১০.১ পৰিচয়

আমি ইতিমধ্যে $x+3, y-5,4 x+5$, $10 y-5$ আদি সৰল বীজগণিতীয় ৰাশিৰ সৈতে পৰিচিত হৈছোঁ। ষষ্ঠ শ্ৰেণীত আমি দেখিছোঁ কেনেকৈ এই ৰাশিবোৰ ধাঁধা আৰু সমস্যা গঠন কৰাত উপযোগী। আমি সৰল সমীকৰণৰ অধ্যায়ত কেইবাটাও ৰাশিৰ উদাহৰণো দেখিছোঁ।

ৰাশি বীজগণিতৰ এক কেন্দ্ৰীয় ধাৰণা। এই অধ্যায়টো বীজগণিতীয় ৰাশিৰ ওপৰত নিৰ্ধাৰিত। এই অধ্যায়টো অধ্যয়ন কৰাৰ পিছত, তুমি জানিবা কেনেকৈ বীজগণিতীয় ৰাশি গঠন কৰা হয়, কেনেকৈ সেইবোৰ সংযুক্ত কৰিব পাৰি, কেনেকৈ আমি সেইবোৰৰ মান নিৰ্ণয় কৰিব পাৰোঁ আৰু কেনেকৈ সেইবোৰ ব্যৱহাৰ কৰিব পাৰি।

১০.২ ৰাশি কেনেকৈ গঠন কৰা হয়?

আমি এতিয়া চলক কি তাক ভালদৰে জানো। আমি চলকবোৰ বুজাবলৈ $x, y, l, m, \ldots$ আদি আখৰ ব্যৱহাৰ কৰোঁ। এটা চলকে বিভিন্ন মান গ্ৰহণ কৰিব পাৰে। ইয়াৰ মান স্থিৰ নহয়। আনহাতে, এটা ধ্ৰুৱকৰ এটা স্থিৰ মান থাকে। ধ্ৰুৱকৰ উদাহৰণ হ’ল: 4, 100, -17 আদি।

আমি বীজগণিতীয় ৰাশি গঠন কৰিবলৈ চলক আৰু ধ্ৰুৱক সংযুক্ত কৰোঁ। ইয়াৰ বাবে আমি যোগ, বিয়োগ, পূৰণ আৰু হৰণৰ ক্ৰিয়াবোৰ ব্যৱহাৰ কৰোঁ। আমি ইতিমধ্যে $4 x+5,10 y-20$ আদি ৰাশিৰ সৈতে পৰিচিত হৈছোঁ। $4 x+5$ ৰাশিটো $x$ চলকৰ পৰা প্ৰথমে $x$ ক ধ্ৰুৱক 4 ৰে পূৰণ কৰি তাৰ পিছত উৎপন্নটোত ধ্ৰুৱক 5 যোগ কৰি পোৱা হয়। একেদৰে, $10 y-20$ ৰাশিটো প্ৰথমে $y$ ক 10 ৰে পূৰণ কৰি তাৰ পিছত উৎপন্নটোৰ পৰা 20 বিয়োগ কৰি পোৱা হয়।

ওপৰৰ ৰাশিবোৰ চলকবোৰক ধ্ৰুৱকৰ সৈতে সংযুক্ত কৰি পোৱা হৈছিল। আমি চলকবোৰক নিজৰ সৈতে বা আন চলকৰ সৈতে সংযুক্ত কৰিও ৰাশি পাব পাৰোঁ।

কেনেকৈ তলৰ ৰাশিবোৰ পোৱা হয় চোৱা:

$ x^{2}, 2 y^{2}, 3 x^{2}-5, x y, 4 x y+7 $

(i) $x^{2}$ ৰাশিটো $x$ চলকটোক নিজৰ সৈতে পূৰণ কৰি পোৱা হয়;

$ x \times x=x^{2} $

যেনেকৈ $4 \times 4$ ক $4^{2}$ হিচাপে লিখা হয়, তেনেকৈ আমি $x \times x=x^{2}$ লিখোঁ। সাধাৰণতে ইয়াক $x$ স্কোৱেৰ্ড বুলি পঢ়া হয়।

(পিছত, যেতিয়া তুমি ‘ঘাত আৰু ঘাতাংক’ অধ্যায়টো অধ্যয়ন কৰিবা, তেতিয়া তুমি বুজিবা যে $x^{2}$ ক $x$ ৰ ঘাত 2 বুলিও পঢ়িব পাৰি)।

একেদৰে, আমি $\quad x \times x \times x=x^{3}$ লিখিব পাৰোঁ।

সাধাৰণতে, $x^{3}$ ক ‘$x$ কিউবড’ বুলি পঢ়া হয়। পিছত, তুমি বুজিবা যে $x^{3}$ ক $x$ ৰ ঘাত 3 বুলিও পঢ়িব পাৰি।

$x, x^{2}, x^{3}, \ldots$ সকলোবোৰ $x$ ৰ পৰা পোৱা বীজগণিতীয় ৰাশি।

(ii) $2 y^{2}$ ৰাশিটো $y: 2 y^{2}=2 \times y \times y$ ৰ পৰা পোৱা হয়।

ইয়াত $y$ ক $y$ ৰে পূৰণ কৰি আমি $y^{2}$ পাওঁ আৰু তাৰ পিছত আমি $y^{2}$ ক ধ্ৰুৱক 2 ৰে পূৰণ কৰোঁ।

(iii) $(3 x^{2}-5)$ ত আমি প্ৰথমে $x^{2}$ পাওঁ, আৰু ইয়াক 3 ৰে পূৰণ কৰি $3 x^{2}$ পাওঁ।

$3 x^{2}$ ৰ পৰা, আমি 5 বিয়োগ কৰি শেষত $3 x^{2}-5$ লৈ আহোঁ।

(iv) $x y$ ত, আমি $x$ চলকটোক আন এটা চলক $y$ ৰে পূৰণ কৰোঁ। গতিকে, $x \times y=x y$।

(v) $4 x y+7$ ত, আমি প্ৰথমে $x y$ পাওঁ, ইয়াক 4 ৰে পূৰণ কৰি $4 x y$ পাওঁ আৰু $4 x y$ লৈ 7 যোগ কৰি ৰাশিটো পাওঁ।

চেষ্টা কৰা

তলৰ ৰাশিবোৰ কেনেকৈ পোৱা হয় বৰ্ণনা কৰা:

$7 x y+5, x^{2} y, 4 x^{2}-5 x$

১০.৩ ৰাশিৰ পদ

ওপৰত আমি ৰাশি কেনেকৈ গঠন কৰা হয় তাৰ বিষয়ে যি শিকিলোঁ, আমি এতিয়া তাক এক সুসংগঠিত ৰূপত সজাবলৈ ওলাওঁ। এই উদ্দেশ্যৰ বাবে, ৰাশিৰ পদ আৰু সেইবোৰৰ উৎপাদক কি তাক বুজিব লাগিব।

$(4 x+5)$ ৰাশিটো বিবেচনা কৰা। এই ৰাশি গঠন কৰোঁতে, আমি প্ৰথমে $4 x$ ক 4 আৰু $x$ ৰ গুণফল হিচাপে পৃথককৈ গঠন কৰিছিলোঁ আৰু তাৰ পিছত ইয়াত 5 যোগ কৰিছিলোঁ। একেদৰে $(3 x^{2}+7 y)$ ৰাশিটো বিবেচনা কৰা। ইয়াত আমি প্ৰথমে $3 x^{2}$ ক $3, x$ আৰু $x$ ৰ গুণফল হিচাপে পৃথককৈ গঠন কৰিছিলোঁ। তাৰ পিছত আমি $7 y$ ক 7 আৰু $y$ ৰ গুণফল হিচাপে পৃথককৈ গঠন কৰিছিলোঁ। $3 x^{2}$ আৰু $7 y$ ক পৃথককৈ গঠন কৰাৰ পিছত, আমি ৰাশিটো পাবলৈ সেইবোৰ যোগ কৰিছিলোঁ।

তুমি দেখিবা যে আমি যি ৰাশিবোৰৰ সৈতে কাম কৰোঁ, সেইবোৰ সদায় এনেদৰে দেখা পোৱা যায়। সেইবোৰৰ অংশ থাকে যিবোৰ পৃথককৈ গঠন কৰা হয় আৰু তাৰ পিছত যোগ কৰা হয়। ৰাশিৰ এনে অংশবোৰ যিবোৰ প্ৰথমে পৃথককৈ গঠন কৰা হয় আৰু তাৰ পিছত যোগ কৰা হয়, তাক পদ বুলি জনা যায়। $(4 x^{2}-3 x y)$ ৰাশিটোলৈ চোৱা। আমি কওঁ যে ইয়াৰ দুটা পদ আছে, $4 x^{2}$ আৰু $-3 x y$। $4 x^{2}$ পদটো 4, $x$ আৰু $x$ ৰ গুণফল, আৰু (-3xy) পদটো (-3), $x$ আৰু $y$ ৰ গুণফল।

ৰাশি গঠন কৰিবলৈ পদবোৰ যোগ কৰা হয়। যেনেকৈ $4 x$ আৰু 5 পদ দুটা যোগ কৰি $(4 x+5)$ ৰাশিটো গঠন কৰা হয়, তেনেকৈ $4 x^{2}$ আৰু ($.-3 x y)$ পদ দুটা যোগ কৰি $(4 x^{2}-3 x y)$ ৰাশিটো দিয়া হয়। ইয়াৰ কাৰণ হ’ল $4 x^{2}+(-3 x y)=4 x^{2}-3 x y$।

মনত ৰাখিবা, বিয়োগ চিহ্ন (-) পদটোত অন্তৰ্ভুক্ত থাকে। $4 x^{2}-3 x y$ ৰাশিটোত, আমি পদটোক $(-3 x y)$ হিচাপে লৈছিলোঁ, (3xy) হিচাপে নহয়। সেয়েহে আমাক ৰাশি গঠন কৰিবলৈ পদবোৰ ‘যোগ বা বিয়োগ’ কৰা হয় বুলি ক’বৰ প্ৰয়োজন নাই; কেৱল ‘যোগ’ কৰিলেই যথেষ্ট।

পদৰ উৎপাদক

ওপৰত আমি দেখিলোঁ যে $(4 x^{2}-3 x y)$ ৰাশিটোত $4 x^{2}$ আৰু $-3 x y$ দুটা পদ আছে। $4 x^{2}$ পদটো 4, $x$ আৰু $x$ ৰ গুণফল; আমি কওঁ যে 4, $x$ আৰু $x$ হ’ল $4 x^{2}$ পদটোৰ উৎপাদক। এটা পদ ইয়াৰ উৎপাদকবোৰৰ গুণফল। $-3 x y$ পদটো $-3, x$ আৰু $y$ উৎপাদক দুটাৰ গুণফল।

আমি ৰাশিৰ পদবোৰৰ পদ আৰু উৎপাদকবোৰ সুবিধাজনক আৰু সুন্দৰকৈ এটা গছৰ চিত্ৰৰ দ্বাৰা প্ৰতিনিধিত্ব কৰিব পাৰোঁ। $(4 x^{2}-3 x y)$ ৰাশিৰ বাবে গছটো ওচৰৰ চিত্ৰত দেখুওৱাৰ দৰে।

মনত ৰাখিবা, গছৰ চিত্ৰত, আমি উৎপাদকবোৰৰ বাবে বিন্দুযুক্ত ৰেখা আৰু পদবোৰৰ বাবে অবিচ্ছিন্ন ৰেখা ব্যৱহাৰ কৰিছোঁ। ইয়াৰ উদ্দেশ্য হ’ল সেইবোৰ মিহলি নকৰা।

$5 x y+10$ ৰাশিৰ বাবে এটা গছৰ চিত্ৰ আঁকোঁ।

উৎপাদকবোৰ এনে ধৰণৰ যে সেইবোৰ আৰু অধিক উৎপাদকত ভগাব নোৱাৰি। গতিকে আমি $5 x y$ ক $5 \times x y$ হিচাপে নিলিখোঁ, কাৰণ $x y$ ক আৰু অধিক উৎপাদকত ভগাব পাৰি। একেদৰে, যদি $x^{3}$ এটা পদ হ’লহেতেন, তেন্তে ইয়াক $x \times x \times x$ হিচাপে লিখা হ’লহেতেন, $x^{2} \times x$ হিচাপে নহয়। আৰু মনত ৰাখিবা যে 1 ক পৃথক উৎপাদক হিচাপে লোৱা নহয়।

চেষ্টা কৰা

1. তলৰ ৰাশিবোৰত কি কি পদ আছে?

পদবোৰ কেনেকৈ গঠন কৰা হয় দেখুওৱা। প্ৰতিটো ৰাশিৰ বাবে এটা গছৰ চিত্ৰ আঁকা:

$8 y+3 x^{2}, 7 m n-4,2 x^{2} y$.

2. তিনিটাকৈ ৰাশি লিখা য’ত প্ৰতিটোত 4 টা পদ আছে।

সহগ

আমি এটা পদক উৎপাদকবোৰৰ গুণফল হিচাপে কেনেকৈ লিখিব লাগে শিকিলোঁ। এই উৎপাদকবোৰৰ এটা সংখ্যাগত হ’ব পাৰে আৰু বাকীবোৰ বীজগণিতীয় (অৰ্থাৎ, সেইবোৰত চলক থাকে)। সংখ্যাগত উৎপাদকটোক পদটোৰ সংখ্যাগত সহগ বা কেৱল সহগ বুলি কোৱা হয়। ইয়াক পদটোৰ বাকী অংশৰ (যিটো স্পষ্টতেই পদটোৰ বীজগণিতীয় উৎপাদকবোৰৰ গুণফল) সহগ বুলিও কোৱা হয়। গতিকে $5 x y, 5$ ত পদটোৰ সহগ। ই $x y$ ৰ সহগো। $10 x y z, 10$ পদটোত $x y z$ ৰ সহগ, $-7 x^{2} y^{2},-7$ পদটোত $x^{2} y^{2}$ ৰ সহগ।

যেতিয়া পদ এটাৰ সহগ +1 হয়, তেতিয়া সাধাৰণতে ইয়াক বাদ দিয়া হয়। উদাহৰণস্বৰূপে, $1 x$ ক $x ; 1 x^{2} y^{2}$ হিচাপে লিখা হয়, $x^{2} y^{2}$ হিচাপে লিখা হয় আদি। আৰু, সহগ (-1) ক কেৱল বিয়োগ চিহ্নৰ দ্বাৰা সূচিত কৰা হয়। গতিকে $(-1) x$ ক $-x ;(-1) x^{2} y^{2}$ হিচাপে লিখা হয়, $-x^{2} y^{2}$ হিচাপে লিখা হয় আদি।

চেষ্টা কৰা

তলৰ ৰাশিবোৰৰ পদবোৰৰ সহগ চিনাক্ত কৰা:

$4 x-3 y, a+b+5,2 y+5,2 x y$

কেতিয়াবা, ‘সহগ’ শব্দটো এক অধিক সাধাৰণ অৰ্থত ব্যৱহাৰ কৰা হয়। গতিকে আমি কওঁ যে $5 x y, 5$ পদটোত $x y, x$ ৰ সহগ, $5 y$ ৰ সহগ আৰু $y$ হ’ল $5 x$ ৰ সহগ। $10 x y^{2}, 10$ ত $x y^{2}, x$ ৰ সহগ, $10 y^{2}$ ৰ সহগ আৰু $y^{2}$ হ’ল $10 x$ ৰ সহগ। গতিকে, এই অধিক সাধাৰণ পদ্ধতিত, এটা সহগ সংখ্যাগত উৎপাদক বা বীজগণিতীয় উৎপাদক বা দুটা বা ততোধিক উৎপাদকৰ গুণফল হ’ব পাৰে। ইয়াক বাকী উৎপাদকবোৰৰ গুণফলৰ সহগ বুলি কোৱা হয়।

উদাহৰণ 1 তলৰ ৰাশিবোৰত, ধ্ৰুৱক নোহোৱা পদবোৰ চিনাক্ত কৰা। সেইবোৰৰ সংখ্যাগত সহগ দিয়া:

$ x y+4,13-y^{2}, 13-y+5 y^{2}, 4 p^{2} q-3 p q^{2}+5 $

সমাধান

উদাহৰণ 2

(ক) তলৰ ৰাশিবোৰত $x$ ৰ সহগ কি?

$ 4 x-3 y, 8-x+y, y^{2} x-y, 2 z-5 x z $

(খ) তলৰ ৰাশিবোৰত $y$ ৰ সহগ কি?

$ 4 x-3 y, 8+y z, y z^{2}+5, m y+m $

সমাধান

(ক) প্ৰতিটো ৰাশিত আমি $x$ ক উৎপাদক হিচাপে থকা এটা পদ বিচাৰোঁ। সেই পদটোৰ বাকী অংশটোৱেই $x$ ৰ সহগ।

(খ) পদ্ধতিটো (ক) ৰ দৰেই।

১০.৪ সদৃশ আৰু অসদৃশ পদ

যেতিয়া পদবোৰৰ একে বীজগণিতীয় উৎপাদক থাকে, তেতিয়া সেইবোৰ সদৃশ পদ। যেতিয়া পদবোৰৰ বীজগণিতীয় উৎপাদক বেলেগ বেলেগ থাকে, তেতিয়া সেইবোৰ অসদৃশ পদ। উদাহৰণস্বৰূপে, $2 x y-3 x+5 x y-4$ ৰাশিটোত, $2 x y$ আৰু $5 x y$ পদ দুটালৈ চোৱা। $2 x y$ ৰ উৎপাদকবোৰ হ’ল 2, $x$ আৰু $y$। $5 x y$ ৰ উৎপাদকবোৰ হ’ল 5, $x$ আৰু $y$। গতিকে সেইবোৰৰ বীজগণিতীয় (অৰ্থাৎ যিবোৰত চলক থাকে) উৎপাদকবোৰ একে আৰু

চেষ্টা কৰা

তলৰবোৰৰ পৰা সদৃশ পদবোৰ একেলগ কৰা:

$12 x, 12,-25 x,-25,-25 y, 1, x, 12 y, y$ গতিকে সেইবোৰ সদৃশ পদ। আনহাতে $2 x y$ আৰু $-3 x$ পদ দুটাৰ বীজগণিতীয় উৎপাদক বেলেগ বেলেগ। সেইবোৰ অসদৃশ পদ। একেদৰে, $2 x y$ আৰু 4 পদ দুটা অসদৃশ পদ। আৰু, $-3 x$ আৰু 4 পদ দুটাও অসদৃশ পদ।

১০.৫ একপদ, দ্বিপদ, ত্ৰিপদ আৰু বহুপদ

একেটা পদ থকা ৰাশিক একপদ বোলা হয়; উদাহৰণস্বৰূপে, $7 x y,-5 m$, $3 z^{2}, 4$ আদি।

চেষ্টা কৰা

তলৰ ৰাশিবোৰক একপদ, দ্বিপদ বা ত্ৰিপদ হিচাপে শ্ৰেণীবিভাজন কৰা: $a$, $a+b, a b+a+b, a b+a$ $+b-5, x y, x y+5$, $5 x^{2}-x+2,4 p q-3 q+5 p$, $7,4 m-7 n+10,4 m n+7$।

দুটা অসদৃশ পদ থকা ৰাশিক দ্বিপদ বোলা হয়; উদাহৰণস্বৰূপে, $x+y, m-5, m n+4 m, a^{2}-b^{2}$ দ্বিপদ। $10 p q$ ৰাশিটো দ্বিপদ নহয়; ই একপদ। $(a+b+5)$ ৰাশিটো দ্বিপদ নহয়। ইত তিনিটা পদ আছে।

তিনিটা পদ থকা ৰাশিক ত্ৰিপদ বোলা হয়; উদাহৰণস্বৰূপে, $x+y+7, a b+a+b$, $3 x^{2}-5 x+2, m+n+10$ ৰাশিবোৰ ত্ৰিপদ। কিন্তু $a b+a+b+5$ ৰাশিটো ত্ৰিপদ নহয়; ইত চাৰিটা পদ আছে, তিনিটা নহয়। $x+y+5 x$ ৰাশিটো ত্ৰিপদ নহয় কাৰণ $x$ আৰু $5 x$ পদ দুটা সদৃশ পদ।

সাধাৰণতে, এটা বা ততোধিক পদ থকা ৰাশিক বহুপদ বোলা হয়। গতিকে একপদ, দ্বিপদ আৰু ত্ৰিপদ সকলোবোৰ বহুপদ।

উদাহৰণ 3 কাৰণসহ কোৱা, তলৰ পদ যোৰবোৰৰ কোনবোৰ সদৃশ পদ আৰু কোনবোৰ অসদৃশ পদ:

(i) $7 x, 12 y$

(ii) $15 x,-21 x$

(iii) $-4 a b, 7 b a$

(iv) $3 x y, 3 x$

(v) $6 x y^{2}, 9 x^{2} y$

(vi) $p q^{2},-4 p q^{2}$

(vii) $m n^{2}, 10 m n$

সমাধান

তলৰ সৰল পদক্ষেপবোৰ অনুসৰণ কৰিলে তুমি দিয়া পদবোৰ সদৃশ নে অসদৃশ সিদ্ধান্ত ল’বলৈ সহায় হ’ব:

(i) সংখ্যাগত সহগবোৰ উপেক্ষা কৰা। পদবোৰৰ বীজগণিতীয় অংশত মনোনিৱেশ কৰা।

(ii) পদবোৰৰ চলকবোৰ পৰীক্ষা কৰা। সেইবোৰ একে হ’ব লাগিব।

(iii) তাৰ পিছত, পদবোৰত থকা প্ৰতিটো চলকৰ ঘাত পৰীক্ষা কৰা। সেইবোৰ একে হ’ব লাগিব।

মনত ৰাখিবা যে সদৃশ পদ নিৰ্ণয় কৰোঁতে, দুটা কথাৰ প্ৰভাৱ নপৰে (1) পদবোৰৰ সংখ্যাগত সহগ আৰু (2) পদবোৰত চলকবোৰ কেনেকৈ পূৰণ কৰা হৈছে সেই ক্ৰম।

অনুশীলনী ১০.১

1. চলক, ধ্ৰুৱক আৰু পাটীগণিতীয় ক্ৰিয়া ব্যৱহাৰ কৰি তলৰ ক্ষেত্ৰবোৰত বীজগণিতীয় ৰাশিবোৰ পোৱা।

(i) $z$ ৰ পৰা $y$ ৰ বিয়োগ।

(ii) $x$ আৰু $y$ সংখ্যা দুটাৰ যোগফলৰ আধা।

(iii) $z$ সংখ্যাটো নিজৰ সৈতে পূৰণ কৰা।

(iv) $p$ আৰু $q$ সংখ্যা দুটাৰ গুণফলৰ এক চতুৰ্থাংশ।

(v) $x$ আৰু $y$ সংখ্যা দুটা দুয়োটাকে বৰ্গ কৰি যোগ কৰা।

(vi) $m$ আৰু $n$ সংখ্যা দুটাৰ গুণফলৰ তিনিগুণত 5 যোগ কৰা।

(vii) $y$ আৰু $z$ সংখ্যা দুটাৰ গুণফল 10 ৰ পৰা বিয়োগ কৰা।

(viii) $a$ আৰু $b$ সংখ্যা দুটাৰ যোগফল সেইবোৰৰ গুণফলৰ পৰা বিয়োগ কৰা।

2. (i) তলৰ ৰাশিবোৰত পদবোৰ আৰু সেইবোৰৰ উৎপাদকবোৰ চিনাক্ত কৰা। গছৰ চিত্ৰৰ দ্বাৰা পদবোৰ আৰু উৎপাদকবোৰ দেখুওৱা।

(ক) $x-3$

(খ) $1+x+x^{2}$

(গ) $y-y^{3}$

(ঘ) $5 x y^{2}+7 x^{2} y$

(ঙ) $-a b+2 b^{2}-3 a^{2}$

(ii) তলত দিয়া ৰাশিবোৰত পদ আৰু উৎপাদক চিনাক্ত কৰা:

(ক) $-4 x+5$

(খ) $-4 x+5 y$

(গ) $5 y+3 y^{2}$

(ঘ) $x y+2 x^{2} y^{2}$

(ঙ) $p q+q$

(চ) $1.2 a b-2.4 b+3.6 a$

(ছ) $\frac{3}{4} x+\frac{1}{4}$

(জ) $0.1 p^{2}+0.2 q^{2}$

3. তলৰ ৰাশিবোৰত পদবোৰৰ (ধ্ৰুৱক বাদে) সংখ্যাগত সহগ চিনাক্ত কৰা:

(i) $5-3 t^{2}$

(ii) $1+t+t^{2}+t^{3}$

(iii) $x+2 x y+3 y$

(iv) $100 m+1000 n$

(v) $-p^{2} q^{2}+7 p q$

(vi) $1.2 a+0.8 b$

(vii) $3.14 r^{2}$

(viii) $2(l+b)$

(ix) $0.1 y+0.01 y^{2}$

4. (ক) $x$ থকা পদবোৰ চিনাক্ত কৰা আৰু $x$ ৰ সহগ দিয়া।

(i) $y^{2} x+y$

(ii) $13 y^{2}-8 y x$

(iii) $x+y+2$

(iv) $5+z+z x$

(v) $1+x+x y$

(vi) $12 x y^{2}+25$

(vii) $7 x+x y^{2}$

(খ) $y^{2}$ থকা পদবোৰ চিনাক্ত কৰা আৰু $y^{2}$ ৰ সহগ দিয়া।

(i) $8-x y^{2}$

(ii) $5 y^{2}+7 x$

(iii) $2 x^{2} y-15 x y^{2}+7 y^{2}$

5. একপদ, দ্বিপদ আৰু ত্ৰিপদত শ্ৰেণীবিভাজন কৰা।

(i) $4 y-7 z$

(ii) $y^{2}$

(iii) $x+y-x y$

(iv) 100

(v) $a b-a-b$

(vi) $5-3 t$

(vii) $4 p^{2} q-4 p q^{2}$

(viii) $7 m n$

(ix) $z^{2}-3 z+8$

(x) $a^{2}+b^{2}$

(xi) $z^{2}+z$

(xii) $1+x+x^{2}$

6. দিয়া পদ যোৰবোৰ সদৃশ নে অসদৃশ পদ কোৱা।

(i) 1,100

(ii) $-7 x, \frac{5}{2} x$

(iii) $-29 x,-29 y$

(iv) $14 x y, 42 y x$

(v) $4 m^{2} p, 4 m p^{2}$

(vi) $12 x z, 12 x^{2} z^{2}$

7. তলৰবোৰত সদৃশ পদবোৰ চিনাক্ত কৰা:

(ক) $-x y^{2},-4 y x^{2}, 8 x^{2}, 2 x y^{2}, 7 y,-11 x^{2},-100 x,-11 y x, 20 x^{2} y$, $-6 x^{2}, y, 2 x y, 3 x$

(খ) $10 p q, 7 p, 8 q,-p^{2} q^{2},-7 q p,-100 q,-23,12 q^{2} p^{2},-5 p^{2}, 41,2405 p, 78 q p$, $13 p^{2} q, q p^{2}, 701 p^{2}$

১০.৬ ৰাশিৰ মান নিৰ্ণয় কৰা

আমি জানো যে বীজগণিতীয় ৰাশিৰ মান ৰাশিটো গঠন কৰা চলকবোৰৰ মানৰ ওপৰত নিৰ্ভৰ কৰে। বহুতো পৰিস্থিতি আছে য’ত আমাক ৰাশিৰ মান নিৰ্ণয় কৰিব লাগে, যেনে যেতিয়া আমি এটা নিৰ্দিষ্ট চলকৰ মানে দিয়া সমীকৰণটো সন্তুষ্ট কৰেনে নকৰে তাক পৰীক্ষা কৰিবলৈ ইচ্ছা কৰোঁ।

আমি ৰাশিৰ মানো নিৰ্ণয় কৰোঁ, যেতিয়া আমি জ্যামিতি আৰু দৈনন্দিন গণিতৰ পৰা সূত্ৰ ব্যৱহাৰ কৰোঁ। উদাহৰণস্বৰূপে, বৰ্গৰ কালি হ’ল $l^{2}$, য’ত $l$ হ’ল বৰ্গৰ বাহুৰ দৈৰ্ঘ্য। যদি $l=5 cm$, তেন্তে কালি হ’ল $5^{2} cm^{2}$ বা $25 cm^{2}$; যদি বাহুটো $10 cm$, তেন্তে কালি হ’ল $10^{2} cm^{2}$ বা $100 cm^{2}$ আদি। আমি পৰৱৰ্তী অংশত আৰু অধিক এনে উদাহৰণ দেখিম।

উদাহৰণ 4 $x=2$ হ’লে তলৰ ৰাশিবোৰৰ মান নিৰ্ণয় কৰা।

(i) $x+4$

(ii) $4 x-3$

(iii) $19-5 x^{2}$

(iv) $100-10 x^{3}$

সমাধান

$x=2$ বহুৱাই

(i) $x+4$ ত, আমি $x+4$ ৰ মান পাম, অৰ্থাৎ,

$x+4=2+4=6$

(ii) $4 x-3$ ত, আমি পাওঁ

$4 x-3=(4 \times 2)-3=8-3=5$

(iii) $19-5 x^{2}$ ত, আমি পাওঁ

$ 19-5 x^{2}=19-(5 \times 2^{2})=19-(5 \times 4)=19-20=-1 $

(iv) $100-10 x^{3}$ ত, আমি পাওঁ

$ \begin{aligned} & 100-10 x^{3}=100-(10 \times 2^{3})=100-(10 \times 8)(\text{ মনত ৰাখিবা } 2^{3}=8) \\ & =100-80=20 \end{aligned} $

উদাহৰণ 5 $n=-2$ হ’লে তলৰ ৰাশিবোৰৰ মান নিৰ্ণয় কৰা।

(i) $5 n-2$

(ii) $5 n^{2}+5 n-2$

(iii) $n^{3}+5 n^{2}+5 n-2$

সমাধান

(i) $n=-2$ ৰ মান $5 n-2$ ত বহুৱাই, আমি পাওঁ,

$ 5(-2)-2=-10-2=-12 $

(ii) $5 n^{2}+5 n-2$ ত, আমি পাওঁ,

$n=-2,5 n-2=-12$ হ’লে

আৰু $5 n^{2}=5 \times(-2)^{2}=5 \times 4=20 \quad$ [কাৰণ $.(-2)^{2}=4]$

সংযুক্ত কৰি,

$ 5 n^{2}+5 n-2=20-12=8 $

(iii) এতিয়া, $n=-2$ হ’লে,

$ \begin{aligned} & 5 n^{2}+5 n-2=8 \text{ আৰু } \\ & n^{3}=(-2)^{3}=(-2) \times(-2) \times(-2)=-8 \end{aligned} $

সংযুক্ত কৰি,

$ n^{3}+5 n^{2}+5 n-2=-8+8=0 $

আমি এতিয়া দুটা চলকৰ ৰাশি বিবেচনা কৰিম, উদাহৰণস্বৰূপে, $x+y, x y$। দুটা চলকৰ ৰাশিৰ সংখ্যাগত মান নিৰ্ণয় কৰিবলৈ, আমাক দুয়োটা চলকৰ মান দিব লাগিব। উদাহৰণস্বৰূপে, $(x+y)$ ৰ মান, $x=3$ আৰু $y=5$ হ’লে, হ’ল $3+5=8$।

উদাহৰণ 6 $a=3, b=2$ হ’লে তলৰ ৰাশিবোৰৰ মান নিৰ্ণয় কৰা।

(i) $a+b$

(ii) $7 a-4 b$

(iii) $a^{2}+2 a b+b^{2}$

(iv) $a^{3}-b^{3}$

সমাধান

$a=3$ আৰু $b=2$ মান দুটা

(i) $a+b$ ত বহুৱাই, আমি পাওঁ

$a+b=3+2=5$

(ii) $7 a-4 b$ ত, আমি পাওঁ

$7 a-4 b=7 \times 3-4 \times 2=21-8=13$।

(iii) $a^{2}+2 a b+b^{2}$ ত, আমি পাওঁ

$a^{2}+2 a b+b^{2}=3^{2}+2 \times 3 \times 2+2^{2}=9+2 \times 6+4=9+12+4=25$