১০.১ ভূমিকা

আমরা ইতিমধ্যেই $x+3, y-5,4 x+5$, $10 y-5$ ইত্যাদির মতো সরল বীজগাণিতিক রাশির সাথে পরিচিত হয়েছি। ষষ্ঠ শ্রেণিতে আমরা দেখেছি কীভাবে এই রাশিগুলো ধাঁধা ও সমস্যা গঠনে উপযোগী। আমরা সরল সমীকরণ অধ্যায়ে বেশ কিছু রাশির উদাহরণও দেখেছি।

রাশি হলো বীজগণিতের একটি কেন্দ্রীয় ধারণা। এই অধ্যায়টি বীজগাণিতিক রাশির জন্য উৎসর্গীকৃত। যখন আপনি এই অধ্যায়টি পড়বেন, তখন জানতে পারবেন কীভাবে বীজগাণিতিক রাশি গঠিত হয়, কীভাবে সেগুলো যুক্ত করা যায়, কীভাবে আমরা তাদের মান নির্ণয় করতে পারি এবং কীভাবে সেগুলো ব্যবহার করা যায়।

১০.২ কীভাবে রাশি গঠিত হয়?

এখন আমরা খুব ভালোভাবেই জানি চলরাশি কী। আমরা চলরাশি নির্দেশ করতে $x, y, l, m, \ldots$ ইত্যাদি অক্ষর ব্যবহার করি। একটি চলরাশি বিভিন্ন মান গ্রহণ করতে পারে। এর মান স্থির নয়। অন্যদিকে, একটি ধ্রুবকের একটি স্থির মান থাকে। ধ্রুবকের উদাহরণ হলো: 4, 100, -17 ইত্যাদি।

আমরা চলরাশি ও ধ্রুবক যুক্ত করে বীজগাণিতিক রাশি তৈরি করি। এর জন্য আমরা যোগ, বিয়োগ, গুণ ও ভাগের প্রক্রিয়া ব্যবহার করি। আমরা ইতিমধ্যেই $4 x+5,10 y-20$ এর মতো রাশির সম্মুখীন হয়েছি। $4 x+5$ রাশিটি $x$ চলরাশি থেকে পাওয়া যায়, প্রথমে $x$ কে ধ্রুবক 4 দ্বারা গুণ করে এবং তারপর গুণফলের সাথে ধ্রুবক 5 যোগ করে। একইভাবে, $10 y-20$ পাওয়া যায় প্রথমে $y$ কে 10 দ্বারা গুণ করে এবং তারপর গুণফল থেকে 20 বিয়োগ করে।

উপরের রাশিগুলো চলরাশিকে ধ্রুবকের সাথে যুক্ত করে পাওয়া গেছে। আমরা চলরাশিকে নিজের সাথে বা অন্য চলরাশির সাথে যুক্ত করেও রাশি পেতে পারি।

দেখুন কীভাবে নিম্নলিখিত রাশিগুলো পাওয়া যায়:

$ x^{2}, 2 y^{2}, 3 x^{2}-5, x y, 4 x y+7 $

(i) $x^{2}$ রাশিটি পাওয়া যায় $x$ চলরাশিটিকে নিজের দ্বারা গুণ করে;

$ x \times x=x^{2} $

ঠিক যেমন $4 \times 4$ কে $4^{2}$ হিসাবে লেখা হয়, আমরা $x \times x=x^{2}$ লিখি। এটিকে সাধারণত পড়া হয় $x$ বর্গ।

(পরে, যখন আপনি ‘সূচক ও ঘাত’ অধ্যায়টি পড়বেন, তখন বুঝতে পারবেন যে $x^{2}$ কে $x$ এর ঘাত 2 হিসাবেও পড়া যেতে পারে)।

একইভাবে, আমরা লিখতে পারি $\quad x \times x \times x=x^{3}$

সাধারণত, $x^{3}$ কে ‘$x$ ঘন’ হিসাবে পড়া হয়। পরে, আপনি বুঝতে পারবেন যে $x^{3}$ কে $x$ এর ঘাত 3 হিসাবেও পড়া যেতে পারে।

$x, x^{2}, x^{3}, \ldots$ সবই $x$ থেকে প্রাপ্ত বীজগাণিতিক রাশি।

(ii) $2 y^{2}$ রাশিটি পাওয়া যায় $y: 2 y^{2}=2 \times y \times y$ থেকে

এখানে $y$ কে $y$ এর সাথে গুণ করে আমরা $y^{2}$ পাই এবং তারপর আমরা $y^{2}$ কে ধ্রুবক 2 দ্বারা গুণ করি।

(iii) $(3 x^{2}-5)$ তে আমরা প্রথমে $x^{2}$ পাই, এবং এটিকে 3 দ্বারা গুণ করে $3 x^{2}$ পাই।

$3 x^{2}$ থেকে, আমরা 5 বিয়োগ করে শেষ পর্যন্ত $3 x^{2}-5$ এ পৌঁছাই।

(iv) $x y$ তে, আমরা $x$ চলরাশিটিকে অন্য একটি চলরাশি $y$ এর সাথে গুণ করি। সুতরাং, $x \times y=x y$।

(v) $4 x y+7$ তে, আমরা প্রথমে $x y$ পাই, এটিকে 4 দ্বারা গুণ করে $4 x y$ পাই এবং $4 x y$ এর সাথে 7 যোগ করে রাশিটি পাই।

চেষ্টা করো

বর্ণনা করো কীভাবে নিম্নলিখিত রাশিগুলো পাওয়া যায়:

$7 x y+5, x^{2} y, 4 x^{2}-5 x$

১০.৩ একটি রাশির পদ

আমরা এখন উপরে যা শিখেছি তা কীভাবে রাশি গঠিত হয় তা একটি পদ্ধতিগত আকারে উপস্থাপন করব। এই উদ্দেশ্যে, আমাদের একটি রাশির পদ এবং তাদের উৎপাদক কী তা বুঝতে হবে।

$(4 x+5)$ রাশিটি বিবেচনা করো। এই রাশিটি গঠনে, আমরা প্রথমে $4 x$ কে আলাদাভাবে 4 এবং $x$ এর গুণফল হিসাবে গঠন করি এবং তারপর এটির সাথে 5 যোগ করি। একইভাবে $(3 x^{2}+7 y)$ রাশিটি বিবেচনা করো। এখানে আমরা প্রথমে $3 x^{2}$ কে আলাদাভাবে $3, x$ এবং $x$ এর গুণফল হিসাবে গঠন করি। তারপর আমরা $7 y$ কে আলাদাভাবে 7 এবং $y$ এর গুণফল হিসাবে গঠন করি। $3 x^{2}$ এবং $7 y$ আলাদাভাবে গঠন করার পর, আমরা সেগুলো যোগ করে রাশিটি পাই।

তুমি দেখবে যে আমরা যে রাশিগুলো নিয়ে কাজ করি সেগুলো সর্বদা এইভাবে দেখা যেতে পারে। তাদের এমন অংশ আছে যা আলাদাভাবে গঠিত হয় এবং তারপর যোগ করা হয়। একটি রাশির এমন অংশ যা প্রথমে আলাদাভাবে গঠিত হয় এবং তারপর যোগ করা হয়, তাদের পদ বলা হয়। $(4 x^{2}-3 x y)$ রাশিটি দেখো। আমরা বলি যে এটির দুটি পদ আছে, $4 x^{2}$ এবং $-3 x y$। $4 x^{2}$ পদটি 4, $x$ এবং $x$ এর গুণফল, এবং (-3xy) পদটি (-3), $x$ এবং $y$ এর গুণফল।

পদ যোগ করে রাশি গঠিত হয়। ঠিক যেমন $4 x$ এবং 5 পদ দুটি যোগ করে $(4 x+5)$ রাশিটি গঠিত হয়, $4 x^{2}$ এবং ($.-3 x y)$ পদ দুটি যোগ করে $(4 x^{2}-3 x y)$ রাশিটি দেওয়া হয়। এটি কারণ $4 x^{2}+(-3 x y)=4 x^{2}-3 x y$।

লক্ষ্য করো, বিয়োগ চিহ্ন (-) পদটির মধ্যে অন্তর্ভুক্ত। $4 x^{2}-3 x y$ রাশিতে, আমরা পদটিকে $(-3 x y)$ হিসাবে নিয়েছি, (3xy) হিসাবে নয়। সে কারণেই আমাদের বলার দরকার নেই যে পদগুলি ‘যোগ বা বিয়োগ’ করে একটি রাশি গঠিত হয়; শুধু ‘যোগ’ বলাই যথেষ্ট।

একটি পদের উৎপাদক

আমরা উপরে দেখেছি যে $(4 x^{2}-3 x y)$ রাশিটিতে দুটি পদ আছে $4 x^{2}$ এবং $-3 x y$। $4 x^{2}$ পদটি 4, $x$ এবং $x$ এর গুণফল; আমরা বলি যে 4, $x$ এবং $x$ হল $4 x^{2}$ পদের উৎপাদক। একটি পদ হল তার উৎপাদকগুলির গুণফল। $-3 x y$ পদটি হল $-3, x$ এবং $y$ উৎপাদকগুলির গুণফল।

আমরা একটি গাছ চিত্রের মাধ্যমে একটি রাশির পদ এবং পদের উৎপাদকগুলিকে সুবিধাজনক এবং মার্জিতভাবে উপস্থাপন করতে পারি। $(4 x^{2}-3 x y)$ রাশিটির জন্য গাছটি সংলগ্ন চিত্রে দেখানো হয়েছে।

লক্ষ্য করো, গাছ চিত্রে, আমরা উৎপাদকগুলির জন্য বিন্দুযুক্ত রেখা এবং পদের জন্য অবিচ্ছিন্ন রেখা ব্যবহার করেছি। এটি তাদের মিশ্রণ এড়ানোর জন্য।

$5 x y+10$ রাশিটির জন্য একটি গাছ চিত্র আঁকা যাক।

উৎপাদকগুলি এমন যে সেগুলিকে আরও উৎপাদকে বিশ্লেষণ করা যায় না। সুতরাং আমরা $5 x y$ কে $5 \times x y$ হিসাবে লিখি না, কারণ $x y$ কে আরও উৎপাদকে বিশ্লেষণ করা যায়। একইভাবে, যদি $x^{3}$ একটি পদ হত, তবে এটিকে $x \times x \times x$ হিসাবে লেখা হত, $x^{2} \times x$ হিসাবে নয়। এছাড়াও মনে রাখবে, 1 কে আলাদা উৎপাদক হিসাবে নেওয়া হয় না।

চেষ্টা করো

1. নিম্নলিখিত রাশিগুলিতে পদগুলি কী কী?

দেখাও কীভাবে পদগুলি গঠিত হয়। প্রতিটি রাশির জন্য একটি গাছ চিত্র আঁকো:

$8 y+3 x^{2}, 7 m n-4,2 x^{2} y$।

2. তিনটি রাশি লেখ যার প্রতিটিতে 4টি পদ আছে।

সহগ

আমরা শিখেছি কীভাবে একটি পদকে উৎপাদকগুলির গুণফল হিসাবে লেখা যায়। এই উৎপাদকগুলির একটি সংখ্যাগত হতে পারে এবং অন্যগুলি বীজগাণিতিক (অর্থাৎ, এতে চলরাশি থাকে)। সংখ্যাগত উৎপাদকটিকে পদের সংখ্যাগত সহগ বা সহজভাবে পদের সহগ বলা হয়। এটিকে পদটির অবশিষ্ট অংশের (যা স্পষ্টতই পদের বীজগাণিতিক উৎপাদকগুলির গুণফল) সহগও বলা হয়। সুতরাং $5 x y, 5$ তে হল পদের সহগ। এটিও $x y$ এর সহগ। $10 x y z, 10$ পদে হল $x y z$ এর সহগ, $-7 x^{2} y^{2},-7$ পদে হল $x^{2} y^{2}$ এর সহগ।

যখন একটি পদের সহগ +1 হয়, তখন এটি সাধারণত বাদ দেওয়া হয়। উদাহরণস্বরূপ, $1 x$ কে $x ; 1 x^{2} y^{2}$ হিসাবে লেখা হয়, $x^{2} y^{2}$ হিসাবে লেখা হয় ইত্যাদি। এছাড়াও, সহগ (-1) শুধুমাত্র বিয়োগ চিহ্ন দ্বারা নির্দেশিত হয়। সুতরাং $(-1) x$ কে $-x ;(-1) x^{2} y^{2}$ হিসাবে লেখা হয়, $-x^{2} y^{2}$ হিসাবে লেখা হয় ইত্যাদি।

চেষ্টা করো

নিম্নলিখিত রাশিগুলির পদের সহগ চিহ্নিত করো:

$4 x-3 y, a+b+5,2 y+5,2 x y$

কখনও কখনও, ‘সহগ’ শব্দটি একটি আরও সাধারণ অর্থে ব্যবহৃত হয়। সুতরাং আমরা বলি যে $5 x y, 5$ পদে হল $x y, x$ এর সহগ, হল $5 y$ এর সহগ এবং $y$ হল $5 x$ এর সহগ। $10 x y^{2}, 10$ তে হল $x y^{2}, x$ এর সহগ, হল $10 y^{2}$ এর সহগ এবং $y^{2}$ হল $10 x$ এর সহগ। সুতরাং, এই আরও সাধারণ অর্থে, একটি সহগ হয় একটি সংখ্যাগত উৎপাদক বা একটি বীজগাণিতিক উৎপাদক বা দুই বা ততোধিক উৎপাদকের গুণফল হতে পারে। এটিকে অবশিষ্ট উৎপাদকগুলির গুণফলের সহগ বলা হয়।

উদাহরণ 1 নিম্নলিখিত রাশিগুলিতে, যে পদগুলি ধ্রুবক নয় সেগুলি চিহ্নিত করো। তাদের সংখ্যাগত সহগ দাও:

$ x y+4,13-y^{2}, 13-y+5 y^{2}, 4 p^{2} q-3 p q^{2}+5 $

সমাধান

উদাহরণ 2

(a) নিম্নলিখিত রাশিগুলিতে $x$ এর সহগ কী কী?

$ 4 x-3 y, 8-x+y, y^{2} x-y, 2 z-5 x z $

(b) নিম্নলিখিত রাশিগুলিতে $y$ এর সহগ কী কী?

$ 4 x-3 y, 8+y z, y z^{2}+5, m y+m $

সমাধান

(a) প্রতিটি রাশিতে আমরা $x$ কে একটি উৎপাদক হিসাবে ধরে এমন একটি পদ খুঁজি। সেই পদের অবশিষ্ট অংশটি হল $x$ এর সহগ।

(b) পদ্ধতিটি (a) এর অনুরূপ।

১০.৪ সদৃশ ও অসদৃশ পদ

যখন পদগুলির বীজগাণিতিক উৎপাদক একই হয়, তখন তারা সদৃশ পদ। যখন পদগুলির বীজগাণিতিক উৎপাদক ভিন্ন হয়, তখন তারা অসদৃশ পদ। উদাহরণস্বরূপ, $2 x y-3 x+5 x y-4$ রাশিতে, $2 x y$ এবং $5 x y$ পদগুলি দেখো। $2 x y$ এর উৎপাদকগুলি হল 2, $x$ এবং $y$। $5 x y$ এর উৎপাদকগুলি হল 5, $x$ এবং $y$। সুতরাং তাদের বীজগাণিতিক (অর্থাৎ, যেগুলিতে চলরাশি থাকে) উৎপাদকগুলি একই এবং

চেষ্টা করো

নিম্নলিখিতগুলি থেকে সদৃশ পদগুলিকে একত্রে গুচ্ছিত করো:

$12 x, 12,-25 x,-25,-25 y, 1, x, 12 y, y$ তাই তারা সদৃশ পদ। অন্যদিকে $2 x y$ এবং $-3 x$ পদগুলির বীজগাণিতিক উৎপাদক ভিন্ন। তারা অসদৃশ পদ। একইভাবে, $2 x y$ এবং 4 পদগুলি অসদৃশ পদ। এছাড়াও, $-3 x$ এবং 4 পদগুলি অসদৃশ পদ।

১০.৫ একপদী, দ্বিপদী, ত্রিপদী ও বহুপদী

শুধুমাত্র একটি পদবিশিষ্ট রাশিকে একপদী বলা হয়; উদাহরণস্বরূপ, $7 x y,-5 m$, $3 z^{2}, 4$ ইত্যাদি।

চেষ্টা করো

নিম্নলিখিত রাশিগুলিকে একপদী, দ্বিপদী বা ত্রিপদী হিসাবে শ্রেণিবদ্ধ করো: $a$, $a+b, a b+a+b, a b+a$ $+b-5, x y, x y+5$, $5 x^{2}-x+2,4 p q-3 q+5 p$, $7,4 m-7 n+10,4 m n+7$।

যে রাশিতে দুটি অসদৃশ পদ থাকে তাকে দ্বিপদী বলা হয়; উদাহরণস্বরূপ, $x+y, m-5, m n+4 m, a^{2}-b^{2}$ হল দ্বিপদী। $10 p q$ রাশিটি একটি দ্বিপদী নয়; এটি একটি একপদী। $(a+b+5)$ রাশিটি একটি দ্বিপদী নয়। এতে তিনটি পদ আছে।

যে রাশিতে তিনটি পদ থাকে তাকে ত্রিপদী বলা হয়; উদাহরণস্বরূপ, $x+y+7, a b+a+b$, $3 x^{2}-5 x+2, m+n+10$ রাশিগুলি ত্রিপদী। তবে $a b+a+b+5$ রাশিটি একটি ত্রিপদী নয়; এতে চারটি পদ আছে, তিনটি নয়। $x+y+5 x$ রাশিটি একটি ত্রিপদী নয় কারণ $x$ এবং $5 x$ পদগুলি সদৃশ পদ।

সাধারণভাবে, এক বা একাধিক পদবিশিষ্ট রাশিকে বহুপদী বলা হয়। সুতরাং একটি একপদী, একটি দ্বিপদী এবং একটি ত্রিপদী সবই বহুপদী।

উদাহরণ 3 কারণসহ বলো, নিম্নলিখিত পদগুলির জোড়াগুলির মধ্যে কোনগুলি সদৃশ পদ এবং কোনগুলি অসদৃশ পদ:

(i) $7 x, 12 y$

(ii) $15 x,-21 x$

(iii) $-4 a b, 7 b a$

(iv) $3 x y, 3 x$

(v) $6 x y^{2}, 9 x^{2} y$

(vi) $p q^{2},-4 p q^{2}$

(vii) $m n^{2}, 10 m n$

সমাধান

নিম্নলিখিত সহজ ধাপগুলি অনুসরণ করলে প্রদত্ত পদগুলি সদৃশ না অসদৃশ তা নির্ধারণ করতে সাহায্য করবে:

(i) সংখ্যাগত সহগগুলি উপেক্ষা করো। পদের বীজগাণিতিক অংশে মনোযোগ দাও।

(ii) পদগুলিতে চলরাশিগুলি পরীক্ষা করো। সেগুলি একই হতে হবে।

(iii) তারপর, পদগুলিতে প্রতিটি চলরাশির ঘাত পরীক্ষা করো। সেগুলি একই হতে হবে।

লক্ষ্য করো যে সদৃশ পদ নির্ধারণে, দুটি বিষয় গুরুত্বপূর্ণ নয় (1) পদগুলির সংখ্যাগত সহগ এবং (2) পদগুলিতে চলরাশিগুলি কী ক্রমে গুণিত হয়েছে।

অনুশীলনী ১০.১

1. চলরাশি, ধ্রুবক এবং গাণিতিক প্রক্রিয়া ব্যবহার করে নিম্নলিখিত ক্ষেত্রে বীজগাণিতিক রাশিগুলি লেখো।

(i) $z$ থেকে $y$ এর বিয়োগ।

(ii) $x$ এবং $y$ সংখ্যাদ্বয়ের যোগফলের অর্ধেক।

(iii) $z$ সংখ্যাটিকে নিজের দ্বারা গুণ।

(iv) $p$ এবং $q$ সংখ্যাদ্বয়ের গুণফলের এক-চতুর্থাংশ।

(v) $x$ এবং $y$ সংখ্যাদ্বয় উভয়কে বর্গ করে যোগ।

(vi) $m$ এবং $n$ সংখ্যাদ্বয়ের গুণফলের তিনগুণের সাথে 5 যোগ।

(vii) $y$ এবং $z$ সংখ্যাদ্বয়ের গুণফল 10 থেকে বিয়োগ।

(viii) $a$ এবং $b$ সংখ্যাদ্বয়ের যোগফল তাদের গুণফল থেকে বিয়োগ।

2. (i) নিম্নলিখিত রাশিগুলিতে পদ এবং তাদের উৎপাদক চিহ্নিত করো। গাছ চিত্র দ্বারা পদ ও উৎপাদক দেখাও।

(a) $x-3$

(b) $1+x+x^{2}$

(c) $y-y^{3}$

(d) $5 x y^{2}+7 x^{2} y$

(e) $-a b+2 b^{2}-3 a^{2}$

(ii) নিম্নলিখিত রাশিগুলিতে পদ ও উৎপাদক চিহ্নিত করো:

(a) $-4 x+5$

(b) $-4 x+5 y$

(c) $5 y+3 y^{2}$

(d) $x y+2 x^{2} y^{2}$

(e) $p q+q$

(f) $1.2 a b-2.4 b+3.6 a$

(g) $\frac{3}{4} x+\frac{1}{4}$

(h) $0.1 p^{2}+0.2 q^{2}$

3. নিম্নলিখিত রাশিগুলিতে পদগুলির (ধ্রুবক ছাড়া) সংখ্যাগত সহগ চিহ্নিত করো:

(i) $5-3 t^{2}$

(ii) $1+t+t^{2}+t^{3}$

(iii) $x+2 x y+3 y$

(iv) $100 m+1000 n$

(v) $-p^{2} q^{2}+7 p q$

(vi) $1.2 a+0.8 b$

(vii) $3.14 r^{2}$

(viii) $2(l+b)$

(ix) $0.1 y+0.01 y^{2}$

4. (a) যে পদগুলিতে $x$ আছে সেগুলি চিহ্নিত করো এবং $x$ এর সহগ দাও।

(i) $y^{2} x+y$

(ii) $13 y^{2}-8 y x$

(iii) $x+y+2$

(iv) $5+z+z x$

(v) $1+x+x y$

(vi) $12 x y^{2}+25$

(vii) $7 x+x y^{2}$

(b) যে পদগুলিতে $y^{2}$ আছে সেগুলি চিহ্নিত করো এবং $y^{2}$ এর সহগ দাও।

(i) $8-x y^{2}$

(ii) $5 y^{2}+7 x$

(iii) $2 x^{2} y-15 x y^{2}+7 y^{2}$

5. একপদী, দ্বিপদী ও ত্রিপদীতে শ্রেণিবদ্ধ করো।

(i) $4 y-7 z$

(ii) $y^{2}$

(iii) $x+y-x y$

(iv) 100

(v) $a b-a-b$

(vi) $5-3 t$

(vii) $4 p^{2} q-4 p q^{2}$

(viii) $7 m n$

(ix) $z^{2}-3 z+8$

(x) $a^{2}+b^{2}$

(xi) $z^{2}+z$

(xii) $1+x+x^{2}$

6. বলো প্রদত্ত পদজোড়া সদৃশ না অসদৃশ পদ।

(i) 1,100

(ii) $-7 x, \frac{5}{2} x$

(iii) $-29 x,-29 y$

(iv) $14 x y, 42 y x$

(v) $4 m^{2} p, 4 m p^{2}$

(vi) $12 x z, 12 x^{2} z^{2}$

7. নিম্নলিখিতগুলিতে সদৃশ পদ চিহ্নিত করো:

(a) $-x y^{2},-4 y x^{2}, 8 x^{2}, 2 x y^{2}, 7 y,-11 x^{2},-100 x,-11 y x, 20 x^{2} y$, $-6 x^{2}, y, 2 x y, 3 x$

(b) $10 p q, 7 p, 8 q,-p^{2} q^{2},-7 q p,-100 q,-23,12 q^{2} p^{2},-5 p^{2}, 41,2405 p, 78 q p$, $13 p^{2} q, q p^{2}, 701 p^{2}$

১০.৬ একটি রাশির মান নির্ণয়

আমরা জানি যে একটি বীজগাণিতিক রাশির মান রাশিটি গঠনকারী চলরাশিগুলির মানের উপর নির্ভর করে। অনেক পরিস্থিতিতে আমাদের একটি রাশির মান নির্ণয় করতে হয়, যেমন যখন আমরা দেখতে চাই যে একটি চলরাশির নির্দিষ্ট মান একটি প্রদত্ত সমীকরণকে সিদ্ধ করে কিনা।

আমরা রাশির মানও নির্ণয় করি যখন আমরা জ্যামিতি এবং দৈনন্দিন গণিত থেকে সূত্র ব্যবহার করি। উদাহরণস্বরূপ, একটি বর্গের ক্ষেত্রফল হল $l^{2}$, যেখানে $l$ হল বর্গের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য। যদি $l=5 cm$ হয়, তবে ক্ষেত্রফল হল $5^{2} cm^{2}$ বা $25 cm^{2}$; যদি বাহু $10 cm$ হয়, তবে ক্ষেত্রফল হল $10^{2} cm^{2}$ বা $100 cm^{2}$ ইত্যাদি। আমরা পরবর্তী অংশে আরও এমন উদাহরণ দেখব।

উদাহরণ 4 $x=2$ এর জন্য নিম্নলিখিত রাশিগুলির মান নির্ণয় করো।

(i) $x+4$

(ii) $4 x-3$

(iii) $19-5 x^{2}$

(iv) $100-10 x^{3}$

সমাধান

$x=2$ বসিয়ে

(i) $x+4$ তে, আমরা $x+4$ এর মান পাই, অর্থাৎ,

$x+4=2+4=6$

(ii) $4 x-3$ তে, আমরা পাই

$4 x-3=(4 \times 2)-3=8-3=5$

(iii) $19-5 x^{2}$ তে, আমরা পাই

$ 19-5 x^{2}=19-(5 \times 2^{2})=19-(5 \times 4)=19-20=-1 $

(iv) $100-10 x^{3}$ তে, আমরা পাই

$ \begin{aligned} & 100-10 x^{3}=100-(10 \times 2^{3})=100-(10 \times 8)(\text{ Note } 2^{3}=8) \\ & =100-80=20 \end{aligned} $

উদাহরণ 5 $n=-2$ হলে নিম্নলিখিত রাশিগুলির মান নির্ণয় করো।

(i) $5 n-2$

(ii) $5 n^{2}+5 n-2$

(iii) $n^{3}+5 n^{2}+5 n-2$

সমাধান

(i) $n=-2$ এর মান $5 n-2$ তে বসিয়ে, আমরা পাই,

$ 5(-2)-2=-10-2=-12 $

(ii) $5 n^{2}+5 n-2$ তে, আমরা পাই,

$n=-2,5 n-2=-12$ এর জন্য

এবং $5 n^{2}=5 \times(-2)^{2}=5 \times 4=20 \quad$ [যেহেতু $.(-2)^{2}=4]$

একত্রিত করে,

$ 5 n^{2}+5 n-2=20-12=8 $

(iii) এখন, $n=-2$ এর জন্য,

$ \begin{aligned} & 5 n^{2}+5 n-2=8 \text{ এবং } \\ & n^{3}=(-2)^{3}=(-2) \times(-2) \times(-2)=-8 \end{aligned} $

একত্রিত করে,

$ n^{3}+5 n^{2}+5 n-2=-8+8=0 $

আমরা এখন দুটি চলরাশির রাশি বিবেচনা করব, উদাহরণস্বরূপ, $x+y, x y$। দুটি চলরাশির একটি রাশির সংখ্যাগত মান বের করতে, আমাদের উভয় চলরাশির মান দিতে হবে। উদাহরণস্বরূপ, $(x+y)$ রাশির মান, $x=3$ এবং $y=5$ এর জন্য, হল $3+5=8$।

উদাহরণ 6 $a=3, b=2$ এর জন্য নিম্নলিখিত রাশিগুলির মান নির্ণয় করো।

(i) $a+b$

(ii) $7 a-4 b$

(iii) $a^{2}+2 a b+b^{2}$

(iv) $a^{3}-b^{3}$

সমাধান

$a=3$ এবং $b=2$ বসিয়ে

(i) $a+b$ তে, আমরা পাই

$a+b=3+2=5$

(ii) $7 a-4 b$ তে, আমরা পাই

$7 a-4 b=7 \times 3-4 \times 2=21-8=13$।

(iii) $a^{2}+2 a b+b^{2}$ তে, আমরা পাই

$a^{2}+2 a b+b^{2}=3^{2}+2 \times 3 \times 2+2^{2}=9+2 \times 6+4=9+12+4=25$

(iv) $a^{3}-b^{3}$ তে, আমরা পাই

$a^{3}-b^{3}=3^{3}-2^{3}=3 \times 3 \times 3-2 \times 2 \times 2=9 \times 3-4 \times 2=27-8=19$

অনুশীলনী ১০.২

1. যদি $m=2$ হয়, তবে মান নির্ণয় করো:

(i) $m-2$

(ii) $3 m-5$

(iii) $9-5 m$

(iv) $3 m^{2}-2 m-7$

(v) $\frac{5 m}{2} 4$

2. যদি $p=-2$ হয়, তবে মান নির্ণয় করো:

(i) $4 p+7$

(ii) $-3 p^{2}+4 p+7$

(iii) $-2 p^{3}-3 p^{2}+4 p+7$

3. যখন $x=-1$ হয়, তখন নিম্নলিখিত রাশিগুলির মান নির্ণয় করো:

(i) $2 x-7$

(ii) $-x+2$

(iii) $x^{2}+2 x+1$

(iv) $2 x^{2}-x-2$

4. যদি $a=2, b=-2$ হয়, তবে মান নির্ণয় করো:

(i) $a^{2}+b^{2}$

(ii) $a^{2}+a b+b^{2}$

(iii) $a^{2}-b^{2}$

5. যখন $a=0, b=-1$ হয়, তখন প্রদত্ত রাশিগুলির মান নির্ণয় করো:

(i) $2 a+2 b$

(ii) $2 a^{2}+b^{2}+1$

(iii) $2 a^{2} b+2 a b^{2}+a b$

(iv) $a^{2}+a b+2$

6. রাশিগুলি সরল করো এবং মান নির্ণয় করো যদি $x$ 2 এর সমান হয়

(i) $x+7+4(x-5)$

(ii) $3(x+2)+5 x-7$

(iii) $6 x+5(x-2)$

(iv) $4(2 x-1)+3 x+11$

7. এই রাশিগুলি সরল করো এবং তাদের মান নির্ণয় করো যদি $x=3, a=-1, b=-2$ হয়।

(i) $3 x-5-x+9$

(ii) $2-8 x+4 x+4$

(iii) $3 a+5-8 a+1$

(iv) $10-3 b-4-5 b$

(v) $2 a-2 b-4-5+a$

8. (i) যদি $z=10$ হয়, তবে $z^{3}-3(z-10)$ এর মান নির্ণয় করো।

(ii) যদি $p=-10$ হয়, তবে $p^{2}-2 p-100$ এর মান নির্ণয় করো।

9. $a$ এর মান কত হওয়া উচিত যদি $2 x^{2}+x-a$ রাশির মান 5 হয়, যখন $x=0$ হয়?

10. রাশিটি সরল করো এবং এর মান নির্ণয় করো যখন $a=5$ এবং $b=-3$ হয়।

$ 2(a^{2}+a b)+3-a b $

আমরা কী আলোচনা করেছি?

1. বীজগাণিতিক রাশি গঠিত হয় চলরাশি ও ধ্রুবক থেকে। আমরা চলরাশি ও ধ্রুবকের উপর যোগ, বিয়োগ, গুণ ও ভাগের প্রক্রিয়া ব্যবহার করে রাশি গঠন করি। উদাহরণস্বরূপ, $4 x y+7$ রাশিটি গঠিত হয় $x$ এবং $y$ চলরাশি এবং 4 ও 7 ধ্রুবক থেকে। ধ্রুবক 4 এবং $x$ ও $y$ চলরাশিগুলিকে গুণ করে গুণফল $4 x y$ পাওয়া যায় এবং এই গুণফলের সাথে ধ্রুবক 7 যোগ করে রাশিটি পাওয়া যায়।

2. রাশি পদ দিয়ে গঠিত। পদ যোগ করে একটি রাশি তৈরি করা হয়। উদাহরণস্বরূপ, $4 x y$ এবং 7 পদ দুটি যোগ করে $4 x y+7$ রাশিটি পাওয়া যায়।

3. একটি পদ হল উৎপাদকগুলির গুণফল। $4 x y$ পদটি $4 x y+7$ রাশিতে $x, y$ এবং 4 উৎপাদকগুলির গুণফল। চলরাশিবিশিষ্ট উৎপাদকগুলিকে বীজগাণিতিক উৎপাদক বলা হয়।

4. সহগ হল পদের সংখ্যাগত উৎপাদক। কখনও কখনও একটি পদের যেকোনো একটি উৎপাদককে পদের অবশিষ্ট অংশের সহগ বলা হয়।

5. যেকোনো রাশি যাতে এক বা একাধিক পদ থাকে তাকে বহুপদী বলা হয়। বিশেষভাবে একপদবিশিষ্ট রাশিকে একপদী বলা হয়; দ্বিপদবিশিষ্ট রাশিকে দ্বিপদী বলা হয়; এবং ত্রিপদবিশিষ্ট রাশিকে ত্রিপদী বলা হয়।

6. যেসব পদে একই বীজগাণিতিক উৎপাদক থাকে তারা সদৃশ পদ। যেসব পদে ভিন্ন বীজগাণিতিক উৎপাদক থাকে তারা অসদৃশ পদ। সুতরাং, $4 x y$ এবং $-3 x y$ পদগুলি সদৃশ পদ; কিন্তু $4 x y$ এবং $-3 x$ পদগুলি সদৃশ পদ নয়।

7. সমীকরণ সমাধান এবং সূত্র ব্যবহারের মতো পরিস্থিতিতে, আমাদের একটি রাশির মান নির্ণয় করতে হয়। রাশির মান রাশিটি গঠনকারী চলরাশির মানের উপর নির্ভর করে। সুতরাং, $7 x-3$ রাশির মান $x=5$ এর জন্য 32, যেহেতু $7(5)-3=35-3=32$।