4.1 ಪರಿಚಯ

ಹಿಂದಿನ ತರಗತಿಗಳಲ್ಲಿ, ನೀವು ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ್ದೀರಿ. ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೀವು ಬರೆಯಬಲ್ಲಿರಾ? $x+1=0, x+\sqrt{2}=0$ ಮತ್ತು $\sqrt{2} y+\sqrt{3}=0$ ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಎಂದು ನೀವು ಹೇಳಬಹುದು. ಅಂತಹ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಒಂದು ಅನನ್ಯ (ಅಂದರೆ, ಒಂದು ಮತ್ತು ಕೇವಲ ಒಂದು) ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ ಎಂದೂ ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ. ಸಂಖ್ಯಾ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೇಗೆ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬೇಕು ಎಂಬುದನ್ನು ನೀವು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಈ ಅಧ್ಯಾಯದಲ್ಲಿ, ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಲಾಗುವುದು ಮತ್ತು ಎರಡು ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಗುವುದು. ನೀವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವಿರಿ: ಎರಡು ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗಳ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣವು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಯೇ? ಹೌದಾದರೆ, ಅದು ಅನನ್ಯವೇ? ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ಸಮತಲದ ಮೇಲೆ ಪರಿಹಾರವು ಹೇಗೆ ಕಾಣುತ್ತದೆ? ಈ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳಿಗೆ ಉತ್ತರಿಸಲು ನೀವು ಅಧ್ಯಾಯ 3 ರಲ್ಲಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಸಹ ಬಳಸುವಿರಿ.

4.2 ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು

ನೀವು ಇಲ್ಲಿಯವರೆಗೆ ಏನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ್ದೀರಿ ಎಂಬುದನ್ನು ಮೊದಲು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ. ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ:

2 x+5=0

ಅದರ ಪರಿಹಾರ, ಅಂದರೆ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲ, $-\frac{5}{2}$ ಆಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಕೆಳಗೆ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ಸಂಖ್ಯಾ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು:

ಚಿತ್ರ 4.1

ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ನೀವು ಯಾವಾಗಲೂ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅಂಶಗಳನ್ನು ನೆನಪಿನಲ್ಲಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಬೇಕು:

ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರವು ಪ್ರಭಾವಿತವಾಗುವುದಿಲ್ಲ:

(i) ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಿಗೆ ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೇರಿಸಿದಾಗ (ಅಥವಾ ಕಳೆಯಿದಾಗ).

(ii) ನೀವು ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ಶೂನ್ಯೇತರ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಅಥವಾ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ.

ಈಗ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ: ನಾಗಪುರದಲ್ಲಿ ಆಡಿದ ಭಾರತ ಮತ್ತು ಶ್ರೀಲಂಕಾ ನಡುವಿನ ಒಂದು ದಿನದ ಅಂತರರಾಷ್ಟ್ರೀಯ ಕ್ರಿಕೆಟ್ ಪಂದ್ಯದಲ್ಲಿ, ಇಬ್ಬರು ಭಾರತೀಯ ಬ್ಯಾಟ್ಸ್ಮೆನ್ಗಳು ಒಟ್ಟು 176 ರನ್ಗಳನ್ನು ಗಳಿಸಿದರು. ಈ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಸಮೀಕರಣದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿ.

ಇಲ್ಲಿ, ಅವರಲ್ಲಿ ಯಾರ ಸ್ಕೋರೂ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ, ಅಂದರೆ ಎರಡು ಅಜ್ಞಾತ ಪ್ರಮಾಣಗಳಿವೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು $x$ ಮತ್ತು $y$ ಬಳಸೋಣ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಒಬ್ಬ ಬ್ಯಾಟ್ಸ್ಮನ್ನ ರನ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ $x$, ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಬ್ಬರ ರನ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ $y$. ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ

x+y=176

ಇದು ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ.

ಇದು ಎರಡು ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗಳ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣದ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಅಂತಹ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗಳನ್ನು $x$ ಮತ್ತು $y$ ನಿಂದ ಸೂಚಿಸುವುದು ವಾಡಿಕೆ, ಆದರೆ ಇತರ ಅಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಸಹ ಬಳಸಬಹುದು. ಎರಡು ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗಳ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳು:

$1.2 s+3 t=5, p+4 q=7, \pi u+5 v=9 \text { और } 3=\sqrt{2} x-7 y$

ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ನೀವು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಇರಿಸಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ

$$1.2 s+3 t-5=0$, $p+4 q-7=0, \pi u+5 v-9=0$$

ಮತ್ತು

$$\sqrt{2} x-7 y-3=0$$, ಕ್ರಮವಾಗಿ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಯಾವುದೇ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು $a x+b y+c=0$ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಇರಿಸಬಹುದಾದರೆ, ಅಲ್ಲಿ $a, b$ ಮತ್ತು $c$ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಮತ್ತು $a$ ಮತ್ತು $b$ ಎರಡೂ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲ, ಅದನ್ನು ಎರಡು ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗಳ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದರರ್ಥ ನೀವು ಅನೇಕ ಅನೇಕ ಅಂತಹ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಯೋಚಿಸಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆ 1 : ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು $a x+b y+c=0$ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ $a, b$ ಮತ್ತು $c$ ನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸಿ:

(i) $2 x+3 y=4.37$

(ii) $x-4=\sqrt{3} y$

(iii) $4=5 x-3 y$

(iv) $2 x=y$

ಪರಿಹಾರ : (i) $2 x+3 y=4.37$ ಅನ್ನು $2 x+3 y-4.37=0$ ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು. ಇಲ್ಲಿ $a=2, b=3$ ಮತ್ತು $c=-4.37$.

(ii) ಸಮೀಕರಣ $x-4=\sqrt{3} y$ ಅನ್ನು $x-\sqrt{3} y-4=0$ ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು. ಇಲ್ಲಿ $a=1$, $b=-\sqrt{3}$ ಮತ್ತು $c=-4$.

(iii) ಸಮೀಕರಣ $4=5 x-3 y$ ಅನ್ನು $5 x-3 y-4=0$ ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು. ಇಲ್ಲಿ $a=5, b=-3$ ಮತ್ತು $c=-4$. ಇದನ್ನು $-5 x+3 y+4=0$ ಎಂದೂ ಬರೆಯಬಹುದು ಎಂದು ನೀವು ಒಪ್ಪುತ್ತೀರಾ? ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ $a=-5, b=3$ ಮತ್ತು $c=4$.

(iv) ಸಮೀಕರಣ $2 x=y$ ಅನ್ನು $2 x-y+0=0$ ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು. ಇಲ್ಲಿ $a=2, b=-1$ ಮತ್ತು $c=0$.

$a x+b=0$ ಪ್ರಕಾರದ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಸಹ ಎರಡು ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗಳ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳಾಗಿವೆ ಏಕೆಂದರೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು a x+0 . y+b=0

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, $4-3 x=0$ ಅನ್ನು $-3 x+0 . y+4=0$ ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆ 2 : ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದನ್ನು ಎರಡು ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗಳ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿ ಬರೆಯಿರಿ:

(i) $x=-5$

(ii) $y=2$

(iii) $2 x=3$

(iv) $5 y=2$

ಪರಿಹಾರ :

(i) $x=-5$ ಅನ್ನು $1 . x+0 . y=-5$, ಅಥವಾ $1 . x+0 . y+5=0$ ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು.

(ii) $y=2$ ಅನ್ನು $0 . x+1 . y=2$, ಅಥವಾ $0 . x+1 . y-2=0$ ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು.

(iii) $2 x=3$ ಅನ್ನು $2 x+0 . y-3=0$ ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು.

(iv) $5 y=2$ ಅನ್ನು $0 . x+5 y-2=0$ ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು.

4.3 ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರ

ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಹೊಂದಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದು ಅನನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ನೀವು ನೋಡಿದ್ದೀರಿ. ಎರಡು ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರದ ಬಗ್ಗೆ ನೀವು ಏನು ಹೇಳಬಹುದು? ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಎರಡು ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗಳಿರುವುದರಿಂದ, ಪರಿಹಾರ ಎಂದರೆ ಒಂದು ಜೋಡಿ ಮೌಲ್ಯಗಳು, ಒಂದು $x$ ಗೆ ಮತ್ತು ಒಂದು $y$ ಗೆ, ಅದು ನೀಡಿದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ. ಸಮೀಕರಣ $2 x+3 y=12$ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ಇಲ್ಲಿ, $x=3$ ಮತ್ತು $y=2$ ಒಂದು ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ನೀವು ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ $x=3$ ಮತ್ತು $y=2$ ಅನ್ನು ಬದಲಿಸಿದಾಗ, ನೀವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುವಿರಿ

$2 x+3 y=(2 \times 3)+(3 \times 2)=12$

ಈ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಆದೇಶಿತ ಜೋಡಿಯಾಗಿ $(3,2)$ ಎಂದು ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮೊದಲು $x$ ಗೆ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಂತರ $y$ ಗೆ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತೆಯೇ, $(0,4)$ ಸಹ ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಒಂದು ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ.

ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, $(1,4)$ $2 x+3 y=12$ ನ ಪರಿಹಾರವಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ $x=1$ ಮತ್ತು $y=4$ ಅನ್ನು ಹಾಕಿದಾಗ ನಾವು $2 x+3 y=14$ ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಅದು 12 ಅಲ್ಲ. $(0,4)$ ಒಂದು ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ ಆದರೆ $\operatorname{not}(4,0)$ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ.

$2 x+3 y=12$ ಗೆ ಕನಿಷ್ಠ ಎರಡು ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ನೀವು ನೋಡಿದ್ದೀರಿ, ಅಂದರೆ $(3,2)$ ಮತ್ತು $(0,4)$. ನೀವು ಬೇರೆ ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಲ್ಲಿರಾ? $(6,0)$ ಇನ್ನೊಂದು ಪರಿಹಾರ ಎಂದು ನೀವು ಒಪ್ಪುತ್ತೀರಾ? ಅದನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಅನೇಕ ಅನೇಕ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. $2 x+3 y=12$ ನಲ್ಲಿ $x(\operatorname{say} x=2)$ ಗೆ ನಿಮ್ಮ ಆಯ್ಕೆಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಆರಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ. ನಂತರ ಸಮೀಕರಣವು $4+3 y=12$ ಗೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ಅದು ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ನೀವು $y=\frac{8}{3}$ ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ. ಆದ್ದರಿಂದ $\left(2, \frac{8}{3}\right)$ $2 x+3 y=12$ ನ ಇನ್ನೊಂದು ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ. ಅಂತೆಯೇ, $x=-5$ ಅನ್ನು ಆರಿಸಿಕೊಂಡರೆ, ಸಮೀಕರಣವು $-10+3 y=12$ ಆಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನೀವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೀರಿ. ಇದು $y=\frac{22}{3}$ ನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, $\left(-5, \frac{22}{3}\right)$ $2 x+3 y=12$ ನ ಇನ್ನೊಂದು ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಎರಡು ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗಳ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣದ ವಿಭಿನ್ನ ಪರಿಹಾರಗಳಿಗೆ ಕೊನೆಯಿಲ್ಲ. ಅಂದರೆ, ಎರಡು ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗಳ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣವು ಅನಂತವಾಗಿ ಅನೇಕ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 3 : ಸಮೀಕರಣ $x+2 y=6$ ನ ನಾಲ್ಕು ವಿಭಿನ್ನ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ : ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಮೂಲಕ, $x=2, y=2$ ಒಂದು ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ $x=2, y=2$ ಗೆ

$$ x+2 y=2+4=6 $$

ಈಗ, $x=0$ ಅನ್ನು ಆರಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ. $x$ ಈ ಮೌಲ್ಯದೊಂದಿಗೆ, ನೀಡಿದ ಸಮೀಕರಣವು $2 y=6$ ಗೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ಅದು ಅನನ್ಯ ಪರಿಹಾರ $y=3$ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ $x=0, y=3$ ಸಹ $x+2 y=6$ ನ ಒಂದು ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ. ಅಂತೆಯೇ, $y=0$ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ನೀಡಿದ ಸಮೀಕರಣವು $x=6$ ಗೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, $x=6, y=0$ ಸಹ $x+2 y=6$ ನ ಒಂದು ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ. ಅಂತಿಮವಾಗಿ, $y=1$ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ. ನೀಡಿದ ಸಮೀಕರಣವು ಈಗ $x+2=6$ ಗೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ಅದರ ಪರಿಹಾರವನ್ನು $x=4$ ನಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, $(4,1)$ ಸಹ ನೀಡಿದ ಸಮೀಕರಣದ ಒಂದು ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ನೀಡಿದ ಸಮೀಕರಣದ ಅನಂತವಾಗಿ ಅನೇಕ ಪರಿಹಾರಗಳಲ್ಲಿ ನಾಲ್ಕು:

$(2,2),(0,3),(6,0) \text { and }(4,1) \text {. }$

ಟಿಪ್ಪಣಿ : ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಸುಲಭ ಮಾರ್ಗವೆಂದರೆ $x=0$ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು $y$ ನ ಅನುಗುಣವಾದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯುವುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಅಂತೆಯೇ, ನಾವು $y=0$ ಅನ್ನು ಹಾಕಬಹುದು ಮತ್ತು $x$ ನ ಅನುಗುಣವಾದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆ 4 : ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಎರಡು ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ:

(i) $4 x+3 y=12$

(ii) $2 x+5 y=0$

(iii) $3 y+4=0$

ಪರಿಹಾರ : (i) $x=0$ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ನಾವು $3 y=12$ ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ $y=4$. ಆದ್ದರಿಂದ, $(0,4)$ ನೀಡಿದ ಸಮೀಕರಣದ ಒಂದು ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ. ಅಂತೆಯೇ, $y=0$ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ನಾವು $x=3$ ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಹೀಗಾಗಿ, $(3,0)$ ಸಹ ಒಂದು ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ.

(ii) $x=0$ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ನಾವು $5 y=0$ ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ $y=0$. ಆದ್ದರಿಂದ $(0,0)$ ನೀಡಿದ ಸಮೀಕರಣದ ಒಂದು ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ. ಈಗ, ನೀವು $y=0$ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ನೀವು ಮತ್ತೆ $(0,0)$ ಅನ್ನು ಪರಿಹಾರವಾಗಿ ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ, ಅದು ಹಿಂದಿನದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇನ್ನೊಂದು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪಡೆಯಲು, $x=1$ ಅನ್ನು, ಹೇಳಿ, ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ. ನಂತರ ಅನುಗುಣವಾದ $y$ ನ ಮೌಲ್ಯವು $-\frac{2}{5} \cdot$ ಎಂದು ನೀವು ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ $\left(1,-\frac{2}{5}\right)$ $2 x+5 y=0$ ನ ಇನ್ನೊಂದು ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ.

(iii) ಸಮೀಕರಣ $3 y+4=0$ ಅನ್ನು $0 \cdot x+3 y+4=0$ ಎಂದು ಬರೆಯುವಾಗ, ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯದ $x$ ಗೆ $y=-\frac{4}{3}$ ಎಂದು ನೀವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೀರಿ. ಹೀಗಾಗಿ, ಎರಡು ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು $\left(0,-\frac{4}{3}\right)$ ಮತ್ತು $\left(1,-\frac{4}{3}\right)$ ಎಂದು ನೀಡಬಹುದು.

4.4 ಸಾರಾಂಶ

ಈ ಅಧ್ಯಾಯದಲ್ಲಿ, ನೀವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ್ದೀರಿ:

1. $a x+b y+c=0$ ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣ, ಅಲ್ಲಿ $a, b$ ಮತ್ತು $c$ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಅಂದರೆ $a$ ಮತ್ತು $b$ ಎರಡೂ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲ, ಅದನ್ನು ಎರಡು ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗಳ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

2. ಎರಡು ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗಳ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣವು ಅನಂತವಾಗಿ ಅನೇಕ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.

3. ಎರಡು ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗಳ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣದ ಗ್ರಾಫ್ನ ಮೇಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣದ ಒಂದು ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪರಿಹಾರವು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣದ ಗ್ರಾಫ್ನ ಮೇಲಿನ ಒಂದು ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ.