10.1 પરિચય

અમે પહેલેથી જ સરળ બીજગણિતીય અભિવ્યક્તિઓ જેવી કે $x+3, y-5,4 x+5$, $10 y-5$ વગેરે સાથે પરિચિત થઈ ગયા છીએ. ધોરણ VI માં, અમે જોયું છે કે આ અભિવ્યક્તિઓ પઝલ્સ અને સમસ્યાઓ ઘડવામાં કેવી રીતે ઉપયોગી છે. અમે સરળ સમીકરણોના પ્રકરણમાં અનેક અભિવ્યક્તિઓના ઉદાહરણો પણ જોયા છે.

અભિવ્યક્તિઓ બીજગણિતની કેન્દ્રિય સંકલ્પના છે. આ પ્રકરણ બીજગણિતીય અભિવ્યક્તિઓને સમર્પિત છે. જ્યારે તમે આ પ્રકરણનો અભ્યાસ કરી લો, ત્યારે તમે જાણશો કે બીજગણિતીય અભિવ્યક્તિઓ કેવી રીતે બનાવવામાં આવે છે, તેમને કેવી રીતે જોડી શકાય છે, તેમનાં મૂલ્યો કેવી રીતે શોધી શકાય છે અને તેનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરી શકાય છે.

10.2 અભિવ્યક્તિઓ કેવી રીતે બનાવવામાં આવે છે?

આપણે હવે ચલ શું છે તે ખૂબ સારી રીતે જાણીએ છીએ. આપણે ચલો દર્શાવવા માટે $x, y, l, m, \ldots$ વગેરે અક્ષરોનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. એક ચલ વિવિધ મૂલ્યો લઈ શકે છે. તેનું મૂલ્ય સ્થિર નથી. બીજી બાજુ, અચળનું મૂલ્ય સ્થિર હોય છે. અચળોના ઉદાહરણો છે: 4, 100, -17, વગેરે.

આપણે બીજગણિતીય અભિવ્યક્તિઓ બનાવવા માટે ચલો અને અચળોને જોડીએ છીએ. આ માટે, આપણે સરવાળો, બાદબાકી, ગુણાકાર અને ભાગાકારની ક્રિયાઓનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. અમે પહેલેથી જ $4 x+5,10 y-20$ જેવી અભિવ્યક્તિઓ સાથે પરિચિત થઈ ગયા છીએ. અભિવ્યક્તિ $4 x+5$ ચલ $x$ પરથી મેળવવામાં આવે છે, પહેલા $x$ ને અચળ 4 વડે ગુણાકાર કરીને અને પછી ગુણાકારમાં અચળ 5 ઉમેરીને. તે જ રીતે, $10 y-20$ પ્રથમ $y$ ને 10 વડે ગુણાકાર કરીને અને પછી ગુણાકારમાંથી 20 બાદ કરીને મેળવવામાં આવે છે.

ઉપરોક્ત અભિવ્યક્તિઓ ચલોને અચળો સાથે જોડીને મેળવવામાં આવી હતી. આપણે ચલોને પોતાની સાથે અથવા અન્ય ચલો સાથે જોડીને પણ અભિવ્યક્તિઓ મેળવી શકીએ છીએ.

નીચેની અભિવ્યક્તિઓ કેવી રીતે મેળવવામાં આવે છે તે જુઓ:

$ x^{2}, 2 y^{2}, 3 x^{2}-5, x y, 4 x y+7 $

(i) અભિવ્યક્તિ $x^{2}$ ચલ $x$ ને પોતાની સાથે ગુણાકાર કરીને મેળવવામાં આવે છે;

$ x \times x=x^{2} $

જેમ $4 \times 4$ ને $4^{2}$ લખવામાં આવે છે, તેમ આપણે $x \times x=x^{2}$ લખીએ છીએ. તે સામાન્ય રીતે $x$ વર્ગ તરીકે વાંચવામાં આવે છે.

(પછીથી, જ્યારે તમે ‘ઘાત અને ઘાતાંક’ પ્રકરણનો અભ્યાસ કરશો, ત્યારે તમને સમજાશે કે $x^{2}$ ને $x$ ની 2 ઘાત તરીકે પણ વાંચી શકાય છે).

તે જ રીતે, આપણે $\quad x \times x \times x=x^{3}$ લખી શકીએ છીએ.

સામાન્ય રીતે, $x^{3}$ ને ‘$x$ ઘન’ તરીકે વાંચવામાં આવે છે. પછીથી, તમને સમજાશે કે $x^{3}$ ને $x$ ની 3 ઘાત તરીકે પણ વાંચી શકાય છે.

$x, x^{2}, x^{3}, \ldots$ બધી બીજગણિતીય અભિવ્યક્તિઓ $x$ પરથી મેળવવામાં આવી છે.

(ii) અભિવ્યક્તિ $2 y^{2}$ $y: 2 y^{2}=2 \times y \times y$ પરથી મેળવવામાં આવે છે.

અહીં $y$ ને $y$ સાથે ગુણાકાર કરીને આપણને $y^{2}$ મળે છે અને પછી આપણે $y^{2}$ ને અચળ 2 વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ.

(iii) $(3 x^{2}-5)$ માં આપણે પહેલા $x^{2}$ મેળવીએ છીએ, અને તેને 3 વડે ગુણાકાર કરીને $3 x^{2}$ મેળવીએ છીએ.

$3 x^{2}$ માંથી, આપણે 5 બાદ કરીએ છીએ અને અંતે $3 x^{2}-5$ પર પહોંચીએ છીએ.

(iv) $x y$ માં, આપણે ચલ $x$ ને બીજા ચલ $y$ સાથે ગુણાકાર કરીએ છીએ. આમ, $x \times y=x y$.

(v) $4 x y+7$ માં, આપણે પહેલા $x y$ મેળવીએ છીએ, તેને 4 વડે ગુણાકાર કરીને $4 x y$ મેળવીએ છીએ અને $4 x y$ માં 7 ઉમેરીને અભિવ્યક્તિ મેળવીએ છીએ.

પ્રયાસ કરો

નીચેની અભિવ્યક્તિઓ કેવી રીતે મેળવવામાં આવે છે તે વર્ણવો:

$7 x y+5, x^{2} y, 4 x^{2}-5 x$

10.3 અભિવ્યક્તિના પદો

અભિવ્યક્તિઓ કેવી રીતે બનાવવામાં આવે છે તે વિશે આપણે ઉપર શું શીખ્યા તે હવે આપણે વ્યવસ્થિત રીતે રજૂ કરીશું. આ હેતુ માટે, આપણે એ સમજવાની જરૂર છે કે અભિવ્યક્તિના પદો અને તેમના અવયવો શું છે.

અભિવ્યક્તિ $(4 x+5)$ ધ્યાનમાં લો. આ અભિવ્યક્તિ બનાવવામાં, આપણે પહેલા $4 x$ ને 4 અને $x$ ના ગુણાકાર તરીકે અલગથી બનાવ્યું અને પછી તેમાં 5 ઉમેર્યું. તે જ રીતે અભિવ્યક્તિ $(3 x^{2}+7 y)$ ધ્યાનમાં લો. અહીં આપણે પહેલા $3 x^{2}$ ને $3, x$ અને $x$ ના ગુણાકાર તરીકે અલગથી બનાવ્યું. પછી આપણે $7 y$ ને 7 અને $y$ ના ગુણાકાર તરીકે અલગથી બનાવ્યું. $3 x^{2}$ અને $7 y$ ને અલગથી બનાવ્યા પછી, આપણે તેમને ઉમેરીને અભિવ્યક્તિ મેળવી.

તમે જોશો કે આપણે જે અભિવ્યક્તિઓ સાથે વ્યવહાર કરીએ છીએ તે હંમેશા આ રીતે જોઈ શકાય છે. તેમના ભાગો હોય છે જે અલગથી બનાવવામાં આવે છે અને પછી ઉમેરવામાં આવે છે. અભિવ્યક્તિના આવા ભાગો જે પહેલા અલગથી બનાવવામાં આવે છે અને પછી ઉમેરવામાં આવે છે તેને પદો તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. અભિવ્યક્તિ $(4 x^{2}-3 x y)$ જુઓ. આપણે કહીએ છીએ કે તેના બે પદો છે, $4 x^{2}$ અને $-3 x y$. પદ $4 x^{2}$ એ 4, $x$ અને $x$ નો ગુણાકાર છે, અને પદ (-3xy) એ (-3), $x$ અને $y$ નો ગુણાકાર છે.

અભિવ્યક્તિઓ બનાવવા માટે પદો ઉમેરવામાં આવે છે. જેમ પદો $4 x$ અને 5 ઉમેરીને અભિવ્યક્તિ $(4 x+5)$ બનાવવામાં આવે છે, તેમ પદો $4 x^{2}$ અને ($.-3 x y)$ ઉમેરીને અભિવ્યક્તિ $(4 x^{2}-3 x y)$ મળે છે. આ એટલા માટે કે $4 x^{2}+(-3 x y)=4 x^{2}-3 x y$.

નોંધ લો, બાદબાકીની નિશાની (-) પદમાં સમાવિષ્ટ છે. અભિવ્યક્તિ $4 x^{2}-3 x y$ માં, આપણે પદને $(-3 x y)$ તરીકે લીધું અને (3xy) તરીકે નહીં. તેથી જ આપણે એ કહેવાની જરૂર નથી કે અભિવ્યક્તિ બનાવવા માટે પદો ‘ઉમેરવામાં અથવા બાદ કરવામાં’ આવે છે; ફક્ત ‘ઉમેરવામાં’ એ પૂરતું છે.

પદના અવયવો

આપણે ઉપર જોયું કે અભિવ્યક્તિ $(4 x^{2}-3 x y)$ બે પદો $4 x^{2}$ અને $-3 x y$ ધરાવે છે. પદ $4 x^{2}$ એ 4, $x$ અને $x$ નો ગુણાકાર છે; આપણે કહીએ છીએ કે 4, $x$ અને $x$ એ પદ $4 x^{2}$ ના અવયવો છે. એક પદ તેના અવયવોનો ગુણાકાર છે. પદ $-3 x y$ એ અવયવો $-3, x$ અને $y$ નો ગુણાકાર છે.

આપણે અભિવ્યક્તિના પદો અને પદોના અવયવોને વૃક્ષ આકૃતિ દ્વારા સરળતાથી અને સુંદર રીતે દર્શાવી શકીએ છીએ. અભિવ્યક્તિ $(4 x^{2}-3 x y)$ માટેનું વૃક્ષ આગલી આકૃતિમાં બતાવ્યા પ્રમાણે છે.

નોંધ લો, વૃક્ષ આકૃતિમાં, આપણે અવયવો માટે ડોટેડ રેખાઓ અને પદો માટે સતત રેખાઓનો ઉપયોગ કર્યો છે. આ તેમને મિશ્રિત થતા અટકાવવા માટે છે.

ચાલો અભિવ્યક્તિ $5 x y+10$ માટે વૃક્ષ આકૃતિ દોરીએ.

અવયવો એવા હોય છે કે તેમને આગળ અવયવિત કરી શકાતા નથી. આમ આપણે $5 x y$ ને $5 \times x y$ તરીકે લખતા નથી, કારણ કે $x y$ ને આગળ અવયવિત કરી શકાય છે. તે જ રીતે, જો $x^{3}$ એક પદ હોય, તો તે $x \times x \times x$ તરીકે લખવામાં આવશે અને $x^{2} \times x$ તરીકે નહીં. એ પણ યાદ રાખો કે 1 ને અલગ અવયવ તરીકે લેવામાં આવતો નથી.

પ્રયાસ કરો

1. નીચેની અભિવ્યક્તિઓમાં પદો શું છે?

પદો કેવી રીતે બનાવવામાં આવે છે તે બતાવો. દરેક અભિવ્યક્તિ માટે વૃક્ષ આકૃતિ દોરો:

$8 y+3 x^{2}, 7 m n-4,2 x^{2} y$.

2. દરેકમાં 4 પદો ધરાવતી ત્રણ અભિવ્યક્તિઓ લખો.

સહગુણકો

આપણે એક પદને અવયવોના ગુણાકાર તરીકે કેવી રીતે લખવું તે શીખ્યા છીએ. આમાંથી એક અવયવ સંખ્યાત્મક હોઈ શકે છે અને અન્ય બીજગણિતીય હોઈ શકે છે (એટલે કે, તેમાં ચલો હોય છે). સંખ્યાત્મક અવયવને પદનો સંખ્યાત્મક સહગુણક અથવા ફક્ત સહગુણક કહેવામાં આવે છે. તેને પદના બાકીના ભાગ (જે સ્પષ્ટપણે પદના બીજગણિતીય અવયવોનો ગુણાકાર છે) નો સહગુણક પણ કહેવામાં આવે છે. આમ $5 x y, 5$ માં એ પદનો સહગુણક છે. તે $x y$ નો પણ સહગુણક છે. પદ $10 x y z, 10$ માં $x y z$ નો સહગુણક છે, પદ $-7 x^{2} y^{2},-7$ માં $x^{2} y^{2}$ નો સહગુણક છે.

જ્યારે પદનો સહગુણક +1 હોય, ત્યારે તે સામાન્ય રીતે છોડી દેવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, $1 x$ ને $x ; 1 x^{2} y^{2}$ તરીકે લખવામાં આવે છે, $x^{2} y^{2}$ તરીકે લખવામાં આવે છે અને તેથી આગળ. એ પણ, સહગુણક (-1) ફક્ત બાદબાકીની નિશાની દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે. આમ $(-1) x$ ને $-x ;(-1) x^{2} y^{2}$ તરીકે લખવામાં આવે છે, $-x^{2} y^{2}$ તરીકે લખવામાં આવે છે અને તેથી આગળ.

પ્રયાસ કરો

નીચેની અભિવ્યક્તિઓના પદોના સહગુણકો ઓળખો:

$4 x-3 y, a+b+5,2 y+5,2 x y$

કેટલીકવાર, ‘સહગુણક’ શબ્દનો ઉપયોગ વધુ સામાન્ય રીતે થાય છે. આમ આપણે કહીએ છીએ કે પદ $5 x y, 5$ માં $x y, x$ નો સહગુણક છે, $5 y$ નો સહગુણક છે અને $y$ $5 x$ નો સહગુણક છે. $10 x y^{2}, 10$ માં $x y^{2}, x$ નો સહગુણક છે, $10 y^{2}$ નો સહગુણક છે અને $y^{2}$ $10 x$ નો સહગુણક છે. આમ, આ વધુ સામાન્ય રીતે, સહગુણક સંખ્યાત્મક અવયવ અથવા બીજગણિતીય અવયવ અથવા બે અથવા વધુ અવયવોનો ગુણાકાર હોઈ શકે છે. તે બાકીના અવયવોના ગુણાકારનો સહગુણક કહેવાય છે.

ઉદાહરણ 1 નીચેની અભિવ્યક્તિઓમાં, જે પદો અચળ નથી તે ઓળખો. તેમના સંખ્યાત્મક સહગુણકો આપો:

$ x y+4,13-y^{2}, 13-y+5 y^{2}, 4 p^{2} q-3 p q^{2}+5 $

ઉકેલ

ઉદાહરણ 2

(a) નીચેની અભિવ્યક્તિઓમાં $x$ ના સહગુણકો શું છે?

$ 4 x-3 y, 8-x+y, y^{2} x-y, 2 z-5 x z $

(b) નીચેની અભિવ્યક્તિઓમાં $y$ ના સહગુણકો શું છે?

$ 4 x-3 y, 8+y z, y z^{2}+5, m y+m $

ઉકેલ

(a) દરેક અભિવ્યક્તિમાં આપણે $x$ ને અવયવ તરીકે ધરાવતા પદને શોધીએ છીએ. તે પદનો બાકીનો ભાગ $x$ નો સહગુણક છે.

(b) પદ્ધતિ (a) માં જેવી જ છે.

10.4 સમાન અને અસમાન પદો

જ્યારે પદોના બીજગણિતીય અવયવો સમાન હોય, તો તે સમાન પદો હોય છે. જ્યારે પદોના બીજગણિતીય અવયવો જુદા હોય, તો તે અસમાન પદો હોય છે. ઉદાહરણ તરીકે, અભિવ્યક્તિ $2 x y-3 x+5 x y-4$ માં, પદો $2 x y$ અને $5 x y$ જુઓ. $2 x y$ ના અવયવો 2, $x$ અને $y$ છે. $5 x y$ ના અવયવો 5, $x$ અને $y$ છે. આમ તેમના બીજગણિતીય (એટલે કે જેમાં ચલો હોય છે) અવયવો સમાન છે અને

પ્રયાસ કરો

નીચેનામાંથી સમાન પદોને એક સાથે જૂથબદ્ધ કરો:

$12 x, 12,-25 x,-25,-25 y, 1, x, 12 y, y$ તેથી તે સમાન પદો છે. બીજી બાજુ પદો $2 x y$ અને $-3 x$, ના બીજગણિતીય અવયવો જુદા છે. તે અસમાન પદો છે. તે જ રીતે, પદો $2 x y$ અને 4, અસમાન પદો છે. એ પણ, પદો $-3 x$ અને 4 અસમાન પદો છે.

10.5 એકપદી, દ્વિપદી, ત્રિપદી અને બહુપદી

ફક્ત એક પદ ધરાવતી અભિવ્યક્તિને એકપદી કહેવામાં આવે છે; ઉદાહરણ તરીકે, $7 x y,-5 m$, $3 z^{2}, 4$ વગેરે.

પ્રયાસ કરો

નીચેની અભિવ્યક્તિઓને એકપદી, દ્વિપદી અથવા ત્રિપદી તરીકે વર્ગીકૃત કરો: $a$, $a+b, a b+a+b, a b+a$ $+b-5, x y, x y+5$, $5 x^{2}-x+2,4 p q-3 q+5 p$, $7,4 m-7 n+10,4 m n+7$.

જે અભિવ્યક્તિમાં બે અસમાન પદો હોય તેને દ્વિપદી કહેવામાં આવે છે; ઉદાહરણ તરીકે, $x+y, m-5, m n+4 m, a^{2}-b^{2}$ દ્વિપદીઓ છે. અભિવ્યક્તિ $10 p q$ દ્વિપદી નથી; તે એકપદી છે. અભિવ્યક્તિ $(a+b+5)$ દ્વિપદી નથી. તે ત્રણ પદો ધરાવે છે.

જે અભિવ્યક્તિમાં ત્રણ પદો હોય તેને ત્રિપદી કહેવામાં આવે છે; ઉદાહરણ તરીકે, અભિવ્યક્તિઓ $x+y+7, a b+a+b$, $3 x^{2}-5 x+2, m+n+10$ ત્રિપદીઓ છે. અભિવ્યક્તિ $a b+a+b+5$, જોકે, ત્રિપદી નથી; તે ચાર પદો ધરાવે છે અને ત્રણ નહીં. અભિવ્યક્તિ $x+y+5 x$ ત્રિપદી નથી કારણ કે પદો $x$ અને $5 x$ સમાન પદો છે.

સામાન્ય રીતે, એક અથવા વધુ પદો ધરાવતી અભિવ્યક્તિને બહુપદી કહેવામાં આવે છે. આમ એકપદી, દ્વિપદી અને ત્રિપદી બધી બહુપદીઓ છે.

ઉદાહરણ 3 નીચેનામાંથી કયા પદોના જોડા સમાન પદોના છે અને કયા અસમાન પદોના છે તે કારણો સહિત જણાવો:

(i) $7 x, 12 y$

(ii) $15 x,-21 x$

(iii) $-4 a b, 7 b a$

(iv) $3 x y, 3 x$

(v) $6 x y^{2}, 9 x^{2} y$

(vi) $p q^{2},-4 p q^{2}$

(vii) $m n^{2}, 10 m n$

ઉકેલ

નીચેના સરળ પગલાં તમને આપેલા પદો સમાન છે કે અસમાન છે તે નક્કી કરવામાં મદદ કરશે:

(i) સંખ્યાત્મક સહગુણકોને અવગણો. પદોના બીજગણિતીય ભાગ પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરો.

(ii) પદોમાં ચલો તપાસો. તે સમાન હોવા જોઈએ.

(iii) આગળ, દરેક ચલની ઘાતો પદોમાં તપાસો. તે સમાન હોવી જોઈએ.

નોંધ લો કે સમાન પદો નક્કી કરવામાં, બે વસ્તુઓ મહત્વની નથી (1) પદોના સંખ્યાત્મક સહ