4.1 પ્રસ્તાવના

પહેલાના વર્ગોમાં, તમે એક ચલમાં રેખીય સમીકરણોનો અભ્યાસ કર્યો છે. શું તમે એક ચલમાં એક રેખીય સમીકરણ લખી શકો છો? તમે કહી શકો છો કે $x+1=0, x+\sqrt{2}=0$ અને $\sqrt{2} y+\sqrt{3}=0$ એક ચલમાં રેખીય સમીકરણોના ઉદાહરણો છે. તમે એ પણ જાણો છો કે આવા સમીકરણોનો અનન્ય (એટલે કે, એક અને માત્ર એક જ) ઉકેલ હોય છે. તમને એ પણ યાદ હશે કે આ ઉકેલને સંખ્યારેખા પર કેવી રીતે દર્શાવવો. આ પ્રકરણમાં, એક ચલમાં રેખીય સમીકરણોનું જ્ઞાન યાદ કરવામાં આવશે અને તેને બે ચલો સુધી વિસ્તારવામાં આવશે. તમે આવા પ્રશ્નો પર વિચાર કરશો: શું બે ચલોમાં રેખીય સમીકરણનો ઉકેલ હોય છે? જો હા, તો શું તે અનન્ય છે? કાર્તેશિય સમતલ પર ઉકેલ કેવો દેખાય છે? આ પ્રશ્નોના જવાબ આપવા માટે તમે પ્રકરણ 3માં અભ્યાસ કરેલી સંકલ્પનાઓનો પણ ઉપયોગ કરશો.

4.2 રેખીય સમીકરણો

ચાલો પહેલા આપણે અત્યાર સુધી શું અભ્યાસ કર્યો છે તે યાદ કરીએ. નીચેના સમીકરણને ધ્યાનમાં લો:

2 x+5=0

તેનો ઉકેલ, એટલે કે, સમીકરણનું મૂળ, $-\frac{5}{2}$ છે. આને નીચે બતાવ્યા પ્રમાણે સંખ્યારેખા પર દર્શાવી શકાય છે:

ફિગ. 4.1

સમીકરણ ઉકેલતી વખતે, તમારે હંમેશા નીચેની બાબતો ધ્યાનમાં રાખવી જોઈએ:

રેખીય સમીકરણનો ઉકેલ ત્યારે અસરગ્રસ્ત થતો નથી જ્યારે:

(i) સમીકરણની બંને બાજુઓ સમાન સંખ્યા ઉમેરવામાં (અથવા બાદ કરવામાં) આવે.

(ii) તમે સમીકરણની બંને બાજુઓને સમાન શૂન્યેતર સંખ્યા વડે ગુણો અથવા ભાગો.

ચાલો હવે નીચેની પરિસ્થિતિ ધ્યાનમાં લઈએ: નાગપુરમાં રમાયેલી ભારત અને શ્રીલંકા વચ્ચેની એક દિવસીય આંતરરાષ્ટ્રીય ક્રિકેટ મેચમાં, બે ભારતીય બેટ્સમેનોએ મળીને 176 રન બનાવ્યા. આ માહિતીને સમીકરણના સ્વરૂપમાં દર્શાવો.

અહીં, તમે જોઈ શકો છો કે તેમાંથી કોઈ એકનો સ્કોર જાણીતો નથી, એટલે કે, બે અજાણી માત્રાઓ છે. ચાલો તેમને દર્શાવવા માટે $x$ અને $y$ નો ઉપયોગ કરીએ. તેથી, એક બેટ્સમેન દ્વારા બનાવેલા રનની સંખ્યા $x$ છે, અને બીજા દ્વારા બનાવેલા રનની સંખ્યા $y$ છે. આપણે જાણીએ છીએ કે

x+y=176

જે જરૂરી સમીકરણ છે.

આ બે ચલોમાં રેખીય સમીકરણનું ઉદાહરણ છે. આવા સમીકરણોમાં ચલોને $x$ અને $y$ દ્વારા દર્શાવવાની પ્રથા છે, પરંતુ અન્ય અક્ષરોનો પણ ઉપયોગ થઈ શકે છે. બે ચલોમાં રેખીય સમીકરણોના કેટલાક ઉદાહરણો છે:

$1.2 s+3 t=5, p+4 q=7, \pi u+5 v=9 \text { और } 3=\sqrt{2} x-7 y$

નોંધ લો કે તમે આ સમીકરણોને ક્રમશઃ

$$1.2 s+3 t-5=0$, $p+4 q-7=0, \pi u+5 v-9=0$$

અને

$$\sqrt{2} x-7 y-3=0$$, સ્વરૂપમાં મૂકી શકો છો.

તેથી, કોઈપણ સમીકરણ જેને $a x+b y+c=0$ સ્વરૂપમાં મૂકી શકાય, જ્યાં $a, b$ અને $c$ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે, અને $a$ અને $b$ બંને શૂન્ય નથી, તેને બે ચલોમાં રેખીય સમીકરણ કહેવામાં આવે છે. આનો અર્થ એ છે કે તમે આવા ઘણાં બધાં સમીકરણો વિશે વિચારી શકો છો.

ઉદાહરણ 1 : નીચેના દરેક સમીકરણોને $a x+b y+c=0$ સ્વરૂપમાં લખો અને દરેક કિસ્સામાં $a, b$ અને $c$ ની કિંમતો દર્શાવો:

(i) $2 x+3 y=4.37$

(ii) $x-4=\sqrt{3} y$

(iii) $4=5 x-3 y$

(iv) $2 x=y$

ઉકેલ : (i) $2 x+3 y=4.37$ ને $2 x+3 y-4.37=0$ તરીકે લખી શકાય. અહીં $a=2, b=3$ અને $c=-4.37$.

(ii) સમીકરણ $x-4=\sqrt{3} y$ ને $x-\sqrt{3} y-4=0$ તરીકે લખી શકાય. અહીં $a=1$, $b=-\sqrt{3}$ અને $c=-4$.

(iii) સમીકરણ $4=5 x-3 y$ ને $5 x-3 y-4=0$ તરીકે લખી શકાય. અહીં $a=5, b=-3$ અને $c=-4$. શું તમે સહમત છો કે તેને $-5 x+3 y+4=0$ તરીકે પણ લખી શકાય? આ કિસ્સામાં $a=-5, b=3$ અને $c=4$.

(iv) સમીકરણ $2 x=y$ ને $2 x-y+0=0$ તરીકે લખી શકાય. અહીં $a=2, b=-1$ અને $c=0$.

$a x+b=0$ પ્રકારના સમીકરણો પણ બે ચલોમાં રેખીય સમીકરણોના ઉદાહરણો છે કારણ કે તેમને a x+0 . y+b=0

તરીકે વ્યક્ત કરી શકાય છે.

ઉદાહરણ તરીકે, $4-3 x=0$ ને $-3 x+0 . y+4=0$ તરીકે લખી શકાય.

ઉદાહરણ 2 : નીચેના દરેકને બે ચલોમાં સમીકરણ તરીકે લખો:

(i) $x=-5$

(ii) $y=2$

(iii) $2 x=3$

(iv) $5 y=2$

ઉકેલ :

(i) $x=-5$ ને $1 . x+0 . y=-5$, અથવા $1 . x+0 . y+5=0$ તરીકે લખી શકાય.

(ii) $y=2$ ને $0 . x+1 . y=2$, અથવા $0 . x+1 . y-2=0$ તરીકે લખી શકાય.

(iii) $2 x=3$ ને $2 x+0 . y-3=0$ તરીકે લખી શકાય.

(iv) $5 y=2$ ને $0 . x+5 y-2=0$ તરીકે લખી શકાય.

4.3 રેખીય સમીકરણનો ઉકેલ

તમે જોયું છે કે એક ચલમાં દરેક રેખીય સમીકરણનો અનન્ય ઉકેલ હોય છે. બે ચલો ધરાવતા રેખીય સમીકરણના ઉકેલ વિશે તમે શું કહી શકો? સમીકરણમાં બે ચલો હોવાથી, ઉકેલનો અર્થ એક જોડી કિંમતો છે, એક $x$ માટે અને એક $y$ માટે જે આપેલ સમીકરણને સંતોષે છે. ચાલો સમીકરણ $2 x+3 y=12$ ધ્યાનમાં લઈએ. અહીં, $x=3$ અને $y=2$ એક ઉકેલ છે કારણ કે જ્યારે તમે ઉપરના સમીકરણમાં $x=3$ અને $y=2$ ને મૂકો છો, ત્યારે તમે જોશો કે

$2 x+3 y=(2 \times 3)+(3 \times 2)=12$

આ ઉકેલને ક્રમયુક્ત જોડી $(3,2)$ તરીકે લખવામાં આવે છે, પહેલા $x$ માટેની કિંમત અને પછી $y$ માટેની કિંમત લખીને. તે જ રીતે, $(0,4)$ પણ ઉપરના સમીકરણ માટે એક ઉકેલ છે.

બીજી બાજુ, $(1,4)$ એ $2 x+3 y=12$ નો ઉકેલ નથી, કારણ કે $x=1$ અને $y=4$ મૂકવાથી આપણને $2 x+3 y=14$ મળે છે, જે 12 નથી. નોંધ લો કે $(0,4)$ એક ઉકેલ છે પરંતુ $\operatorname{not}(4,0)$.

તમે $2 x+3 y=12$ માટે ઓછામાં ઓછા બે ઉકેલો જોયા છે, એટલે કે, $(3,2)$ અને $(0,4)$. શું તમે કોઈ બીજો ઉકેલ શોધી શકો છો? શું તમે સહમત છો કે $(6,0)$ એક બીજો ઉકેલ છે? તેની ખાતરી કરો. હકીકતમાં, આપણે નીચેની રીતે ઘણાં બધા ઉકેલો મેળવી શકીએ છીએ. $2 x+3 y=12$ માં $x(\operatorname{say} x=2)$ માટે તમારી પસંદગીની કિંમત પસંદ કરો. પછી સમીકરણ $4+3 y=12$ સુધી ઘટે છે, જે એક ચલમાં રેખીય સમીકરણ છે. આને ઉકેલવાથી, તમને $y=\frac{8}{3}$ મળે છે. તેથી $\left(2, \frac{8}{3}\right)$ એ $2 x+3 y=12$ નો બીજો ઉકેલ છે. તે જ રીતે, $x=-5$ પસંદ કરીને, તમે જોશો કે સમીકરણ $-10+3 y=12$ બને છે. આ $y=\frac{22}{3}$ આપે છે. તેથી, $\left(-5, \frac{22}{3}\right)$ એ $2 x+3 y=12$ નો બીજો ઉકેલ છે. તેથી બે ચલોમાં રેખીય સમીકરણના વિવિધ ઉકેલોનો કોઈ અંત નથી. એટલે કે, બે ચલોમાં રેખીય સમીકરણના અનંત ઉકેલો હોય છે.

ઉદાહરણ 3 : સમીકરણ $x+2 y=6$ ના ચાર અલગ અલગ ઉકેલો શોધો.

ઉકેલ : નિરીક્ષણ દ્વારા, $x=2, y=2$ એક ઉકેલ છે કારણ કે $x=2, y=2$ માટે

$$ x+2 y=2+4=6 $$

હવે, ચાલો $x=0$ પસંદ કરીએ. $x$ ની આ કિંમત સાથે, આપેલ સમીકરણ $2 y=6$ સુધી ઘટે છે જેનો અનન્ય ઉકેલ $y=3$ છે. તેથી $x=0, y=3$ પણ $x+2 y=6$ નો ઉકેલ છે. તે જ રીતે, $y=0$ લેતા, આપેલ સમીકરણ $x=6$ સુધી ઘટે છે. તેથી, $x=6, y=0$ પણ $x+2 y=6$ નો ઉકેલ છે. છેલ્લે, ચાલો $y=1$ લઈએ. આપેલ સમીકરણ હવે $x+2=6$ સુધી ઘટે છે, જેનો ઉકેલ $x=4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. તેથી, $(4,1)$ પણ આપેલ સમીકરણનો ઉકેલ છે. તેથી આપેલ સમીકરણના અનંતમાંથી ચાર ઉકેલો છે:

$(2,2),(0,3),(6,0) \text { and }(4,1) \text {. }$

ટિપ્પણી : નોંધ લો કે ઉકેલ મેળવવાની એક સરળ રીત $x=0$ લેવી અને $y$ ની અનુરૂપ કિંમત મેળવવી છે. તે જ રીતે, આપણે $y=0$ મૂકી શકીએ છીએ અને $x$ ની અનુરૂપ કિંમત મેળવી શકીએ છીએ.

ઉદાહરણ 4 : નીચેના દરેક સમીકરણો માટે બે ઉકેલો શોધો:

(i) $4 x+3 y=12$

(ii) $2 x+5 y=0$

(iii) $3 y+4=0$

ઉકેલ : (i) $x=0$ લેતા, આપણને $3 y=12$ મળે છે, એટલે કે, $y=4$. તેથી, $(0,4)$ એ આપેલ સમીકરણનો ઉકેલ છે. તે જ રીતે, $y=0$ લેતા, આપણને $x=3$ મળે છે. આમ, $(3,0)$ પણ એક ઉકેલ છે.

(ii) $x=0$ લેતા, આપણને $5 y=0$ મળે છે, એટલે કે, $y=0$. તેથી $(0,0)$ એ આપેલ સમીકરણનો ઉકેલ છે. હવે, જો તમે $y=0$ લો, તો તમને ફરીથી $(0,0)$ એક ઉકેલ તરીકે મળે છે, જે પહેલાના જેવો જ છે. બીજો ઉકેલ મેળવવા માટે, $x=1$ લો, ધારો કે. પછી તમે તપાસ કરી શકો છો કે $y$ ની અનુરૂપ કિંમત $-\frac{2}{5} \cdot$ છે તેથી $\left(1,-\frac{2}{5}\right)$ એ $2 x+5 y=0$ નો બીજો ઉકેલ છે.

(iii) સમીકરણ $3 y+4=0$ ને $0 \cdot x+3 y+4=0$ તરીકે લખતાં, તમે જોશો કે $x$ ની કોઈપણ કિંમત માટે $y=-\frac{4}{3}$ છે. આમ, બે ઉકેલો $\left(0,-\frac{4}{3}\right)$ અને $\left(1,-\frac{4}{3}\right)$ તરીકે આપી શકાય છે.

4.4 સારાંશ

આ પ્રકરણમાં, તમે નીચેની બાબતોનો અભ્યાસ કર્યો છે:

1. $a x+b y+c=0$ સ્વરૂપનું સમીકરણ, જ્યાં $a, b$ અને $c$ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે, જેમ કે $a$ અને $b$ બંને શૂન્ય નથી, તેને બે ચલોમાં રેખીય સમીકરણ કહેવામાં આવે છે.

2. બે ચલોમાં રેખીય સમીકરણના અનંત ઉકેલો હોય છે.

3. બે ચલોમાં રેખીય સમીકરણના આલેખ પરનો દરેક બિંદુ તે રેખીય સમીકરણનો ઉકેલ છે. વધુમાં, રેખીય સમીકરણનો દરેક ઉકેલ તે રેખીય સમીકરણના આલેખ પરનો એક બિંદુ છે.