4.1 تعارف

پچھلی کلاسوں میں، آپ نے ایک متغیر میں لکیری مساواتوں کا مطالعہ کیا ہے۔ کیا آپ ایک متغیر میں ایک لکیری مساوات لکھ سکتے ہیں؟ آپ کہہ سکتے ہیں کہ $x+1=0, x+\sqrt{2}=0$ اور $\sqrt{2} y+\sqrt{3}=0$ ایک متغیر میں لکیری مساواتوں کی مثالیں ہیں۔ آپ یہ بھی جانتے ہیں کہ ایسی مساواتوں کا ایک منفرد (یعنی، صرف اور صرف ایک) حل ہوتا ہے۔ آپ کو یہ بھی یاد ہوگا کہ نمبر لائن پر حل کو کیسے ظاہر کیا جاتا ہے۔ اس باب میں، ایک متغیر میں لکیری مساواتوں کے علم کو یاد کیا جائے گا اور دو متغیرات تک بڑھایا جائے گا۔ آپ اس طرح کے سوالات پر غور کریں گے: کیا دو متغیرات میں ایک لکیری مساوات کا کوئی حل ہوتا ہے؟ اگر ہاں، تو کیا یہ منفرد ہوتا ہے؟ کارٹیسین سطح پر حل کیسی شکل رکھتا ہے؟ آپ ان سوالات کے جوابات دینے کے لیے باب 3 میں پڑھے گئے تصورات کا استعمال بھی کریں گے۔

4.2 لکیری مساواتیں

آئیے سب سے پہلے اس بات کو یاد کریں جو آپ نے اب تک پڑھا ہے۔ مندرجہ ذیل مساوات پر غور کریں:

2 x+5=0

اس کا حل، یعنی مساوات کی جڑ، $-\frac{5}{2}$ ہے۔ اسے نمبر لائن پر نیچے دکھائے گئے طریقے سے ظاہر کیا جا سکتا ہے:

شکل 4.1

مساوات حل کرتے وقت، آپ کو ہمیشہ مندرجہ ذیل نکات کو ذہن میں رکھنا چاہیے:

لکیری مساوات کا حل متاثر نہیں ہوتا جب:

(i) مساوات کے دونوں اطراف میں ایک ہی عدد کو جمع (یا تفریق) کیا جاتا ہے۔

(ii) آپ مساوات کے دونوں اطراف کو ایک ہی غیر صفر عدد سے ضرب یا تقسیم کرتے ہیں۔

آئیے اب مندرجہ ذیل صورت حال پر غور کریں: ناگپور میں کھیلے گئے بھارت اور سری لنکا کے درمیان ایک روزہ بین الاقوامی کرکٹ میچ میں، دو بھارتی بلے بازوں نے مل کر 176 رنز بنائے۔ اس معلومات کو مساوات کی شکل میں ظاہر کریں۔

یہاں، آپ دیکھ سکتے ہیں کہ ان میں سے کسی ایک کا اسکور معلوم نہیں ہے، یعنی دو نامعلوم مقداریں ہیں۔ آئیے انہیں ظاہر کرنے کے لیے $x$ اور $y$ استعمال کریں۔ تو، ایک بلے باز کے بنائے ہوئے رنز کی تعداد $x$ ہے، اور دوسرے کے بنائے ہوئے رنز کی تعداد $y$ ہے۔ ہم جانتے ہیں کہ

x+y=176

جو مطلوبہ مساوات ہے۔

یہ دو متغیرات میں ایک لکیری مساوات کی ایک مثال ہے۔ ایسی مساواتوں میں متغیرات کو عام طور پر $x$ اور $y$ سے ظاہر کیا جاتا ہے، لیکن دوسرے حروف بھی استعمال ہو سکتے ہیں۔ دو متغیرات میں لکیری مساواتوں کی کچھ مثالیں یہ ہیں:

$1.2 s+3 t=5, p+4 q=7, \pi u+5 v=9 \text { और } 3=\sqrt{2} x-7 y$

نوٹ کریں کہ آپ ان مساواتوں کو بالترتیب

$$1.2 s+3 t-5=0$, $p+4 q-7=0, \pi u+5 v-9=0$$

اور

$$\sqrt{2} x-7 y-3=0$$ کی شکل میں لکھ سکتے ہیں۔

لہذا، کوئی بھی مساوات جسے $a x+b y+c=0$ کی شکل میں لکھا جا سکے، جہاں $a, b$ اور $c$ حقیقی اعداد ہوں، اور $a$ اور $b$ دونوں صفر نہ ہوں، دو متغیرات میں ایک لکیری مساوات کہلاتی ہے۔ اس کا مطلب ہے کہ آپ اس طرح کی بہت سی مساواتوں کے بارے میں سوچ سکتے ہیں۔

مثال 1 : مندرجہ ذیل ہر مساوات کو $a x+b y+c=0$ کی شکل میں لکھیں اور ہر صورت میں $a, b$ اور $c$ کی قیمتیں بتائیں:

(i) $2 x+3 y=4.37$

(ii) $x-4=\sqrt{3} y$

(iii) $4=5 x-3 y$

(iv) $2 x=y$

حل : (i) $2 x+3 y=4.37$ کو $2 x+3 y-4.37=0$ کے طور پر لکھا جا سکتا ہے۔ یہاں $a=2, b=3$ اور $c=-4.37$۔

(ii) مساوات $x-4=\sqrt{3} y$ کو $x-\sqrt{3} y-4=0$ کے طور پر لکھا جا سکتا ہے۔ یہاں $a=1$، $b=-\sqrt{3}$ اور $c=-4$۔

(iii) مساوات $4=5 x-3 y$ کو $5 x-3 y-4=0$ کے طور پر لکھا جا سکتا ہے۔ یہاں $a=5, b=-3$ اور $c=-4$۔ کیا آپ متفق ہیں کہ اسے $-5 x+3 y+4=0$ کے طور پر بھی لکھا جا سکتا ہے؟ اس صورت میں $a=-5, b=3$ اور $c=4$۔

(iv) مساوات $2 x=y$ کو $2 x-y+0=0$ کے طور پر لکھا جا سکتا ہے۔ یہاں $a=2, b=-1$ اور $c=0$۔

$a x+b=0$ قسم کی مساواتیں بھی دو متغیرات میں لکیری مساواتوں کی مثالیں ہیں کیونکہ انہیں اس طرح ظاہر کیا جا سکتا ہے: a x+0 . y+b=0

مثال کے طور پر، $4-3 x=0$ کو $-3 x+0 . y+4=0$ کے طور پر لکھا جا سکتا ہے۔

مثال 2 : مندرجہ ذیل ہر ایک کو دو متغیرات میں مساوات کے طور پر لکھیں:

(i) $x=-5$

(ii) $y=2$

(iii) $2 x=3$

(iv) $5 y=2$

حل :

(i) $x=-5$ کو $1 . x+0 . y=-5$، یا $1 . x+0 . y+5=0$ کے طور پر لکھا جا سکتا ہے۔

(ii) $y=2$ کو $0 . x+1 . y=2$، یا $0 . x+1 . y-2=0$ کے طور پر لکھا جا سکتا ہے۔

(iii) $2 x=3$ کو $2 x+0 . y-3=0$ کے طور پر لکھا جا سکتا ہے۔

(iv) $5 y=2$ کو $0 . x+5 y-2=0$ کے طور پر لکھا جا سکتا ہے۔

4.3 لکیری مساوات کا حل

آپ نے دیکھا ہے کہ ایک متغیر میں ہر لکیری مساوات کا ایک منفرد حل ہوتا ہے۔ دو متغیرات پر مشتمل لکیری مساوات کے حل کے بارے میں آپ کیا کہہ سکتے ہیں؟ چونکہ مساوات میں دو متغیرات ہیں، اس لیے حل کا مطلب ہے اقدار کا ایک جوڑا، ایک $x$ کے لیے اور ایک $y$ کے لیے جو دی گئی مساوات کو پورا کرتا ہو۔ آئیے مساوات $2 x+3 y=12$ پر غور کریں۔ یہاں، $x=3$ اور $y=2$ ایک حل ہے کیونکہ جب آپ $x=3$ اور $y=2$ کو اوپر دی گئی مساوات میں رکھتے ہیں، تو آپ پاتے ہیں کہ

$2 x+3 y=(2 \times 3)+(3 \times 2)=12$

اس حل کو ایک ترتیب شدہ جوڑے $(3,2)$ کے طور پر لکھا جاتا ہے، پہلے $x$ کے لیے قیمت لکھی جاتی ہے اور پھر $y$ کے لیے قیمت۔ اسی طرح، $(0,4)$ بھی اوپر دی گئی مساوات کا ایک حل ہے۔

دوسری طرف، $(1,4)$، $2 x+3 y=12$ کا حل نہیں ہے، کیونکہ $x=1$ اور $y=4$ رکھنے پر ہمیں $2 x+3 y=14$ ملتا ہے، جو 12 نہیں ہے۔ نوٹ کریں کہ $(0,4)$ ایک حل ہے لیکن $\operatorname{not}(4,0)$۔

آپ نے $2 x+3 y=12$ کے لیے کم از کم دو حل دیکھے ہیں، یعنی $(3,2)$ اور $(0,4)$۔ کیا آپ کوئی اور حل تلاش کر سکتے ہیں؟ کیا آپ متفق ہیں کہ $(6,0)$ ایک اور حل ہے؟ اس کی تصدیق کریں۔ درحقیقت، ہم مندرجہ ذیل طریقے سے بہت سے حل حاصل کر سکتے ہیں۔ $2 x+3 y=12$ میں $x(\operatorname{say} x=2)$ کے لیے اپنی پسند کی کوئی قیمت منتخب کریں۔ پھر مساوات کم ہو کر $4+3 y=12$ رہ جاتی ہے، جو ایک متغیر میں ایک لکیری مساوات ہے۔ اسے حل کرنے پر، آپ کو $y=\frac{8}{3}$ ملتا ہے۔ تو $\left(2, \frac{8}{3}\right)$، $2 x+3 y=12$ کا ایک اور حل ہے۔ اسی طرح، $x=-5$ منتخب کرنے پر، آپ پاتے ہیں کہ مساوات $-10+3 y=12$ بن جاتی ہے۔ اس سے $y=\frac{22}{3}$ ملتا ہے۔ تو، $\left(-5, \frac{22}{3}\right)$، $2 x+3 y=12$ کا ایک اور حل ہے۔ لہٰذا دو متغیرات میں ایک لکیری مساوات کے مختلف حل کا کوئی اختتام نہیں ہے۔ یعنی، دو متغیرات میں ایک لکیری مساوات کے لامحدود حل ہوتے ہیں۔

مثال 3 : مساوات $x+2 y=6$ کے چار مختلف حل تلاش کریں۔

حل : معائنے سے، $x=2, y=2$ ایک حل ہے کیونکہ $x=2, y=2$ کے لیے

$$ x+2 y=2+4=6 $$

اب، آئیے $x=0$ منتخب کریں۔ $x$ کی اس قیمت کے ساتھ، دی گئی مساوات کم ہو کر $2 y=6$ رہ جاتی ہے جس کا منفرد حل $y=3$ ہے۔ تو $x=0, y=3$ بھی $x+2 y=6$ کا ایک حل ہے۔ اسی طرح، $y=0$ لینے پر، دی گئی مساوات کم ہو کر $x=6$ رہ جاتی ہے۔ تو، $x=6, y=0$ بھی $x+2 y=6$ کا ایک حل ہے۔ آخر میں، آئیے $y=1$ لیں۔ دی گئی مساوات اب کم ہو کر $x+2=6$ رہ جاتی ہے، جس کا حل $x=4$ کے ذریعے دیا جاتا ہے۔ لہٰذا، $(4,1)$ بھی دی گئی مساوات کا ایک حل ہے۔ تو دی گئی مساوات کے لامحدود میں سے چار حل یہ ہیں:

$(2,2),(0,3),(6,0) \text { and }(4,1) \text {. }$

تبصرہ : نوٹ کریں کہ حل حاصل کرنے کا ایک آسان طریقہ یہ ہے کہ $x=0$ لیں اور $y$ کی متعلقہ قیمت حاصل کریں۔ اسی طرح، ہم $y=0$ رکھ سکتے ہیں اور $x$ کی متعلقہ قیمت حاصل کر سکتے ہیں۔

مثال 4 : مندرجہ ذیل ہر مساوات کے لیے دو حل تلاش کریں:

(i) $4 x+3 y=12$

(ii) $2 x+5 y=0$

(iii) $3 y+4=0$

حل : (i) $x=0$ لینے پر، ہمیں $3 y=12$ ملتا ہے، یعنی $y=4$۔ تو، $(0,4)$ دی گئی مساوات کا ایک حل ہے۔ اسی طرح، $y=0$ لینے پر، ہمیں $x=3$ ملتا ہے۔ اس طرح، $(3,0)$ بھی ایک حل ہے۔

(ii) $x=0$ لینے پر، ہمیں $5 y=0$ ملتا ہے، یعنی $y=0$۔ تو $(0,0)$ دی گئی مساوات کا ایک حل ہے۔ اب، اگر آپ $y=0$ لیں، تو آپ کو پھر $(0,0)$ بطور حل ملتا ہے، جو پچھلے والے حل جیسا ہی ہے۔ دوسرا حل حاصل کرنے کے لیے، $x=1$ لیں، فرض کریں۔ پھر آپ چیک کر سکتے ہیں کہ $y$ کی متعلقہ قیمت $-\frac{2}{5} \cdot$ ہے۔ تو $\left(1,-\frac{2}{5}\right)$، $2 x+5 y=0$ کا ایک اور حل ہے۔

(iii) مساوات $3 y+4=0$ کو $0 \cdot x+3 y+4=0$ کے طور پر لکھنے پر، آپ پائیں گے کہ $y=-\frac{4}{3}$ $x$ کی کسی بھی قیمت کے لیے۔ اس طرح، دو حل $\left(0,-\frac{4}{3}\right)$ اور $\left(1,-\frac{4}{3}\right)$ کے طور پر دیے جا سکتے ہیں۔

4.4 خلاصہ

اس باب میں، آپ نے مندرجہ ذیل نکات کا مطالعہ کیا ہے:

1. $a x+b y+c=0$ شکل کی ایک مساوات، جہاں $a, b$ اور $c$ حقیقی اعداد ہوں، اس طرح کہ $a$ اور $b$ دونوں صفر نہ ہوں، دو متغیرات میں ایک لکیری مساوات کہلاتی ہے۔

2. دو متغیرات میں ایک لکیری مساوات کے لامحدود حل ہوتے ہیں۔

3. دو متغیرات میں ایک لکیری مساوات کے گراف پر ہر نقطہ اس لکیری مساوات کا ایک حل ہوتا ہے۔ مزید برآں، لکیری مساوات کا ہر حل اس لکیری مساوات کے گراف پر ایک نقطہ ہوتا ہے۔