ਅਧਿਆਇ 10 ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ ਪ੍ਰਗਟਾਵੇ
10.1 ਜਾਣ-ਪਛਾਣ
ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਸਧਾਰਨ ਬੀਜਗਣਿਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਜਿਵੇਂ ਕਿ $x+3, y-5,4 x+5$, $10 y-5$ ਆਦਿ ਨਾਲ ਸਾਹਮਣਾ ਕਰ ਚੁੱਕੇ ਹਾਂ। ਕਲਾਸ VI ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਿਆ ਹੈ ਕਿ ਇਹ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਪਹੇਲੀਆਂ ਅਤੇ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਬਣਾਉਣ ਵਿੱਚ ਕਿਵੇਂ ਉਪਯੋਗੀ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਸਧਾਰਨ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਾਲੇ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ ਕਈ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀਆਂ ਉਦਾਹਰਣਾਂ ਵੀ ਦੇਖੀਆਂ ਹਨ।
ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਬੀਜਗਣਿਤ ਦੀ ਇੱਕ ਕੇਂਦਰੀ ਧਾਰਨਾ ਹਨ। ਇਹ ਅਧਿਆਇ ਬੀਜਗਣਿਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਲਈ ਸਮਰਪਿਤ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਤੁਸੀਂ ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕਰੋਗੇ, ਤਾਂ ਤੁਸੀਂ ਜਾਣੋਗੇ ਕਿ ਬੀਜਗਣਿਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਕਿਵੇਂ ਬਣਦੀਆਂ ਹਨ, ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਜੋੜਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਮੁੱਲ ਕਿਵੇਂ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਿਵੇਂ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ।
10.2 ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਕਿਵੇਂ ਬਣਦੀਆਂ ਹਨ?
ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਬਹੁਤ ਚੰਗੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇੱਕ ਚਲ ਕੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਚਲਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਅੱਖਰ $x, y, l, m, \ldots$ ਆਦਿ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਇੱਕ ਚਲ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਮੁੱਲ ਲੈ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਸਦਾ ਮੁੱਲ ਸਥਿਰ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ। ਦੂਜੇ ਪਾਸੇ, ਇੱਕ ਸਥਿਰਾਂਕ ਦਾ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਮੁੱਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਸਥਿਰਾਂਕਾਂ ਦੀਆਂ ਉਦਾਹਰਣਾਂ ਹਨ: 4, 100, -17, ਆਦਿ।
ਅਸੀਂ ਬੀਜਗਣਿਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਚਲਾਂ ਅਤੇ ਸਥਿਰਾਂਕਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਜੋੜ, ਘਟਾਓ, ਗੁਣਾ ਅਤੇ ਭਾਗ ਦੀਆਂ ਕਿਰਿਆਵਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ $4 x+5,10 y-20$ ਵਰਗੀਆਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨਾਲ ਸਾਹਮਣਾ ਕਰ ਚੁੱਕੇ ਹਾਂ। ਸਮੀਕਰਨ $4 x+5$ ਚਲ $x$ ਤੋਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਪਹਿਲਾਂ $x$ ਨੂੰ ਸਥਿਰਾਂਕ 4 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਅਤੇ ਫਿਰ ਗੁਣਨਫਲ ਵਿੱਚ ਸਥਿਰਾਂਕ 5 ਜੋੜ ਕੇ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, $10 y-20$ ਪਹਿਲਾਂ $y$ ਨੂੰ 10 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਅਤੇ ਫਿਰ ਗੁਣਨਫਲ ਵਿੱਚੋਂ 20 ਘਟਾ ਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।
ਉਪਰੋਕਤ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਚਲਾਂ ਨੂੰ ਸਥਿਰਾਂਕਾਂ ਨਾਲ ਜੋੜ ਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਸਨ। ਅਸੀਂ ਚਲਾਂ ਨੂੰ ਆਪਣੇ ਆਪ ਨਾਲ ਜਾਂ ਹੋਰ ਚਲਾਂ ਨਾਲ ਜੋੜ ਕੇ ਵੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਦੇਖੋ ਕਿ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀਆਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਕਿਵੇਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤੀਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ:
$ x^{2}, 2 y^{2}, 3 x^{2}-5, x y, 4 x y+7 $
(i) ਸਮੀਕਰਨ $x^{2}$ ਚਲ $x$ ਨੂੰ ਆਪਣੇ ਆਪ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ;
$ x \times x=x^{2} $
ਜਿਵੇਂ $4 \times 4$ ਨੂੰ $4^{2}$ ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਉਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਅਸੀਂ $x \times x=x^{2}$ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ। ਇਸਨੂੰ ਆਮ ਤੌਰ ‘ਤੇ $x$ ਵਰਗ ਪੜ੍ਹਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
(ਬਾਅਦ ਵਿੱਚ, ਜਦੋਂ ਤੁਸੀਂ ‘ਘਾਤ ਅਤੇ ਘਾਤਾਂਕ’ ਅਧਿਆਇ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕਰੋਗੇ, ਤਾਂ ਤੁਸੀਂ ਸਮਝੋਗੇ ਕਿ $x^{2}$ ਨੂੰ $x$ ਦੀ ਘਾਤ 2 ਵਜੋਂ ਵੀ ਪੜ੍ਹਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ)।
ਇਸੇ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ, ਅਸੀਂ $\quad x \times x \times x=x^{3}$ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ
ਆਮ ਤੌਰ ‘ਤੇ, $x^{3}$ ਨੂੰ ‘$x$ ਘਣ’ ਪੜ੍ਹਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਬਾਅਦ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ ਸਮਝੋਗੇ ਕਿ $x^{3}$ ਨੂੰ $x$ ਦੀ ਘਾਤ 3 ਵਜੋਂ ਵੀ ਪੜ੍ਹਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
$x, x^{2}, x^{3}, \ldots$ ਸਾਰੀਆਂ ਬੀਜਗਣਿਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਹਨ ਜੋ $x$ ਤੋਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਹਨ।
(ii) ਸਮੀਕਰਨ $2 y^{2}$ $y: 2 y^{2}=2 \times y \times y$ ਤੋਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ
ਇੱਥੇ $y$ ਨੂੰ $y$ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਅਸੀਂ $y^{2}$ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਫਿਰ ਅਸੀਂ $y^{2}$ ਨੂੰ ਸਥਿਰਾਂਕ 2 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
(iii) $(3 x^{2}-5)$ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ $x^{2}$ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ 3 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ $3 x^{2}$ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
$3 x^{2}$ ਤੋਂ, ਅਸੀਂ 5 ਘਟਾ ਕੇ ਅੰਤ ਵਿੱਚ $3 x^{2}-5$ ‘ਤੇ ਪਹੁੰਚਦੇ ਹਾਂ।
(iv) $x y$ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਚਲ $x$ ਨੂੰ ਇੱਕ ਹੋਰ ਚਲ $y$ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਲਈ, $x \times y=x y$।
(v) $4 x y+7$ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ $x y$ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਇਸਨੂੰ 4 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ $4 x y$ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ $4 x y$ ਵਿੱਚ 7 ਜੋੜ ਕੇ ਸਮੀਕਰਨ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਇਹ ਕਰਕੇ ਵੇਖੋ
ਵਰਣਨ ਕਰੋ ਕਿ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀਆਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਕਿਵੇਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤੀਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ:
$7 x y+5, x^{2} y, 4 x^{2}-5 x$
10.3 ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਪਦ
ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਸੁਵਿਵਸਥਿਤ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਰੱਖਾਂਗੇ ਕਿ ਅਸੀਂ ਉੱਪਰ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਕਿਵੇਂ ਬਣਦੀਆਂ ਹਨ, ਇਸ ਬਾਰੇ ਕੀ ਸਿੱਖਿਆ ਹੈ। ਇਸ ਉਦੇਸ਼ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਇਹ ਸਮਝਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਪਦ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕੀ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
ਸਮੀਕਰਨ $(4 x+5)$ ‘ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਬਣਾਉਣ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ $4 x$ ਨੂੰ ਵੱਖਰੇ ਤੌਰ ‘ਤੇ 4 ਅਤੇ $x$ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਵਜੋਂ ਬਣਾਇਆ ਅਤੇ ਫਿਰ ਇਸ ਵਿੱਚ 5 ਜੋੜਿਆ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸਮੀਕਰਨ $(3 x^{2}+7 y)$ ‘ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਇੱਥੇ ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ $3 x^{2}$ ਨੂੰ ਵੱਖਰੇ ਤੌਰ ‘ਤੇ $3, x$ ਅਤੇ $x$ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਵਜੋਂ ਬਣਾਇਆ। ਫਿਰ ਅਸੀਂ $7 y$ ਨੂੰ ਵੱਖਰੇ ਤੌਰ ‘ਤੇ 7 ਅਤੇ $y$ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਵਜੋਂ ਬਣਾਇਆ। $3 x^{2}$ ਅਤੇ $7 y$ ਨੂੰ ਵੱਖਰੇ ਤੌਰ ‘ਤੇ ਬਣਾਉਣ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਅਸੀਂ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜ ਕੇ ਸਮੀਕਰਨ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤੀ।
ਤੁਸੀਂ ਦੇਖੋਗੇ ਕਿ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨਾਲ ਅਸੀਂ ਵਿਹਾਰ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਹਮੇਸ਼ਾ ਇਸ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਦੇਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਹਿੱਸੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜੋ ਵੱਖਰੇ ਤੌਰ ‘ਤੇ ਬਣਾਏ ਜਾਂਦੇ ਹਨ ਅਤੇ ਫਿਰ ਜੋੜੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਅਜਿਹੇ ਹਿੱਸੇ ਜੋ ਪਹਿਲਾਂ ਵੱਖਰੇ ਤੌਰ ‘ਤੇ ਬਣਾਏ ਜਾਂਦੇ ਹਨ ਅਤੇ ਫਿਰ ਜੋੜੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਪਦ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਸਮੀਕਰਨ $(4 x^{2}-3 x y)$ ‘ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇਸਦੇ ਦੋ ਪਦ ਹਨ, $4 x^{2}$ ਅਤੇ $-3 x y$। ਪਦ $4 x^{2}$ 4, $x$ ਅਤੇ $x$ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਹੈ, ਅਤੇ ਪਦ (-3xy) (-3), $x$ ਅਤੇ $y$ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਹੈ।
ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਪਦ ਜੋੜੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਪਦ $4 x$ ਅਤੇ 5 ਨੂੰ ਜੋੜ ਕੇ ਸਮੀਕਰਨ $(4 x+5)$ ਬਣਾਈ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਪਦ $4 x^{2}$ ਅਤੇ ($.-3 x y)$ ਨੂੰ ਜੋੜ ਕੇ ਸਮੀਕਰਨ $(4 x^{2}-3 x y)$ ਦਿੱਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਇਹ ਇਸ ਲਈ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ $4 x^{2}+(-3 x y)=4 x^{2}-3 x y$।
ਧਿਆਨ ਦਿਓ, ਘਟਾਓ ਚਿੰਨ੍ਹ (-) ਪਦ ਵਿੱਚ ਸ਼ਾਮਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਸਮੀਕਰਨ $4 x^{2}-3 x y$ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਪਦ ਨੂੰ $(-3 x y)$ ਵਜੋਂ ਲਿਆ ਅਤੇ (3xy) ਵਜੋਂ ਨਹੀਂ। ਇਸ ਲਈ ਸਾਨੂੰ ਇਹ ਕਹਿਣ ਦੀ ਲੋੜ ਨਹੀਂ ਹੈ ਕਿ ਸਮੀਕਰਨ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਪਦ ‘ਜੋੜੇ ਜਾਂ ਘਟਾਏ’ ਜਾਂਦੇ ਹਨ; ਸਿਰਫ਼ ‘ਜੋੜੇ’ ਕਹਿਣਾ ਕਾਫ਼ੀ ਹੈ।
ਇੱਕ ਪਦ ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡ
ਅਸੀਂ ਉੱਪਰ ਦੇਖਿਆ ਕਿ ਸਮੀਕਰਨ $(4 x^{2}-3 x y)$ ਦੋ ਪਦਾਂ $4 x^{2}$ ਅਤੇ $-3 x y$ ਨਾਲ ਬਣੀ ਹੈ। ਪਦ $4 x^{2}$ 4, $x$ ਅਤੇ $x$ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਹੈ; ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ 4, $x$ ਅਤੇ $x$ ਪਦ $4 x^{2}$ ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡ ਹਨ। ਇੱਕ ਪਦ ਇਸਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਪਦ $-3 x y$ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ $-3, x$ ਅਤੇ $y$ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਪਦਾਂ ਅਤੇ ਪਦਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਰੁੱਖ ਚਿੱਤਰ ਦੁਆਰਾ ਸੁਵਿਧਾਜਨਕ ਅਤੇ ਸੁੰਦਰ ਢੰਗ ਨਾਲ ਦਰਸਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਸਮੀਕਰਨ $(4 x^{2}-3 x y)$ ਲਈ ਰੁੱਖ ਬਿਲਕੁਲ ਨੇੜੇ ਦੇ ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਧਿਆਨ ਦਿਓ, ਰੁੱਖ ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਲਈ ਬਿੰਦੀਆਂ ਵਾਲੀਆਂ ਲਾਈਨਾਂ ਅਤੇ ਪਦਾਂ ਲਈ ਲਗਾਤਾਰ ਲਾਈਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਹੈ। ਇਹ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਰਲਾਉਣ ਤੋਂ ਬਚਣ ਲਈ ਹੈ।
ਆਓ ਸਮੀਕਰਨ $5 x y+10$ ਲਈ ਇੱਕ ਰੁੱਖ ਚਿੱਤਰ ਬਣਾਈਏ।
ਗੁਣਨਖੰਡ ਅਜਿਹੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਕਿ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਹੋਰ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ ਵੰਡਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ। ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ $5 x y$ ਨੂੰ $5 \times x y$ ਵਜੋਂ ਨਹੀਂ ਲਿਖਦੇ, ਕਿਉਂਕਿ $x y$ ਨੂੰ ਹੋਰ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਜੇਕਰ $x^{3}$ ਇੱਕ ਪਦ ਹੁੰਦਾ, ਤਾਂ ਇਸਨੂੰ $x \times x \times x$ ਵਜੋਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਅਤੇ $x^{2} \times x$ ਵਜੋਂ ਨਹੀਂ। ਇਹ ਵੀ ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ 1 ਨੂੰ ਵੱਖਰੇ ਗੁਣਨਖੰਡ ਵਜੋਂ ਨਹੀਂ ਲਿਆ ਜਾਂਦਾ।
ਇਹ ਕਰਕੇ ਵੇਖੋ
1. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀਆਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਿੱਚ ਪਦ ਕੀ ਹਨ?
ਦਿਖਾਓ ਕਿ ਪਦ ਕਿਵੇਂ ਬਣਦੇ ਹਨ। ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਰੁੱਖ ਚਿੱਤਰ ਬਣਾਓ:
$8 y+3 x^{2}, 7 m n-4,2 x^{2} y$.
2. ਤਿੰਨ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਲਿਖੋ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਦੇ 4 ਪਦ ਹੋਣ।
ਗੁਣਾਂਕ
ਅਸੀਂ ਸਿੱਖ ਚੁੱਕੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇੱਕ ਪਦ ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਵਜੋਂ ਕਿਵੇਂ ਲਿਖਣਾ ਹੈ। ਇਹਨਾਂ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਸੰਖਿਆਤਮਕ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਬਾਕੀ ਬੀਜਗਣਿਤੀ (ਭਾਵ, ਉਹਨਾਂ ਵਿੱਚ ਚਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ)। ਸੰਖਿਆਤਮਕ ਗੁਣਨਖੰਡ ਨੂੰ ਪਦ ਦਾ ਸੰਖਿਆਤਮਕ ਗੁਣਾਂਕ ਜਾਂ ਸਿਰਫ਼ ਗੁਣਾਂਕ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਪਦ ਦੇ ਬਾਕੀ ਹਿੱਸੇ (ਜੋ ਸਪੱਸ਼ਟ ਤੌਰ ‘ਤੇ ਪਦ ਦੇ ਬੀਜਗਣਿਤੀ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਹੈ) ਦਾ ਗੁਣਾਂਕ ਵੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ $5 x y, 5$ ਵਿੱਚ ਪਦ ਦਾ ਗੁਣਾਂਕ ਹੈ। ਇਹ $x y$ ਦਾ ਗੁਣਾਂਕ ਵੀ ਹੈ। ਪਦ $10 x y z, 10$ ਵਿੱਚ $x y z$ ਦਾ ਗੁਣਾਂਕ ਹੈ, ਪਦ $-7 x^{2} y^{2},-7$ ਵਿੱਚ $x^{2} y^{2}$ ਦਾ ਗੁਣਾਂਕ ਹੈ।
ਜਦੋਂ ਕਿਸੇ ਪਦ ਦਾ ਗੁਣਾਂਕ +1 ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਸਨੂੰ ਆਮ ਤੌਰ ‘ਤੇ ਛੱਡ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਣ ਲਈ, $1 x$ ਨੂੰ $x ; 1 x^{2} y^{2}$ ਵਜੋਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, $x^{2} y^{2}$ ਵਜੋਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ। ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਗੁਣਾਂਕ (-1) ਨੂੰ ਸਿਰਫ਼ ਘਟਾਓ ਚਿੰਨ੍ਹ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ $(-1) x$ ਨੂੰ $-x ;(-1) x^{2} y^{2}$ ਵਜੋਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, $-x^{2} y^{2}$ ਵਜੋਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ।
ਇਹ ਕਰਕੇ ਵੇਖੋ
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀਆਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਪਦਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ:
$4 x-3 y, a+b+5,2 y+5,2 x y$
ਕਈ ਵਾਰ, ‘ਗੁਣਾਂਕ’ ਸ਼ਬਦ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਵਧੇਰੇ ਸਧਾਰਨ ਢੰਗ ਨਾਲ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਪਦ $5 x y, 5$ ਵਿੱਚ $x y, x$ ਦਾ ਗੁਣਾਂਕ ਹੈ, $5 y$ ਦਾ ਗੁਣਾਂਕ ਹੈ ਅਤੇ $y$ $5 x$ ਦਾ ਗੁਣਾਂਕ ਹੈ। $10 x y^{2}, 10$ ਵਿੱਚ $x y^{2}, x$ ਦਾ ਗੁਣਾਂਕ ਹੈ, $10 y^{2}$ ਦਾ ਗੁਣਾਂਕ ਹੈ ਅਤੇ $y^{2}$ $10 x$ ਦਾ ਗੁਣਾਂਕ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਇਸ ਵਧੇਰੇ ਸਧਾਰਨ ਢੰਗ ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਗੁਣਾਂਕ ਜਾਂ ਤਾਂ ਇੱਕ ਸੰਖਿਆਤਮਕ ਗੁਣਨਖੰਡ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜਾਂ ਇੱਕ ਬੀਜਗਣਿਤੀ ਗੁਣਨਖੰਡ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜਾਂ ਦੋ ਜਾਂ ਦੋ ਤੋਂ ਵੱਧ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਬਾਕੀ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਦਾ ਗੁਣਾਂਕ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਣ 1 ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀਆਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਿੱਚ, ਉਹ ਪਦਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ ਜੋ ਸਥਿਰਾਂਕ ਨਹੀਂ ਹਨ। ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਸੰਖਿਆਤਮਕ ਗੁਣਾਂਕ ਦਿਓ:
$ x y+4,13-y^{2}, 13-y+5 y^{2}, 4 p^{2} q-3 p q^{2}+5 $
ਹੱਲ
| S. No. | ਸਮੀਕਰਨ | ਪਦ (ਜੋ ਕਿ ਸਥਿਰਾਂਕ ਨਹੀਂ ਹੈ) |
ਸੰਖਿਆਤਮਕ ਗੁਣਾਂਕ |
|---|---|---|---|
| (i) | $x y+4$ | $x y$ | 1 |
| (ii) | $13-y^{2}$ | $-y^{2}$ | -1 |
| (iii) | $13-y+5 y^{2}$ | $-y$ | -1 |
| $5 y^{2}$ | 5 | ||
| (iv) | $4 p^{2} q-3 p q^{2}+5$ | $4 p^{2} q$ | 4 |
| $-3 p q^{2}$ | -3 |
ਉਦਾਹਰਣ 2
(a) ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀਆਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਿੱਚ $x$ ਦੇ ਗੁਣਾਂਕ ਕੀ ਹਨ?
$ 4 x-3 y, 8-x+y, y^{2} x-y, 2 z-5 x z $
(b) ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀਆਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਿੱਚ $y$ ਦੇ ਗੁਣਾਂਕ ਕੀ ਹਨ?
$ 4 x-3 y, 8+y z, y z^{2}+5, m y+m $
ਹੱਲ
(a) ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ $x$ ਨੂੰ ਇੱਕ ਗੁਣਨਖੰਡ ਵਜੋਂ ਵਾਲੇ ਪਦ ਦੀ ਭਾਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਉਸ ਪਦ ਦਾ ਬਾਕੀ ਹਿੱਸਾ $x$ ਦਾ ਗੁਣਾਂਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
| S. No. | ਸਮੀਕਰਨ | ਪਦ ਜਿਸਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡ $\boldsymbol{{}x}$ ਹੈ | $\boldsymbol{{}x}$ ਦਾ ਗੁਣਾਂਕ |
|---|---|---|---|
| (i) | $4 x-3 y$ | $4 x$ | 4 |
| (ii) | $8-x+y$ | $-x$ | -1 |
| (iii) | $y^{2} x-y$ | $y^{2} x$ | $y^{2}$ |
| (iv) | $2 z-5 x z$ | $-5 x z$ | $-5 z$ |
(b) ਵਿਧੀ (a) ਵਿੱਚ ਦੱਸੀ ਗਈ ਵਿਧੀ ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੈ।
| S. No. | ਸਮੀਕਰਨ | ਪਦ ਜਿਸਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡ $\boldsymbol{{}y}$ ਹੈ | $\boldsymbol{{}y}$ ਦਾ ਗੁਣਾਂਕ |
|---|---|---|---|
| (i) | $4 x-3 y$ | $-3 y$ | -3 |
| (ii) | $8+y z$ | $y z$ | $z$ |
| (iii) | $y z^{2}+5$ | $y z^{2}$ | $z^{2}$ |
| (iv) | $m y+m$ | $m y$ | $m$ |
10.4 ਸਮਾਨ ਅਤੇ ਅਸਮਾਨ ਪਦ
ਜਦੋਂ ਪਦਾਂ ਦੇ ਬੀਜਗਣਿਤੀ ਗੁਣਨਖੰਡ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਤਾਂ ਉਹ ਸਮਾਨ ਪਦ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਜਦੋਂ ਪਦਾਂ ਦੇ ਬੀਜਗਣਿਤੀ ਗੁਣਨਖੰਡ ਵੱਖਰੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਤਾਂ ਉਹ ਅਸਮਾਨ ਪਦ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਣ ਲਈ, ਸਮੀਕਰਨ $2 x y-3 x+5 x y-4$ ਵਿੱਚ, ਪਦਾਂ $2 x y$ ਅਤੇ $5 x y$ ‘ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। $2 x y$ ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡ 2, $x$ ਅਤੇ $y$ ਹਨ। $5 x y$ ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡ 5, $x$ ਅਤੇ $y$ ਹਨ। ਇਸ ਲਈ ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਬੀਜਗਣਿਤੀ (ਭਾਵ, ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚ ਚਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ) ਗੁਣਨਖੰਡ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਅਤੇ
ਇਹ ਕਰਕੇ ਵੇਖੋ
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਵਿੱਚੋਂ ਸਮਾਨ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਇਕੱਠੇ ਕਰੋ:
$12 x, 12,-25 x,-25,-25 y, 1, x, 12 y, y$ ਇਸ ਲਈ ਉਹ ਸਮਾਨ ਪਦ ਹਨ। ਦੂਜੇ ਪਾਸੇ, ਪਦਾਂ $2 x y$ ਅਤੇ $-3 x$ ਦੇ ਬੀਜਗਣਿਤੀ ਗੁਣਨਖੰਡ ਵੱਖਰੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਉਹ ਅਸਮਾਨ ਪਦ ਹਨ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਪਦਾਂ $2 x y$ ਅਤੇ 4, ਅਸਮਾਨ ਪਦ ਹਨ। ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਪਦਾਂ $-3 x$ ਅਤੇ 4 ਅਸਮਾਨ ਪਦ ਹਨ।
10.5 ਇਕਪਦੀ, ਦੋਪਦੀ, ਤਿਪਦੀ ਅਤੇ ਬਹੁਪਦੀ
ਸਿਰਫ਼ ਇੱਕ ਪਦ ਵਾਲੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਇਕਪਦੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ; ਉਦਾਹਰਣ ਲਈ, $7 x y,-5 m$, $3 z^{2}, 4$ ਆਦਿ।
ਇਹ ਕਰਕੇ ਵੇਖੋ
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀਆਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਇਕਪਦੀ, ਦੋਪਦੀ ਜਾਂ ਤਿਪਦੀ ਵਜੋਂ ਵਰਗੀਕ੍ਰਿਤ ਕਰੋ: $a$, $a+b, a b+a+b, a b+a$ $+b-5, x y, x y+5$, $5 x^{2}-x+2,4 p q-3 q+5 p$, $7,4 m-7 n+10,4 m n+7$.
ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਦੋ ਅਸਮਾਨ ਪਦ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਨੂੰ ਦੋਪਦੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ; ਉਦਾਹਰਣ ਲਈ, $x+y, m-5, m n+4 m, a^{2}-b^{2}$ ਦੋਪਦੀਆਂ ਹਨ। ਸਮੀਕਰਨ $10 p q$ ਇੱਕ ਦੋਪਦੀ ਨਹੀਂ ਹੈ; ਇਹ ਇੱਕ ਇਕਪਦੀ ਹੈ। ਸਮੀਕਰਨ $(a+b+5)$ ਇੱਕ ਦੋਪਦੀ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਇਸ ਵਿੱਚ ਤਿੰਨ ਪਦ ਹਨ।
ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਤਿੰਨ ਪਦ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਨੂੰ ਤਿਪਦੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ; ਉਦਾਹਰਣ ਲਈ, ਸਮੀਕਰਨਾਂ $x+y+7, a b+a+b$, $3 x^{2}-5 x+2, m+n+10$ ਤਿਪਦੀਆਂ ਹਨ। ਸਮੀਕਰਨ $a b+a+b+5$, ਹਾਲਾਂਕਿ, ਇੱਕ ਤਿਪਦੀ ਨਹੀਂ ਹੈ; ਇਸ ਵਿੱਚ ਚਾਰ ਪਦ ਹਨ ਅਤੇ ਤਿੰਨ ਨਹੀਂ। ਸਮੀਕਰਨ $x+y+5 x$ ਇੱਕ ਤਿਪਦੀ ਨਹੀਂ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਪਦਾਂ $x$ ਅਤੇ $5 x$ ਸਮਾਨ ਪਦ ਹਨ।
ਸਧਾਰਨ ਤੌਰ ‘ਤੇ, ਇੱਕ ਜਾਂ ਵਧੇਰੇ ਪਦਾਂ ਵਾਲੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਬਹੁਪਦੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ ਇੱਕ ਇਕਪਦੀ, ਇੱਕ ਦੋਪਦੀ ਅਤੇ ਇੱਕ ਤਿਪਦੀ ਸਾਰੀਆਂ ਬਹੁਪਦੀਆਂ ਹਨ।
ਉਦਾਹਰਣ 3 ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਪਦਾਂ ਦੇ ਜੋ
BETA
