৪.১ ভূমিকা

পূর্ববর্তী শ্রেণীতে, তুমি একটি চলরাশিবিশিষ্ট রৈখিক সমীকরণ সম্পর্কে পড়েছ। তুমি কি একটি চলরাশিবিশিষ্ট রৈখিক সমীকরণ লিখতে পার? তুমি বলতে পার যে $x+1=0, x+\sqrt{2}=0$ এবং $\sqrt{2} y+\sqrt{3}=0$ একটি চলরাশিবিশিষ্ট রৈখিক সমীকরণের উদাহরণ। তুমি এও জান যে এরূপ সমীকরণের একটি অনন্য (অর্থাৎ, এক এবং কেবলমাত্র একটি) সমাধান থাকে। তুমি সম্ভবত সংখ্যারেখায় সমাধানটি কীভাবে উপস্থাপন করতে হয় তাও মনে করতে পারবে। এই অধ্যায়ে, একটি চলরাশিবিশিষ্ট রৈখিক সমীকরণের জ্ঞান পুনরায় স্মরণ করা হবে এবং দুটি চলরাশিতে তা সম্প্রসারিত করা হবে। তুমি নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলি বিবেচনা করবে: দুটি চলরাশিবিশিষ্ট একটি রৈখিক সমীকরণের কি কোনো সমাধান আছে? যদি থাকে, তবে কি তা অনন্য? কার্তেসীয় তলে সমাধানটি কেমন দেখায়? এই প্রশ্নগুলির উত্তর দিতে তুমি অধ্যায় ৩-এ পড়া ধারণাগুলিও ব্যবহার করবে।

৪.২ রৈখিক সমীকরণ

প্রথমে আমরা এ পর্যন্ত যা পড়েছি তা স্মরণ করি। নিচের সমীকরণটি বিবেচনা কর:

2 x+5=0

এর সমাধান, অর্থাৎ সমীকরণটির মূল, হল $-\frac{5}{2}$। এটি নিচে দেখানো সংখ্যারেখায় নিম্নরূপে উপস্থাপন করা যায়:

চিত্র ৪.১

একটি সমীকরণ সমাধান করার সময়, তোমাকে সর্বদা নিম্নলিখিত বিষয়গুলি মনে রাখতে হবে:

একটি রৈখিক সমীকরণের সমাধান প্রভাবিত হয় না যখন:

(i) সমীকরণের উভয় পক্ষে একই সংখ্যা যোগ (বা বিয়োগ) করা হয়।

(ii) তুমি সমীকরণের উভয় পক্ষকে একই অশূন্য সংখ্যা দ্বারা গুণ বা ভাগ কর।

এখন নিচের পরিস্থিতিটি বিবেচনা কর: নাগপুরে খেলা ভারত ও শ্রীলঙ্কার মধ্যেকার একটি একদিনের আন্তর্জাতিক ক্রিকেট ম্যাচে, দুই ভারতীয় ব্যাটসম্যান মিলিয়ে ১৭৬ রান করলেন। এই তথ্যটিকে একটি সমীকরণের আকারে প্রকাশ কর।

এখানে, তুমি দেখতে পাচ্ছ যে তাদের কেউই কত রান করেছেন তা জানা নেই, অর্থাৎ দুটি অজানা রাশি আছে। এদের বোঝাতে $x$ এবং $y$ ব্যবহার করা যাক। সুতরাং, একজন ব্যাটসম্যানের করা রানের সংখ্যা হল $x$, এবং অপর ব্যাটসম্যানের করা রানের সংখ্যা হল $y$। আমরা জানি যে

x+y=176

যা হল প্রয়োজনীয় সমীকরণ।

এটি হল দুটি চলরাশিবিশিষ্ট একটি রৈখিক সমীকরণের উদাহরণ। এই ধরনের সমীকরণে চলরাশিগুলি সাধারণত $x$ এবং $y$ দ্বারা প্রকাশ করা হয়, কিন্তু অন্যান্য বর্ণও ব্যবহার করা যেতে পারে। দুটি চলরাশিবিশিষ্ট রৈখিক সমীকরণের কিছু উদাহরণ হল:

$1.2 s+3 t=5, p+4 q=7, \pi u+5 v=9 \text { और } 3=\sqrt{2} x-7 y$

লক্ষ্য কর যে তুমি এই সমীকরণগুলিকে যথাক্রমে

$$1.2 s+3 t-5=0$, $p+4 q-7=0, \pi u+5 v-9=0$$

এবং

$$\sqrt{2} x-7 y-3=0$$ আকারে লিখতে পার।

সুতরাং, যে কোনো সমীকরণ যা $a x+b y+c=0$ আকারে প্রকাশ করা যায়, যেখানে $a, b$ এবং $c$ বাস্তব সংখ্যা, এবং $a$ এবং $b$ উভয়ই শূন্য নয়, তাকে দুটি চলরাশিবিশিষ্ট রৈখিক সমীকরণ বলে। এর অর্থ হল তুমি এরকম অনেক অনেক সমীকরণ চিন্তা করতে পার।

উদাহরণ ১ : নিচের প্রতিটি সমীকরণকে $a x+b y+c=0$ আকারে লিখ এবং প্রতিটি ক্ষেত্রে $a, b$ ও $c$ এর মান নির্দেশ কর:

(i) $2 x+3 y=4.37$

(ii) $x-4=\sqrt{3} y$

(iii) $4=5 x-3 y$

(iv) $2 x=y$

সমাধান : (i) $2 x+3 y=4.37$ কে $2 x+3 y-4.37=0$ হিসাবে লেখা যায়। এখানে $a=2, b=3$ এবং $c=-4.37$।

(ii) সমীকরণ $x-4=\sqrt{3} y$ কে $x-\sqrt{3} y-4=0$ হিসাবে লেখা যায়। এখানে $a=1$, $b=-\sqrt{3}$ এবং $c=-4$।

(iii) সমীকরণ $4=5 x-3 y$ কে $5 x-3 y-4=0$ হিসাবে লেখা যায়। এখানে $a=5, b=-3$ এবং $c=-4$। তুমি কি একমত যে এটিকে $-5 x+3 y+4=0$ হিসাবেও লেখা যায়? এই ক্ষেত্রে $a=-5, b=3$ এবং $c=4$।

(iv) সমীকরণ $2 x=y$ কে $2 x-y+0=0$ হিসাবে লেখা যায়। এখানে $a=2, b=-1$ এবং $c=0$।

$a x+b=0$ ধরনের সমীকরণগুলিও দুটি চলরাশিবিশিষ্ট রৈখিক সমীকরণের উদাহরণ, কারণ সেগুলিকে a x+0 . y+b=0

আকারে প্রকাশ করা যায়।

উদাহরণস্বরূপ, $4-3 x=0$ কে $-3 x+0 . y+4=0$ হিসাবে লেখা যায়।

উদাহরণ ২ : নিচের প্রতিটিকে দুটি চলরাশিবিশিষ্ট সমীকরণ হিসাবে লিখ:

(i) $x=-5$

(ii) $y=2$

(iii) $2 x=3$

(iv) $5 y=2$

সমাধান :

(i) $x=-5$ কে $1 . x+0 . y=-5$, অথবা $1 . x+0 . y+5=0$ হিসাবে লেখা যায়।

(ii) $y=2$ কে $0 . x+1 . y=2$, অথবা $0 . x+1 . y-2=0$ হিসাবে লেখা যায়।

(iii) $2 x=3$ কে $2 x+0 . y-3=0$ হিসাবে লেখা যায়।

(iv) $5 y=2$ কে $0 . x+5 y-2=0$ হিসাবে লেখা যায়।

৪.৩ একটি রৈখিক সমীকরণের সমাধান

তুমি দেখেছ যে একটি চলরাশিবিশিষ্ট প্রতিটি রৈখিক সমীকরণের একটি অনন্য সমাধান থাকে। দুটি চলরাশি জড়িত একটি রৈখিক সমীকরণের সমাধান সম্পর্কে তুমি কী বলতে পার? যেহেতু সমীকরণে দুটি চলরাশি আছে, তাই একটি সমাধান বলতে বোঝায় একজোড়া মান, একটি $x$ এর জন্য এবং একটি $y$ এর জন্য, যা প্রদত্ত সমীকরণকে সিদ্ধ করে। সমীকরণ $2 x+3 y=12$ বিবেচনা কর। এখানে, $x=3$ এবং $y=2$ একটি সমাধান কারণ যখন তুমি উপরের সমীকরণে $x=3$ এবং $y=2$ প্রতিস্থাপন কর, তখন তুমি দেখ যে

$2 x+3 y=(2 \times 3)+(3 \times 2)=12$

এই সমাধানটি একটি ক্রমজোড় $(3,2)$ হিসাবে লেখা হয়, প্রথমে $x$ এর মান এবং তারপর $y$ এর মান লিখে। একইভাবে, $(0,4)$ও উপরের সমীকরণের একটি সমাধান।

অন্যদিকে, $(1,4)$ হল $2 x+3 y=12$ এর একটি সমাধান নয়, কারণ $x=1$ এবং $y=4$ বসালে আমরা পাই $2 x+3 y=14$, যা 12 নয়। লক্ষ্য কর যে $(0,4)$ একটি সমাধান কিন্তু $\operatorname{not}(4,0)$।

তুমি $2 x+3 y=12$ এর জন্য অন্তত দুটি সমাধান দেখেছ, যথা $(3,2)$ এবং $(0,4)$। তুমি কি অন্য কোনো সমাধান খুঁজে পেতে পার? তুমি কি একমত যে $(6,0)$ আরেকটি সমাধান? যাচাই কর। প্রকৃতপক্ষে, আমরা নিম্নলিখিতভাবে অনেক অনেক সমাধান পেতে পার। $2 x+3 y=12$ এ $x(\operatorname{say} x=2)$ এর জন্য তোমার পছন্দের একটি মান নির্বাচন কর। তখন সমীকরণটি হ্রাস পেয়ে হয় $4+3 y=12$, যা একটি চলরাশিবিশিষ্ট রৈখিক সমীকরণ। এটি সমাধান করলে তুমি পাবে $y=\frac{8}{3}$। সুতরাং $\left(2, \frac{8}{3}\right)$ হল $2 x+3 y=12$ এর আরেকটি সমাধান। একইভাবে, $x=-5$ নির্বাচন করলে, তুমি দেখবে যে সমীকরণটি হয় $-10+3 y=12$। এটি দেয় $y=\frac{22}{3}$। সুতরাং, $\left(-5, \frac{22}{3}\right)$ হল $2 x+3 y=12$ এর আরেকটি সমাধান। সুতরাং দুটি চলরাশিবিশিষ্ট একটি রৈখিক সমীকরণের বিভিন্ন সমাধানের কোনো শেষ নেই। অর্থাৎ, দুটি চলরাশিবিশিষ্ট একটি রৈখিক সমীকরণের অসীমভাবে অনেক সমাধান থাকে।

উদাহরণ ৩ : সমীকরণ $x+2 y=6$ এর চারটি ভিন্ন সমাধান নির্ণয় কর।

সমাধান : পর্যবেক্ষণ করে, $x=2, y=2$ একটি সমাধান কারণ $x=2, y=2$ এর জন্য

$$ x+2 y=2+4=6 $$

এখন, ধরা যাক $x=0$। $x$ এর এই মান নিয়ে, প্রদত্ত সমীকরণটি হ্রাস পেয়ে হয় $2 y=6$ যার একটি অনন্য সমাধান হল $y=3$। সুতরাং $x=0, y=3$ হল $x+2 y=6$ এরও একটি সমাধান। একইভাবে, $y=0$ নিলে, প্রদত্ত সমীকরণটি হ্রাস পেয়ে হয় $x=6$। সুতরাং, $x=6, y=0$ হল $x+2 y=6$ এরও একটি সমাধান। অবশেষে, ধরা যাক $y=1$। প্রদত্ত সমীকরণটি এখন হ্রাস পেয়ে হয় $x+2=6$, যার সমাধান দেওয়া আছে $x=4$ দ্বারা। অতএব, $(4,1)$ হল প্রদত্ত সমীকরণেরও একটি সমাধান। সুতরাং প্রদত্ত সমীকরণের অসীমভাবে অনেক সমাধানের মধ্যে চারটি হল:

$(2,2),(0,3),(6,0) \text { and }(4,1) \text {. }$

মন্তব্য : লক্ষ্য কর যে একটি সমাধান পাওয়ার একটি সহজ উপায় হল $x=0$ নেওয়া এবং $y$ এর সংশ্লিষ্ট মান পাওয়া। একইভাবে, আমরা $y=0$ বসাতে পারি এবং $x$ এর সংশ্লিষ্ট মান পেতে পারি।

উদাহরণ ৪ : নিচের প্রতিটি সমীকরণের জন্য দুটি করে সমাধান নির্ণয় কর:

(i) $4 x+3 y=12$

(ii) $2 x+5 y=0$

(iii) $3 y+4=0$

সমাধান : (i) $x=0$ নিলে, আমরা পাই $3 y=12$, অর্থাৎ $y=4$। সুতরাং, $(0,4)$ হল প্রদত্ত সমীকরণের একটি সমাধান। একইভাবে, $y=0$ নিলে, আমরা পাই $x=3$। সুতরাং, $(3,0)$ও একটি সমাধান।

(ii) $x=0$ নিলে, আমরা পাই $5 y=0$, অর্থাৎ $y=0$। সুতরাং $(0,0)$ হল প্রদত্ত সমীকরণের একটি সমাধান। এখন, যদি তুমি $y=0$ নাও, তুমি আবার $(0,0)$ কে একটি সমাধান হিসাবে পাবে, যা আগেরটির মতোই। আরেকটি সমাধান পেতে, ধরা যাক $x=1$ নাও। তাহলে তুমি যাচাই করতে পারবে যে $y$ এর সংশ্লিষ্ট মান হল $-\frac{2}{5} \cdot$। সুতরাং $\left(1,-\frac{2}{5}\right)$ হল $2 x+5 y=0$ এর আরেকটি সমাধান।

(iii) সমীকরণ $3 y+4=0$ কে $0 \cdot x+3 y+4=0$ হিসাবে লিখলে, তুমি দেখবে যে $y=-\frac{4}{3}$ যেকোনো $x$ এর মানের জন্য। সুতরাং, দুটি সমাধান দেওয়া যেতে পারে $\left(0,-\frac{4}{3}\right)$ এবং $\left(1,-\frac{4}{3}\right)$ হিসাবে।

৪.৪ সারসংক্ষেপ

এই অধ্যায়ে, তুমি নিম্নলিখিত বিষয়গুলি পড়েছ:

১. $a x+b y+c=0$ আকারের একটি সমীকরণ, যেখানে $a, b$ এবং $c$ বাস্তব সংখ্যা, এমন যে $a$ এবং $b$ উভয়ই শূন্য নয়, তাকে দুটি চলরাশিবিশিষ্ট রৈখিক সমীকরণ বলে।

২. দুটি চলরাশিবিশিষ্ট একটি রৈখিক সমীকরণের অসীমভাবে অনেক সমাধান থাকে।

৩. দুটি চলরাশিবিশিষ্ট একটি রৈখিক সমীকরণের লেখের উপর প্রতিটি বিন্দুই রৈখিক সমীকরণটির একটি সমাধান। তদুপরি, রৈখিক সমীকরণের প্রতিটি সমাধানই রৈখিক সমীকরণটির লেখের উপর একটি বিন্দু।