10.1 ആമുഖം

നമ്മൾ ഇതിനകം തന്നെ $x+3, y-5,4 x+5$, $10 y-5$ തുടങ്ങിയ ലളിതമായ ബീജഗണിത പദപ്രയോഗങ്ങളെ കണ്ടുമുട്ടിയിട്ടുണ്ട്. ആറാം ക്ലാസ്സിൽ, ഈ പ്രയോഗങ്ങൾ പ്രശ്നങ്ങളും പസിലുകളും രൂപപ്പെടുത്തുന്നതിൽ എങ്ങനെ ഉപയോഗപ്രദമാണെന്ന് നാം കണ്ടിട്ടുണ്ട്. ലളിത സമവാക്യങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള അദ്ധ്യായത്തിൽ നിരവധി പദപ്രയോഗങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങളും നാം കണ്ടിട്ടുണ്ട്.

പദപ്രയോഗങ്ങൾ ബീജഗണിതത്തിലെ ഒരു കേന്ദ്ര ആശയമാണ്. ഈ അദ്ധ്യായം ബീജഗണിത പദപ്രയോഗങ്ങൾക്കായി മുറുകെയുള്ളതാണ്. ഈ അദ്ധ്യായം പഠിച്ചതിനുശേഷം, ബീജഗണിത പദപ്രയോഗങ്ങൾ എങ്ങനെ രൂപം കൊള്ളുന്നു, അവ എങ്ങനെ സംയോജിപ്പിക്കാം, അവയുടെ മൂല്യം എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം, അവ എങ്ങനെ ഉപയോഗിക്കാം എന്നിവ നിങ്ങൾക്ക് അറിയാം.

10.2 പദപ്രയോഗങ്ങൾ എങ്ങനെ രൂപം കൊള്ളുന്നു?

ഒരു ചരം എന്താണെന്ന് ഇപ്പോൾ നമുക്ക് നന്നായി അറിയാം. ചരങ്ങളെ സൂചിപ്പിക്കാൻ നാം $x, y, l, m, \ldots$ തുടങ്ങിയ അക്ഷരങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഒരു ചരത്തിന് വിവിധ മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കാം. അതിന്റെ മൂല്യം സ്ഥിരമല്ല. മറുവശത്ത്, ഒരു സ്ഥിരാങ്കത്തിന് ഒരു നിശ്ചിത മൂല്യമുണ്ട്. സ്ഥിരാങ്കങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ: 4, 100, -17 തുടങ്ങിയവ.

ബീജഗണിത പദപ്രയോഗങ്ങൾ രൂപപ്പെടുത്താൻ നാം ചരങ്ങളും സ്ഥിരാങ്കങ്ങളും സംയോജിപ്പിക്കുന്നു. ഇതിനായി, നാം സങ്കലനം, വ്യവകലനം, ഗുണനം, ഹരണം എന്നീ പ്രവർത്തനങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു. $4 x+5,10 y-20$ പോലുള്ള പദപ്രയോഗങ്ങളെ നമ്മൾ ഇതിനകം കണ്ടുമുട്ടിയിട്ടുണ്ട്. $4 x+5$ എന്ന പദപ്രയോഗം $x$ എന്ന ചരത്തിൽ നിന്ന് ലഭിക്കുന്നത്, ആദ്യം $x$ നെ സ്ഥിരാങ്കം 4 കൊണ്ട് ഗുണിച്ച്, തുടർന്ന് ഗുണനഫലത്തോട് സ്ഥിരാങ്കം 5 കൂട്ടിയാണ്. അതുപോലെ, $10 y-20$ ലഭിക്കുന്നത് ആദ്യം $y$ നെ 10 കൊണ്ട് ഗുണിച്ച്, തുടർന്ന് ഗുണനഫലത്തിൽ നിന്ന് 20 കുറച്ചാണ്.

മുകളിലെ പദപ്രയോഗങ്ങൾ ചരങ്ങളെ സ്ഥിരാങ്കങ്ങളുമായി സംയോജിപ്പിച്ചാണ് ലഭിച്ചത്. ചരങ്ങളെ അവയുടെ തന്നെയോ മറ്റ് ചരങ്ങളുമായോ സംയോജിപ്പിച്ചും നമുക്ക് പദപ്രയോഗങ്ങൾ ലഭിക്കും.

ഇനിപ്പറയുന്ന പദപ്രയോഗങ്ങൾ എങ്ങനെ ലഭിക്കുന്നുവെന്ന് നോക്കുക:

$ x^{2}, 2 y^{2}, 3 x^{2}-5, x y, 4 x y+7 $

(i) $x^{2}$ എന്ന പദപ്രയോഗം $x$ എന്ന ചരത്തെ അതിനാൽ തന്നെ ഗുണിച്ചാണ് ലഭിക്കുന്നത്;

$ x \times x=x^{2} $

$4 \times 4$ എന്ന് എഴുതുന്നതുപോലെ $4^{2}$ എന്ന് എഴുതുന്നു, നമ്മൾ $x \times x=x^{2}$ എന്ന് എഴുതുന്നു. ഇത് സാധാരണയായി $x$ സ്ക്വയർഡ് എന്ന് വായിക്കുന്നു.

(പിന്നീട്, ‘ഘാതങ്ങളും ശക്തികളും’ എന്ന അദ്ധ്യായം പഠിക്കുമ്പോൾ, $x^{2}$ നെ $x$ റെയ്സ്ഡ് ടു ദ പവർ 2 എന്നും വായിക്കാമെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് മനസ്സിലാകും).

അതേ രീതിയിൽ, നമുക്ക് $\quad x \times x \times x=x^{3}$ എഴുതാം.

സാധാരണയായി, $x^{3}$ നെ ‘$x$ ക്യൂബ്ഡ്’ എന്ന് വായിക്കുന്നു. പിന്നീട്, $x^{3}$ നെ $x$ റെയ്സ്ഡ് ടു ദ പവർ 3 എന്നും വായിക്കാമെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് മനസ്സിലാകും.

$x, x^{2}, x^{3}, \ldots$ എല്ലാം $x$ ൽ നിന്ന് ലഭിക്കുന്ന ബീജഗണിത പദപ്രയോഗങ്ങളാണ്.

(ii) $2 y^{2}$ എന്ന പദപ്രയോഗം $y: 2 y^{2}=2 \times y \times y$ ൽ നിന്ന് ലഭിക്കുന്നു.

ഇവിടെ $y$ നെ $y$ കൊണ്ട് ഗുണിച്ച് നമുക്ക് $y^{2}$ ലഭിക്കുന്നു, തുടർന്ന് നമ്മൾ $y^{2}$ നെ സ്ഥിരാങ്കം 2 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നു.

(iii) $(3 x^{2}-5)$ ൽ നമ്മൾ ആദ്യം $x^{2}$ ലഭിക്കുന്നു, അതിനെ 3 കൊണ്ട് ഗുണിച്ച് $3 x^{2}$ ലഭിക്കുന്നു.

$3 x^{2}$ ൽ നിന്ന്, 5 കുറച്ച് ആഖ്യേന $3 x^{2}-5$ ലഭിക്കുന്നു.

(iv) $x y$ ൽ, നമ്മൾ $x$ എന്ന ചരത്തെ മറ്റൊരു ചരമായ $y$ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നു. അങ്ങനെ, $x \times y=x y$.

(v) $4 x y+7$ ൽ, നമ്മൾ ആദ്യം $x y$ ലഭിക്കുന്നു, അതിനെ 4 കൊണ്ട് ഗുണിച്ച് $4 x y$ ലഭിക്കുന്നു, തുടർന്ന് $4 x y$ ലേക്ക് 7 കൂട്ടി പദപ്രയോഗം ലഭിക്കുന്നു.

ശ്രമിക്കുക

ഇനിപ്പറയുന്ന പദപ്രയോഗങ്ങൾ എങ്ങനെ ലഭിക്കുന്നുവെന്ന് വിവരിക്കുക:

$7 x y+5, x^{2} y, 4 x^{2}-5 x$

10.3 ഒരു പദപ്രയോഗത്തിന്റെ പദങ്ങൾ

പദപ്രയോഗങ്ങൾ എങ്ങനെ രൂപം കൊള്ളുന്നുവെന്നതിനെക്കുറിച്ച് നാം മുകളിൽ പഠിച്ചത് ഇപ്പോൾ ഒരു വ്യവസ്ഥാപിതമായ രൂപത്തിൽ അവതരിപ്പിക്കും. ഇതിനായി, ഒരു പദപ്രയോഗത്തിന്റെ പദങ്ങളും അവയുടെ ഘടകങ്ങളും എന്താണെന്ന് മനസ്സിലാക്കേണ്ടതുണ്ട്.

$(4 x+5)$ എന്ന പദപ്രയോഗം പരിഗണിക്കുക. ഈ പദപ്രയോഗം രൂപപ്പെടുത്തുന്നതിൽ, ആദ്യം നാം $4 x$ നെ 4 ഉം $x$ ഉം ഉള്ള ഒരു ഗുണനഫലമായി പ്രത്യേകം രൂപപ്പെടുത്തി, തുടർന്ന് അതിൽ 5 കൂട്ടി. അതുപോലെ $(3 x^{2}+7 y)$ എന്ന പദപ്രയോഗം പരിഗണിക്കുക. ഇവിടെ ആദ്യം നാം $3 x^{2}$ നെ $3, x$ ഉം $x$ ഉം ഉള്ള ഒരു ഗുണനഫലമായി പ്രത്യേകം രൂപപ്പെടുത്തി. തുടർന്ന് നാം $7 y$ നെ 7 ഉം $y$ ഉം ഉള്ള ഒരു ഗുണനഫലമായി പ്രത്യേകം രൂപപ്പെടുത്തി. $3 x^{2}$ ഉം $7 y$ ഉം പ്രത്യേകം രൂപപ്പെടുത്തിയ ശേഷം, പദപ്രയോഗം ലഭിക്കാൻ അവ ചേർത്തു.

നാം കൈകാര്യം ചെയ്യുന്ന പദപ്രയോഗങ്ങൾ എല്ലായ്പ്പോഴും ഈ രീതിയിൽ കാണാമെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് കണ്ടെത്താം. അവയ്ക്ക് പ്രത്യേകം രൂപപ്പെടുത്തി പിന്നീട് ചേർക്കുന്ന ഭാഗങ്ങളുണ്ട്. ഒരു പദപ്രയോഗത്തിന്റെ ഇത്തരം ഭാഗങ്ങൾ, ആദ്യം പ്രത്യേകം രൂപപ്പെടുത്തി പിന്നീട് ചേർക്കുന്നവ, പദങ്ങൾ എന്നറിയപ്പെടുന്നു. $(4 x^{2}-3 x y)$ എന്ന പദപ്രയോഗം നോക്കുക. അതിന് രണ്ട് പദങ്ങളുണ്ടെന്ന് നാം പറയുന്നു, $4 x^{2}$ ഉം $-3 x y$ ഉം. $4 x^{2}$ എന്ന പദം 4, $x$, $x$ എന്നിവയുടെ ഒരു ഗുണനഫലമാണ്, (-3xy) എന്ന പദം (-3), $x$, $y$ എന്നിവയുടെ ഒരു ഗുണനഫലമാണ്.

പദങ്ങൾ ചേർത്താണ് പദപ്രയോഗങ്ങൾ രൂപം കൊള്ളുന്നത്. $4 x$, 5 എന്നീ പദങ്ങൾ ചേർത്ത് $(4 x+5)$ എന്ന പദപ്രയോഗം രൂപപ്പെടുന്നതുപോലെ, $4 x^{2}$, ($.-3 x y)$ എന്നീ പദങ്ങൾ ചേർത്ത് $(4 x^{2}-3 x y)$ എന്ന പദപ്രയോഗം ലഭിക്കുന്നു. ഇതിന് കാരണം $4 x^{2}+(-3 x y)=4 x^{2}-3 x y$ ആണ്.

ശ്രദ്ധിക്കുക, മൈനസ് ചിഹ്നം (-) പദത്തിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു. $4 x^{2}-3 x y$ എന്ന പദപ്രയോഗത്തിൽ, നാം പദമായി $(-3 x y)$ എടുത്തു, (3xy) അല്ല. അതുകൊണ്ടാണ് ഒരു പദപ്രയോഗം രൂപപ്പെടുത്താൻ പദങ്ങൾ ‘ചേർക്കുകയോ കുറയ്ക്കുകയോ’ ചെയ്യണമെന്ന് പറയേണ്ടതില്ലാത്തത്; വെറും ‘ചേർക്കുക’ മതിയാകും.

ഒരു പദത്തിന്റെ ഘടകങ്ങൾ

മുകളിൽ നാം കണ്ടതുപോലെ, $(4 x^{2}-3 x y)$ എന്ന പദപ്രയോഗത്തിൽ $4 x^{2}$, $-3 x y$ എന്നീ രണ്ട് പദങ്ങൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. $4 x^{2}$ എന്ന പദം 4, $x$, $x$ എന്നിവയുടെ ഒരു ഗുണനഫലമാണ്; 4, $x$, $x$ എന്നിവ $4 x^{2}$ എന്ന പദത്തിന്റെ ഘടകങ്ങൾ ആണെന്ന് നാം പറയുന്നു. ഒരു പദം അതിന്റെ ഘടകങ്ങളുടെ ഗുണനഫലമാണ്. $-3 x y$ എന്ന പദം $-3, x$, $y$ എന്നീ ഘടകങ്ങളുടെ ഗുണനഫലമാണ്.

ഒരു പദപ്രയോഗത്തിന്റെ പദങ്ങളുടെയും ആ പദങ്ങളുടെ ഘടകങ്ങളുടെയും പ്രാതിനിധ്യം ഒരു ട്രീ ഡയഗ്രം (വൃക്ഷ ചിത്രം) ഉപയോഗിച്ച് സൗകര്യപ്രദവും മനോഹരവുമായി നൽകാം. $(4 x^{2}-3 x y)$ എന്ന പദപ്രയോഗത്തിനുള്ള വൃക്ഷം അടുത്തുള്ള ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെയാണ്.

ശ്രദ്ധിക്കുക, ട്രീ ഡയഗ്രാമിൽ, ഘടകങ്ങൾക്കായി ഞങ്ങൾ ഡോട്ടഡ് ലൈനുകളും (ബിന്ദുരേഖകൾ) പദങ്ങൾക്കായി തുടർച്ചയായ രേഖകളും ഉപയോഗിച്ചിരിക്കുന്നു. ഇത് അവയെ കലർത്താതിരിക്കാനാണ്.

$5 x y+10$ എന്ന പദപ്രയോഗത്തിന് ഒരു ട്രീ ഡയഗ്രം വരയ്ക്കാം.

ഘടകങ്ങൾ കൂടുതൽ ഘടകമാക്കാൻ കഴിയാത്തവയാണ്. അതിനാൽ നാം $5 x y$ നെ $5 \times x y$ എന്ന് എഴുതുന്നില്ല, കാരണം $x y$ കൂടുതൽ ഘടകമാക്കാം. അതുപോലെ, $x^{3}$ ഒരു പദമാണെങ്കിൽ, അത് $x \times x \times x$ എന്ന് എഴുതപ്പെടും, $x^{2} \times x$ അല്ല. കൂടാതെ, 1 ഒരു പ്രത്യേക ഘടകമായി എടുക്കില്ല എന്നും ഓർക്കുക.

ശ്രമിക്കുക

1. ഇനിപ്പറയുന്ന പദപ്രയോഗങ്ങളിലെ പദങ്ങൾ ഏതെല്ലാം?

പദങ്ങൾ എങ്ങനെ രൂപം കൊള്ളുന്നുവെന്ന് കാണിക്കുക. ഓരോ പദപ്രയോഗത്തിനും ഒരു ട്രീ ഡയഗ്രം വരയ്ക്കുക:

$8 y+3 x^{2}, 7 m n-4,2 x^{2} y$.

2. 4 പദങ്ങളുള്ള മൂന്ന് പദപ്രയോഗങ്ങൾ എഴുതുക.

സഹഗുണകങ്ങൾ

ഒരു പദത്തെ ഘടകങ്ങളുടെ ഗുണനഫലമായി എങ്ങനെ എഴുതാമെന്ന് നാം പഠിച്ചിട്ടുണ്ട്. ഈ ഘടകങ്ങളിൽ ഒന്ന് സംഖ്യാത്മകവും മറ്റുള്ളവ ബീജഗണിതവും (അതായത്, അവയിൽ ചരങ്ങൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു) ആയിരിക്കാം. സംഖ്യാത്മക ഘടകത്തെ പദത്തിന്റെ സംഖ്യാത്മക സഹഗുണകം അല്ലെങ്കിൽ ലളിതമായി സഹഗുണകം എന്ന് പറയുന്നു. ബാക്കിയുള്ള പദത്തിന്റെ (പദത്തിന്റെ ബീജഗണിത ഘടകങ്ങളുടെ ഗുണനഫലം വ്യക്തമായും) സഹഗുണകം എന്നും അതിനെ പറയുന്നു. അങ്ങനെ $5 x y, 5$ ൽ, പദത്തിന്റെ സഹഗുണകമാണ്. ഇത് $x y$ ന്റെയും സഹഗുണകമാണ്. $10 x y z, 10$ എന്ന പദത്തിൽ, $x y z$ ന്റെ സഹഗുണകമാണ്, $-7 x^{2} y^{2},-7$ എന്ന പദത്തിൽ, $x^{2} y^{2}$ ന്റെ സഹഗുണകമാണ്.

ഒരു പദത്തിന്റെ സഹഗുണകം +1 ആയിരിക്കുമ്പോൾ, അത് സാധാരണയായി ഒഴിവാക്കപ്പെടുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, $1 x$ എന്ന് എഴുതുന്നത് $x ; 1 x^{2} y^{2}$ എന്നാണ്, $x^{2} y^{2}$ എന്ന് എഴുതുന്നത് $(-1) x$ എന്നാണ്, അങ്ങനെ തുടരുന്നു. കൂടാതെ, സഹഗുണകം (-1) മൈനസ് ചിഹ്നത്താൽ മാത്രമേ സൂചിപ്പിക്കപ്പെടുന്നുള്ളൂ. അങ്ങനെ $-x ;(-1) x^{2} y^{2}$ എന്ന് എഴുതുന്നത് $-x^{2} y^{2}$ എന്നാണ്, $4 x-3 y, a+b+5,2 y+5,2 x y$ എന്ന് എഴുതുന്നത് $5 x y, 5$ എന്നാണ്, അങ്ങനെ തുടരുന്നു.

ശ്രമിക്കുക

ഇനിപ്പറയുന്ന പദപ്രയോഗങ്ങളുടെ പദങ്ങളുടെ സഹഗുണകങ്ങൾ തിരിച്ചറിയുക:

$x y, x$

ചിലപ്പോൾ, ‘സഹഗുണകം’ എന്ന വാക്ക് കൂടുതൽ പൊതുവായ രീതിയിൽ ഉപയോഗിക്കാറുണ്ട്. അങ്ങനെ $5 y$ എന്ന പദത്തിൽ, $y$ ന്റെ സഹഗുണകമാണെന്നും $5 x$ ന്റെ സഹഗുണകമാണെന്നും $10 x y^{2}, 10$ ന്റെ സഹഗുണകമാണെന്നും നാം പറയുന്നു. $x y^{2}, x$ ൽ, $10 y^{2}$ ന്റെ സഹഗുണകമാണ്, $y^{2}$ ന്റെ സഹഗുണകമാണ്, $10 x$ ന്റെ സഹഗുണകമാണ്. അങ്ങനെ, ഈ കൂടുതൽ പൊതുവായ രീതിയിൽ, ഒരു സഹഗുണകം ഒരു സംഖ്യാത്മക ഘടകമോ ഒരു ബീജഗണിത ഘടകമോ രണ്ടോ അതിലധികമോ ഘടകങ്ങളുടെ ഗുണനഫലമോ ആയിരിക്കാം. ബാക്കിയുള്ള ഘടകങ്ങളുടെ ഗുണനഫലത്തിന്റെ സഹഗുണകം എന്ന് അതിനെ പറയുന്നു.

ഉദാഹരണം 1 ഇനിപ്പറയുന്ന പദപ്രയോഗങ്ങളിൽ, സ്ഥിരാങ്കങ്ങളല്ലാത്ത പദങ്ങൾ തിരിച്ചറിയുക. അവയുടെ സംഖ്യാത്മക സഹഗുണകങ്ങൾ നൽകുക:

$ x y+4,13-y^{2}, 13-y+5 y^{2}, 4 p^{2} q-3 p q^{2}+5 $

പരിഹാരം

ഉദാഹരണം 2

(a) ഇനിപ്പറയുന്ന പദപ്രയോഗങ്ങളിൽ $x$ ന്റെ സഹഗുണകങ്ങൾ എന്തൊക്കെയാണ്?

$ 4 x-3 y, 8-x+y, y^{2} x-y, 2 z-5 x z $

(b) ഇനിപ്പറയുന്ന പദപ്രയോഗങ്ങളിൽ $y$ ന്റെ സഹഗുണകങ്ങൾ എന്തൊക്കെയാണ്?

$ 4 x-3 y, 8+y z, y z^{2}+5, m y+m $

പരിഹാരം

(a) ഓരോ പദപ്രയോഗത്തിലും $x$ ഒരു ഘടകമായുള്ള ഒരു പദം നാം തിരയുന്നു. ആ പദത്തിന്റെ ബാക്കി ഭാഗമാണ് $x$ ന്റെ സഹഗുണകം.

(b) രീതി (a) യിലെതിന് സമാനമാണ്.

10.4 സദൃശ പദങ്ങളും അസദൃശ പദങ്ങളും

പദങ്ങൾക്ക് ഒരേ ബീജഗണിത ഘടകങ്ങൾ ഉള്ളപ്പോൾ, അവ സദൃശ പദങ്ങൾ ആണ്. പദങ്ങൾക്ക് വ്യത്യസ്ത ബീജഗണിത ഘടകങ്ങൾ ഉള്ളപ്പോൾ, അവ അസദൃശ പദങ്ങൾ ആണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, $2 x y-3 x+5 x y-4$ എന്ന പദപ്രയോഗത്തിൽ, $2 x y$, $5 x y$ എന്നീ പദങ്ങൾ നോക്കുക. $2 x y$ ന്റെ ഘടകങ്ങൾ 2, $x$, $y$ എന്നിവയാണ്. $5 x y$ ന്റെ ഘടകങ്ങൾ 5, $x$, $y$ എന്നിവയാണ്. അങ്ങനെ അവയുടെ ബീജഗണിത (അതായത്, ചരങ്ങൾ അടങ്ങിയ) ഘടകങ്ങൾ ഒന്നുതന്നെയാണ്, അതിനാൽ അവ സദൃശ പദങ്ങളാണ്.

ശ്രമിക്കുക

ഇനിപ്പറയുന്നവയിൽ നിന്ന് സദൃശ പദങ്ങളെ ഒരുമിച്ച് ഗ്രൂപ്പ് ചെയ്യുക:

$12 x, 12,-25 x,-25,-25 y, 1, x, 12 y, y$ മറുവശത്ത്, $2 x y$, $-3 x$ എന്നീ പദങ്ങൾക്ക് വ്യത്യസ്ത ബീജഗണിത ഘടകങ്ങളുണ്ട്. അവ അസദൃശ പദങ്ങളാണ്. അതുപോലെ, $2 x y$, 4 എന്നീ പദങ്ങൾ അസദൃശ പദങ്ങളാണ്. കൂടാതെ, $-3 x$, 4 എന്നീ പദങ്ങളും അസദൃശ പദങ്ങളാണ്.

10.5 ഏകപദങ്ങൾ, ദ്വിപദങ്ങൾ, ത്രിപദങ്ങൾ, ബഹുപദങ്ങൾ

ഒരു പദം മാത്രമുള്ള ഒരു പദപ്രയോഗത്തെ ഏകപദം എന്ന് വിളിക്കുന്നു; ഉദാഹരണത്തിന്, $7 x y,-5 m$, $3 z^{2}, 4$ തുടങ്ങിയവ.

ശ്രമിക്കുക

ഇനിപ്പറയുന്ന പദപ്രയോഗങ്ങൾ ഏകപദം, ദ്വിപദം അല്ലെങ്കിൽ ത്രിപദം എന്നിങ്ങനെ വർഗ്ഗീകരിക്കുക: $a$, $a+b, a b+a+b, a b+a$ $+b-5, x y, x y+5$, $5 x^{2}-x+2,4 p q-3 q+5 p$, $7,4 m-7 n+10,4 m n+7$.

രണ്ട് അസദൃശ പദങ്ങൾ അടങ്ങിയ ഒരു പദപ്രയോഗത്തെ ദ്വിപദം എന്ന് വിളിക്കുന്നു; ഉദാഹരണത്തിന്, $x+y, m-5, m n+4 m, a^{2}-b^{2}$ ദ്വിപദങ്ങളാണ്. $10 p q$ എന്ന പദപ്രയോഗം ഒരു ദ്വിപദമല്ല; അതൊരു ഏകപദമാണ്. $(a+b+5)$ എന്ന പദപ്രയോഗം ഒരു ദ്വിപദമല്ല. അതിൽ മൂന്ന് പദങ്ങൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു.

മൂന്ന് പദങ്ങൾ അടങ്ങിയ ഒരു പദപ്രയോഗത്തെ ത്രിപദം എന്ന് വിളിക്കുന്നു; ഉദാഹരണത്തിന്, $x+y+7, a b+a+b$, $3 x^{2}-5 x+2, m+n+10$ എന്നീ പദപ്രയോഗങ്ങൾ ത്രിപദങ്ങളാണ്. എന്നിരുന്നാലും, $a b+a+b+5$ എന്ന പദപ്രയോഗം ഒരു ത്രിപദമല്ല; അതിൽ നാല് പദങ്ങൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു, മൂന്നല്ല. $x+y+5 x$ എന്ന പദപ്രയോഗം ഒരു ത്രിപദമല്ല, കാരണം $x$, $5 x$ എന്നീ പദങ്ങൾ സദൃശ പദങ്ങളാണ്.

പൊതുവേ, ഒന്നോ അതിലധികമോ പദങ്ങളുള്ള ഒരു പദപ്രയോഗത്തെ ബഹുപദം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. അങ്ങനെ ഒരു ഏകപദം, ദ്വിപദം, ത്രിപദം എന്നിവയെല്ലാം ബഹുപദങ്ങളാണ്.

**ഉദാഹരണം 3