10.1 పరిచయం

మనం ఇప్పటికే $x+3, y-5,4 x+5$, $10 y-5$ వంటి సాధారణ బీజగణిత సమాసాలను చూశాము. ఆరవ తరగతిలో, ఈ సమాసాలు పజిల్స్ మరియు సమస్యలను రూపొందించడంలో ఎలా ఉపయోగపడతాయో మనం చూశాము. సాధారణ సమీకరణాల అధ్యాయంలో అనేక సమాసాల ఉదాహరణలను కూడా చూశాము.

సమాసాలు బీజగణితంలో ఒక కేంద్ర భావన. ఈ అధ్యాయం బీజగణిత సమాసాలకు అంకితమైంది. మీరు ఈ అధ్యాయాన్ని చదివిన తర్వాత, బీజగణిత సమాసాలు ఎలా ఏర్పడతాయి, వాటిని ఎలా కలపవచ్చు, వాటి విలువలను ఎలా కనుగొనవచ్చు మరియు వాటిని ఎలా ఉపయోగించవచ్చో తెలుసుకుంటారు.

10.2 సమాసాలు ఎలా ఏర్పడతాయి?

చరరాశి అంటే ఏమిటో ఇప్పుడు మనకు బాగా తెలుసు. చరరాశులను సూచించడానికి మనం $x, y, l, m, \ldots$ వంటి అక్షరాలను ఉపయోగిస్తాము. ఒక చరరాశి వివిధ విలువలను తీసుకోగలదు. దాని విలువ స్థిరంగా ఉండదు. మరోవైపు, ఒక స్థిరాంకానికి స్థిరమైన విలువ ఉంటుంది. స్థిరాంకాల ఉదాహరణలు: 4, 100, -17, మొదలైనవి.

బీజగణిత సమాసాలను రూపొందించడానికి మనం చరరాశులు మరియు స్థిరాంకాలను కలుపుతాము. దీని కోసం, మనం సంకలన, వ్యవకలన, గుణకార మరియు భాగహార క్రియలను ఉపయోగిస్తాము. మనం ఇప్పటికే $4 x+5,10 y-20$ వంటి సమాసాలను చూశాము. $4 x+5$ అనే సమాసం $x$ అనే చరరాశి నుండి, మొదట $x$ ని స్థిరాంకం 4 తో గుణించి, ఆపై ఆ లబ్ధానికి స్థిరాంకం 5 ని కలిపి పొందబడింది. అదేవిధంగా, $10 y-20$ అనేది మొదట $y$ ని 10 తో గుణించి, ఆపై ఆ లబ్ధం నుండి 20 ని తీసివేయడం ద్వారా పొందబడింది.

పై సమాసాలు చరరాశులను స్థిరాంకాలతో కలపడం ద్వారా పొందబడ్డాయి. చరరాశులను వాటితోనే లేదా ఇతర చరరాశులతో కలపడం ద్వారా కూడా మనం సమాసాలను పొందవచ్చు.

కింది సమాసాలు ఎలా పొందబడ్డాయో చూడండి:

$ x^{2}, 2 y^{2}, 3 x^{2}-5, x y, 4 x y+7 $

(i) $x^{2}$ అనే సమాసం $x$ అనే చరరాశిని దానితోనే గుణించడం ద్వారా పొందబడింది;

$ x \times x=x^{2} $

$4 \times 4$ అనేది $4^{2}$ గా రాయబడినట్లే, మనం $x \times x=x^{2}$ అని రాస్తాము. దీన్ని సాధారణంగా $x$ స్క్వేర్డ్ (వర్గం) అని చదువుతారు.

(తర్వాత, మీరు ‘ఘాతాంకాలు మరియు ఘాతాలు’ అధ్యాయం చదివినప్పుడు, $x^{2}$ ని $x$ పవర్ 2 కు ఎత్తబడింది (రెండో ఘాతం) అని కూడా చదవవచ్చని గ్రహిస్తారు).

అదే విధంగా, మనం $\quad x \times x \times x=x^{3}$ అని రాయవచ్చు

సాధారణంగా, $x^{3}$ ని ‘$x$ క్యూబ్డ్’ (ఘనం) అని చదువుతారు. తర్వాత, మీరు $x^{3}$ ని $x$ పవర్ 3 కు ఎత్తబడింది (మూడో ఘాతం) అని కూడా చదవవచ్చని గ్రహిస్తారు.

$x, x^{2}, x^{3}, \ldots$ అన్నీ $x$ నుండి పొందబడిన బీజగణిత సమాసాలు.

(ii) $2 y^{2}$ అనే సమాసం $y: 2 y^{2}=2 \times y \times y$ నుండి పొందబడింది

ఇక్కడ $y$ ని $y$ తో గుణించడం ద్వారా మనం $y^{2}$ ని పొందుతాము మరియు తర్వాత $y^{2}$ ని స్థిరాంకం 2 తో గుణిస్తాము.

(iii) $(3 x^{2}-5)$ లో మనం మొదట $x^{2}$ ని పొందుతాము, మరియు దాన్ని 3 తో గుణించి $3 x^{2}$ ని పొందుతాము.

$3 x^{2}$ నుండి, మనం 5 ని తీసివేసి చివరకు $3 x^{2}-5$ వద్దకు చేరుకుంటాము.

(iv) $x y$ లో, మనం $x$ అనే చరరాశిని మరొక చరరాశి $y$ తో గుణిస్తాము. అందువలన, $x \times y=x y$.

(v) $4 x y+7$ లో, మనం మొదట $x y$ ని పొందుతాము, దాన్ని 4 తో గుణించి $4 x y$ ని పొందుతాము మరియు $4 x y$ కు 7 ని కలిపి సమాసాన్ని పొందుతాము.

ప్రయత్నించండి

కింది సమాసాలు ఎలా పొందబడ్డాయో వివరించండి:

$7 x y+5, x^{2} y, 4 x^{2}-5 x$

10.3 ఒక సమాసం యొక్క పదాలు

సమాసాలు ఎలా ఏర్పడతాయి అనే దాని గురించి మనం పైన ఏమి నేర్చుకున్నామో ఇప్పుడు ఒక క్రమబద్ధమైన రూపంలో ఉంచుదాం. ఈ ప్రయోజనం కోసం, ఒక సమాసం యొక్క పదాలు మరియు వాటి కారణాంకాలు ఏమిటో అర్థం చేసుకోవాలి.

$(4 x+5)$ అనే సమాసాన్ని పరిగణించండి. ఈ సమాసాన్ని రూపొందించడంలో, మనం మొదట $4 x$ ని 4 మరియు $x$ ల లబ్ధంగా విడిగా ఏర్పరచాము మరియు తర్వాత దానికి 5 ని కలిపాము. అదేవిధంగా $(3 x^{2}+7 y)$ అనే సమాసాన్ని పరిగణించండి. ఇక్కడ మనం మొదట $3 x^{2}$ ని $3, x$ మరియు $x$ ల లబ్ధంగా విడిగా ఏర్పరచాము. తర్వాత మనం $7 y$ ని 7 మరియు $y$ ల లబ్ధంగా విడిగా ఏర్పరచాము. $3 x^{2}$ మరియు $7 y$ లను విడిగా ఏర్పరచిన తర్వాత, సమాసాన్ని పొందడానికి వాటిని కలిపాము.

మనం వ్యవహరించే సమాసాలు ఎల్లప్పుడూ ఈ విధంగా చూడవచ్చని మీరు గమనిస్తారు. అవి విడిగా ఏర్పడిన భాగాలను కలిగి ఉంటాయి మరియు తర్వాత కలుపబడతాయి. ఒక సమాసంలోని ఇలాంటి భాగాలు, ఇవి మొదట విడిగా ఏర్పడి తర్వాత కలుపబడతాయి, వాటిని పదాలు అంటారు. $(4 x^{2}-3 x y)$ అనే సమాసాన్ని చూడండి. దీనికి రెండు పదాలు ఉన్నాయని మనం చెప్తాము, $4 x^{2}$ మరియు $-3 x y$. $4 x^{2}$ అనే పదం 4, $x$ మరియు $x$ ల లబ్ధం, మరియు (-3xy) అనే పదం (-3), $x$ మరియు $y$ ల లబ్ధం.

సమాసాలను ఏర్పరచడానికి పదాలు కలుపబడతాయి. $4 x$ మరియు 5 అనే పదాలు కలిపి $(4 x+5)$ అనే సమాసం ఏర్పడినట్లే, $4 x^{2}$ మరియు ($.-3 x y)$ అనే పదాలు కలిపి $(4 x^{2}-3 x y)$ అనే సమాసాన్ని ఇస్తాయి. ఎందుకంటే $4 x^{2}+(-3 x y)=4 x^{2}-3 x y$.

గమనించండి, మైనస్ గుర్తు (-) పదంలో చేర్చబడింది. $4 x^{2}-3 x y$ అనే సమాసంలో, మనం పదాన్ని $(-3 x y)$ గా తీసుకున్నాము మరియు (3xy) గా కాదు. అందుకే సమాసాన్ని ఏర్పరచడానికి పదాలు ‘కలుపబడతాయి లేదా తీసివేయబడతాయి’ అని చెప్పనవసరం లేదు; కేవలం ‘కలుపబడతాయి’ అనేది సరిపోతుంది.

ఒక పదం యొక్క కారణాంకాలు

పైన మనం చూశాము, $(4 x^{2}-3 x y)$ అనే సమాసం $4 x^{2}$ మరియు $-3 x y$ అనే రెండు పదాలను కలిగి ఉంటుంది. $4 x^{2}$ అనే పదం 4, $x$ మరియు $x$ ల లబ్ధం; 4, $x$ మరియు $x$ లు $4 x^{2}$ అనే పదం యొక్క కారణాంకాలు అని మనం చెప్తాము. ఒక పదం దాని కారణాంకాల లబ్ధం. $-3 x y$ అనే పదం $-3, x$ మరియు $y$ అనే కారణాంకాల లబ్ధం.

ఒక సమాసం యొక్క పదాలు మరియు పదాల కారణాంకాలను సౌకర్యవంతంగా మరియు సొగసైన విధంగా ఒక చెట్టు రేఖాచిత్రం ద్వారా సూచించవచ్చు. $(4 x^{2}-3 x y)$ అనే సమాసానికి చెట్టు ప్రక్కనున్న చిత్రంలో చూపినట్లుగా ఉంటుంది.

గమనించండి, చెట్టు రేఖాచిత్రంలో, మనం కారణాంకాల కోసం చుక్కల రేఖలను మరియు పదాల కోసం నిరంతర రేఖలను ఉపయోగించాము. ఇది వాటిని కలపకుండా ఉండటానికి.

$5 x y+10$ అనే సమాసానికి ఒక చెట్టు రేఖాచిత్రాన్ని గీయండి.

కారణాంకాలు మరింత కారణాంకీకరించబడలేని విధంగా ఉంటాయి. అందువలన మనం $5 x y$ ని $5 \times x y$ గా రాస్తే, ఎందుకంటే $x y$ మరింత కారణాంకీకరించబడవచ్చు. అదేవిధంగా, $x^{3}$ ఒక పదం అయితే, దానిని $x \times x \times x$ గా రాయాలి మరియు $x^{2} \times x$ గా కాదు. అలాగే, 1 ని ఒక ప్రత్యేక కారణాంకంగా తీసుకోవడం లేదని గుర్తుంచుకోండి.

ప్రయత్నించండి

1. కింది సమాసాలలో ఏ పదాలు ఉన్నాయి?

పదాలు ఎలా ఏర్పడ్డాయో చూపించండి. ప్రతి సమాసానికి ఒక చెట్టు రేఖాచిత్రాన్ని గీయండి:

$8 y+3 x^{2}, 7 m n-4,2 x^{2} y$.

2. నాలుగు పదాలు ఉన్న మూడు సమాసాలను రాయండి.

సహగుణకాలు

ఒక పదాన్ని కారణాంకాల లబ్ధంగా ఎలా రాయాలో మనం నేర్చుకున్నాము. ఈ కారణాంకాలలో ఒకటి సంఖ్యాత్మకంగా ఉండవచ్చు మరియు మిగిలినవి బీజగణితంగా ఉండవచ్చు (అంటే, అవి చరరాశులను కలిగి ఉంటాయి). సంఖ్యాత్మక కారణాంకాన్ని ఆ పదం యొక్క సంఖ్యాత్మక సహగుణకం లేదా కేవలం సహగుణకం అంటారు. ఇది మిగిలిన పదం (ఇది స్పష్టంగా పదం యొక్క బీజగణిత కారణాంకాల లబ్ధం) యొక్క సహగుణకం కూడా అని చెప్పబడుతుంది. అందువలన $5 x y, 5$ లో ఆ పదం యొక్క సహగుణకం. ఇది $x y$ యొక్క సహగుణకం కూడా. $10 x y z, 10$ అనే పదంలో $x y z$ యొక్క సహగుణకం, $-7 x^{2} y^{2},-7$ అనే పదంలో $x^{2} y^{2}$ యొక్క సహగుణకం.

ఒక పదం యొక్క సహగుణకం +1 అయినప్పుడు, దాన్ని సాధారణంగా వదిలివేస్తారు. ఉదాహరణకు, $1 x$ అనేది $x ; 1 x^{2} y^{2}$ గా రాయబడుతుంది, $x^{2} y^{2}$ గా రాయబడుతుంది మరియు మొదలైనవి. అలాగే, సహగుణకం (-1) మైనస్ గుర్తు ద్వారా మాత్రమే సూచించబడుతుంది. అందువలన $(-1) x$ అనేది $-x ;(-1) x^{2} y^{2}$ గా రాయబడుతుంది, $-x^{2} y^{2}$ గా రాయబడుతుంది మరియు మొదలైనవి.

ప్రయత్నించండి

కింది సమాసాల పదాల సహగుణకాలను గుర్తించండి:

$4 x-3 y, a+b+5,2 y+5,2 x y$

కొన్నిసార్లు, ‘సహగుణకం’ అనే పదం మరింత సాధారణ అర్థంలో ఉపయోగించబడుతుంది. అందువలన మనం చెప్తాము, $5 x y, 5$ అనే పదంలో $x y, x$ యొక్క సహగుణకం, $5 y$ యొక్క సహగుణకం మరియు $y$ $5 x$ యొక్క సహగుణకం. $10 x y^{2}, 10$ లో $x y^{2}, x$ యొక్క సహగుణకం, $10 y^{2}$ యొక్క సహగుణకం మరియు $y^{2}$ $10 x$ యొక్క సహగుణకం. అందువలన, ఈ మరింత సాధారణ పద్ధతిలో, ఒక సహగుణకం సంఖ్యాత్మక కారణాంకం లేదా బీజగణిత కారణాంకం లేదా రెండు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ కారణాంకాల లబ్ధం కావచ్చు. ఇది మిగిలిన కారణాంకాల లబ్ధం యొక్క సహగుణకం అని చెప్పబడుతుంది.

ఉదాహరణ 1 కింది సమాసాలలో, స్థిరాంకాలు కాని పదాలను గుర్తించండి. వాటి సంఖ్యాత్మక సహగుణకాలను ఇవ్వండి:

$ x y+4,13-y^{2}, 13-y+5 y^{2}, 4 p^{2} q-3 p q^{2}+5 $

సాధన

ఉదాహరణ 2

(a) కింది సమాసాలలో $x$ యొక్క సహగుణకాలు ఏమిటి?

$ 4 x-3 y, 8-x+y, y^{2} x-y, 2 z-5 x z $

(b) కింది సమాసాలలో $y$ యొక్క సహగుణకాలు ఏమిటి?

$ 4 x-3 y, 8+y z, y z^{2}+5, m y+m $

సాధన

(a) ప్రతి సమాసంలో మనం $x$ ని ఒక కారణాంకంగా కలిగి ఉన్న పదాన్ని చూస్తాము. ఆ పదం యొక్క మిగిలిన భాగం $x$ యొక్క సహగుణకం.

(b) పద్ధతి (a) లో ఉన్నదానికి సమానం.

10.4 సజాతి మరియు విజాతి పదాలు

పదాలకు ఒకే బీజగణిత కారణాంకాలు ఉన్నప్పుడు, అవి సజాతి పదాలు. పదాలకు వేర్వేరు బీజగణిత కారణాంకాలు ఉన్నప్పుడు, అవి విజాతి పదాలు. ఉదాహరణకు, $2 x y-3 x+5 x y-4$ అనే సమాసంలో, $2 x y$ మరియు $5 x y$ అనే పదాలను చూడండి. $2 x y$ యొక్క కారణాంకాలు 2, $x$ మరియు $y$. $5 x y$ యొక్క కారణాంకాలు 5, $x$ మరియు $y$. అందువలన వాటి బీజగణిత (అంటే, చరరాశులను కలిగి ఉన్న) కారణాంకాలు ఒకే విధంగా ఉంటాయి మరియు

ప్రయత్నించండి

కింది వాటి నుండి సజాతి పదాలను కలిపి రాయండి:

$12 x, 12,-25 x,-25,-25 y, 1, x, 12 y, y$ కాబట్టి అవి సజాతి పదాలు. మరోవైపు $2 x y$ మరియు $-3 x$ అనే పదాలు, వేర్వేరు బీజగణిత కారణాంకాలను కలిగి ఉంటాయి. అవి విజాతి పదాలు. అదేవిధంగా, $2 x y$ మరియు 4 అనే పదాలు, విజాతి పదాలు. అలాగే, $-3 x$ మరియు 4 అనే పదాలు విజాతి పదాలు.

10.5 ఏకపదాలు, ద్విపదాలు, త్రిపదాలు మరియు బహుపదులు

కేవలం ఒక పదం ఉన్న సమాసాన్ని ఏకపదం అంటారు; ఉదాహరణకు, $7 x y,-5 m$, $3 z^{2}, 4$ మొదలైనవి.

ప్రయత్నించండి

కింది సమాసాలను ఏకపదం, ద్విపదం లేదా త్రిపదంగా వర్గీకరించండి: $a$, $a+b, a b+a+b, a b+a$ $+b-5, x y, x y+5$, $5 x^{2}-x+2,4 p q-3 q+5 p$, $7,4 m-7 n+10,4 m n+7$.

రెండు విజాతి పదాలు ఉన్న సమాసాన్ని ద్విపదం అంటారు; ఉదాహరణకు, $x+y, m-5, m n+4 m, a^{2}-b^{2}$ ద్విపదాలు. $10 p q$ అనే సమాసం ద్విపదం కాదు; ఇది ఒక ఏకపదం. $(a+b+5)$ అనే సమాసం ద్విపదం కాదు. ఇది మూడు పదాలను కలిగి ఉంటుంది.

మూడు పదాలు ఉన్న సమాసాన్ని త్రిపదం అంటారు; ఉదాహరణకు, $x+y+7, a b+a+b$, $3 x^{2}-5 x+2, m+n+10$ అనే సమాసాలు త్రిపదాలు. అయితే $a b+a+b+5$ అనే సమాసం త్రిపదం కాదు; ఇది నాలుగు పదాలను కలిగి ఉంటుంది మరియు మూడు కాదు. $x+y+5 x$ అనే సమాసం త్రిపదం కాదు, ఎందుకంటే $x$ మరియు $5 x$ అనే పదాలు సజాతి పదాలు.

సాధారణంగా, ఒకటి లేదా అంతకంటే ఎక్కువ పదాలు ఉన్న సమాసాన్ని బహుపది అంటారు. అందువలన ఒక ఏకపదం, ద్విపదం మరియు త్రిపదం అన్నీ బహుపదులు.

ఉదాహరణ 3 కింది జతల పదాలలో ఏవి సజాతి పదాలు మరియు ఏవి విజాతి పదాలు అని కారణాలతో పేర్కొనండి:

(i) $7 x, 12 y$

(ii) $15 x,-21 x$

(iii) $-4 a b, 7 b a$

(iv) $3 x y, 3 x$

(v) $6 x y^{2}, 9 x^{2} y$

(vi) $p q^{2},-4 p q^{2}$

(vii) $m n^{2}, 10 m n$

సాధన

కింది సాధారణ దశలు ఇచ్చిన పదాలు సజాతి లేదా విజాతి అని నిర్ణయించడంలో మీకు సహాయపడతాయి:

(i) సంఖ్యాత్మక సహగుణకాలను విస్మరించండి. పదాల బీజగణిత భాగంపై దృష్టి పెట్టండి.

(ii) పదాలలోని చరరాశులను తనిఖీ చేయండి. అవి ఒకేలా ఉండాలి.

(iii) తర్వాత, పదాలలోని ప్రతి చరరాశి యొక్క ఘాతాలను తనిఖీ చేయండి. అవి ఒకేలా ఉండాలి.

సజాతి పదాలను నిర్ణయించడంలో, రెండు విషయాలు ముఖ్యం కావు (1) పదాల సంఖ్యాత్మక సహగుణకాలు మరియు (2) పదాలలో చరరాశులు గుణించబడిన క్రమం.

అభ్యాసం 10.1

1. కింది సందర్భాలలో చరరాశులు, స్థిరాంకాలు మరియు అంకగణిత క్రియలను ఉపయోగించి బీజగణిత సమాసాలను పొందండి.

(i) $z$ నుండి $y$ యొక్క వ్యవకలనం.

(ii) $x$ మరియు $y$ సంఖ్యల మొత్తంలో సగం.

(iii)