4.1 ਜਾਣ-ਪਛਾਣ

ਪਿਛਲੀਆਂ ਕਲਾਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ ਇੱਕ ਚਲ ਵਾਲੇ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਬਾਰੇ ਪੜ੍ਹਿਆ ਹੈ। ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਇੱਕ ਚਲ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹੋ? ਤੁਸੀਂ ਕਹਿ ਸਕਦੇ ਹੋ ਕਿ $x+1=0, x+\sqrt{2}=0$ ਅਤੇ $\sqrt{2} y+\sqrt{3}=0$ ਇੱਕ ਚਲ ਵਾਲੇ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀਆਂ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਹਨ। ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਵੀ ਜਾਣਦੇ ਹੋ ਕਿ ਅਜਿਹੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਅਨੌਖਾ (ਭਾਵ, ਇੱਕ ਅਤੇ ਸਿਰਫ਼ ਇੱਕ) ਹੱਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਵੀ ਯਾਦ ਰੱਖ ਸਕਦੇ ਹੋ ਕਿ ਹੱਲ ਨੂੰ ਨੰਬਰ ਲਾਈਨ ‘ਤੇ ਕਿਵੇਂ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਚਲ ਵਾਲੇ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਗਿਆਨ ਨੂੰ ਯਾਦ ਕੀਤਾ ਜਾਵੇਗਾ ਅਤੇ ਦੋ ਚਲਾਂ ਵਾਲੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਤੱਕ ਵਧਾਇਆ ਜਾਵੇਗਾ। ਤੁਸੀਂ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦੇ ਸਵਾਲਾਂ ‘ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋਗੇ: ਕੀ ਦੋ ਚਲਾਂ ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਕੋਈ ਹੱਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ? ਜੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਕੀ ਇਹ ਅਨੌਖਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ? ਕਾਰਟੇਸ਼ੀਅਨ ਤਲ ‘ਤੇ ਹੱਲ ਕਿਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਾ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦਾ ਹੈ? ਤੁਸੀਂ ਇਨ੍ਹਾਂ ਸਵਾਲਾਂ ਦੇ ਜਵਾਬ ਦੇਣ ਲਈ ਅਧਿਆਇ 3 ਵਿੱਚ ਪੜ੍ਹੇ ਗਏ ਸੰਕਲਪਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਵੀ ਕਰੋਗੇ।

4.2 ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨ

ਆਓ ਪਹਿਲਾਂ ਯਾਦ ਕਰੀਏ ਕਿ ਤੁਸੀਂ ਅੱਜ ਤੱਕ ਕੀ ਪੜ੍ਹਿਆ ਹੈ। ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਸਮੀਕਰਨ ‘ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ:

2 x+5=0

ਇਸਦਾ ਹੱਲ, ਭਾਵ, ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਮੂਲ, $-\frac{5}{2}$ ਹੈ। ਇਸਨੂੰ ਹੇਠਾਂ ਦਰਸਾਏ ਅਨੁਸਾਰ ਨੰਬਰ ਲਾਈਨ ‘ਤੇ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ:

ਚਿੱਤਰ 4.1

ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਸਮੇਂ, ਤੁਹਾਨੂੰ ਹਮੇਸ਼ਾ ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਗੱਲਾਂ ਧਿਆਨ ਵਿੱਚ ਰੱਖਣੀਆਂ ਚਾਹੀਦੀਆਂ ਹਨ:

ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਹੱਲ ਪ੍ਰਭਾਵਿਤ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ ਜਦੋਂ:

(i) ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸਿਆਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕੋ ਸੰਖਿਆ ਜੋੜੀ (ਜਾਂ ਘਟਾਈ) ਜਾਂਦੀ ਹੈ।

(ii) ਤੁਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ ਇੱਕੋ ਗ਼ੈਰ-ਸਿਫ਼ਰ ਸੰਖਿਆ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਜਾਂ ਭਾਗ ਕਰਦੇ ਹੋ।

ਆਓ ਹੁਣ ਹੇਠ ਲਿਖੀ ਸਥਿਤੀ ‘ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੀਏ: ਨਾਗਪੁਰ ਵਿੱਚ ਖੇਡੇ ਗਏ ਭਾਰਤ ਅਤੇ ਸ੍ਰੀਲੰਕਾ ਵਿਚਕਾਰ ਇੱਕ ਇੱਕ-ਦਿਨਾ ਅੰਤਰਰਾਸ਼ਟਰੀ ਕ੍ਰਿਕਟ ਮੈਚ ਵਿੱਚ, ਦੋ ਭਾਰਤੀ ਬੱਲੇਬਾਜ਼ਾਂ ਨੇ ਮਿਲ ਕੇ 176 ਦੌੜਾਂ ਬਣਾਈਆਂ। ਇਸ ਜਾਣਕਾਰੀ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ।

ਇੱਥੇ, ਤੁਸੀਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹੋ ਕਿ ਉਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕਿਸੇ ਦਾ ਵੀ ਸਕੋਰ ਜਾਣਿਆ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਭਾਵ, ਦੋ ਅਣਜਾਣ ਮਾਤਰਾਵਾਂ ਹਨ। ਆਓ ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ $x$ ਅਤੇ $y$ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੀਏ। ਇਸ ਲਈ, ਇੱਕ ਬੱਲੇਬਾਜ਼ ਦੁਆਰਾ ਬਣਾਈਆਂ ਦੌੜਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ $x$ ਹੈ, ਅਤੇ ਦੂਜੇ ਬੱਲੇਬਾਜ਼ ਦੁਆਰਾ ਬਣਾਈਆਂ ਦੌੜਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ $y$ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ

x+y=176

ਜੋ ਕਿ ਲੋੜੀਂਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ।

ਇਹ ਦੋ ਚਲਾਂ ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ ਹੈ। ਅਜਿਹੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਿੱਚ ਚਲਾਂ ਨੂੰ $x$ ਅਤੇ $y$ ਨਾਲ ਦਰਸਾਉਣ ਦੀ ਰੀਤ ਹੈ, ਪਰ ਹੋਰ ਅੱਖਰਾਂ ਦੀ ਵੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਦੋ ਚਲਾਂ ਵਾਲੇ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀਆਂ ਕੁਝ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਹਨ:

$1.2 s+3 t=5, p+4 q=7, \pi u+5 v=9 \text { और } 3=\sqrt{2} x-7 y$

ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਤੁਸੀਂ ਇਨ੍ਹਾਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਕ੍ਰਮਵਾਰ

$$1.2 s+3 t-5=0$, $p+4 q-7=0, \pi u+5 v-9=0$$

ਅਤੇ

$$\sqrt{2} x-7 y-3=0$$ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਰੱਖ ਸਕਦੇ ਹੋ।

ਇਸ ਲਈ, ਕੋਈ ਵੀ ਸਮੀਕਰਨ ਜਿਸਨੂੰ $a x+b y+c=0$ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਰੱਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ $a, b$ ਅਤੇ $c$ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ, ਅਤੇ $a$ ਅਤੇ $b$ ਦੋਵੇਂ ਇੱਕੋ ਸਮੇਂ ਸਿਫ਼ਰ ਨਹੀਂ ਹਨ, ਨੂੰ ਦੋ ਚਲਾਂ ਵਾਲਾ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਤੁਸੀਂ ਅਜਿਹੇ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਬਾਰੇ ਸੋਚ ਸਕਦੇ ਹੋ।

ਉਦਾਹਰਨ 1 : ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ $a x+b y+c=0$ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ ਅਤੇ ਹਰੇਕ ਕੇਸ ਵਿੱਚ $a, b$ ਅਤੇ $c$ ਦੇ ਮੁੱਲ ਦਰਸਾਓ:

(i) $2 x+3 y=4.37$

(ii) $x-4=\sqrt{3} y$

(iii) $4=5 x-3 y$

(iv) $2 x=y$

ਹੱਲ : (i) $2 x+3 y=4.37$ ਨੂੰ $2 x+3 y-4.37=0$ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇੱਥੇ $a=2, b=3$ ਅਤੇ $c=-4.37$।

(ii) ਸਮੀਕਰਨ $x-4=\sqrt{3} y$ ਨੂੰ $x-\sqrt{3} y-4=0$ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇੱਥੇ $a=1$, $b=-\sqrt{3}$ ਅਤੇ $c=-4$।

(iii) ਸਮੀਕਰਨ $4=5 x-3 y$ ਨੂੰ $5 x-3 y-4=0$ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇੱਥੇ $a=5, b=-3$ ਅਤੇ $c=-4$। ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਸਹਿਮਤ ਹੋ ਕਿ ਇਸਨੂੰ $-5 x+3 y+4=0$ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਵੀ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ? ਇਸ ਕੇਸ ਵਿੱਚ $a=-5, b=3$ ਅਤੇ $c=4$।

(iv) ਸਮੀਕਰਨ $2 x=y$ ਨੂੰ $2 x-y+0=0$ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇੱਥੇ $a=2, b=-1$ ਅਤੇ $c=0$।

$a x+b=0$ ਕਿਸਮ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਵੀ ਦੋ ਚਲਾਂ ਵਾਲੇ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀਆਂ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਹਨ ਕਿਉਂਕਿ ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ a x+0 . y+b=0

ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।

ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, $4-3 x=0$ ਨੂੰ $-3 x+0 . y+4=0$ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।

ਉਦਾਹਰਨ 2 : ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਹਰੇਕ ਨੂੰ ਦੋ ਚਲਾਂ ਵਾਲੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ:

(i) $x=-5$

(ii) $y=2$

(iii) $2 x=3$

(iv) $5 y=2$

ਹੱਲ :

(i) $x=-5$ ਨੂੰ $1 . x+0 . y=-5$, ਜਾਂ $1 . x+0 . y+5=0$ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।

(ii) $y=2$ ਨੂੰ $0 . x+1 . y=2$, ਜਾਂ $0 . x+1 . y-2=0$ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।

(iii) $2 x=3$ ਨੂੰ $2 x+0 . y-3=0$ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।

(iv) $5 y=2$ ਨੂੰ $0 . x+5 y-2=0$ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।

4.3 ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਹੱਲ

ਤੁਸੀਂ ਦੇਖਿਆ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ ਚਲ ਵਾਲੇ ਹਰੇਕ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਅਨੌਖਾ ਹੱਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਦੋ ਚਲਾਂ ਵਾਲੇ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਹੱਲ ਬਾਰੇ ਤੁਸੀਂ ਕੀ ਕਹਿ ਸਕਦੇ ਹੋ? ਕਿਉਂਕਿ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਦੋ ਚਲ ਹਨ, ਇੱਕ ਹੱਲ ਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਮੁੱਲਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਜੋੜਾ, ਇੱਕ $x$ ਲਈ ਅਤੇ ਇੱਕ $y$ ਲਈ, ਜੋ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਆਓ ਸਮੀਕਰਨ $2 x+3 y=12$ ‘ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੀਏ। ਇੱਥੇ, $x=3$ ਅਤੇ $y=2$ ਇੱਕ ਹੱਲ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਜਦੋਂ ਤੁਸੀਂ ਉੱਪਰ ਦਿੱਤੇ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ $x=3$ ਅਤੇ $y=2$ ਰੱਖਦੇ ਹੋ, ਤਾਂ ਤੁਹਾਨੂੰ ਪਤਾ ਲੱਗਦਾ ਹੈ ਕਿ

$2 x+3 y=(2 \times 3)+(3 \times 2)=12$

ਇਸ ਹੱਲ ਨੂੰ ਇੱਕ ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਜੋੜੇ $(3,2)$ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਪਹਿਲਾਂ $x$ ਲਈ ਮੁੱਲ ਲਿਖ ਕੇ ਅਤੇ ਫਿਰ $y$ ਲਈ ਮੁੱਲ ਲਿਖ ਕੇ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, $(0,4)$ ਵੀ ਉੱਪਰ ਦਿੱਤੇ ਸਮੀਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਹੱਲ ਹੈ।

ਦੂਜੇ ਪਾਸੇ, $(1,4)$, $2 x+3 y=12$ ਦਾ ਹੱਲ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ $x=1$ ਅਤੇ $y=4$ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ $2 x+3 y=14$ ਮਿਲਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ 12 ਨਹੀਂ ਹੈ। ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ $(0,4)$ ਇੱਕ ਹੱਲ ਹੈ ਪਰ $\operatorname{not}(4,0)$।

ਤੁਸੀਂ $2 x+3 y=12$ ਲਈ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਦੋ ਹੱਲ ਦੇਖੇ ਹਨ, ਭਾਵ, $(3,2)$ ਅਤੇ $(0,4)$। ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਕੋਈ ਹੋਰ ਹੱਲ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹੋ? ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਸਹਿਮਤ ਹੋ ਕਿ $(6,0)$ ਇੱਕ ਹੋਰ ਹੱਲ ਹੈ? ਇਸਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰੋ। ਅਸਲ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਹੱਲ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। $2 x+3 y=12$ ਵਿੱਚ $x(\operatorname{say} x=2)$ ਲਈ ਆਪਣੀ ਪਸੰਦ ਦਾ ਇੱਕ ਮੁੱਲ ਚੁਣੋ। ਫਿਰ ਸਮੀਕਰਨ $4+3 y=12$ ਵਿੱਚ ਘੱਟ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਇੱਕ ਚਲ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ। ਇਸਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ‘ਤੇ, ਤੁਹਾਨੂੰ $y=\frac{8}{3}$ ਮਿਲਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ $\left(2, \frac{8}{3}\right)$, $2 x+3 y=12$ ਦਾ ਇੱਕ ਹੋਰ ਹੱਲ ਹੈ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, $x=-5$ ਚੁਣ ਕੇ, ਤੁਸੀਂ ਪਾਓਗੇ ਕਿ ਸਮੀਕਰਨ $-10+3 y=12$ ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਹ $y=\frac{22}{3}$ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, $\left(-5, \frac{22}{3}\right)$, $2 x+3 y=12$ ਦਾ ਇੱਕ ਹੋਰ ਹੱਲ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ ਦੋ ਚਲਾਂ ਵਾਲੇ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਹੱਲਾਂ ਦੀ ਕੋਈ ਸੀਮਾ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਭਾਵ, ਦੋ ਚਲਾਂ ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਅਨੰਤ ਹੱਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।

ਉਦਾਹਰਨ 3 : ਸਮੀਕਰਨ $x+2 y=6$ ਦੇ ਚਾਰ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਹੱਲ ਲੱਭੋ।

ਹੱਲ : ਨਿਗ੍ਹਾ ਨਾਲ, $x=2, y=2$ ਇੱਕ ਹੱਲ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ $x=2, y=2$ ਲਈ

$$ x+2 y=2+4=6 $$

ਹੁਣ, ਆਓ $x=0$ ਚੁਣੀਏ। $x$ ਦੇ ਇਸ ਮੁੱਲ ਨਾਲ, ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਸਮੀਕਰਨ $2 y=6$ ਵਿੱਚ ਘੱਟ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਦਾ ਅਨੌਖਾ ਹੱਲ $y=3$ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ $x=0, y=3$ ਵੀ $x+2 y=6$ ਦਾ ਇੱਕ ਹੱਲ ਹੈ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, $y=0$ ਲੈ ਕੇ, ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਸਮੀਕਰਨ $x=6$ ਵਿੱਚ ਘੱਟ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, $x=6, y=0$ ਵੀ $x+2 y=6$ ਦਾ ਇੱਕ ਹੱਲ ਹੈ। ਅੰਤ ਵਿੱਚ, ਆਓ $y=1$ ਲਈਏ। ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਸਮੀਕਰਨ ਹੁਣ $x+2=6$ ਵਿੱਚ ਘੱਟ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਦਾ ਹੱਲ $x=4$ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, $(4,1)$ ਵੀ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਹੱਲ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਅਨੰਤ ਹੱਲਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਚਾਰ ਹਨ:

$(2,2),(0,3),(6,0) \text { and }(4,1) \text {. }$

ਟਿੱਪਣੀ : ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਇੱਕ ਹੱਲ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਆਸਾਨ ਤਰੀਕਾ $x=0$ ਲੈਣਾ ਹੈ ਅਤੇ $y$ ਦਾ ਸੰਬੰਧਿਤ ਮੁੱਲ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨਾ ਹੈ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਅਸੀਂ $y=0$ ਰੱਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ $x$ ਦਾ ਸੰਬੰਧਿਤ ਮੁੱਲ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।

ਉਦਾਹਰਨ 4 : ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਲਈ ਦੋ ਹੱਲ ਲੱਭੋ:

(i) $4 x+3 y=12$

(ii) $2 x+5 y=0$

(iii) $3 y+4=0$

ਹੱਲ : (i) $x=0$ ਲੈ ਕੇ, ਸਾਨੂੰ $3 y=12$ ਮਿਲਦਾ ਹੈ, ਭਾਵ, $y=4$। ਇਸ ਲਈ, $(0,4)$ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਹੱਲ ਹੈ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, $y=0$ ਲੈ ਕੇ, ਸਾਨੂੰ $x=3$ ਮਿਲਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, $(3,0)$ ਵੀ ਇੱਕ ਹੱਲ ਹੈ।

(ii) $x=0$ ਲੈ ਕੇ, ਸਾਨੂੰ $5 y=0$ ਮਿਲਦਾ ਹੈ, ਭਾਵ, $y=0$। ਇਸ ਲਈ $(0,0)$ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਹੱਲ ਹੈ। ਹੁਣ, ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ $y=0$ ਲੈਂਦੇ ਹੋ, ਤਾਂ ਤੁਹਾਨੂੰ ਫਿਰ $(0,0)$ ਇੱਕ ਹੱਲ ਵਜੋਂ ਮਿਲਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਪਹਿਲੇ ਵਾਲੇ ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੈ। ਇੱਕ ਹੋਰ ਹੱਲ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ, $x=1$ ਲਓ, ਮੰਨ ਲਓ। ਫਿਰ ਤੁਸੀਂ ਜਾਂਚ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ ਕਿ $y$ ਦਾ ਸੰਬੰਧਿਤ ਮੁੱਲ $-\frac{2}{5} \cdot$ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ $\left(1,-\frac{2}{5}\right)$, $2 x+5 y=0$ ਦਾ ਇੱਕ ਹੋਰ ਹੱਲ ਹੈ।

(iii) ਸਮੀਕਰਨ $3 y+4=0$ ਨੂੰ $0 \cdot x+3 y+4=0$ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖ ਕੇ, ਤੁਸੀਂ ਪਾਓਗੇ ਕਿ $x$ ਦੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਮੁੱਲ ਲਈ $y=-\frac{4}{3}$ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਦੋ ਹੱਲ $\left(0,-\frac{4}{3}\right)$ ਅਤੇ $\left(1,-\frac{4}{3}\right)$ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਨ।

4.4 ਸਾਰਾਂਸ਼

ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਮੁੱਦਿਆਂ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕੀਤਾ ਹੈ:

1. $a x+b y+c=0$ ਰੂਪ ਦਾ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ, ਜਿੱਥੇ $a, b$ ਅਤੇ $c$ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ $a$ ਅਤੇ $b$ ਦੋਵੇਂ ਇੱਕੋ ਸਮੇਂ ਸਿਫ਼ਰ ਨਹੀਂ ਹਨ, ਨੂੰ ਦੋ ਚਲਾਂ ਵਾਲਾ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

2. ਦੋ ਚਲਾਂ ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਅਨੰਤ ਹੱਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।

3. ਦੋ ਚਲਾਂ ਵਾਲੇ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ‘ਤੇ ਹਰੇਕ ਬਿੰਦੂ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਹੱਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਹਰੇਕ ਹੱਲ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ‘ਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।