10.1 परिचय

हम पहले ही सरल बीजीय व्यंजकों जैसे $x+3, y-5,4 x+5$, $10 y-5$ आदि से परिचित हो चुके हैं। कक्षा VI में, हमने देखा था कि ये व्यंजक पहेलियों और समस्याओं को बनाने में कैसे उपयोगी होते हैं। हमने सरल समीकरणों वाले अध्याय में भी कई व्यंजकों के उदाहरण देखे हैं।

व्यंजक बीजगणित की एक केंद्रीय अवधारणा हैं। यह अध्याय बीजीय व्यंजकों के लिए समर्पित है। जब आप इस अध्याय का अध्ययन कर लेंगे, तो आप जान जाएंगे कि बीजीय व्यंजक कैसे बनते हैं, उन्हें कैसे जोड़ा जा सकता है, हम उनके मान कैसे ज्ञात कर सकते हैं और उनका उपयोग कैसे किया जा सकता है।

10.2 व्यंजक कैसे बनते हैं?

अब हमें अच्छी तरह पता है कि चर क्या होता है। हम चरों को निरूपित करने के लिए अक्षरों $x, y, l, m, \ldots$ आदि का उपयोग करते हैं। एक चर विभिन्न मान ले सकता है। इसका मान स्थिर नहीं होता। दूसरी ओर, एक अचर का मान स्थिर होता है। अचरों के उदाहरण हैं: 4, 100, -17, आदि।

हम बीजीय व्यंजक बनाने के लिए चरों और अचरों को जोड़ते हैं। इसके लिए, हम जोड़, घटाव, गुणा और भाग की संक्रियाओं का उपयोग करते हैं। हम पहले ही $4 x+5,10 y-20$ जैसे व्यंजकों से परिचित हो चुके हैं। व्यंजक $4 x+5$ चर $x$ से प्राप्त किया जाता है, पहले $x$ को अचर 4 से गुणा करके और फिर गुणनफल में अचर 5 जोड़कर। इसी प्रकार, $10 y-20$ पहले $y$ को 10 से गुणा करके और फिर गुणनफल में से 20 घटाकर प्राप्त किया जाता है।

उपरोक्त व्यंजक चरों को अचरों के साथ जोड़कर प्राप्त किए गए थे। हम व्यंजक चरों को स्वयं के साथ या अन्य चरों के साथ जोड़कर भी प्राप्त कर सकते हैं।

देखिए कि निम्नलिखित व्यंजक कैसे प्राप्त होते हैं:

$ x^{2}, 2 y^{2}, 3 x^{2}-5, x y, 4 x y+7 $

(i) व्यंजक $x^{2}$ चर $x$ को स्वयं से गुणा करके प्राप्त किया जाता है;

$ x \times x=x^{2} $

जिस प्रकार $4 \times 4$ को $4^{2}$ लिखा जाता है, उसी प्रकार हम $x \times x=x^{2}$ लिखते हैं। इसे आमतौर पर $x$ वर्ग पढ़ा जाता है।

(बाद में, जब आप ‘घातांक और घात’ अध्याय का अध्ययन करेंगे तो आप समझेंगे कि $x^{2}$ को $x$ की घात 2 के रूप में भी पढ़ा जा सकता है)।

इसी तरह, हम $\quad x \times x \times x=x^{3}$ लिख सकते हैं

आमतौर पर, $x^{3}$ को ‘$x$ घन’ पढ़ा जाता है। बाद में, आप समझेंगे कि $x^{3}$ को $x$ की घात 3 के रूप में भी पढ़ा जा सकता है।

$x, x^{2}, x^{3}, \ldots$ सभी बीजीय व्यंजक $x$ से प्राप्त किए गए हैं।

(ii) व्यंजक $2 y^{2}$ $y: 2 y^{2}=2 \times y \times y$ से प्राप्त किया जाता है

यहाँ $y$ को $y$ से गुणा करके हमें $y^{2}$ प्राप्त होता है और फिर हम $y^{2}$ को अचर 2 से गुणा करते हैं।

(iii) $(3 x^{2}-5)$ में हम पहले $x^{2}$ प्राप्त करते हैं, और इसे 3 से गुणा करके $3 x^{2}$ प्राप्त करते हैं।

$3 x^{2}$ में से, हम 5 घटाकर अंततः $3 x^{2}-5$ पर पहुंचते हैं।

(iv) $x y$ में, हम चर $x$ को दूसरे चर $y$ से गुणा करते हैं। इस प्रकार, $x \times y=x y$।

(v) $4 x y+7$ में, हम पहले $x y$ प्राप्त करते हैं, इसे 4 से गुणा करके $4 x y$ प्राप्त करते हैं और $4 x y$ में 7 जोड़कर व्यंजक प्राप्त करते हैं।

आओ करके देखें

वर्णन कीजिए कि निम्नलिखित व्यंजक कैसे प्राप्त होते हैं:

$7 x y+5, x^{2} y, 4 x^{2}-5 x$

10.3 एक व्यंजक के पद

अब हम ऊपर जो सीखा है कि व्यंजक कैसे बनते हैं, उसे एक व्यवस्थित रूप में रखेंगे। इस उद्देश्य के लिए, हमें यह समझने की आवश्यकता है कि एक व्यंजक के पद और उनके गुणनखंड क्या होते हैं।

व्यंजक $(4 x+5)$ पर विचार कीजिए। इस व्यंजक को बनाने में, हमने पहले $4 x$ को अलग से 4 और $x$ के गुणनफल के रूप में बनाया और फिर इसमें 5 जोड़ा। इसी प्रकार व्यंजक $(3 x^{2}+7 y)$ पर विचार कीजिए। यहाँ हमने पहले $3 x^{2}$ को अलग से $3, x$ और $x$ के गुणनफल के रूप में बनाया। फिर हमने $7 y$ को अलग से 7 और $y$ के गुणनफल के रूप में बनाया। $3 x^{2}$ और $7 y$ को अलग-अलग बनाने के बाद, हमने उन्हें जोड़कर व्यंजक प्राप्त किया।

आप पाएंगे कि जिन व्यंजकों से हम निपटते हैं, उन्हें हमेशा इस तरह देखा जा सकता है। उनके भाग होते हैं जो अलग-अलग बनते हैं और फिर जोड़े जाते हैं। एक व्यंजक के ऐसे भाग जो पहले अलग-अलग बनते हैं और फिर जोड़े जाते हैं, पद कहलाते हैं। व्यंजक $(4 x^{2}-3 x y)$ को देखिए। हम कहते हैं कि इसके दो पद हैं, $4 x^{2}$ और $-3 x y$। पद $4 x^{2}$, 4, $x$ और $x$ का गुणनफल है, और पद (-3xy), (-3), $x$ और $y$ का गुणनफल है।

व्यंजक बनाने के लिए पदों को जोड़ा जाता है। जिस प्रकार पद $4 x$ और 5 को जोड़कर व्यंजक $(4 x+5)$ बनता है, उसी प्रकार पद $4 x^{2}$ और ($.-3 x y)$ को जोड़कर व्यंजक $(4 x^{2}-3 x y)$ प्राप्त होता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि $4 x^{2}+(-3 x y)=4 x^{2}-3 x y$।

ध्यान दीजिए, ऋण चिह्न (-) पद में शामिल होता है। व्यंजक $4 x^{2}-3 x y$ में, हमने पद को $(-3 x y)$ लिया न कि (3xy) के रूप में। इसीलिए हमें यह कहने की आवश्यकता नहीं है कि व्यंजक बनाने के लिए पदों को ‘जोड़ा या घटाया’ जाता है; केवल ‘जोड़ा’ कहना पर्याप्त है।

एक पद के गुणनखंड

हमने ऊपर देखा कि व्यंजक $(4 x^{2}-3 x y)$ में दो पद $4 x^{2}$ और $-3 x y$ हैं। पद $4 x^{2}$, 4, $x$ और $x$ का गुणनफल है; हम कहते हैं कि 4, $x$ और $x$ पद $4 x^{2}$ के गुणनखंड हैं। एक पद अपने गुणनखंडों का गुणनफल होता है। पद $-3 x y$, गुणनखंडों $-3, x$ और $y$ का गुणनफल है।

हम एक व्यंजक के पदों और उनके गुणनखंडों को एक वृक्ष आरेख द्वारा सुविधाजनक और सुंदर ढंग से निरूपित कर सकते हैं। व्यंजक $(4 x^{2}-3 x y)$ के लिए वृक्ष आरेख आसन्न चित्र में दिखाया गया है।

ध्यान दीजिए, वृक्ष आरेख में, हमने गुणनखंडों के लिए बिंदुदार रेखाओं और पदों के लिए सतत रेखाओं का उपयोग किया है। यह उन्हें मिलाने से बचने के लिए है।

आइए व्यंजक $5 x y+10$ के लिए एक वृक्ष आरेख बनाएं।

गुणनखंड ऐसे होते हैं कि उनका और गुणनखंडन नहीं किया जा सकता। इस प्रकार हम $5 x y$ को $5 \times x y$ के रूप में नहीं लिखते, क्योंकि $x y$ का और गुणनखंडन किया जा सकता है। इसी प्रकार, यदि $x^{3}$ एक पद होता, तो इसे $x \times x \times x$ लिखा जाता न कि $x^{2} \times x$। साथ ही, याद रखिए कि 1 को एक अलग गुणनखंड के रूप में नहीं लिया जाता।

आओ करके देखें

1. निम्नलिखित व्यंजकों में पद क्या हैं?

दिखाइए कि पद कैसे बनते हैं। प्रत्येक व्यंजक के लिए एक वृक्ष आरेख बनाइए:

$8 y+3 x^{2}, 7 m n-4,2 x^{2} y$.

2. तीन व्यंजक लिखिए जिनमें से प्रत्येक में 4 पद हों।

गुणांक

हमने सीखा है कि एक पद को गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में कैसे लिखा जाता है। इनमें से एक गुणनखंड संख्यात्मक हो सकता है और अन्य बीजीय (अर्थात, उनमें चर हों)। संख्यात्मक गुणनखंड को पद का संख्यात्मक गुणांक या केवल गुणांक कहा जाता है। इसे पद के शेष भाग (जो स्पष्टतः पद के बीजीय गुणनखंडों का गुणनफल है) का गुणांक भी कहा जाता है। इस प्रकार $5 x y, 5$ में पद का गुणांक है। यह $x y$ का भी गुणांक है। पद $10 x y z, 10$ में, $x y z$ का गुणांक है, पद $-7 x^{2} y^{2},-7$ में, $x^{2} y^{2}$ का गुणांक है।

जब किसी पद का गुणांक +1 होता है, तो इसे आमतौर पर छोड़ दिया जाता है। उदाहरण के लिए, $1 x$ को $x ; 1 x^{2} y^{2}$ के रूप में लिखा जाता है, $x^{2} y^{2}$ के रूप में लिखा जाता है और इसी तरह। साथ ही, गुणांक (-1) केवल ऋण चिह्न द्वारा दर्शाया जाता है। इस प्रकार $(-1) x$ को $-x ;(-1) x^{2} y^{2}$ के रूप में लिखा जाता है, $-x^{2} y^{2}$ के रूप में लिखा जाता है और इसी तरह।

आओ करके देखें

निम्नलिखित व्यंजकों के पदों के गुणांक पहचानिए:

$4 x-3 y, a+b+5,2 y+5,2 x y$

कभी-कभी, ‘गुणांक’ शब्द का उपयोग अधिक सामान्य रूप में किया जाता है। इस प्रकार हम कहते हैं कि पद $5 x y, 5$ में, $x y, x$ का गुणांक है, $5 y$ का गुणांक है और $y$, $5 x$ का गुणांक है। $10 x y^{2}, 10$ में, $x y^{2}, x$ का गुणांक है, $10 y^{2}$ का गुणांक है और $y^{2}$, $10 x$ का गुणांक है। इस प्रकार, इस अधिक सामान्य तरीके में, एक गुणांक या तो एक संख्यात्मक गुणनखंड हो सकता है या एक बीजीय गुणनखंड हो सकता है या दो या अधिक गुणनखंडों का गुणनफल हो सकता है। इसे शेष गुणनखंडों के गुणनफल का गुणांक कहा जाता है।

उदाहरण 1 निम्नलिखित व्यंजकों में, उन पदों को पहचानिए जो अचर नहीं हैं। उनके संख्यात्मक गुणांक दीजिए:

$ x y+4,13-y^{2}, 13-y+5 y^{2}, 4 p^{2} q-3 p q^{2}+5 $

हल

उदाहरण 2

(a) निम्नलिखित व्यंजकों में $x$ के गुणांक क्या हैं?

$ 4 x-3 y, 8-x+y, y^{2} x-y, 2 z-5 x z $

(b) निम्नलिखित व्यंजकों में $y$ के गुणांक क्या हैं?

$ 4 x-3 y, 8+y z, y z^{2}+5, m y+m $

हल

(a) प्रत्येक व्यंजक में हम एक ऐसे पद को देखते हैं जिसमें $x$ एक गुणनखंड के रूप में हो। उस पद का शेष भाग $x$ का गुणांक है।

(b) विधि (a) के समान है।

10.4 समान और असमान पद

जब पदों के बीजीय गुणनखंड समान होते हैं, तो वे समान पद होते हैं। जब पदों के बीजीय गुणनखंड भिन्न होते हैं, तो वे असमान पद होते हैं। उदाहरण के लिए, व्यंजक $2 x y-3 x+5 x y-4$ में, पद $2 x y$ और $5 x y$ को देखिए। $2 x y$ के गुणनखंड 2, $x$ और $y$ हैं। $5 x y$ के गुणनखंड 5, $x$ और $y$ हैं। इस प्रकार उनके बीजीय (अर्थात, जिनमें चर हों) गुणनखंड समान हैं और

आओ करके देखें

निम्नलिखित में से समान पदों को एक साथ समूहित कीजिए:

$12 x, 12,-25 x,-25,-25 y, 1, x, 12 y, y$ इसलिए वे समान पद हैं। दूसरी ओर पद $2 x y$ और $-3 x$ के बीजीय गुणनखंड भिन्न हैं। वे असमान पद हैं। इसी प्रकार, पद $2 x y$ और 4, असमान पद हैं। साथ ही, पद $-3 x$ और 4 असमान पद हैं।

10.5 एकपदी, द्विपद, त्रिपद और बहुपद

केवल एक पद वाले व्यंजक को एकपदी कहा जाता है; उदाहरण के लिए, $7 x y,-5 m$, $3 z^{2}, 4$ आदि।

आओ करके देखें

निम्नलिखित व्यंजकों को एकपदी, द्विपद या त्रिपद के रूप में वर्गीकृत कीजिए: $a$, $a+b, a b+a+b, a b+a$ $+b-5, x y, x y+5$, $5 x^{2}-x+2,4 p q-3 q+5 p$, $7,4 m-7 n+10,4 m n+7$।

एक व्यंजक जिसमें दो असमान पद हों, उसे द्विपद कहा जाता है; उदाहरण के लिए, $x+y, m-5, m n+4 m, a^{2}-b^{2}$ द्विपद हैं। व्यंजक $10 p q$ एक द्विपद नहीं है; यह एक एकपदी है। व्यंजक $(a+b+5)$ एक द्विपद नहीं है। इसमें तीन पद हैं।

एक व्यंजक जिसमें तीन पद हों, उसे त्रिपद कहा जाता है; उदाहरण के लिए, व्यंजक $x+y+7, a b+a+b$, $3 x^{2}-5 x+2, m+n+10$ त्रिपद हैं। व्यंजक $a b+a+b+5$, हालांकि, एक त्रिपद नहीं है; इसमें चार पद हैं, तीन नहीं। व्यंजक $x+y+5 x$ एक त्रिपद नहीं है क्योंकि पद $x$ और $5 x$ समान पद हैं।

सामान्यतः, एक या अधिक पदों वाले व्यंजक को बहुपद कहा जाता है। इस प्रकार एक एकपदी, एक द्विपद और एक त्रिपद सभी बहुपद हैं।

उदाहरण 3 बताइए कि निम्नलिखित पदों के युग्मों में से कौन-से समान पद हैं और कौन-से असमान पद हैं, कारण सहित:

(i) $7 x, 12 y$

(ii) $15 x,-21 x$

(iii) $-4 a b, 7 b a$

(iv) $3 x y, 3 x$

(v) $6 x y^{2}, 9 x^{2} y$

(vi) $p q^{2},-4 p q^{2}$

(vii) $m n^{2}, 10 m n$

हल

निम्नलिखित सरल चरण आपको यह तय करने में मदद करेंगे कि दिए गए पद समान हैं या असमान:

(i) संख्यात्मक गुणांकों को नजरअंदाज करें। पदों के बीजीय भाग पर ध्यान केंद्रित करें।

(ii) पदों में चरों की जाँच करें। वे समान होने चाहिए।

(iii) अगला, पदों में प्रत्येक चर की घातों की जाँच करें। वे समान होनी चाहिए।

ध्यान दीजिए कि समान पद तय करने में, दो बातें मायने नहीं रखतीं (1) पदों के संख्यात्मक गुणांक और (2) जिस क्रम में चरों को पदों में गुणा किया गया है।

प्रश्नावली 10.1

1. चरों, अचरों और अंकगणितीय संक्रियाओं का प्रयोग करते हुए, निम्नलिखित स्थितियों में बीजीय व्यंजक प्राप्त कीजिए:

(i) $z$ को $y$ में से घटाना।

(ii) संख्याओं $x$ और $y$ के योग का आधा।

(iii) संख्या $z$ को स्वयं से गुणा करना।

(iv) संख्याओं $p$ और $q$ के गुणनफल का एक-चौथाई।

(v) संख्याओं $x$ और $y$ दोनों का वर्ग करके जोड़ना।

(vi) संख्या 5 को संख्याओं $m$ और $n$ के गुणनफल के तीन गुने में जोड़ना।

(vii) संख्याओं $y$ और $z$ के गुणनफल को 10 में से घटाना।

(viii) संख्याओं $a$ और $b$ के योग को उनके गुणनफल में से घटाना।

2. (i) निम्नलिखित व्यंजकों में पदों और उनके गुणनखंडों को पहचानिए। पदों और गुणनखंडों को वृक्ष आरेख द्वारा दर्शाइए।

(a) $x-3$

(b) $1+x+x^{2}$

(c) $y-y^{3}$

(d) $5 x y^{2}+7 x^{2} y$

(e) $-a b+2 b^{2}-3 a^{2}$

(ii) नीचे दिए गए व्यंजकों में पदों और गुणनखंडों को पहचानिए:

(a) $-4 x+5$

(b) $-4 x+5 y$

(c) $5 y+3 y^{2}$

(d) $x y+2 x^{2} y^{2}$

(e) $p q+q$

(f) $1.2 a b-2.4 b+3.6 a$

(g) $\frac{3}{4} x+\frac{1}{4}$

(h) $0.1 p^{2}+0.2 q^{2}$

3. निम्नलिखित व्यंजकों में पदों (अचरों के अतिरिक्त) के संख्यात्मक गुणांक पहचानिए:

(i) $5-3 t^{2}$

(ii) $1+t+t^{2}+t^{3}$

(iii) $x+2 x y+3 y$

(iv) $100 m+1000 n$

(v) $-p^{2} q^{2}+7 p q$

(vi) $1.2 a+0.8 b$

(vii) $3.14 r^{2}$

(viii) $2(l+b)$

(ix) $0.1 y+0.01 y^{2}$

4. (a) ऐसे पद पहचानिए जिनमें $x$ एक गुणनखंड है और $x$ का गुणांक दीजिए।

(i) $y^{2} x+y$

(ii) $13 y^{2}-8 y x$

(iii) $x+y+2$

(iv) $5+z+z x$

(v) $1+x+x y$

(vi) $12 x y^{2}+25$

(vii) $7 x+x y^{2}$

(b) ऐसे पद पहचानिए जिनमें $y^{2}$ एक गुणनखंड है और $y^{2}$ का गुणांक दीजिए।

(i) $8-x y^{2}$

(ii) $5 y^{2}+7 x$

(iii) $2 x^{2} y-15 x y^{2}+7 y^{2}$

5. एकपदी, द्विपद और त्रिपद में वर्गीकृत कीजिए।

(i) $4 y-7 z$

(ii) $y^{2}$

(iii) $x+y-x y$

(iv) 100

(v) $a b-a-b$

(vi) $5-3 t$

(vii) $4 p^{2} q-4 p q^{2}$

(viii) $7 m n$

(ix) $z^{2}-3 z+8$

(x) $a^{2}+b^{2}$

(xi) $z^{2}+z$

(xii) $1+x+x^{2}$

6. बताइए कि दिए गए पदों के युग्म समान पदों के हैं या असमान पदों के।

(i) 1,100

(ii) $-7 x, \frac{5}{2} x$

(iii) $-29 x,-29 y$

(iv) $14 x y, 42 y x$

(v) $4 m^{2} p, 4 m p^{2}$

(vi) $12 x z, 12 x^{2} z^{2}$

7. निम्नलिखित में समान पदों को पहचानिए:

(a) $-x y^{2},-4 y x^{2}, 8 x^{2}, 2 x y^{2}, 7 y,-11 x^{2},-100 x,-11 y x, 20 x^{2} y$, $-6 x^{2}, y, 2 x y, 3 x$

(b) $10 p q, 7 p, 8 q,-p^{2} q^{2},-7 q p,-100 q,-23,12 q^{2} p^{2},-5 p^{2}, 41,2405 p, 78 q p$, $13 p^{2} q, q p^{2}, 701 p^{2}$

10.6 एक व्यंजक का मान ज्ञात करना

हम जानते हैं कि एक बीजीय व्यंजक का मान उस व्यंजक को बनाने वाले चरों के मानों पर निर्भर करता है। ऐसी कई स्थितियाँ होती हैं जिनमें हमें एक व्यंजक का मान ज्ञात करने की आवश्यकता होती है, जैसे कि जब हम यह जाँचना चाहते हैं कि किसी चर का कोई विशेष मान दिए गए समीकरण को संतुष्ट करता है या नहीं।

हम व्यंजकों के मान तब भी ज्ञात करते हैं, जब हम ज्यामिति और रोजमर्रा के गणित से सूत्रों का उपयोग करते हैं। उदाहरण के लिए, एक वर्ग का क्षेत्रफल $l^{2}$ है, जहाँ $l$ वर्ग की एक भुजा की लंबाई है। यदि $l=5 cm$, तो क्षेत्रफल $5^{2} cm^{2}$ या $25 cm^{2}$ है; यदि भुजा $10 cm$ है, तो क्षेत्रफल $10^{2} cm^{2}$ या $100 cm^{2}$ है और इसी तरह। हम अगले भाग में ऐसे और उदाहरण देखेंगे।

उदाहरण 4 $x=2$ के लिए निम्नलिखित व्यंजकों के मान ज्ञात कीजिए।

(i) $x+4$

(ii) $4 x-3$

(iii) $19-5 x^{2}$

(iv) $100-10 x^{3}$

हल

$x=2$ रखने पर

(i) $x+4$ में, हमें $x+4$ का मान प्राप्त होता है, अर्थात्,

$x+4=2+4=6$

(ii) $4 x-3$ में, हमें प्राप्त होता है

$4 x-3=(4 \times 2)-3=8-3=5$

(iii) $19-5 x^{2}$ में, हमें प्राप्त होता है

$ 19-5 x^{2}=19-(5 \times 2^{2})=19-(5 \times 4)=19-20=-1 $

(iv) $100-10 x^{3}$ में, हमें प्राप्त होता है

$ \begin{aligned} & 100-10 x^{3}=100-(10 \times 2^{3})=100-(10 \times 8)(\text{ Note } 2^{3}=8) \\ & =100-80=20 \end{aligned} $

उदाहरण 5 जब $n=-2$ हो, तो निम्नलिखित व्यंजकों का मान ज्ञात कीजिए।

(i) $5 n-2$

(ii) $5 n^{2}+5 n-2$

(iii) $n^{3}+5 n^{2}+5 n-2$

हल

(i) $n=-2$ का मान, $5 n-2$ में रखने पर, हमें प्राप्त होता है,

$ 5(-2)-2=-10-2=-12 $

(ii) $5 n^{2}+5 n-2$ में, हमारे पास है,

$n=-2,5 n-2=-12$ के लिए

और $5 n^{2}=5 \times(-2)^{2}=5 \times 4=20 \quad$ [क्योंकि $.(-2)^{2}=4]$

संयोजित करने पर,

$ 5 n^{2}+5 n-2=20-12=8 $

(iii) अब, $n=-2$ के लिए,

$ \begin{aligned} & 5 n^{2}+5