४.१ परिचय

मागील इयत्तांमध्ये, तुम्ही एका चलातील रेषीय समीकरणांचा अभ्यास केला आहे. तुम्ही एका चलातील एक रेषीय समीकरण लिहू शकता का? तुम्ही म्हणू शकता की $x+1=0, x+\sqrt{2}=0$ आणि $\sqrt{2} y+\sqrt{3}=0$ ही एका चलातील रेषीय समीकरणांची उदाहरणे आहेत. तुम्हाला हे देखील माहित आहे की अशा समीकरणांचे एक अद्वितीय (म्हणजे एक आणि फक्त एक) उत्तर असते. तुम्हाला हे देखील आठवेल की संख्यारेषेवर हे उत्तर कसे दर्शवायचे. या प्रकरणात, एका चलातील रेषीय समीकरणांचे ज्ञान आठवून दोन चलांतील रेषीय समीकरणांपर्यंत वाढवले जाईल. तुम्ही अशा प्रश्नांचा विचार कराल: दोन चलांतील रेषीय समीकरणाला उत्तर आहे का? जर होय, तर ते अद्वितीय आहे का? कार्टेशियन प्रतलावर हे उत्तर कसे दिसते? या प्रश्नांची उत्तरे देण्यासाठी तुम्ही प्रकरण ३ मध्ये शिकलेल्या संकल्पनांचा देखील वापर कराल.

४.२ रेषीय समीकरणे

आधी आतापर्यंत तुम्ही काय शिकलात ते आठवूया. खालील समीकरणाचा विचार करा:

2 x+5=0

याचे उत्तर, म्हणजेच समीकरणाचे मूळ, $-\frac{5}{2}$ आहे. हे खालीलप्रमाणे संख्यारेषेवर दर्शविले जाऊ शकते:

आकृती ४.१

समीकरण सोडवताना, तुम्ही नेहमी खालील मुद्दे लक्षात ठेवले पाहिजेत:

रेषीय समीकरणाचे उत्तर यावर परिणाम होत नाही जेव्हा:

(i) समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमध्ये समान संख्या मिळवली (किंवा वजा केली) जाते.

(ii) तुम्ही समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना समान शून्येतर संख्येने गुणाकार किंवा भागाकार करता.

आता खालील परिस्थितीचा विचार करूया: नागपूर येथे खेळल्या गेलेल्या भारत आणि श्रीलंका यांच्यातील एकदिवसीय आंतरराष्ट्रीय क्रिकेट सामन्यात, दोन भारतीय फलंदाजांनी मिळून १७६ धावा केल्या. ही माहिती समीकरणाच्या रूपात व्यक्त करा.

येथे, तुम्ही पाहू शकता की त्यापैकी कोणाच्याच धावसंख्या ज्ञात नाहीत, म्हणजेच दोन अज्ञात राशी आहेत. त्यांना दर्शवण्यासाठी $x$ आणि $y$ वापरूया. म्हणून, एका फलंदाजाने केलेल्या धावा $x$ आहेत आणि दुसऱ्याने केलेल्या धावा $y$ आहेत. आपल्याला माहित आहे की

x+y=176

हे आवश्यक समीकरण आहे.

हे दोन चलांतील रेषीय समीकरणाचे एक उदाहरण आहे. अशा समीकरणांमधील चल दर्शवण्यासाठी $x$ आणि $y$ हे प्रतीक वापरण्याची प्रथा आहे, परंतु इतर अक्षरे देखील वापरली जाऊ शकतात. दोन चलांतील रेषीय समीकरणांची काही उदाहरणे आहेत:

$1.2 s+3 t=5, p+4 q=7, \pi u+5 v=9 \text { और } 3=\sqrt{2} x-7 y$

लक्षात घ्या की तुम्ही या समीकरणांना अनुक्रमे

$$1.2 s+3 t-5=0$, $p+4 q-7=0, \pi u+5 v-9=0$$

आणि

$$\sqrt{2} x-7 y-3=0$$ या रूपात लिहू शकता.

म्हणून, कोणतेही समीकरण जे $a x+b y+c=0$ या रूपात लिहिता येते, जिथे $a, b$ आणि $c$ वास्तव संख्या आहेत, आणि $a$ आणि $b$ दोन्ही शून्य नाहीत, त्याला दोन चलांतील रेषीय समीकरण म्हणतात. याचा अर्थ असा की तुम्ही अशी अनेक अनेक समीकरणे विचारात घेऊ शकता.

उदाहरण १ : खालीलपैकी प्रत्येक समीकरण $a x+b y+c=0$ या रूपात लिहा आणि प्रत्येक बाबतीत $a, b$ आणि $c$ ची मूल्ये दर्शवा:

(i) $2 x+3 y=4.37$

(ii) $x-4=\sqrt{3} y$

(iii) $4=5 x-3 y$

(iv) $2 x=y$

उकल : (i) $2 x+3 y=4.37$ हे $2 x+3 y-4.37=0$ असे लिहिता येते. येथे $a=2, b=3$ आणि $c=-4.37$.

(ii) समीकरण $x-4=\sqrt{3} y$ हे $x-\sqrt{3} y-4=0$ असे लिहिता येते. येथे $a=1$, $b=-\sqrt{3}$ आणि $c=-4$.

(iii) समीकरण $4=5 x-3 y$ हे $5 x-3 y-4=0$ असे लिहिता येते. येथे $a=5, b=-3$ आणि $c=-4$. तुम्ही सहमत आहात का की ते $-5 x+3 y+4=0$ असे देखील लिहिता येते? या बाबतीत $a=-5, b=3$ आणि $c=4$.

(iv) समीकरण $2 x=y$ हे $2 x-y+0=0$ असे लिहिता येते. येथे $a=2, b=-1$ आणि $c=0$.

$a x+b=0$ या प्रकारची समीकरणे देखील दोन चलांतील रेषीय समीकरणांची उदाहरणे आहेत कारण ती a x+0 . y+b=0

अशा रूपात व्यक्त करता येतात.

उदाहरणार्थ, $4-3 x=0$ हे $-3 x+0 . y+4=0$ असे लिहिता येते.

उदाहरण २ : खालीलपैकी प्रत्येक समीकरण दोन चलांतील समीकरण म्हणून लिहा:

(i) $x=-5$

(ii) $y=2$

(iii) $2 x=3$

(iv) $5 y=2$

उकल :

(i) $x=-5$ हे $1 . x+0 . y=-5$, किंवा $1 . x+0 . y+5=0$ असे लिहिता येते.

(ii) $y=2$ हे $0 . x+1 . y=2$, किंवा $0 . x+1 . y-2=0$ असे लिहिता येते.

(iii) $2 x=3$ हे $2 x+0 . y-3=0$ असे लिहिता येते.

(iv) $5 y=2$ हे $0 . x+5 y-2=0$ असे लिहिता येते.

४.३ रेषीय समीकरणाचे उत्तर

तुम्ही पाहिले आहे की एका चलातील प्रत्येक रेषीय समीकरणाचे एक अद्वितीय उत्तर असते. दोन चले असलेल्या रेषीय समीकरणाच्या उत्तराबद्दल तुम्ही काय म्हणू शकता? समीकरणात दोन चले असल्यामुळे, उत्तर म्हणजे दोन मूल्यांची जोडी, एक $x$ साठी आणि एक $y$ साठी, जी दिलेल्या समीकरणाचे समाधान करते. $2 x+3 y=12$ या समीकरणाचा विचार करूया. येथे, $x=3$ आणि $y=2$ हे एक उत्तर आहे कारण जेव्हा तुम्ही वरील समीकरणात $x=3$ आणि $y=2$ ठेवता, तेव्हा तुम्हाला आढळते की

$2 x+3 y=(2 \times 3)+(3 \times 2)=12$

हे उत्तर क्रमित जोडी $(3,2)$ म्हणून लिहिले जाते, प्रथम $x$ साठीचे मूल्य आणि नंतर $y$ साठीचे मूल्य लिहिले जाते. त्याचप्रमाणे, $(0,4)$ हे देखील वरील समीकरणाचे एक उत्तर आहे.

दुसरीकडे, $(1,4)$ हे $2 x+3 y=12$ चे उत्तर नाही, कारण $x=1$ आणि $y=4$ ठेवल्यास आपल्याला $2 x+3 y=14$ मिळते, जे १२ नाही. लक्षात घ्या की $(0,4)$ हे एक उत्तर आहे परंतु $\operatorname{not}(4,0)$.

तुम्ही $2 x+3 y=12$ साठी किमान दोन उत्तरे पाहिली आहेत, म्हणजेच $(3,2)$ आणि $(0,4)$. तुम्हाला इतर काही उत्तर सापडते का? $(6,0)$ हे दुसरे उत्तर आहे यावर तुम्ही सहमत आहात का? तेच तपासा. खरेतर, आपण खालीलप्रमाणे अनेक अनेक उत्तरे मिळवू शकतो. $2 x+3 y=12$ मध्ये $x(\operatorname{say} x=2)$ साठी तुमच्या आवडीचे मूल्य निवडा. मग समीकरण $4+3 y=12$ या रूपात कमी होते, जे एका चलातील रेषीय समीकरण आहे. हे सोडवल्यास, तुम्हाला $y=\frac{8}{3}$ मिळते. म्हणून $\left(2, \frac{8}{3}\right)$ हे $2 x+3 y=12$ चे दुसरे उत्तर आहे. त्याचप्रमाणे, $x=-5$ निवडल्यास, तुम्हाला आढळते की समीकरण $-10+3 y=12$ होते. यामुळे $y=\frac{22}{3}$ मिळते. म्हणून, $\left(-5, \frac{22}{3}\right)$ हे $2 x+3 y=12$ चे दुसरे उत्तर आहे. म्हणून दोन चलांतील रेषीय समीकरणाच्या भिन्न उत्तरांचा काही शेवट नाही. म्हणजेच, दोन चलांतील रेषीय समीकरणाला असंख्य उत्तरे असतात.

उदाहरण ३ : $x+2 y=6$ या समीकरणाची चार भिन्न उत्तरे शोधा.

उकल : निरीक्षणाने, $x=2, y=2$ हे एक उत्तर आहे कारण $x=2, y=2$ साठी

$$ x+2 y=2+4=6 $$

आता, $x=0$ निवडूया. $x$ च्या या मूल्यासह, दिलेले समीकरण $2 y=6$ या रूपात कमी होते, ज्याचे अद्वितीय उत्तर $y=3$ आहे. म्हणून $x=0, y=3$ हे देखील $x+2 y=6$ चे एक उत्तर आहे. त्याचप्रमाणे, $y=0$ घेतल्यास, दिलेले समीकरण $x=6$ या रूपात कमी होते. म्हणून, $x=6, y=0$ हे $x+2 y=6$ चे देखील एक उत्तर आहे. शेवटी, $y=1$ घेऊया. दिलेले समीकरण आता $x+2=6$ या रूपात कमी होते, ज्याचे उत्तर $x=4$ द्वारे दिले जाते. म्हणून, $(4,1)$ हे देखील दिलेल्या समीकरणाचे एक उत्तर आहे. म्हणून दिलेल्या समीकरणाची असंख्य उत्तरांपैकी चार उत्तरे आहेत:

$(2,2),(0,3),(6,0) \text { and }(4,1) \text {. }$

शेरा : लक्षात घ्या की उत्तर मिळवण्याचा एक सोपा मार्ग म्हणजे $x=0$ घेणे आणि $y$ चे संबंधित मूल्य मिळवणे. त्याचप्रमाणे, आपण $y=0$ ठेवू शकतो आणि $x$ चे संबंधित मूल्य मिळवू शकतो.

उदाहरण ४ : खालीलपैकी प्रत्येक समीकरणासाठी दोन उत्तरे शोधा:

(i) $4 x+3 y=12$

(ii) $2 x+5 y=0$

(iii) $3 y+4=0$

उकल : (i) $x=0$ घेतल्यास, आपल्याला $3 y=12$ मिळते, म्हणजेच $y=4$. म्हणून, $(0,4)$ हे दिलेल्या समीकरणाचे एक उत्तर आहे. त्याचप्रमाणे, $y=0$ घेतल्यास, आपल्याला $x=3$ मिळते. अशाप्रकारे, $(3,0)$ हे देखील एक उत्तर आहे.

(ii) $x=0$ घेतल्यास, आपल्याला $5 y=0$ मिळते, म्हणजेच $y=0$. म्हणून $(0,0)$ हे दिलेल्या समीकरणाचे एक उत्तर आहे. आता, जर तुम्ही $y=0$ घेतले, तर तुम्हाला पुन्हा $(0,0)$ हे उत्तर मिळते, जे मागील उत्तरासारखेच आहे. दुसरे उत्तर मिळवण्यासाठी, $x=1$ घ्या, समजा. मग तुम्ही तपासू शकता की $y$ चे संबंधित मूल्य $-\frac{2}{5} \cdot$ आहे. म्हणून $\left(1,-\frac{2}{5}\right)$ हे $2 x+5 y=0$ चे दुसरे उत्तर आहे.

(iii) समीकरण $3 y+4=0$ ला $0 \cdot x+3 y+4=0$ असे लिहिल्यास, तुम्हाला आढळेल की $x$ च्या कोणत्याही मूल्यासाठी $y=-\frac{4}{3}$ आहे. अशाप्रकारे, दोन उत्तरे $\left(0,-\frac{4}{3}\right)$ आणि $\left(1,-\frac{4}{3}\right)$ अशी दिली जाऊ शकतात.

४.४ सारांश

या प्रकरणात, तुम्ही खालील मुद्द्यांचा अभ्यास केला आहे:

१. $a x+b y+c=0$ या रूपाचे समीकरण, जिथे $a, b$ आणि $c$ वास्तव संख्या आहेत, जसे की $a$ आणि $b$ दोन्ही शून्य नाहीत, त्याला दोन चलांतील रेषीय समीकरण म्हणतात.

२. दोन चलांतील रेषीय समीकरणाला असंख्य उत्तरे असतात.

३. दोन चलांतील रेषीय समीकरणाच्या आलेखावरील प्रत्येक बिंदू हा त्या रेषीय समीकरणाचे एक उत्तर असते. शिवाय, रेषीय समीकरणाचे प्रत्येक उत्तर हा त्या रेषीय समीकरणाच्या आलेखावरील एक बिंदू असतो.