10.1 تعارف

ہم پہلے ہی سادہ الجبرائی اظہاریات جیسے $x+3, y-5,4 x+5$، $10 y-5$ وغیرہ سے واقف ہو چکے ہیں۔ کلاس VI میں، ہم نے دیکھا تھا کہ یہ اظہاریات پہیلیاں اور مسائل کو تشکیل دینے میں کس طرح مفید ہیں۔ ہم نے سادہ مساواتوں کے باب میں کئی اظہاریات کی مثالیں بھی دیکھی ہیں۔

اظہاریات الجبرا کا ایک مرکزی تصور ہیں۔ یہ باب الجبرائی اظہاریات کے لیے وقف ہے۔ جب آپ اس باب کا مطالعہ کر لیں گے، تو آپ کو معلوم ہو جائے گا کہ الجبرائی اظہاریات کیسے بنتے ہیں، انہیں کیسے ملا جا سکتا ہے، ہم ان کی قدریں کیسے معلوم کر سکتے ہیں اور انہیں کیسے استعمال کیا جا سکتا ہے۔

10.2 اظہاریات کیسے بنتے ہیں؟

اب ہم اچھی طرح جانتے ہیں کہ متغیر کیا ہوتا ہے۔ ہم متغیرات کو ظاہر کرنے کے لیے حروف $x, y, l, m, \ldots$ وغیرہ استعمال کرتے ہیں۔ ایک متغیر مختلف اقدار اختیار کر سکتا ہے۔ اس کی قدر مقرر نہیں ہوتی۔ دوسری طرف، ایک مستقل کی ایک مقررہ قدر ہوتی ہے۔ مستقلات کی مثالیں ہیں: 4, 100, -17, وغیرہ۔

ہم الجبرائی اظہاریات بنانے کے لیے متغیرات اور مستقلات کو ملاتے ہیں۔ اس کے لیے، ہم جمع، تفریق، ضرب اور تقسیم کے عملیات استعمال کرتے ہیں۔ ہم پہلے ہی $4 x+5,10 y-20$ جیسے اظہاریات سے واقف ہو چکے ہیں۔ اظہار $4 x+5$ متغیر $x$ سے حاصل کیا جاتا ہے، پہلے $x$ کو مستقل 4 سے ضرب دے کر اور پھر حاصل ضرب میں مستقل 5 جمع کر کے۔ اسی طرح، $10 y-20$ $y$ کو پہلے 10 سے ضرب دے کر اور پھر حاصل ضرب میں سے 20 کو تفریق کر کے حاصل کیا جاتا ہے۔

مندرجہ بالا اظہاریات متغیرات کو مستقلات کے ساتھ ملا کر حاصل کیے گئے تھے۔ ہم اظہاریات متغیرات کو خود ان کے ساتھ یا دوسرے متغیرات کے ساتھ ملا کر بھی حاصل کر سکتے ہیں۔

دیکھیں کہ درج ذیل اظہاریات کیسے حاصل ہوتے ہیں:

$ x^{2}, 2 y^{2}, 3 x^{2}-5, x y, 4 x y+7 $

(i) اظہار $x^{2}$ متغیر $x$ کو خود اس سے ضرب دے کر حاصل کیا جاتا ہے؛

$ x \times x=x^{2} $

جیسے $4 \times 4$ کو $4^{2}$ لکھا جاتا ہے، اسی طرح ہم $x \times x=x^{2}$ لکھتے ہیں۔ عام طور پر اسے $x$ مربع پڑھا جاتا ہے۔

(بعد میں، جب آپ ‘قوت نما اور طاقتیں’ کا باب پڑھیں گے تو آپ کو معلوم ہو گا کہ $x^{2}$ کو $x$ کی قوت 2 تک بھی پڑھا جا سکتا ہے)۔

اسی طرح، ہم $\quad x \times x \times x=x^{3}$ لکھ سکتے ہیں۔

عام طور پر، $x^{3}$ کو ‘$x$ کیوب’ پڑھا جاتا ہے۔ بعد میں، آپ کو معلوم ہو گا کہ $x^{3}$ کو $x$ کی قوت 3 تک بھی پڑھا جا سکتا ہے۔

$x, x^{2}, x^{3}, \ldots$ سب کے سب $x$ سے حاصل کردہ الجبرائی اظہاریات ہیں۔

(ii) اظہار $2 y^{2}$ $y: 2 y^{2}=2 \times y \times y$ سے حاصل کیا جاتا ہے۔

یہاں $y$ کو $y$ سے ضرب دے کر ہم $y^{2}$ حاصل کرتے ہیں اور پھر ہم $y^{2}$ کو مستقل 2 سے ضرب دیتے ہیں۔

(iii) $(3 x^{2}-5)$ میں ہم پہلے $x^{2}$ حاصل کرتے ہیں، اور اسے 3 سے ضرب دے کر $3 x^{2}$ حاصل کرتے ہیں۔

$3 x^{2}$ سے، ہم 5 کو تفریق کر کے بالآخر $3 x^{2}-5$ پر پہنچتے ہیں۔

(iv) $x y$ میں، ہم متغیر $x$ کو دوسرے متغیر $y$ سے ضرب دیتے ہیں۔ اس طرح، $x \times y=x y$۔

(v) $4 x y+7$ میں، ہم پہلے $x y$ حاصل کرتے ہیں، اسے 4 سے ضرب دے کر $4 x y$ حاصل کرتے ہیں اور $4 x y$ میں 7 جمع کر کے اظہار حاصل کرتے ہیں۔

کوشش کریں

بیان کریں کہ درج ذیل اظہاریات کیسے حاصل ہوتے ہیں:

$7 x y+5, x^{2} y, 4 x^{2}-5 x$

10.3 ایک اظہار کی رکنیات

اب ہم جو کچھ اوپر اظہاریات کی تشکیل کے بارے میں سیکھا ہے اسے ایک منظم شکل میں پیش کریں گے۔ اس مقصد کے لیے، ہمیں یہ سمجھنے کی ضرورت ہے کہ ایک اظہار کی رکنیات اور ان کے اجزائے ضربی کیا ہوتے ہیں۔

اظہار $(4 x+5)$ پر غور کریں۔ اس اظہار کی تشکیل میں، ہم نے پہلے $4 x$ کو علیحدہ طور پر 4 اور $x$ کے حاصل ضرب کے طور پر بنایا اور پھر اس میں 5 جمع کیا۔ اسی طرح اظہار $(3 x^{2}+7 y)$ پر غور کریں۔ یہاں ہم نے پہلے $3 x^{2}$ کو علیحدہ طور پر $3, x$ اور $x$ کے حاصل ضرب کے طور پر بنایا۔ پھر ہم نے $7 y$ کو علیحدہ طور پر 7 اور $y$ کے حاصل ضرب کے طور پر بنایا۔ $3 x^{2}$ اور $7 y$ کو علیحدہ طور پر بنانے کے بعد، ہم نے انہیں جمع کر کے اظہار حاصل کیا۔

آپ دیکھیں گے کہ جن اظہاریات سے ہم سروکار رکھتے ہیں انہیں ہمیشہ اس طرح دیکھا جا سکتا ہے۔ ان کے ایسے حصے ہوتے ہیں جو علیحدہ طور پر بنتے ہیں اور پھر جمع کیے جاتے ہیں۔ ایک اظہار کے ایسے حصے جو پہلے علیحدہ طور پر بنائے جاتے ہیں اور پھر جمع کیے جاتے ہیں، رکنیات کہلاتے ہیں۔ اظہار $(4 x^{2}-3 x y)$ پر نظر ڈالیں۔ ہم کہتے ہیں کہ اس کی دو رکنیات ہیں، $4 x^{2}$ اور $-3 x y$۔ رکنیت $4 x^{2}$ 4، $x$ اور $x$ کا حاصل ضرب ہے، اور رکنیت (-3xy) (-3)، $x$ اور $y$ کا حاصل ضرب ہے۔

اظہارات رکنیات کو جمع کر کے بنتے ہیں۔ جیسے رکنیات $4 x$ اور 5 کو جمع کر کے اظہار $(4 x+5)$ بنتا ہے، اسی طرح رکنیات $4 x^{2}$ اور ($.-3 x y)$ کو جمع کر کے اظہار $(4 x^{2}-3 x y)$ ملتا ہے۔ یہ اس لیے ہے کہ $4 x^{2}+(-3 x y)=4 x^{2}-3 x y$۔

نوٹ کریں، منفی علامت (-) رکنیت میں شامل ہوتی ہے۔ اظہار $4 x^{2}-3 x y$ میں، ہم نے رکنیت کو $(-3 x y)$ کے طور پر لیا نہ کہ (3xy) کے طور پر۔ اسی لیے ہمیں یہ کہنے کی ضرورت نہیں کہ اظہار بنانے کے لیے رکنیات ‘جمع یا تفریق’ کی جاتی ہیں؛ صرف ‘جمع’ کہنا کافی ہے۔

ایک رکنیت کے اجزائے ضربی

ہم نے اوپر دیکھا کہ اظہار $(4 x^{2}-3 x y)$ دو رکنیات $4 x^{2}$ اور $-3 x y$ پر مشتمل ہے۔ رکنیت $4 x^{2}$ 4، $x$ اور $x$ کا حاصل ضرب ہے؛ ہم کہتے ہیں کہ 4، $x$ اور $x$ رکنیت $4 x^{2}$ کے اجزائے ضربی ہیں۔ ایک رکنیت اپنے اجزائے ضربی کا حاصل ضرب ہوتی ہے۔ رکنیت $-3 x y$ اجزائے ضربی $-3, x$ اور $y$ کا حاصل ضرب ہے۔

ہم ایک اظہار کی رکنیات اور رکنیات کے اجزائے ضربی کو ایک درخت نما شکل کے ذریعے آسانی اور خوبصورتی سے ظاہر کر سکتے ہیں۔ اظہار $(4 x^{2}-3 x y)$ کے لیے درخت نما شکل متصل شکل میں دکھائی گئی ہے۔

نوٹ کریں، درخت نما شکل میں، ہم نے اجزائے ضربی کے لیے نقطے دار لکیریں اور رکنیات کے لیے مسلسل لکیریں استعمال کی ہیں۔ یہ انہیں ملانے سے بچنے کے لیے ہے۔

آئیے اظہار $5 x y+10$ کے لیے ایک درخت نما شکل بناتے ہیں۔

اجزائے ضربی ایسے ہوتے ہیں کہ انہیں مزید اجزائے ضربی میں تقسیم نہیں کیا جا سکتا۔ اس طرح ہم $5 x y$ کو $5 \times x y$ کے طور پر نہیں لکھتے، کیونکہ $x y$ کو مزید اجزائے ضربی میں تقسیم کیا جا سکتا ہے۔ اسی طرح، اگر $x^{3}$ ایک رکنیت ہوتی، تو اسے $x \times x \times x$ کے طور پر لکھا جاتا نہ کہ $x^{2} \times x$ کے طور پر۔ نیز، یاد رکھیں کہ 1 کو علیحدہ جزو ضربی کے طور پر نہیں لیا جاتا۔

کوشش کریں

1. درج ذیل اظہارات میں رکنیات کیا ہیں؟

دکھائیں کہ رکنیات کیسے بنتی ہیں۔ ہر اظہار کے لیے ایک درخت نما شکل بنائیں:

$8 y+3 x^{2}, 7 m n-4,2 x^{2} y$.

2. تین ایسے اظہارات لکھیں جن میں سے ہر ایک میں 4 رکنیات ہوں۔

سالماتی عدد (Coefficients)

ہم نے سیکھا ہے کہ ایک رکنیت کو اجزائے ضربی کے حاصل ضرب کے طور پر کیسے لکھا جاتا ہے۔ ان میں سے ایک جزو ضربی عددی ہو سکتا ہے اور باقی الجبرائی (یعنی، ان میں متغیرات ہوتے ہیں)۔ عددی جزو ضربی کو رکنیت کا عددی سالماتی عدد یا صرف سالماتی عدد کہا جاتا ہے۔ اسے باقی رکنیت (جو واضح طور پر رکنیت کے الجبرائی اجزائے ضربی کا حاصل ضرب ہے) کا سالماتی عدد بھی کہا جاتا ہے۔ اس طرح $5 x y, 5$ میں رکنیت کا سالماتی عدد ہے۔ یہ $x y$ کا سالماتی عدد بھی ہے۔ رکنیت $10 x y z, 10$ میں $x y z$ کا سالماتی عدد ہے، رکنیت $-7 x^{2} y^{2},-7$ میں $x^{2} y^{2}$ کا سالماتی عدد ہے۔

جب کسی رکنیت کا سالماتی عدد +1 ہو، تو عام طور پر اسے چھوڑ دیا جاتا ہے۔ مثال کے طور پر، $1 x$ کو $x ; 1 x^{2} y^{2}$ کے طور پر لکھا جاتا ہے، $x^{2} y^{2}$ کے طور پر لکھا جاتا ہے اور اسی طرح۔ نیز، سالماتی عدد (-1) صرف منفی علامت سے ظاہر کیا جاتا ہے۔ اس طرح $(-1) x$ کو $-x ;(-1) x^{2} y^{2}$ کے طور پر لکھا جاتا ہے، $-x^{2} y^{2}$ کے طور پر لکھا جاتا ہے اور اسی طرح۔

کوشش کریں

درج ذیل اظہارات کی رکنیات کے سالماتی عدد پہچانیں:

$4 x-3 y, a+b+5,2 y+5,2 x y$

کبھی کبھی، لفظ ‘سالماتی عدد’ کو ایک زیادہ عمومی معنوں میں استعمال کیا جاتا ہے۔ اس طرح ہم کہتے ہیں کہ رکنیت $5 x y, 5$ میں $x y, x$ کا سالماتی عدد ہے، $5 y$ کا سالماتی عدد ہے اور $y$ $5 x$ کا سالماتی عدد ہے۔ $10 x y^{2}, 10$ میں $x y^{2}, x$ کا سالماتی عدد ہے، $10 y^{2}$ کا سالماتی عدد ہے اور $y^{2}$ $10 x$ کا سالماتی عدد ہے۔ اس طرح، اس زیادہ عمومی طریقے میں، ایک سالماتی عدد یا تو ایک عددی جزو ضربی ہو سکتا ہے یا ایک الجبرائی جزو ضربی یا دو یا زیادہ اجزائے ضربی کا حاصل ضرب ہو سکتا ہے۔ اسے باقی اجزائے ضربی کے حاصل ضرب کا سالماتی عدد کہا جاتا ہے۔

مثال 1 درج ذیل اظہارات میں، ایسی رکنیات پہچانیں جو مستقل نہیں ہیں۔ ان کے عددی سالماتی عدد دیں:

$ x y+4,13-y^{2}, 13-y+5 y^{2}, 4 p^{2} q-3 p q^{2}+5 $

حل

مثال 2

(a) درج ذیل اظہارات میں $x$ کے سالماتی عدد کیا ہیں؟

$ 4 x-3 y, 8-x+y, y^{2} x-y, 2 z-5 x z $

(b) درج ذیل اظہارات میں $y$ کے سالماتی عدد کیا ہیں؟

$ 4 x-3 y, 8+y z, y z^{2}+5, m y+m $

حل

(a) ہر اظہار میں ہم ایسی رکنیت تلاش کرتے ہیں جس میں $x$ ایک جزو ضربی ہو۔ اس رکنیت کا باقی حصہ $x$ کا سالماتی عدد ہے۔

(b) طریقہ کار (a) میں بیان کردہ طریقے کے مشابہ ہے۔

10.4 ہم جنس اور غیر ہم جنس رکنیات

جب رکنیات کے الجبرائی اجزائے ضربی ایک جیسے ہوں، تو وہ ہم جنس رکنیات ہوتی ہیں۔ جب رکنیات کے الجبرائی اجزائے ضربی مختلف ہوں، تو وہ غیر ہم جنس رکنیات ہوتی ہیں۔ مثال کے طور پر، اظہار $2 x y-3 x+5 x y-4$ میں، رکنیات $2 x y$ اور $5 x y$ پر غور کریں۔ $2 x y$ کے اجزائے ضربی 2، $x$ اور $y$ ہیں۔ $5 x y$ کے اجزائے ضربی 5، $x$ اور $y$ ہیں۔ اس طرح ان کے الجبرائی (یعنی، وہ جو متغیرات رکھتے ہیں) اجزائے ضربی ایک جیسے ہیں اور

کوشش کریں

درج ذیل میں سے ہم جنس رکنیات کو ایک ساتھ گروپ کریں:

$12 x, 12,-25 x,-25,-25 y, 1, x, 12 y, y$ اس لیے وہ ہم جنس رکنیات ہیں۔ دوسری طرف رکنیات $2 x y$ اور $-3 x$، کے مختلف الجبرائی اجزائے ضربی ہیں۔ وہ غیر ہم جنس رکنیات ہیں۔ اسی طرح، رکنیات $2 x y$ اور 4، غیر ہم جنس رکنیات ہیں۔ نیز، رکنیات $-3 x$ اور 4 غیر ہم جنس رکنیات ہیں۔

10.5 یک رکنی، دو رکنی، سہ رکنی اور کثیر رکنی اظہارات

صرف ایک رکنیت پر مشتمل اظہار کو یک رکنی کہتے ہیں؛ مثال کے طور پر، $7 x y,-5 m$، $3 z^{2}, 4$ وغیرہ۔

کوشش کریں

درج ذیل اظہارات کو یک رکنی، دو رکنی یا سہ رکنی کے طور پر درجہ بندی کریں: $a$, $a+b, a b+a+b, a b+a$ $+b-5, x y, x y+5$, $5 x^{2}-x+2,4 p q-3 q+5 p$, $7,4 m-7 n+10,4 m n+7$.

ایک اظہار جو دو غیر ہم جنس رکنیات پر مشتمل ہو، اسے دو رکنی کہتے ہیں؛ مثال کے طور پر، $x+y, m-5, m n+4 m, a^{2}-b^{2}$ دو رکنی ہیں۔ اظہار $10 p q$ دو رکنی نہیں ہے؛ یہ یک رکنی ہے۔ اظہار $(a+b+5)$ دو رکنی نہیں ہے۔ یہ تین رکنیات پر مشتمل ہے۔

ایک اظہار جو تین رکنیات پر مشتمل ہو، اسے سہ رکنی کہتے ہیں؛ مثال کے طور پر، اظہارات $x+y+7, a b+a+b$, $3 x^{2}-5 x+2, m+n+10$ سہ رکنی ہیں۔ اظہار $a b+a+b+5$، تاہم، سہ رکنی نہیں ہے؛ یہ چار رکنیات پر مشتمل ہے نہ کہ تین۔ اظہار $x+y+5 x$ سہ رکنی نہیں ہے کیونکہ رکنیات $x$ اور $5 x$ ہم جنس رکنیات ہیں۔

عام طور پر، ایک یا زیادہ رکنیات پر مشتمل اظہار کو کثیر رکنی کہتے ہیں۔ اس طرح ایک یک رکنی، ایک دو رکنی اور ایک سہ رکنی سب کے سب کثیر رکنی ہیں۔

مثال 3 وجوہات کے ساتھ بتائیں کہ درج ذیل میں سے رکنیات کے کون سے جوڑے ہم جنس رکنیات کے ہیں اور کون سے غیر ہم جنس رکنیات کے:

(i) $7 x, 12 y$

(ii) $15 x,-21 x$

(iii) $-4 a b, 7 b a$

(iv) $3 x y, 3 x$

(v) $6 x y^{2}, 9 x^{2} y$

(vi) $p q^{2},-4 p q^{2}$

(vii) $m n^{2}, 10 m n$

حل

درج ذیل سادہ مراحل آپ کو یہ فیصلہ کرنے میں مدد کریں گے کہ دی گئی رکنیات ہم جنس ہیں یا غیر ہم جنس:

(i) عددی سالماتی عددوں کو نظر انداز کریں۔ رکنیات کے الجبرائی حصے پر توجہ مرکوز کریں۔

(ii) رکنیات میں متغیرات چیک کریں۔ وہ ایک جیسے ہونے چاہئیں۔

(iii) پھر، ہر متغیر کی طاقتیں رکنیات میں چیک کریں۔ وہ ایک جیسی ہونی چاہئیں۔

نوٹ کریں کہ ہم جنس رکنیات کا فیصلہ کرتے وقت، دو چیزوں سے فرق نہیں پڑتا (1) رکنیات کے عددی سالماتی عدد اور (2) وہ ترتیب جس میں متغیرات رکنیات میں ضرب ہوتے ہیں۔

مشق 10.1

1. درج ذیل صورتوں میں متغیرات، مستقلات اور حسابی عملیات استعمال کرتے ہوئے الجبرائی اظہارات حاصل کریں۔

(i) $z$ کو $y$ سے تفریق کرنا۔

(ii) اعداد $x$ اور $y$ کے مجموعے کا آدھا حصہ۔

(iii) عدد $z$ کو خود اس سے ضرب دینا۔

(iv) اعداد $p$ اور $q$ کے حاصل ضرب کا چوتھائی حصہ۔

(v) اعداد $x$ اور $y$ دونوں کے مربع لے کر جمع کرنا۔

(vi) عدد 5 کو اعداد $m$ اور $n$ کے حاصل ضرب کے تین گنا میں جمع کرنا۔

(vii) اعداد $y$ اور $z$ کے حاصل ضرب کو 10 سے تفریق کرنا۔

(viii) اعداد $a$ اور $b$ کے مجموعے کو ان کے حاصل ضرب سے تفریق کرنا۔

2. (i) درج ذیل اظہارات میں رکنیات اور ان کے اجزائے ضربی پہچانیں۔ درخت نما شکلوں کے ذریعے رکنیات اور اجزائے ضربی دکھائیں۔

(a) $x-3$

(b) $1+x+x^{2}$

(c) $y-y^{3}$

(d) $5 x y^{2}+7 x^{2} y$

(e) $-a b+2 b^{2}-3 a^{2}$

(ii) درج ذیل اظہارات میں رکنیات اور اجزائے ضربی پہچانیں:

(a) $-4 x+5$

(b) $-4 x+5 y$

(c) $5 y+3 y^{2}$

(d) $x y+2 x^{2} y^{2}$

(e) $p q+q$

(f) $1.2 a b-2.4 b+3.6 a$

(g) $\frac{3}{4} x+\frac{1}{4}$

(h) $0.1 p^{2}+0.2 q^{2}$

3. درج ذیل اظہارات میں رکنیات (مستقلات کے علاوہ) کے عددی سالماتی عدد پہچانیں:

(i) $5-3 t^{2}$

(ii) $1+t+t^{2}+t^{3}$

(iii) $x+2 x y+3 y$

(iv) $100 m+1000 n$

(v) $-p^{2} q^{2}+7 p q$

(vi) $1.2 a+0.8 b$

(vii) $3.14 r^{2}$

(viii) $2(l+b)$

(ix) $0.1 y+0.01 y^{2}$

4. (a) ایسی رکنیات پہچانیں جن میں $x$ شامل ہو اور $x$ کا سالماتی عدد دیں۔

(i) $y^{2} x+y$

(ii) $13 y^{2}-8 y x$

(iii) $x+y+2$

(iv) $5+z+z x$

(v) $1+x+x y$

(vi) $12 x y^{2}+25$

(vii) $7 x+x y^{2}$

(b) ایسی رکنیات پہچانیں جن میں $y^{2}$ شامل ہو اور $y^{2}$ کا سالماتی عدد دیں۔

(i) $8-x y^{2}$

(ii) $5 y^{2}+7 x$

(iii) $2 x^{2} y-15 x y^{2}+7 y^{2}$

5. یک رکنی، دو رکنی اور سہ رکنی میں درجہ بندی کریں۔

(i) $4 y-7 z$

(ii) $y^{2}$

(iii) $x+y-x y$

(iv) 100

(v) $a b-a-b$

(vi) $5-3 t$

(vii) $4 p^{2} q-4 p q^{2}$

(viii) $7 m n$

(ix) $z^{2}-3 z+8$

(x) $a^{2}+b^{2}$

(xi) $z^{2}+z$

(xii) $1+x+x^{2}$

6. بتائیں کہ آیا دیا گیا رکنیات کا جوڑا ہم جنس ہے یا غیر ہم جنس۔

(i) 1,100

(ii) $-7 x, \frac{5}{2} x$

(iii) $-29 x,-29 y$

(iv) $14 x y, 42 y x$

(v) $4 m^{2} p, 4 m p^{2}$

(vi) $12 x z, 12 x^{2} z^{2}$

7. درج ذیل میں ہم جنس رکنیات پہچانیں:

(a) $-x y^{2},-4 y x^{2}, 8 x^{2}, 2 x y^{2}, 7 y,-11 x^{2},-100 x,-11 y x, 20 x^{2} y$, $-6 x^{2}, y, 2 x y, 3 x$

(b) $10 p q, 7 p, 8 q,-p^{2} q^{2},-7 q p,-100 q,-23,12 q^{2} p^{2},-5 p^{2}, 41,2405 p, 78 q p$, $13 p^{2} q, q p^{2}, 701 p^{2}$

10.6 ایک اظہار کی قدر معلوم کرنا

ہم جانتے ہیں کہ ایک الجبرائی اظہار کی قدر اس اظہار کو بنانے والے متغیرات کی اقدار پر منحصر ہوتی ہے۔ کئی ایسی صورتیں ہیں جن میں ہمیں کسی اظہار کی قدر معلوم کرنے کی ضرورت ہوتی ہے، جیسے کہ جب ہم یہ دیکھنا چاہتے ہیں کہ متغیر کی کوئی خاص قدر کسی دی گئی مساوات کو تسلیم کرتی ہے یا نہیں۔

ہم اظہارات کی قدریں اس وقت بھی معلوم کرتے ہیں جب ہم ہندسہ اور روزمرہ کی ریاضی سے فارمولے استعمال کرتے ہیں۔ مثال کے طور پر، ایک مربع کا رقبہ $l^{2}$ ہے، جہاں $l$ مربع کے ایک ضلع کی لمبائی ہے۔ اگر $l=5 cm$، تو رقبہ $5^{2} cm^{2}$ یا $25 cm^{2}$ ہے؛ اگر ضلع $10 cm$ ہے، تو رقبہ $10^{2} cm^{2}$ یا $100 cm^{2}$ ہے اور اسی طرح۔ ہم اگلے حصے میں اس طرح کی مزید مثالیں دیکھیں گے۔

مثال 4 $x=2$ کے لیے درج ذیل اظہارات کی قدریں معلوم کریں۔

(i) $x+4$

(ii) $4 x-3$

(iii) $19-5 x^{2}$

(iv) $100-10 x^{3}$

حل

$x=2$ رکھ کر

(i) $x+4$ میں، ہمیں $x+4$ کی قدر ملتی ہے، یعنی،

$x+4=2+4=6$

(ii) $4 x-3$ میں، ہمیں ملتا ہے

$4 x-3=(4 \times 2)-3=8-3=5$

(iii) $19-5 x^{2}$ میں، ہمیں ملتا ہے

$ 19-5 x^{2}=19-(5 \times 2^{2})=19-(5 \times 4)=19-20=-1 $

(iv) $100-10 x^{3}$ میں، ہمیں ملتا ہے

$ \begin{aligned} & 100-10 x^{3}=100-(10 \times 2^{3})=100-(10 \times 8)(\text{ نوٹ } 2^{3}=8) \\ & =100-80=20 \end{aligned} $

مثال 5 جب $n=-2$ ہو تو درج ذیل اظہارات کی قدر معلوم کریں۔

(i) $5 n-2$

(ii) $5 n^{2}+5 n-2$

(iii) $n^{3}+5 n^{2}+5 n-2$

حل

(i) $n=-2$ کی قدر $5 n-2$ میں رکھ کر، ہمیں ملتا ہے،

$ 5(-2)-2=-10-2=-12 $

(ii) $5 n^{2}+5 n-2$ میں، ہمارے پاس ہے،

$n=-2,5 n-2=-12$ کے لیے

اور $5 n^{2}=5 \times(-2)^{2}=5 \times 4=20 \quad$ [کیونکہ $.(-2)^{2}=4]$

ملانے پر،

$ 5 n^{2}+5 n-2=20-12=8 $

(iii) اب، $n=-2$ کے لیے،

$ \begin{aligned} & 5 n^{2}+5 n-2=8 \text{ اور } \\ & n^{3}=(-2)^{3}=(-2) \times(-2) \times(-2)=-8 \end{aligned} $

ملانے پر،

$ n^{3}+5 n^{2}+5 n-2=-8+8=0 $

اب ہم دو متغیرات کے اظہارات پر غور کریں گے، مثال کے طور پر، $x+y, x y$۔ دو متغیرات کے اظہار کی عددی قدر معلوم کرنے کے لیے، ہمیں دونوں متغیرات کی اقدار دینے کی ضرورت ہوتی ہے۔ مثال کے طور پر، $(x+y)$ کی قدر، $x=3$ اور $y=5$ کے لیے، $3+5=8$ ہے۔

مثال 6 $a=3, b=2$ کے لیے درج ذیل اظہارات کی قدر معلوم کریں۔

(i) $a+b$

(ii) $7 a-4 b$

(iii) $a^{2}+2 a b+b^{2}$

(iv) $a^{3}-b^{3}$

حل

$a=3$ اور $b=2$ کو

(i) $a+b$ میں ر