৪.১ পৰিচয়

আগৰ শ্ৰেণীসমূহত, আপুনি এটা চলকযুক্ত ৰৈখিক সমীকৰণ অধ্যয়ন কৰিছে। আপুনি এটা চলকযুক্ত এটা ৰৈখিক সমীকৰণ লিখিব পাৰেনে? আপুনি ক’ব পাৰে যে $x+1=0, x+\sqrt{2}=0$ আৰু $\sqrt{2} y+\sqrt{3}=0$ এটা চলকযুক্ত ৰৈখিক সমীকৰণৰ উদাহৰণ। আপুনি ইয়াও জানে যে এনে সমীকৰণৰ এক অনন্য (অৰ্থাৎ, এটা আৰু কেৱল এটা) সমাধান থাকে। আপুনি সংখ্যা ৰেখাত সমাধানটো কেনেকৈ প্ৰতিনিধিত্ব কৰিব লাগে তাকো মনত ৰাখিব পাৰে। এই অধ্যায়ত, এটা চলকযুক্ত ৰৈখিক সমীকৰণৰ জ্ঞান সোঁৱৰাই দুটা চলকযুক্তলৈ সম্প্ৰসাৰিত কৰা হ’ব। আপুনি এনে প্ৰশ্ন বিবেচনা কৰিব: দুটা চলকযুক্ত ৰৈখিক সমীকৰণৰ সমাধান আছে নেকি? যদি আছে, ই অনন্য নেকি? কাৰ্টেচিয়ান সমতলত সমাধানটো কেনেকুৱা দেখা যায়? এই প্ৰশ্নবোৰৰ উত্তৰ দিবলৈ আপুনি অধ্যায় ৩ত অধ্যয়ন কৰা ধাৰণাবোৰো ব্যৱহাৰ কৰিব।

৪.২ ৰৈখিক সমীকৰণ

আপুনি এতিয়ালৈকে যি অধ্যয়ন কৰিছে তাক প্ৰথমে সোঁৱৰোৱা যাওক। তলৰ সমীকৰণটো বিবেচনা কৰক:

2 x+5=0

ইয়াৰ সমাধান, অৰ্থাৎ সমীকৰণটোৰ মূল, হৈছে $-\frac{5}{2}$। ইয়াক তলত দেখুওৱাৰ দৰে সংখ্যা ৰেখাত প্ৰতিনিধিত্ব কৰিব পাৰি:

চিত্ৰ ৪.১

সমীকৰণ এটা সমাধান কৰোঁতে, আপুনি সদায় তলৰ কথাকেইটা মনত ৰাখিব লাগে:

ৰৈখিক সমীকৰণ এটাৰ সমাধান প্ৰভাৱিত নহয় যেতিয়া:

(i) একে সংখ্যাটো সমীকৰণটোৰ দুয়োটা ফালে যোগ (বা বিয়োগ) কৰা হয়।

(ii) আপুনি সমীকৰণটোৰ দুয়োটা ফালক একে অশূন্য সংখ্যাটোৰে পূৰণ বা হৰণ কৰে।

এতিয়া তলৰ পৰিস্থিতিটো বিবেচনা কৰোঁ আহক: নাগপুৰত খেলা ভাৰত আৰু শ্ৰীলংকাৰ মাজৰ এদিনীয়া আন্তঃৰাষ্ট্ৰীয় ক্ৰিকেট খেলত, দুগৰাকী ভাৰতীয় বেটছমেনে একেলগে ১৭৬ ৰাণ কৰিলে। এই তথ্যটো সমীকৰণৰ ৰূপত প্ৰকাশ কৰক।

ইয়াত, আপুনি দেখিব পাৰে যে তেওঁলোকৰ কোনোটোৰে স্কোৰ জনা নাই, অৰ্থাৎ দুটা অজ্ঞাত পৰিমাণ আছে। সেইবোৰ সূচাবলৈ $x$ আৰু $y$ ব্যৱহাৰ কৰোঁ আহক। গতিকে, এগৰাকী বেটছমেনে কৰা ৰাণৰ সংখ্যা হৈছে $x$, আৰু আনজনে কৰা ৰাণৰ সংখ্যা হৈছে $y$। আমি জানো যে

x+y=176

যিটো হৈছে প্ৰয়োজনীয় সমীকৰণ।

এইটো দুটা চলকযুক্ত ৰৈখিক সমীকৰণৰ এটা উদাহৰণ। এনে সমীকৰণত চলকবোৰ $x$ আৰু $y$ৰ দ্বাৰা সূচোৱাটো প্ৰথাগত, কিন্তু আন আখৰো ব্যৱহাৰ কৰিব পাৰি। দুটা চলকযুক্ত ৰৈখিক সমীকৰণৰ কিছুমান উদাহৰণ হৈছে:

$1.2 s+3 t=5, p+4 q=7, \pi u+5 v=9 \text { और } 3=\sqrt{2} x-7 y$

মন কৰক যে আপুনি এই সমীকৰণবোৰ ক্ৰমে

$$1.2 s+3 t-5=0$, $p+4 q-7=0, \pi u+5 v-9=0$$

আৰু

$$\sqrt{2} x-7 y-3=0$$ ৰূপত ৰাখিব পাৰে।

গতিকে, যিকোনো সমীকৰণ যাক $a x+b y+c=0$ ৰূপত ৰাখিব পাৰি, য’ত $a, b$ আৰু $c$ হৈছে বাস্তৱ সংখ্যা, আৰু $a$ আৰু $b$ দুয়োটাই শূন্য নহয়, তাক দুটা চলকযুক্ত ৰৈখিক সমীকৰণ বোলা হয়। ইয়াৰ অৰ্থ হৈছে আপুনি এনে বহু বহু সমীকৰণৰ কথা ভাবিব পাৰে।

উদাহৰণ ১ : তলৰ প্ৰতিটো সমীকৰণ $a x+b y+c=0$ ৰূপত লিখক আৰু প্ৰতিটো ক্ষেত্ৰত $a, b$ আৰু $c$ৰ মান নিৰ্দেশ কৰক:

(i) $2 x+3 y=4.37$

(ii) $x-4=\sqrt{3} y$

(iii) $4=5 x-3 y$

(iv) $2 x=y$

সমাধান : (i) $2 x+3 y=4.37$ ক $2 x+3 y-4.37=0$ হিচাপে লিখিব পাৰি। ইয়াত $a=2, b=3$ আৰু $c=-4.37$।

(ii) সমীকৰণ $x-4=\sqrt{3} y$ ক $x-\sqrt{3} y-4=0$ হিচাপে লিখিব পাৰি। ইয়াত $a=1$, $b=-\sqrt{3}$ আৰু $c=-4$।

(iii) সমীকৰণ $4=5 x-3 y$ ক $5 x-3 y-4=0$ হিচাপে লিখিব পাৰি। ইয়াত $a=5, b=-3$ আৰু $c=-4$। আপুনি মানেনে যে ইয়াক $-5 x+3 y+4=0$ হিচাপেও লিখিব পাৰি? এই ক্ষেত্ৰত $a=-5, b=3$ আৰু $c=4$।

(iv) সমীকৰণ $2 x=y$ ক $2 x-y+0=0$ হিচাপে লিখিব পাৰি। ইয়াত $a=2, b=-1$ আৰু $c=0$।

$a x+b=0$ ধৰণৰ সমীকৰণবোৰো দুটা চলকযুক্ত ৰৈখিক সমীকৰণৰ উদাহৰণ কাৰণ ইয়াক প্ৰকাশ কৰিব পাৰি a x+0 . y+b=0

উদাহৰণস্বৰূপে, $4-3 x=0$ ক $-3 x+0 . y+4=0$ হিচাপে লিখিব পাৰি।

উদাহৰণ ২ : তলৰ প্ৰতিটো দুটা চলকযুক্ত সমীকৰণ হিচাপে লিখক:

(i) $x=-5$

(ii) $y=2$

(iii) $2 x=3$

(iv) $5 y=2$

সমাধান :

(i) $x=-5$ ক $1 . x+0 . y=-5$, বা $1 . x+0 . y+5=0$ হিচাপে লিখিব পাৰি।

(ii) $y=2$ ক $0 . x+1 . y=2$, বা $0 . x+1 . y-2=0$ হিচাপে লিখিব পাৰি।

(iii) $2 x=3$ ক $2 x+0 . y-3=0$ হিচাপে লিখিব পাৰি।

(iv) $5 y=2$ ক $0 . x+5 y-2=0$ হিচাপে লিখিব পাৰি।

৪.৩ ৰৈখিক সমীকৰণৰ সমাধান

আপুনি দেখিছে যে এটা চলকযুক্ত প্ৰতিটো ৰৈখিক সমীকৰণৰ এক অনন্য সমাধান থাকে। দুটা চলক জড়িত ৰৈখিক সমীকৰণৰ সমাধানৰ বিষয়ে আপুনি কি ক’ব পাৰে? সমীকৰণটোত দুটা চলক থকাৰ বাবে, সমাধানৰ অৰ্থ হৈছে মানৰ এটা যোৰ, এটা $x$ৰ বাবে আৰু এটা $y$ৰ বাবে যিয়ে দিয়া সমীকৰণটো সন্তুষ্ট কৰে। $2 x+3 y=12$ সমীকৰণটো বিবেচনা কৰোঁ আহক। ইয়াত, $x=3$ আৰু $y=2$ এটা সমাধান কাৰণ যেতিয়া আপুনি ওপৰৰ সমীকৰণত $x=3$ আৰু $y=2$ প্ৰতিষ্ঠাপিত কৰে, আপুনি দেখে যে

$2 x+3 y=(2 \times 3)+(3 \times 2)=12$

এই সমাধানটো ক্ৰমবদ্ধ যোৰ $(3,2)$ হিচাপে লিখা হয়, প্ৰথমে $x$ৰ মান আৰু তাৰ পিছত $y$ৰ মান লিখি। একেদৰে, $(0,4)$ও ওপৰৰ সমীকৰণটোৰ বাবে এটা সমাধান।

আনহাতে, $(1,4)$ হৈছে $2 x+3 y=12$ৰ সমাধান নহয়, কাৰণ $x=1$ আৰু $y=4$ ৰাখিলে আমি $2 x+3 y=14$ পাওঁ, যিটো ১২ নহয়। মন কৰক যে $(0,4)$ এটা সমাধান কিন্তু $\operatorname{not}(4,0)$।

আপুনি $2 x+3 y=12$ৰ বাবে কমেও দুটা সমাধান দেখিছে, অৰ্থাৎ $(3,2)$ আৰু $(0,4)$। আপুনি আন কোনো সমাধান বিচাৰি পাব পাৰেনে? আপুনি মানেনে যে $(6,0)$ আন এটা সমাধান? একে কথাটো যাচাই চাওক। সঁচাকৈয়ে, আমি তলৰ ধৰণে বহু বহু সমাধান পাব পাৰোঁ। $2 x+3 y=12$ত $x(\operatorname{say} x=2)$ৰ বাবে আপোনাৰ পছন্দৰ এটা মান বাছি লওক। তেতিয়া সমীকৰণটো $4+3 y=12$লৈ হ্ৰাস পায়, যিটো এটা চলকযুক্ত ৰৈখিক সমীকৰণ। ইয়াক সমাধান কৰিলে, আপুনি $y=\frac{8}{3}$ পায়। গতিকে $\left(2, \frac{8}{3}\right)$ হৈছে $2 x+3 y=12$ৰ আন এটা সমাধান। একেদৰে, $x=-5$ বাছি ল’লে, আপুনি দেখিব যে সমীকৰণটো $-10+3 y=12$ হয়। ইয়ে $y=\frac{22}{3}$ দিয়ে। গতিকে, $\left(-5, \frac{22}{3}\right)$ হৈছে $2 x+3 y=12$ৰ আন এটা সমাধান। গতিকে দুটা চলকযুক্ত ৰৈখিক সমীকৰণৰ বিভিন্ন সমাধানৰ শেষ নাই। অৰ্থাৎ, দুটা চলকযুক্ত ৰৈখিক সমীকৰণৰ অসীম সংখ্যক সমাধান থাকে।

উদাহৰণ ৩ : $x+2 y=6$ সমীকৰণটোৰ চাৰিটা ভিন্ন সমাধান নিৰ্ণয় কৰক।

সমাধান : পৰিদৰ্শন কৰি, $x=2, y=2$ এটা সমাধান কাৰণ $x=2, y=2$ৰ বাবে

$$ x+2 y=2+4=6 $$

এতিয়া, $x=0$ বাছি লওঁ আহক। $x$ৰ এই মানটোৰ সৈতে, দিয়া সমীকৰণটো $2 y=6$লৈ হ্ৰাস পায় যাৰ এক অনন্য সমাধান $y=3$। গতিকে $x=0, y=3$ও $x+2 y=6$ৰ এটা সমাধান। একেদৰে, $y=0$ লৈ, দিয়া সমীকৰণটো $x=6$লৈ হ্ৰাস পায়। গতিকে, $x=6, y=0$ও $x+2 y=6$ৰ এটা সমাধান। শেষত, $y=1$ লওঁ আহক। দিয়া সমীকৰণটো এতিয়া $x+2=6$লৈ হ্ৰাস পায়, যাৰ সমাধান $x=4$ৰ দ্বাৰা দিয়া হয়। গতিকে, $(4,1)$ও দিয়া সমীকৰণটোৰ এটা সমাধান। গতিকে দিয়া সমীকৰণটোৰ অসীম সমাধানৰ ভিতৰত চাৰিটা হৈছে:

$(2,2),(0,3),(6,0) \text { and }(4,1) \text {. }$

টোকা : মন কৰক যে সমাধান পোৱাৰ এটা সহজ উপায় হৈছে $x=0$ লোৱা আৰু $y$ৰ অনুক্ৰমীয় মানটো পোৱা। একেদৰে, আমি $y=0$ ৰাখিব পাৰোঁ আৰু $x$ৰ অনুক্ৰমীয় মানটো পাব পাৰোঁ।

উদাহৰণ ৪ : তলৰ প্ৰতিটো সমীকৰণৰ বাবে দুটা সমাধান নিৰ্ণয় কৰক:

(i) $4 x+3 y=12$

(ii) $2 x+5 y=0$

(iii) $3 y+4=0$

সমাধান : (i) $x=0$ লৈ, আমি $3 y=12$ পাওঁ, অৰ্থাৎ $y=4$। গতিকে, $(0,4)$ হৈছে দিয়া সমীকৰণটোৰ এটা সমাধান। একেদৰে, $y=0$ লৈ, আমি $x=3$ পাওঁ। এতেকে, $(3,0)$ও এটা সমাধান।

(ii) $x=0$ লৈ, আমি $5 y=0$ পাওঁ, অৰ্থাৎ $y=0$। গতিকে $(0,0)$ হৈছে দিয়া সমীকৰণটোৰ এটা সমাধান। এতিয়া, যদি আপুনি $y=0$ লয়, আপুনি আকৌ $(0,0)$ক সমাধান হিচাপে পায়, যিটো আগৰটোৰ দৰেই। আন এটা সমাধান পাবলৈ, $x=1$ লওক, ধৰি লওক। তেতিয়া আপুনি পৰীক্ষা কৰিব পাৰে যে $y$ৰ অনুক্ৰমীয় মান হৈছে $-\frac{2}{5} \cdot$ গতিকে $\left(1,-\frac{2}{5}\right)$ হৈছে $2 x+5 y=0$ৰ আন এটা সমাধান।

(iii) সমীকৰণ $3 y+4=0$ক $0 \cdot x+3 y+4=0$ হিচাপে লিখিলে, আপুনি দেখিব যে $x$ৰ যিকোনো মানৰ বাবে $y=-\frac{4}{3}$। গতিকে, দুটা সমাধান $\left(0,-\frac{4}{3}\right)$ আৰু $\left(1,-\frac{4}{3}\right)$ হিচাপে দিব পাৰি।

৪.৪ সাৰাংশ

এই অধ্যায়ত, আপুনি তলৰ কথাকেইটা অধ্যয়ন কৰিছে:

১. $a x+b y+c=0$ ৰূপৰ সমীকৰণ, য’ত $a, b$ আৰু $c$ হৈছে বাস্তৱ সংখ্যা, যাতে $a$ আৰু $b$ দুয়োটাই শূন্য নহয়, তাক দুটা চলকযুক্ত ৰৈখিক সমীকৰণ বোলা হয়।

২. দুটা চলকযুক্ত ৰৈখিক সমীকৰণৰ অসীম সংখ্যক সমাধান থাকে।

৩. দুটা চলকযুক্ত ৰৈখিক সমীকৰণৰ লেখৰ প্ৰতিটো বিন্দুৱেই ৰৈখিক সমীকৰণটোৰ এটা সমাধান। তদুপৰি, ৰৈখিক সমীকৰণটোৰ প্ৰতিটো সমাধানেই ৰৈখিক সমীকৰণটোৰ লেখৰ এটা বিন্দু।