1.1 പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ സങ്കലനത്തിന്റെയും വ്യവകലനത്തിന്റെയും ഗുണങ്ങൾ

ആറാം ക്ലാസ്സിൽ നമ്മൾ പൂർണ്ണസംഖ്യകളെക്കുറിച്ചും പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ സങ്കലനവും വ്യവകലനവും പഠിച്ചിട്ടുണ്ട്.

1.1.1 സങ്കലനത്തിൽ അടയ്ക്കൽ ഗുണം

രണ്ട് പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ തുക വീണ്ടും ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയാണെന്ന് നമ്മൾ പഠിച്ചിട്ടുണ്ട്. ഉദാഹരണത്തിന്, $17+24=41$ ഇത് വീണ്ടും ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയാണ്. ഈ ഗുണം പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ സങ്കലനത്തിനുള്ള അടയ്ക്കൽ ഗുണം എന്നറിയപ്പെടുന്നുവെന്ന് നമുക്കറിയാം.

ഈ ഗുണം പൂർണ്ണസംഖ്യകൾക്കും ശരിയാണോ എന്ന് നോക്കാം.

താഴെ പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ ചില ജോഡികൾ നൽകിയിരിക്കുന്നു. താഴെയുള്ള പട്ടിക നിരീക്ഷിച്ച് പൂർത്തിയാക്കുക.

നിങ്ങൾ എന്താണ് നിരീക്ഷിക്കുന്നത്? രണ്ട് പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ തുക എപ്പോഴും ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയാണോ?

തുക ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയല്ലാത്ത ഒരു ജോഡി പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തിയോ?

പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ സങ്കലനം പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ തന്നെ നൽകുന്നതിനാൽ, പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ സങ്കലനത്തിൽ അടഞ്ഞിരിക്കുന്നുവെന്ന് നമ്മൾ പറയുന്നു.

പൊതുവേ, ഏതെങ്കിലും രണ്ട് പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ $a$ ഉം $b, a+b$ ഉം ആണെങ്കിൽ, അവയുടെ തുക ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയാണ്.

1.1.2 വ്യവകലനത്തിൽ അടയ്ക്കൽ ഗുണം

ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയിൽ നിന്ന് മറ്റൊരു പൂർണ്ണസംഖ്യ കുറയ്ക്കുമ്പോൾ എന്ത് സംഭവിക്കും? അവയുടെ വ്യത്യാസവും ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയാണെന്ന് നമുക്ക് പറയാമോ?

താഴെയുള്ള പട്ടിക നിരീക്ഷിച്ച് പൂർത്തിയാക്കുക:

നിങ്ങൾ എന്താണ് നിരീക്ഷിക്കുന്നത്? വ്യത്യാസം ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയല്ലാത്ത ഏതെങ്കിലും ജോഡി പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ ഉണ്ടോ? പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ വ്യവകലനത്തിൽ അടഞ്ഞിരിക്കുന്നുവെന്ന് നമുക്ക് പറയാമോ? അതെ, പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ വ്യവകലനത്തിൽ അടഞ്ഞിരിക്കുന്നുവെന്ന് നമുക്ക് കാണാം.

അതിനാൽ, $a$ ഉം $b$ ഉം രണ്ട് പൂർണ്ണസംഖ്യകളാണെങ്കിൽ $a-b$ ഉം ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയാണ്. പൂർണ്ണസംഖ്യകൾക്ക് ഈ ഗുണം തൃപ്തികരമാണോ?

1.1.3 കമ്മ്യൂട്ടേറ്റീവ് ഗുണം

$3+5=5+3=8$ ആണെന്ന് നമുക്കറിയാം, അതായത്, പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ ഏത് ക്രമത്തിലും കൂട്ടാം. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, പൂർണ്ണസംഖ്യകൾക്ക് സങ്കലനം കമ്മ്യൂട്ടേറ്റീവ് ആണ്.

പൂർണ്ണസംഖ്യകൾക്കും ഇത് പറയാമോ?

നമുക്ക് $5+(-6)=-1$ ഉം $(-6)+5=-1$ ഉം ഉണ്ട്.

അതിനാൽ, $5+(-6)=(-6)+5$.

ഇനിപ്പറയുന്നവ തുല്യമാണോ?

(i) $(-8)+(-9)$ ഉം $(-9)+(-8)$ ഉം

(ii) $(-23)+32$ ഉം $32+(-23)$ ഉം

(iii) $(-45)+0$ ഉം $0+(-45)$ ഉം

ഇത് മറ്റ് അഞ്ച് ജോഡി പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ ഉപയോഗിച്ച് പരീക്ഷിക്കുക. ക്രമം മാറ്റുമ്പോൾ തുകകൾ വ്യത്യസ്തമായ ഏതെങ്കിലും ജോഡി പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തിയോ? തീർച്ചയായും ഇല്ല. പൂർണ്ണസംഖ്യകൾക്ക് സങ്കലനം കമ്മ്യൂട്ടേറ്റീവ് ആണെന്ന് നമ്മൾ പറയുന്നു.

പൊതുവേ, ഏതെങ്കിലും രണ്ട് പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ $a$ ഉം $b$ ഉം ആണെങ്കിൽ, നമുക്ക് പറയാം

$ a+b=b+a $

• പൂർണ്ണസംഖ്യകൾക്ക് വ്യവകലനം കമ്മ്യൂട്ടേറ്റീവ് അല്ലെന്ന് നമുക്കറിയാം. പൂർണ്ണസംഖ്യകൾക്ക് ഇത് കമ്മ്യൂട്ടേറ്റീവ് ആണോ?

5 ഉം (-3) ഉം എന്നീ പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ പരിഗണിക്കുക.

$5-(-3)$ എന്നത് $(-3)-5$ എന്നതിന് തുല്യമാണോ? അല്ല, കാരണം $5-(-3)=5+3=8$, ഒപ്പം $(-3)-5$

$=-3-5=-8$.

ഇത് പരിശോധിക്കാൻ കുറഞ്ഞത് അഞ്ച് വ്യത്യസ്ത ജോഡി പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ എടുക്കുക.

പൂർണ്ണസംഖ്യകൾക്ക് വ്യവകലനം കമ്മ്യൂട്ടേറ്റീവ് അല്ലെന്ന് നമ്മൾ നിഗമനം ചെയ്യുന്നു.

1.1.4 അസോസിയേറ്റീവ് ഗുണം

ഇനിപ്പറയുന്ന ഉദാഹരണങ്ങൾ നിരീക്ഷിക്കുക:

$-3,-2$ ഉം -5 ഉം എന്നീ പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ പരിഗണിക്കുക.

$(-5)+[(-3)+(-2)]$ ഉം $[(-5)+(-3)]+(-2)$ ഉം നോക്കുക.

ആദ്യത്തെ തുകയിൽ (-3) ഉം (-2) ഉം ഒരുമിച്ച് ഗ്രൂപ്പ് ചെയ്തിരിക്കുന്നു, രണ്ടാമത്തേതിൽ (-5) ഉം (-3) ഉം ഒരുമിച്ച് ഗ്രൂപ്പ് ചെയ്തിരിക്കുന്നു. നമുക്ക് വ്യത്യസ്ത ഫലങ്ങൾ ലഭിക്കുമോ എന്ന് പരിശോധിക്കാം.

$ (-5)+[(-3)+(-2)] $

$ [(-5)+(-3)]+(-2) $

രണ്ട് സാഹചര്യങ്ങളിലും, നമുക്ക് -10 ലഭിക്കുന്നു.

അതായത്,

$ (-5)+[(-3)+(-2)]=[(-5)+(-2)]+(-3) $

സമാനമായി $-3,1$ ഉം -7 ഉം പരിഗണിക്കുക.

$ \begin{aligned} & (-3)+[1+(-7)]=-3+……=…… \\ & [(-3)+1]+(-7)=-2+……=…… \end{aligned} $

$(-3)+[1+(-7)]$ എന്നത് $[(-3)+1]+(-7)$ എന്നതിന് തുല്യമാണോ?

ഇതുപോലെയുള്ള അഞ്ച് ഉദാഹരണങ്ങൾ കൂടി എടുക്കുക. തുകകൾ വ്യത്യസ്തമായ ഒരു ഉദാഹരണം നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തില്ല. പൂർണ്ണസംഖ്യകൾക്ക് സങ്കലനം അസോസിയേറ്റീവ് ആണ്.

പൊതുവേ, ഏതെങ്കിലും പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ $a, b$, $c$ എന്നിവയ്ക്ക്, നമുക്ക് പറയാം

$ a+(b+c)=(a+b)+c $

1.1.5 സങ്കലന സമാനകം

ഏതെങ്കിലും പൂർണ്ണസംഖ്യയോട് പൂജ്യം കൂട്ടുമ്പോൾ, നമുക്ക് അതേ പൂർണ്ണസംഖ്യ ലഭിക്കുന്നു. പൂർണ്ണസംഖ്യകൾക്ക് പൂജ്യം ഒരു സങ്കലന സമാനകമാണ്. പൂർണ്ണസംഖ്യകൾക്കും ഇത് ഒരു സങ്കലന സമാനകമാണോ?

ഇനിപ്പറയുന്നവ നിരീക്ഷിച്ച് ശൂന്യങ്ങൾ പൂരിപ്പിക്കുക:

(i) $(-8)+0=-8$

(ii) $0+(-8)=-8$

(iii) $(-23)+0=……$

(iv) $0+(-37)=-37$

(v) $0+(-59)=……$

(vi) $0+……$ $=-43$

(vii) $-61+……$ $=-61$

(viii) $……-0=……$

മുകളിലെ ഉദാഹരണങ്ങൾ കാണിക്കുന്നത് പൂർണ്ണസംഖ്യകൾക്ക് പൂജ്യം ഒരു സങ്കലന സമാനകമാണെന്നാണ്.

മറ്റേതെങ്കിലും അഞ്ച് പൂർണ്ണസംഖ്യകളോട് പൂജ്യം കൂട്ടി നിങ്ങൾക്ക് ഇത് പരിശോധിക്കാം.

പൊതുവേ, ഏതെങ്കിലും പൂർണ്ണസംഖ്യ $a$ ന്

$ a+0=a=0+a $

ഇത് പരീക്ഷിക്കുക

1. താഴെ തന്നിരിക്കുന്നവ നൽകുന്ന രണ്ട് പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ ജോഡി എഴുതുക

(a) ഒരു ഋണ പൂർണ്ണസംഖ്യ

(b) പൂജ്യം

(c) രണ്ട് പൂർണ്ണസംഖ്യകളേക്കാളും ചെറിയ ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യ.

(d) ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയേക്കാൾ മാത്രം ചെറിയ ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യ.

(e) രണ്ട് പൂർണ്ണസംഖ്യകളേക്കാളും വലിയ ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യ.

2. താഴെ തന്നിരിക്കുന്നവ നൽകുന്ന രണ്ട് പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ വ്യത്യാസം എഴുതുക

(a) ഒരു ഋണ പൂർണ്ണസംഖ്യ.

(b) പൂജ്യം.

(c) രണ്ട് പൂർണ്ണസംഖ്യകളേക്കാളും ചെറിയ ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യ.

(d) ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയേക്കാൾ മാത്രം വലിയ ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യ.

(e) രണ്ട് പൂർണ്ണസംഖ്യകളേക്കാളും വലിയ ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യ.

ഉദാഹരണം 1 താഴെ തന്നിരിക്കുന്നവയുള്ള രണ്ട് പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ ജോഡി എഴുതുക

(a) തുക -3 $\qquad$ (b) വ്യത്യാസം -5

(c) വ്യത്യാസം 2 $\quad$ (d) തുക 0

പരിഹാരം

(a) $(-1)+(-2)=-3$ അല്ലെങ്കിൽ $(-5)+2=-3$

(b) $(-9)-(-4)=-5$ അല്ലെങ്കിൽ $(-2)-3=-5$

(c) $(-7)-(-9)=2$ അല്ലെങ്കിൽ $1-(-1)=2$

(d) $(-10)+10=0$ അല്ലെങ്കിൽ $5+(-5)=0$

ഈ ഉദാഹരണങ്ങളിൽ കൂടുതൽ ജോഡികൾ നിങ്ങൾക്ക് എഴുതാമോ?

എക്സർസൈസ് 1.1

1. താഴെ തന്നിരിക്കുന്നവയുള്ള രണ്ട് പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ ജോഡി എഴുതുക:

(a) തുക -7 $\qquad$ (b) വ്യത്യാസം -10 $\qquad$ (c) തുക 0

2. (a) 8 വ്യത്യാസം നൽകുന്ന രണ്ട് ഋണ പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ ജോഡി എഴുതുക.

(b) തുക -5 ആയ ഒരു ഋണ പൂർണ്ണസംഖ്യയും ഒരു ധന പൂർണ്ണസംഖ്യയും എഴുതുക.

(c) വ്യത്യാസം -3 ആയ ഒരു ഋണ പൂർണ്ണസംഖ്യയും ഒരു ധന പൂർണ്ണസംഖ്യയും എഴുതുക.

3. ഒരു ക്വിസിൽ, $A$ ടീം -40, 10, 0 എന്നിവയും $B$ ടീം മൂന്ന് തുടർച്ചയായ റൗണ്ടുകളിൽ $10,0,-40$ സ്കോർ ചെയ്തു. ഏത് ടീമാണ് കൂടുതൽ സ്കോർ ചെയ്തത്? പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ ഏത് ക്രമത്തിലും കൂട്ടാമെന്ന് നമുക്ക് പറയാമോ?

4. ഇനിപ്പറയുന്ന പ്രസ്താവനകൾ ശരിയാകുന്ന വിധത്തിൽ ശൂന്യങ്ങൾ പൂരിപ്പിക്കുക:

(i) $(-5)+(-8)=(-8)+(\ldots \ldots \ldots \ldots)$.

(ii) $-53+\ldots \ldots \ldots \ldots .=-53$

(iii) $17+\ldots \ldots \ldots \ldots=0$

(iv) $[13+(-12)]+(\ldots \ldots \ldots \ldots)=.13+[(-12)+(-7)]$

(v) $(-4)+[15+(-3)]=[-4+15]+\ldots \ldots \ldots$

1.2 പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ ഗുണനം

പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ നമുക്ക് കൂട്ടാനും കുറയ്ക്കാനും കഴിയും. ഇപ്പോൾ പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ എങ്ങനെ ഗുണിക്കാമെന്ന് പഠിക്കാം.

1.2.1 ഒരു ധന പൂർണ്ണസംഖ്യയുടെയും ഒരു ഋണ പൂർണ്ണസംഖ്യയുടെയും ഗുണനം

പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ ഗുണനം ആവർത്തിച്ചുള്ള സങ്കലനമാണെന്ന് നമുക്കറിയാം. ഉദാഹരണത്തിന്,

$ 5+5+5=3 \times 5=15 $

പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ സങ്കലനം അതേ രീതിയിൽ പ്രതിനിധീകരിക്കാമോ?

താഴെയുള്ള സംഖ്യാരേഖയിൽ നിന്ന് നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്, $(-5)+(-5)+(-5)=-15$

എന്നാൽ നമുക്ക് ഇങ്ങനെയും എഴുതാം

$ \qquad(-5)+(-5)+(-5)=3 \times(-5) $

അതിനാൽ, $ \qquad 3 \times(-5)=-15 $

ഇത് പരീക്ഷിക്കുക

കണ്ടെത്തുക:

$ \begin{aligned} & 4 \times(-8), \\ & 8 \times(-2), \\ & 3 \times(-7), \\ & 10 \times(-1) \end{aligned} $

സംഖ്യാരേഖ ഉപയോഗിച്ച്.

സമാനമായി

$ (-4)+(-4)+(-4)+(-4)+(-4)=5 \times(-4)=-20 $

$ \text{ഒപ്പം}\quad (-3)+(-3)+(-3)+(-3)=\ldots \ldots \ldots= \ldots \ldots \ldots $

$ \text{കൂടാതെ, }\qquad(-7)+(-7)+(-7)=\ldots \ldots \ldots =\ldots \ldots \ldots $

സംഖ്യാരേഖ ഉപയോഗിക്കാതെ ഒരു ധന പൂർണ്ണസംഖ്യയുടെയും ഒരു ഋണ പൂർണ്ണസംഖ്യയുടെയും ഗുണനഫലം എങ്ങനെ കണ്ടെത്താമെന്ന് നോക്കാം.

$3 \times(-5)$ വ്യത്യസ്ത രീതിയിൽ കണ്ടെത്താം. ആദ്യം $3 \times 5$ കണ്ടെത്തുക, തുടർന്ന് ലഭിച്ച ഗുണനഫലത്തിന് മുമ്പിൽ മൈനസ് ചിഹ്നം (-) ഇടുക. നിങ്ങൾക്ക് -15 ലഭിക്കും. അതായത്, -15 ലഭിക്കാൻ നമ്മൾ $-(3 \times 5)$ കണ്ടെത്തുന്നു.

സമാനമായി, $ \qquad 5 \times(-4)=-(5 \times 4)=-20 . $

സമാന രീതിയിൽ കണ്ടെത്തുക,

$ \begin{matrix} 4 \times(-8)= \ldots \ldots= \ldots \ldots , 3 \times(-7)=\ldots \ldots = \ldots \ldots \\ 6 \times(-5)=\ldots \ldots = \ldots \ldots , 2 \times(-9)= \ldots \ldots = \ldots \ldots \end{matrix} $

ഇത് പരീക്ഷിക്കുക

കണ്ടെത്തുക:

(i) $6 \times(-19)$

(ii) $12 \times(-32)$

(iii) $7 \times(-22)$

ഈ രീതി ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് ഇങ്ങനെ ഉണ്ട്,

$ 10 \times(-43)=\ldots \ldots -(10 \times 43)=-430 $

ഇതുവരെ നമ്മൾ പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ (ധന പൂർണ്ണസംഖ്യ) $\times$ (ഋണ പൂർണ്ണസംഖ്യ) എന്ന രീതിയിൽ ഗുണിച്ചിരുന്നു.

ഇപ്പോൾ അവയെ (ഋണ പൂർണ്ണസംഖ്യ) $\times$ (ധന പൂർണ്ണസംഖ്യ) എന്ന രീതിയിൽ ഗുണിക്കാം.

ആദ്യം നമ്മൾ $-3 \times 5$ കണ്ടെത്തുന്നു.

ഇത് കണ്ടെത്താൻ, ഇനിപ്പറയുന്ന രീതി നിരീക്ഷിക്കുക:

നമുക്ക് ഉണ്ട്,

$ \begin{aligned} & 3 \times 5=15 \\ & 2 \times 5=10=15-5 \\ & 1 \times 5=5=10-5 \\ & 0 \times 5=0=5-5 \end{aligned} $

$ \begin{aligned} \text{അതിനാൽ} \quad & -1 \times 5=0-5=-5 \\ & -2 \times 5=-5-5=10=-5 \\ & -3 \times 5=-10-5=-15 \\ \end{aligned} $

നമുക്ക് ഇതിനകം $\qquad 3 \times(-5)=-15$ ഉണ്ട്

അതിനാൽ നമുക്ക് $\qquad (-3) \times 5=-15=3 \times(-5)$ ലഭിക്കുന്നു

ഇത്തരം രീതികൾ ഉപയോഗിച്ച്, നമുക്ക് $(-5) \times 4=-20=5 \times(-4)$ ഉം ലഭിക്കുന്നു

രീതികൾ ഉപയോഗിച്ച്, $(-4) \times 8,(-3) \times 7,(-6) \times 5$ ഉം $(-2) \times 9$ ഉം കണ്ടെത്തുക

പരിശോധിക്കുക, $(-4) \times 8=4 \times(-8),(-3) \times 7=3 \times(-7),(-6) \times 5=6 \times(-5)$ ഒപ്പം

$ (-2) \times 9=2 \times(-9) $

ഇത് ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു,

$ (-33) \times 5=33 \times(-5)=-165 $

ഒരു ധന പൂർണ്ണസംഖ്യയും ഒരു ഋണ പൂർണ്ണസംഖ്യയും ഗുണിക്കുമ്പോൾ, അവയെ പൂർണ്ണസംഖ്യകളായി ഗുണിച്ച് ഗുണനഫലത്തിന് മുമ്പിൽ ഒരു മൈനസ് ചിഹ്നം (-) ഇടുന്നുവെന്ന് നമ്മൾ കണ്ടെത്തുന്നു. അങ്ങനെ നമുക്ക് ഒരു ഋണ പൂർണ്ണസംഖ്യ ലഭിക്കുന്നു.

ഇത് പരീക്ഷിക്കുക

1. കണ്ടെത്തുക:

(a) $15 \times(-16)\qquad $ (b) $21 \times(-32)$

(c) $(-42) \times 12\qquad $ (d) $-55 \times 15$

2. പരിശോധിക്കുക

(a) $25 \times(-21)=(-25) \times 21\qquad $ (b) $(-23) \times 20=23 \times(-20)$

ഇതുപോലെയുള്ള അഞ്ച് ഉദാഹരണങ്ങൾ കൂടി എഴുതുക.

പൊതുവേ, ഏതെങ്കിലും രണ്ട് ധന പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ $a$ ഉം $b$ ഉം ആണെങ്കിൽ നമുക്ക് പറയാം

$ a \times(-b)=(-a) \times b=-(a \times b) $

1.2.2 രണ്ട് ഋണ പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ ഗുണനം

$(-3) \times(-2)$ എന്ന ഗുണനഫലം നിങ്ങൾക്ക് കണ്ടെത്താമോ?

ഇനിപ്പറയുന്നവ നിരീക്ഷിക്കുക:

$ \begin{aligned} & -3 \times 4=-12 \\ & -3 \times 3=-9=-12-(-3) \\ & -3 \times 2=-6=-9-(-3) \\ & -3 \times 1=-3=-6-(-3) \\ & -3 \times 0=0=-3-(-3) \\ & -3 \times-1=0-(-3)=0+3=3 \\ & -3 \times-2=3-(-3)=3+3=6 \end{aligned} $

ഏതെങ്കിലും രീതി നിങ്ങൾ കാണുന്നുണ്ടോ? ഗുണനഫലങ്ങൾ എങ്ങനെ മാറുന്നുവെന്ന് നിരീക്ഷിക്കുക.

ഈ നിരീക്ഷണത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, ഇനിപ്പറയുന്നവ പൂർത്തിയാക്കുക:

$ -3 \times-3=\ldots \ldots -3 \times-4=\ldots \ldots $

ഇപ്പോൾ ഈ ഗുണനഫലങ്ങൾ നിരീക്ഷിച്ച് ശൂന്യങ്ങൾ പൂരിപ്പിക്കുക:

$ \begin{aligned} & -4 \times 4=-16 \\ & -4 \times 3=-12=-16+4 \\ & -4 \times 2= \ldots \ldots=-12+4 \\ & -4 \times 1=\ldots \ldots \\ & -4 \times 0=\ldots \ldots \\ & -4 \times(-1)=\ldots \ldots \\ & -4 \times(-2)= \ldots \ldots\\ & -4 \times(-3)=\ldots \ldots \end{aligned} $

ഇത് പരീക്ഷിക്കുക

(i) $(-5) \times 4$ ൽ നിന്ന് ആരംഭിച്ച്, $(-5) \times(-6)$ കണ്ടെത്തുക

(ii) $(-6) \times 3$ ൽ നിന്ന് ആരംഭിച്ച്, $(-6) \times(-7)$ കണ്ടെത്തുക

ഈ രീതികളിൽ നിന്ന് നമ്മൾ നിരീക്ഷിക്കുന്നത്,

$ \begin{aligned} & (-3) \times(-1)=3=3 \times 1 \\ & (-3) \times(-2)=6=3 \times 2 \\ & (-3) \times(-3)=9=3 \times 3 \\ & \text{ഒപ്പം} \quad (-4) \times(-1)=4=4 \times 1 \\ & \text{ അതിനാൽ, } \quad(-4) \times(-2)=4 \times 2=\ldots \ldots \\ & (-4) \times(-3)=\ldots \ldots=\ldots \ldots \end{aligned} $

അതിനാൽ ഈ ഗുണനഫലങ്ങൾ നിരീക്ഷിച്ച്, രണ്ട് ഋണ പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലം ഒരു ധന പൂർണ്ണസംഖ്യയാണെന്ന് നമുക്ക് പറയാം. രണ്ട് ഋണ പൂർണ്ണസംഖ്യകളെ പൂർണ്ണസംഖ്യകളായി ഗുണിച്ച് ഗുണനഫലത്തിന് മുമ്പിൽ പോസിറ്റീവ് ചിഹ്നം ഇടുന്നു.

അങ്ങനെ, നമുക്ക് $\quad(-10) \times(-12)=+120=120$ ഉണ്ട്

സമാനമായി $\quad(-15) \times(-6)=+90=90$

പൊതുവേ, ഏതെങ്കിലും രണ്ട് ധന പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ $a$ ഉം $b$ ഉം ആണെങ്കിൽ,

$ (-a) \times(-b)=a \times b $

ഇത് പരീക്ഷിക്കുക

കണ്ടെത്തുക: $(-31) \times(-100),(-25) \times(-72),(-83) \times(-28)$

ഗെയിം 1

(i) ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ -104 മുതൽ 104 വരെ അടയാളപ്പെടുത്തിയ ഒരു ബോർഡ് എടുക്കുക.

(ii) രണ്ട് നീല ചുക്കുകളും രണ്ട് ചുവപ്പ് ചുക്കുകളും അടങ്ങിയ ഒരു ബാഗ് എടുക്കുക. നീല ചുക്കുകളിലെ ബിന്ദുക്കളുടെ എണ്ണം ധന പൂർണ്ണസംഖ്യകളെയും ചുവപ്പ് ചുക്കുകളിലെ ബിന്ദുക്കളുടെ എണ്ണം ഋണ പൂർണ്ണസംഖ്യകളെയും സൂചിപ