots \ldots \ldots= \ldots \ldots \ldots $

$ \text{అలాగే, }\qquad(-7)+(-7)+(-7)=\ldots \ldots \ldots =\ldots \ldots \ldots $

సంఖ్యా రేఖ ఉపయోగించకుండా ధన పూర్ణాంకం మరియు ఋణ పూర్ణాంకం యొక్క గుణకారాన్ని ఎలా కనుగొనాలో చూద్దాం.

$3 \times(-5)$ని వేరే విధంగా కనుగొనడానికి ప్రయత్నిద్దాం. ముందుగా $3 \times 5$ని కనుగొని, తర్వాత పొందిన లబ్ధం ముందు మైనస్ గుర్తు (-) ఉంచండి. మీకు -15 వస్తుంది. అంటే మనం $-(3 \times 5)$ని కనుగొని -15 పొందుతాము.

అదేవిధంగా, $ \qquad 5 \times(-4)=-(5 \times 4)=-20 . $

ఇదే విధంగా కనుగొనండి,

$ \begin{matrix} 4 \times(-8)= \ldots \ldots= \ldots \ldots , 3 \times(-7)=\ldots \ldots = \ldots \ldots \\ 6 \times(-5)=\ldots \ldots = \ldots \ldots , 2 \times(-9)= \ldots \ldots = \ldots \ldots \end{matrix} $

మీరే చేసి చూడండి

కనుగొనండి:

(i) $6 \times(-19)$

(ii) $12 \times(-32)$

(iii) $7 \times(-22)$

ఈ పద్ధతిని ఉపయోగించి మనకు ఇలా ఉంటుంది,

$ 10 \times(-43)=\ldots \ldots -(10 \times 43)=-430 $

ఇప్పటి వరకు మనం పూర్ణాంకాలను (ధన పూర్ణాంకం) $\times$ (ఋణ పూర్ణాంకం) గా గుణించాము.

ఇప్పుడు వాటిని (ఋణ పూర్ణాంకం) $\times$ (ధన పూర్ణాంకం) గా గుణిద్దాం.

ముందుగా $-3 \times 5$ని కనుగొందాం.

దీన్ని కనుగొనడానికి, కింది నమూనాను గమనించండి:

మనకు ఉంది,

$ \begin{aligned} & 3 \times 5=15 \\ & 2 \times 5=10=15-5 \\ & 1 \times 5=5=10-5 \\ & 0 \times 5=0=5-5 \end{aligned} $

$ \begin{aligned} \text{కాబట్టి} \quad & -1 \times 5=0-5=-5 \\ & -2 \times 5=-5-5=10=-5 \\ & -3 \times 5=-10-5=-15 \\ \end{aligned} $

మనకు ఇప్పటికే $\qquad 3 \times(-5)=-15$ ఉంది

కాబట్టి మనకు $\qquad (-3) \times 5=-15=3 \times(-5)$ వస్తుంది

ఇలాంటి నమూనాలను ఉపయోగించి, మనం $(-5) \times 4=-20=5 \times(-4)$ని కూడా పొందుతాము

నమూనాలను ఉపయోగించి, $(-4) \times 8,(-3) \times 7,(-6) \times 5$ మరియు $(-2) \times 9$ని కనుగొనండి

$(-4) \times 8=4 \times(-8),(-3) \times 7=3 \times(-7),(-6) \times 5=6 \times(-5)$ అనేది సత్యమేనా అని తనిఖీ చేయండి మరియు

$ (-2) \times 9=2 \times(-9) $

దీన్ని ఉపయోగించి, మనకు ఇలా వస్తుంది

$ (-33) \times 5=33 \times(-5)=-165 $

ధన పూర్ణాంకం మరియు ఋణ పూర్ణాంకాన్ని గుణించేటప్పుడు, మనం వాటిని పూర్ణ సంఖ్యలుగా గుణించి, లబ్ధం ముందు మైనస్ గుర్తు (-) ఉంచుతామని మనం ఇలా కనుగొంటాము. అందువలన మనకు ఋణ పూర్ణాంకం వస్తుంది.

మీరే చేసి చూడండి

1. కనుగొనండి:

(a) $15 \times(-16)\qquad $ (b) $21 \times(-32)$

(c) $(-42) \times 12\qquad $ (d) $-55 \times 15$

2. తనిఖీ చేయండి

(a) $25 \times(-21)=(-25) \times 21\qquad $ (b) $(-23) \times 20=23 \times(-20)$

ఇలాంటి ఐదు ఉదాహరణలు రాయండి.

సాధారణంగా, ఏవైనా రెండు ధన పూర్ణాంకాలు $a$ మరియు $b$ కోసం మనం చెప్పగలం

$ a \times(-b)=(-a) \times b=-(a \times b) $

1.2.2 రెండు ఋణ పూర్ణాంకాల గుణకారం

$(-3) \times(-2)$ లబ్ధాన్ని మీరు కనుగొనగలరా?

కింది వాటిని గమనించండి:

$ \begin{aligned} & -3 \times 4=-12 \\ & -3 \times 3=-9=-12-(-3) \\ & -3 \times 2=-6=-9-(-3) \\ & -3 \times 1=-3=-6-(-3) \\ & -3 \times 0=0=-3-(-3) \\ & -3 \times-1=0-(-3)=0+3=3 \\ & -3 \times-2=3-(-3)=3+3=6 \end{aligned} $

మీరు ఏదైనా నమూనాను చూస్తున్నారా? లబ్ధాలు ఎలా మారుతున్నాయో గమనించండి.

ఈ పరిశీలన ఆధారంగా, కింది వాటిని పూర్తి చేయండి:

$ -3 \times-3=\ldots \ldots -3 \times-4=\ldots \ldots $

ఇప్పుడు ఈ లబ్ధాలను గమనించండి మరియు ఖాళీలను పూరించండి:

$ \begin{aligned} & -4 \times 4=-16 \\ & -4 \times 3=-12=-16+4 \\ & -4 \times 2= \ldots \ldots=-12+4 \\ & -4 \times 1=\ldots \ldots \\ & -4 \times 0=\ldots \ldots \\ & -4 \times(-1)=\ldots \ldots \\ & -4 \times(-2)= \ldots \ldots\\ & -4 \times(-3)=\ldots \ldots \end{aligned} $

మీరే చేసి చూడండి

(i) $(-5) \times 4$ నుండి ప్రారంభించి, $(-5) \times(-6)$ని కనుగొనండి

(ii) $(-6) \times 3$ నుండి ప్రారంభించి, $(-6) \times(-7)$ని కనుగొనండి

ఈ నమూనాల నుండి మనం గమనించేది,

$ \begin{aligned} & (-3) \times(-1)=3=3 \times 1 \\ & (-3) \times(-2)=6=3 \times 2 \\ & (-3) \times(-3)=9=3 \times 3 \\ & \text{మరియు} \quad (-4) \times(-1)=4=4 \times 1 \\ & \text{ కాబట్టి, } \quad(-4) \times(-2)=4 \times 2=\ldots \ldots \\ & (-4) \times(-3)=\ldots \ldots=\ldots \ldots \end{aligned} $

కాబట్టి ఈ లబ్ధాలను గమనించడం ద్వారా, రెండు ఋణ పూర్ణాంకాల లబ్ధం ఒక ధన పూర్ణాంకం అని చెప్పగలం. మనం రెండు ఋణ పూర్ణాంకాలను పూర్ణ సంఖ్యలుగా గుణించి, లబ్ధం ముందు ధన గుర్తు (+) ఉంచుతాము.

అందువలన, మనకు $\quad(-10) \times(-12)=+120=120$ ఉంది

అదేవిధంగా $\quad(-15) \times(-6)=+90=90$

సాధారణంగా, ఏవైనా రెండు ధన పూర్ణాంకాలు $a$ మరియు $b$ కోసం,

$ (-a) \times(-b)=a \times b $

మీరే చేసి చూడండి

కనుగొనండి: $(-31) \times(-100),(-25) \times(-72),(-83) \times(-28)$

ఆట 1

(i) చిత్రంలో చూపినట్లుగా -104 నుండి 104 వరకు గుర్తించబడిన బోర్డును తీసుకోండి.

(ii) రెండు నీలం మరియు రెండు ఎరుపు పాచికలు ఉన్న సంచిని తీసుకోండి. నీలం పాచికలపై ఉన్న చుక్కల సంఖ్య ధన పూర్ణాంకాలను సూచిస్తుంది మరియు ఎరుపు పాచికలపై ఉన్న చుక్కల సంఖ్య ఋణ పూర్ణాంకాలను సూచిస్తుంది.

(iii) ప్రతి ఆటగాడు తన/ఆమె కౌంటర్ను సున్నా వద్ద ఉంచుతారు.

(iv) ప్రతి ఆటగాడు ఒకేసారి సంచి నుండి రెండు పాచికలను తీసి వాటిని విసిరేయాలి.

(v) ప్రతి విసిరిన తర్వాత, ఆటగాడు పాచికలపై గుర్తించబడిన సంఖ్యలను గుణించాలి.